Aula matematica-158

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22. Problema: Resolva a equação \( e^x = 2x \). 
 Resposta: A solução da equação é \( x = W(2) \), onde \( W \) é a função W de Lambert. 
 
23. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^2 + 2x} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{1}{2} \ln|x+2| - \ln|x+2| + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 
24. Problema: Determine a área da região limitada pela curva \( y = e^x \), o eixo \( x \) e as 
linhas \( x = 0 \) e \( x = 1 \). 
 Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 
25. Problema: Resolva a equação \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \). 
 Resposta: A solução da equação diferencial é \( y = \ 
 
arctan(x) + C \), onde \( C \) é uma constante. 
 
26. Problema: Determine a inversa da função \( f(x) = \ln(x + 2) \). 
 Resposta: A inversa de \( f(x) = \ln(x + 2) \) é \( f^{-1}(x) = e^x - 2 \). 
 
27. Problema: Encontre o valor de \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x \). 
 Resposta: O limite é \( e^3 \). 
 
28. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \, dx \). 
 Resposta: A integral definida de \( \frac{1}{x} \) de 1 a 2 é \( \ln(2) \). 
 
29. Problema: Determine o domínio da função \( f(x) = \sqrt{4 - x^2} \). 
 Resposta: O domínio de \( f(x) \) é \( -2 \leq x \leq 2 \). 
 
30. Problema: Resolva a equação \( \sin(x) + \cos(x) = 1 \). 
 Resposta: A solução da equação é \( x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \), onde \( k \) é um número 
inteiro. 
 
31. Problema: Encontre a derivada de \( f(x) = e^{2x^2} \).