Lista_ProbEsta2

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1) Descreva o espa¸co amostral para cada experimento
a) Lançam-se um dado e uma moeda, consecutivamente, e a configura¸c˜ao obtida ´e anotada.
b) Trˆes moedas são lançadas e a configura¸c˜ao obtida ´e anotada.
c) Uma urna contém duas bolas brancas (B) e tres vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da
urna. Se for branca, lança-se uma moeda e ́ é anotada a face; se for vermelha, ela é devolvida `à
urna e retirada outra.
d) Mede-se a duração do tempo de vida das lâmpadas
.
e) De um grupo com 5 pessoas (denote por, P e1, P e2, P e3, P e4, P e5), duas pessoas sao sorteadas
com reposi¸c˜ao, ou seja, a pessoa sorteada volta para o sorteiro.
3) Sejam A, B e C eventos de um espa¸co amostral, tais que P(B) = 0, 5, P(C) = 0, 3, P(B|C) = 0, 4 e
P(A|(B ∩ C)) = 0, 5. Calcule P(A ∩ B ∩ C).
4) Sejam A e B eventos de um espa¸co amostral. Mostre que, se A ´e independente de B, ent˜ao Ac
´e independente de Bc. (Dica: utilize De Morgan).
5) Considere uma urna que cont´em 10 bolas brancas (B), 15 bolas vermelhas (V) e 5 bolas azuis (A).
Considere que 3 bolas s˜ao retiradas, consecutivamente, sem reposi¸c˜ao. Calcule:
a) P(BBB), P(AAA) e P(V V V )
● P(BBB) = P(B na primeira retirada) * P(B na segunda retirada após retirar uma
branca) * P(B na terceira retirada após retirar duas brancas) = (10/30) * (9/29) *
(8/28) = 0.033
● P(AAA) = P(A na primeira retirada) * P(A na segunda retirada após retirar uma azul) *
P(A na terceira retirada após retirar duas azuis) = (5/30) * (4/29) * (3/28) = 0.002
● P(VVV) = P(V na primeira retirada) * P(V na segunda retirada após retirar uma
vermelha) * P(V na terceira retirada após retirar duas vermelhas) = (15/30) * (14/29)
* (13/28) = 0.15
b) P(BV A), P(BBA) e P(V V B)
● P(BVA) = P(B na primeira retirada) * P(V na segunda retirada após retirar uma
branca) * P(A na terceira retirada após retirar uma branca e uma vermelha) = (10/30)
* (15/29) * (5/28) = 0.036
● P(BBA) = P(B na primeira retirada) * P(B na segunda retirada após retirar uma
branca) * P(A na terceira retirada após retirar duas brancas) = (10/30) * (9/29) *
(5/28) = 0.018
● P(VVB) = P(V na primeira retirada) * P(V na segunda retirada após retirar uma
vermelha) * P(B na terceira retirada após retirar duas vermelhas) = (15/30) * (14/29)
* (10/28) = 0.09
6) Para selecionar seus funcion´arios, uma empresa oferece aos seus candidatos um curso de trei
namento durante uma semana. No final do curso, eles s˜ao submetidos a uma prova e 25% s˜ao
classificados como bons (B), 50% como m´edios (M) e, os restantes 25% como fracos (F). Para
facilitar a sele¸c˜ao, a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo quest˜oes
referentes a conhecimentos gerais e espec´ıficos. Para isso, gostaria de conhecer qual a proba bilidade
de um indiv´ıduo aprovado no teste ser considerado fraco, caso fizesse o curso. Assim, neste ano, antes
do in´ıcio do curso, os candidatos foram submetidos ao teste e receberam o con ceito A (aprovado) ou
R (reprovado). No final do curso obtiveram-se as seguintes probabilidades condicionais:
P(A|B) = 0, 80 P(A|M) = 0, 50 P(A|F) = 0, 20
Qual P(F|A)?
Para calcular a probabilidade condicional P(F|A), podemos usar a fórmula de Bayes:
P(F|A) = {P(A|F)P(F)}/{P(A)}
Onde:
● P(A|F) é a probabilidade de um indivíduo ser aprovado no teste dado que ele é fraco, que
é 0,20.
● P(F) é a probabilidade de um indivíduo ser fraco, que é 0,25.
● P(A) é a probabilidade total de um indivíduo ser aprovado no teste, que pode ser
calculada como a soma das probabilidades de ser aprovado dado cada categoria (B, M, F),
ponderada pela probabilidade de cada categoria. Ou seja, P(A) = P(A|B)P(B) +
P(A|M)P(M) + P(A|F)P(F) = 0,80 * 0,25 + 0,50 * 0,50 + 0,20 * 0,25 = 0,45.
Substituindo esses valores na fórmula de Bayes, obtemos:
P(F|A) = \frac{0,20 * 0,25}{0,45} = 0,11
Portanto, a probabilidade de um indivíduo ser considerado fraco, dado que ele foi aprovado no
teste, é aproximadamente 0,11 ou 11%.
7) Dada a fun¸c˜ao
f(x) = 2x, 0 < x < 1.
a) Mostre que essa fun¸c˜ao ´e uma densidade.
b) Calcule E(X) e V ar(X)
c) Calcule P(X < 0, 3)
8) Considere a vari´avel aleat´oria discreta X, cuja distribui¸c˜ao de probabilidade ´e dada por
x 2 3 4 5
P(X = x) 0,2 0,6 0,1 0,1
Calcule:
a) E(X) e V ar(X)
b) P(X ´e par)
c) P(X ≤ 4)
d) P(2 ≤ X < 5)
9) Se X ∼ Binomial(n, p), sabe-se que E(X) = 12 e V ar(X) = 3, determine a) n e p.
b) P(X < 12)
c) P(X ≥ 14)
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d) P(12 < X < 14)
10) Chegam cerca de 8 chamadas por minuto em uma central telefˆonica. Determine qual a
probabilidade de que em um minuto se tenha:
a) dez ou mais chamadas.
b) menos de 9 chamadas.
c) entre sete e nove chamadas.
d) Nenhuma chamada.
e) Qual o n´umero m´edio de chamadas?
11) Se X ∼ N(10, 4), calcule:
a) P(8 < X < 10)
b) P(9 ≤ X ≤ 12)
c) P(X > 10)
d) P(X < 8 ou X > 11)
e) Calcule o coeficiente de varia¸c˜ao.
12) Considere X ∼ U(5, 10), calcule:
a) E(X) e V ar(X)
b) P(X < 7)
c) P(X > 8, 5)
d) P(8 < X < 9)
13) Considere X ∼ Exponencial(5), calcule:
a) E(X) e V ar(X)
b) P(X < 7)
c) P(X > 1)
d) P(8 < X < 9)
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