Problemas de Permutação e Combinação

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Explicação: A palavra "COMBINACAO" tem 10 letras, mas a letra "O" aparece três vezes. 
Portanto, o número de anagramas é \( \frac{10!}{2!2!} \). 
 
17. Problema: Quantas maneiras diferentes existem para distribuir 12 livros em 4 prateleiras 
distintas? 
 Resposta: Existem \( \binom{12+4-1}{4-1} = \binom{15}{3} = 455 \) maneiras diferentes. 
 Explicação: Usando o conceito de "stars and bars" novamente, aqui temos 12 livros e 4 
prateleiras, então usamos 12 estrelas e 3 barras para separar as prateleiras. 
 
18. Problema: Quantos números de 5 dígitos podem ser formados usando os algarismos 1, 
2, 3, 4, 5 e 6, sem repetição? 
 Resposta: Existem \( 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720 \) números de 5 dígitos. 
 Explicação: Este problema é semelhante aos anteriores, onde para cada dígito temos um 
número menor de opções. 
 
19. Problema: Qual é o número de permutações de 6 objetos, onde 3 são idênticos? 
 Resposta: Existem \( \frac{6!}{3!} = 120 \) permutações. 
 Explicação: Três objetos são idênticos, então precisamos dividir o número total de 
permutações (que seria \( 6! \)) pelo fatorial do número de objetos idênticos, que é 3. 
 
20. Problema: Quantos subconjuntos não vazios podem ser formados a partir de um 
conjunto com 8 elementos? 
 Resposta: Existem \( 2^8 - 1 = 255 \) subconjuntos não vazios. 
 Explicação: Seguindo o mesmo raciocínio dos problemas anteriores com subconjuntos, há 
\( 2^8 \) subconjuntos possíveis, incluindo o conjunto vazio, então subtraímos 1 para 
encontrar o número de subconjuntos não vazios. 
 
21. Problema: Quantos números de 4 dígitos podem ser formados usando os algarismos 0, 
1, 2, 3, 4, 5 e 6, permitindo repetição? 
 Resposta: Existem \( 7^4 = 2401 \) números de 4 dígitos. 
 Explicação: Da mesma forma que nos problemas anteriores com repetição, para cada um 
dos quatro dígitos, há 7 opções possíveis. 
 
22. Problema: Quantos anagramas diferentes podem ser formados a partir da palavra 
"PERMUTACAO"? 
 Resposta: Existem \( \frac{11!}{3!2!} = 55440 \) anagramas diferentes. 
 Explicação: A palavra "PERMUTACAO" tem 11 letras, mas a letra "E" aparece duas vezes e 
a letra "A" aparece três vezes. Portanto, o número de anagramas é \( \frac{11!}{3!2!} \).