Probabilidade e Estatística

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1 
 A palavra Estatística origina-se do 
latim e o seu radical, status, significa 
estado. Sendo assim, a palavra 
estatística significa o estudo do 
Estado. 
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2 
  Um conjunto de métodos científicos para a 
coleta, organização, apresentação e análise de 
dados, bem como, para a conclusão e tomada 
de decisões baseadas em tais análises. 
DEFINIÇÃO 
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3 
DIVISÕES DA ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA INDUTIVA(probabilidade) 
Observar 
Organizar 
Analisar, etc. 
Estimar 
Prever 
Amostrar, etc 
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4 
PROCESSO DE PESQUISA 
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5 
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 definição do problema; 
 planejamento; 
 coleta de dados; 
 crítica e apuração dos dados; 
 análise e interpretação dos dados; 
 apresentação dos dados; 
 relatório final e publicação. 
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6 
O que é População e Amostra? 
População: é o conjunto total de elementos com pelo 
menos uma característica em comum, cujo 
comportamento interessa estudar. 
N= número de elementos da população 
Amostra: é o conjunto de elementos ou 
observações, recolhidos a partir de um 
subconjunto da população, que se estuda 
com o objetivo de tirar conclusões para a 
população de onde foi recolhida. 
n= número de elementos da amostra 
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7 
Por que usar amostragem? 
ECONOMIA 
TEMPO 
CONFIABILIDADE 
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8 
PLANO DE AMOSTRAGEM 
OBJETIVOS DA PESQUISA 
POPULAÇÃO 
AMOSTRAGEM 
Forma de seleção dos elementos – 
plano de amostragem 
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9 
O objetivo da amostragem é fazer inferências, 
estimar e tirar conclusões a respeito da 
população. 
AMOSTRA DEVE SER 
REPRESENTATIVA 
EVITAR DISTORÇÃO 
DA REALIDADE 
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10 
Qualitativas 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
O que são Variáveis? 
Quantitativas 
Tipos de Variáveis 
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11 
Nominais 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
Qualitativas 
Ordinais 
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12 
Discretas 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
Quantitativas 
Contínuas 
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13 
ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES 
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14 
ARREDONDAMENTO DE DADOS 
 IBGE - resolução 886/66 
 ABNT - NBR 5891/77 
CASO I: 
 O algarismo seguinte à casa é 0, 1, 2, 3 ou 4 
Exemplos: 
 Arredondar para a primeira casa decimal: 
158,4385 → → há uma perda de 
 Arredondar para a segunda casa decimal: 
24,1028 → → há uma perda de 
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15 
ARREDONDAMENTO DE DADOS 
CASO II: 
 O algarismo seguinte à casa é 5, 6, 7, 8 ou 9 
Exemplos: 
 Arredondar para a 2ª casa decimal: 
158,4385 → → há uma ganho de 
 Arredondar para a 3ª casa decimal: 
24,1029 → → há uma ganho de 
 Arredondar para a 1ª casa decimal: 
67,97 → → há uma ganho de 
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16 
ARREDONDAMENTO DE DADOS 
CASO III: 
 O algarismo seguinte à casa é 5 – é um caso especial previsto 
pela norma. Não é muito usado. O critério que adotaremos em 
nosso estudo será o caso dois (slide anterior) 
NÃO VAMOS USAR ESTE CRITÉRIO 
PARA O 5 VALE O CASO II 
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17 
NOÇÕES DE SOMATÓRIO 
Seja x={x1, x2, x3, x4, ... xn}. A soma dos elementos deste conjunto 
pode ser representada por: 
Exemplo 01: 
€ 
xi
i=1
n
∑ =
€ 
a) xi
i=1
6
∑ =
b) xi
i=4
9
∑ =
c) xi
i=25
39
∑ =
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18 
NOÇÕES DE SOMATÓRIO 
Exemplo 01 (cont.): 
€ 
d) xi
i=1
6
∑ yi =
e) xi( )2
i=4
9
∑ =
Exemplo 02: sendo x={1, 3, 5} e y={2, 4, 7} calcule: 
€ 
a) xi
i=1
3
∑ =
b) yi 
i=1
3
∑ =
€ 
c) (xi + yi) 
i=1
3
∑ =
d) xi
i=1
3
∑ + yi 
i=1
3
∑ =
€ 
(xi ± yi ) = 
i=1
n
∑ xi
i=1
n
∑ ± yi
i=1
n
∑
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19 
NOÇÕES DE SOMATÓRIO 
Exemplo 03: sendo x={1, 3, 5} e y={2, 4, 7} calcule: 
€ 
a) xi
i=1
3
∑ =
b) yi 
i=1
3
∑ =
€ 
c) (xi .yi) 
i=1
3
∑ =
d) xi
i=1
3
∑ . yi 
i=1
3
∑ =
€ 
(xi .yi)≠
i=1
n
∑ xi
i=1
n
∑ . yi
i=1
n
∑
€ 
xi 
i=1
n
∑
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
≠ xi( )
i=1
n
∑
2
€ 
a) (xi)2 
i=1
3
∑ =
b) xi
i=1
3
∑
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
=
Exemplo 04: sendo x={1, 3, 5} e y={2, 4, 7} calcule: 
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20 
NOÇÕES DE SOMATÓRIO 
Exemplo 05: Calcule as seguintes quantidades para os dados 
abaixo: 
€ 
a) xi ∑ =
b) fi ∑ =
c) xi fi ∑ =
d) (xi)2 ∑ =
e) fi(xi)2 ∑ =
RESOLVER LISTA 1 
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21 
 O que são dados brutos? 
 O que são dados agrupados? 
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22 
Para uma variável qualitativa nominal. 
I M R P I I P R 
P R I P P I R I 
P P P M I P P P 
M P I I I M P R 
M R R P M M P R 
I R M P P I R P 
M P I P P M P I 
 
Legenda 
I – Investimentos imobiliários 
M – Investimento em mercado de ações 
P – Investimento em poupança 
R – Investimento em fundos de renda fixa 
 
A seguir está relacionado o tipo de investimento preferido 
por clientes de um banco: 
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23 
Para uma variável qualitativa ordinal. 
A seguir está relacionada a satisfação de cada cliente com 
os serviços de um banco: 
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24 
  Para uma variável quantitativa discreta. 
A seguir está relacionado o número de defeitos por peça 
conforme são produzidas neste lote: 
1 1 4 1 0 0 1 6 
5 0 0 0 0 0 0 0 
0 1 0 0 1 0 3 2 
4 2 0 0 2 0 1 0 
0 0 3 3 0 0 4 0 
0 1 0 2 0 0 1 0 
3 0 0 0 3 0 0 0 
 
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25 
  Para uma variável quantitativa contínua 
Os valores anotados a seguir representam o volume de 
vendas mensal de 56 representantes: 
23,25 27,43 17,76 33,33 33,05 16,08 34,49 23,74 
32,63 20,58 18,50 16,69 16,43 20,08 19,00 16,13 
21,36 26,60 22,49 22,77 23,05 33,55 22,73 24,89 
24,11 34,83 21,73 31,53 35,13 34,36 20,80 16,84 
29,55 34,76 31,72 24,89 21,65 22,65 30,43 30,93 
17,25 17,05 19,67 22,79 25,30 23,08 25,77 35,03 
16,59 15,90 20,30 33,86 17,76 30,93 20,81 29,05 
 
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26 
 Título 
Coluna 
numérica Coluna 
indicadora 
Corpo 
Rodapé 
Total 
Linhas 
Cabeçalho 
  TABELAS 
Ano PIB 
(em bilhões de dólares) 
1996 775,5 
1997 807,8 
1998 787,9 
1999 531,1 
2000 594,2 
2001 503,9 
Total 4000,4 
 
O PIB do Brasil em bilhões de dólares – 1996-2001 
Fonte: IBGE 
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27 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA NOMINAL? 
1º) Organizar os dados por semelhança 
I I I I I I I I 
I I I I I I M M 
M M M M M M M M 
P P P P P P P P 
P P P P P P P P 
P P P P P P R R 
R R R R R R R R 
 
I – Investimentos imobiliários 
M – Investimento em mercado de ações 
P – Investimento em poupança 
R – Investimento em fundos de renda fixa 
 
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28 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA? 
2º) Escrever cada uma das opções verificadas e contar 
I 14 
M 10 
P 22 
R 10 
 
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29 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA? 
3º) Montar a tabela 
Tipo de investimento Número de clientes 
Imobiliário 14 
Mercado de ações 10 
Poupança 22 
Fundos de renda fixa 10 
Total 56 
 
Investimentos mais confiáveis segundo clientes do banco 
Fonte: dados fictícios 
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30 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA ORDINAL? 
1º) Organizar os dados por semelhança 
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31 
2º) Escrever cada uma das opções verificadas e contar 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA ORDINAL? 
Satisfação com os serviços prestados pelo banco 
Fonte: dados fictícios 
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32 
3º) Pode ser usado escala numérica: 
COMO MONTAR TABELAS PARA VARIÁVEL QUALITATIVA ORDINAL? 
Satisfação com os serviços prestados pelo banco 
Fonte: dados fictíciosProf. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
33 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
1º) Organize os dados em ordem crescente - ROL 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 
0 1 1 1 1 1 1 1 
1 1 2 2 2 2 3 3 
3 3 3 4 4 4 5 6 
 
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34 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
2º) Escrever cada uma das opções verificadas 
0 33 
1 9 
2 4 
3 5 
4 3 
5 1 
6 1 
 
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35 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA DISCRETA 
3º) Montar a tabela 
Número de defeitos por peças analisadas do lote xxxx 
Fonte: Setor de Controle de Qualidade fictício 
Número de defeitos (xi) Número de peças (fi) 
0 33 
1 9 
2 4 
3 5 
4 3 
5 1 
6 1 
Total (!fi) 56 
 
 Freqüência 
simples 
Valores que a 
variável pode 
assumir 
Freqüência 
total 
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36 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
1º) Organize os dados em ordem crescente - ROL 
15,90 16,08 16,13 16,43 16,59 16,69 16,84 17,05 
17,25 17,76 17,76 18,50 19,00 19,67 20,08 20,30 
20,58 20,80 20,81 21,36 21,65 21,73 22,49 22,65 
22,73 22,77 22,79 23,05 23,08 23,25 23,74 24,11 
24,89 24,89 25,30 25,77 26,60 27,43 29,05 29,55 
30,43 30,93 30,93 31,53 31,72 32,63 33,05 33,33 
33,55 33,86 34,36 34,49 34,76 34,83 35,03 35,13 
 
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37 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
2º) Número de intervalos (k) - são usados dois critérios 
Critério da raiz 
Fórmula de Sturges 3,3.logn1k +=
nk =
k=? 
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38 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
3º) Amplitude Total (At) 
At=? 
AT=L(máx) – l(min) 
 
4º) Amplitude do intervalo de classe (h) 
k
ATh = h=? 
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39 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
 Amplitude total 19,23 (At=19,23) 
 Sete intervalos (k=7) 
 Cada um com o tamanho de 2,8 (h=2,8) 
RESUMINDO 
h.k>AT 
 
5º) Testar os cálculos 
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40 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
6º) Escrever os intervalos da tabela 
(15,9); 
15,9 |--- 18,7 
18,7 |--- 21,5 
21,5 |--- 24,3 
24,3 |--- 27,1 
27,1 |--- 29,9 
29,9 |--- 32,7 
32,7 |--- 35,5 
 
Começar pelo menor valor 
Somar 2,8 (h): 
 Amplitude total 19,23 (At=19,23) 
 Sete intervalos (k=7) 
 Cada um com o tamanho de 2,8 (h=2,8) 
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41 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
7º) Construção da tabela 
Classe Volume de vendas 
(em mil reais) 
 
1 15,9 |--- 18,7 
2 18,7 |--- 21,5 
3 21,5 |--- 24,3 
4 24,3 |--- 27,1 
5 27,1 |--- 29,9 
6 29,9 |--- 32,7 
7 32,7 |--- 35,5 
 Total (!fi) 
 
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42 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
8º) Contar e marcar o número de valores em cada intervalo 
15,90 16,08 16,13 16,43 16,59 16,69 16,84 17,05 
17,25 17,76 17,76 18,50 19,00 19,67 20,08 20,30 
20,58 20,80 20,81 21,36 21,65 21,73 22,49 22,65 
22,73 22,77 22,79 23,05 23,08 23,25 23,74 24,11 
24,89 24,89 25,30 25,77 26,60 27,43 29,05 29,55 
30,43 30,93 30,93 31,53 31,72 32,63 33,05 33,33 
33,55 33,86 34,36 34,49 34,76 34,83 35,03 35,13 
 
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43 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
8º) Contar e marcar o número de valores em cada intervalo 
Classe Volume de vendas 
(em mil reais) 
Contagem Nº de representantes 
(fi) 
1 15,9 |--- 18,7 
 
12 
2 18,7 |--- 21,5 
 
8 
3 21,5 |--- 24,3 
 
12 
4 24,3 |--- 27,1 
 
5 
5 27,1 |--- 29,9 
 
3 
6 29,9 |--- 32,7 6 
7 32,7 |--- 35,5 
 
10 
 Total (!fi) 56 
 
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44 
TABELAS PARA VARIÁVEL QUANTITATIVA CONTÍNUA 
9º) A tabela 
Volume de vendas 
(em mil reais) 
Nº de representantes 
(fi) 
15,9 |--- 18,7 12 
18,7 |--- 21,5 8 
21,5 |--- 24,3 12 
24,3 |--- 27,1 5 
27,1 |--- 29,9 3 
29,9 |--- 32,7 6 
32,7 |--- 35,5 10 
Total (!fi) 56 
 
Volume de vendas mensal, em milhares de reais 
Fonte: Setor fictício de vendas 
LISTA 02 
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45 
Quais são os tipos de freqüências? 
Freqüência acumulada direta ou "abaixo de" (fiacd) 
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46 
Quais são os tipos de freqüências? 
Freqüência acumulada indireta ou "acima de" (fiaci) 
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47 
Quais são os tipos de freqüências? 
Freqüência relativa (fr) 
n
ffr i=
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48 
Quais são os tipos de freqüências? 
Freqüência percentual (fp) fp = fr.100 
 
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49 
Quais são os tipos de freqüências? 
Ponto médio de uma classe 2
LiliPM +=
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50 
Veja como fica a tabela (distribuição de freqüências) completa 
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51 
Freqüências acumuladas direta e indireta percentual 
LISTA 03 
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52 
 Para que usar gráficos? 
 Representar dados de forma clara e simples 
 Possibilitar acesso rápido à informações 
 Requisitos de um gráfico 
 Simplicidade 
 Clareza 
 Veracidade 
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53 
Censo Demográfico - Brasil - 1890-
2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
18
90
19
20
19
50
19
70
19
90
Anos
Censo Demográfico - Brasil - 1890-2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Anos
Po
pu
la
çã
o 
(e
m
 m
ilh
õe
s)
 Evitar distorções! 
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54 
 Diagramas 
 Cartogramas 
 Pictogramas 
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55 
Censo Demográfico - Brasil - 1890-2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Anos
Po
pu
la
çã
o 
(e
m
 m
ilh
õe
s)
Escala horizontal 
Título 
Fonte 
Fonte: IBGE 
Linhas de grade 
Escala vertical 
Identificação 
dos eixos 
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56 
Investimentos mais confiáveis segundo clientes do banco
14
10
22
10
0 5 10 15 20 25
Imobiliário
Mercado de
ações
Poupança
Fundos de
renda f ixa
Ti
po
 d
e 
in
ve
st
im
en
to
Nº de clientes
Censo Demográfico - Brasil - 1890-2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Anos
TEMPERATURA MÉDIA MENSAL EM 2000
0
1
0
20
30
40
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Tipos de diagrama 
  Gráficos em barras 
  Gráficos em colunas 
  Gráficos de setores (pizza) 
  Gráfico de linhas ou curvas 
  Gráfico Polar 
Volume de vendas mensal por representante de uma 
empresa que fabrica remédios – outubro/2003
0
2
4
6
8
10
12
14
15,9 |---
18,7
18,7 |---
21,5
21,5 |---
24,3
24,3 |---
27,1
27,1 |---
29,9
29,9 |---
32,7
32,7 |---
35,5
Volume de vendas (em mil reais)Investimentos mais 
confiáveis segundo clientes 
do banco
Mercado de 
ações
17,86%
Imobiliário
25,00%
Poupança
39,29%
Fundos de 
renda fixa
17,86%
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57 
São mais usados para representar séries 
específicas, temporais e geográficas. 
Construção 
  Eixos cartesianos 
  Valores da variável - eixo vertical 
  Freqüência - eixo horizontal 
  Barras - mesma base (largura) 
  Barras - comprimentos proporcionais às freqüências 
  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
58 
Investimentos mais confiáveis segundo clientes do banco
14
10
22
10
0 5 10 15 20 25
Imobiliário
Mercado de
ações
Poupança
Fundos de
renda f ixa
Ti
po
 d
e 
in
ve
st
im
en
to
Nº de clientes
Fonte: dados fictícios 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
59 
São mais usados para representar séries 
específicas, temporais e geográficas. 
Construção 
  Eixos cartesianos 
  Valores da variável - eixo horizontal 
  Freqüência - eixo vertical 
  Colunas - mesma base (largura) 
  Colunas - comprimentos proporcionais às freqüências 
  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
60 
Número de defeitos por peças analisadas do lote xxxx
33
5
3
1 1
9
4
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6
Número de defeitos (xi)
N
úm
er
o 
de
 p
eç
as(
fi)
Fonte: dados fictícios 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
61 
Fonte: dados fictícios 
Volume de vendas mensal por representante de uma empresa 
que fabrica remédios – outubro/2003
12
5
3
6
10
12
8
0
2
4
6
8
10
12
14
15,9 |--- 18,718,7 |--- 21,521,5 |--- 24,324,3 |--- 27,127,1 |--- 29,929,9 |--- 32,732,7 |--- 35,5
Volume de vendas (em mil reais)
N
º 
de
 r
ep
re
se
nt
an
te
s 
(fi
)
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
62 
É recomendado para situações em que se deseja 
evidenciar o quanto cada informação representa do total . 
Construção 
  Circunferência 
  Soma ou 100% representa 360º 
  Marcar cada ângulo – traças retas (separar setores) 
  Pintar ou marcar cada setor 
  Legenda 
  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
63 
Fonte: dados fictícios 
Investimentos mais confiáveis segundo 
clientes do banco
Mercado de 
ações
17,86%
Imobiliário
25,00%
Poupança
39,29%
Fundos de 
renda fixa
17,86%
Fonte: dados fictícios 
Investimentos mais confiáveis segundo 
clientes do banco
14
10
22
10 Imobiliário
Mercado de ações
Poupança
Fundos de renda fixa
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
64 
É mais utilizado para definir a tendência de aumento ou 
diminuição dos valores numéricos de uma dada informação 
ao longo do tempo (séries temporais). 
Construção 
  Eixos vertical e horizontal 
  Escalas - horizontal o tempo - vertical a freqüência 
  Marcar os pontos 
  Unir os pontos por linhas 
  Legenda 
  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
65 
Fonte: IBGE 
Censo Demográfico - Brasil - 1890-2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Anos
Po
pu
la
çã
o 
(e
m
 m
ilh
õe
s)
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
66 
É indicado para representar variações cíclicas, ou seja, que 
se repetem em períodos pré-determinados. Mais utilizado 
em estudos climáticos (séries temporais). 
Construção 
  Eixo vertical com escala e marcar ponto central 
  Passar retas pelo ponto com mesmo ângulo 
  O número de retas = número de observações 
  Marcar pontos, usando escala do eixo vertical 
  Unir pontos com semi-retas 
  Título e fonte. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
67 
Fonte: IBGE 
TEMPERATURA MÉDIA MENSAL EM 2000
0
10
20
30
40
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
68 
Características 
  Símbolos auto-explicativos 
  Quantidades - número de símbolos ou 
variações nos tamanhos; 
  Sem muitos detalhes - visão geral 
  Não serve para interpretações técnicas. 
Construídos a partir de figuras ou conjunto de figuras 
representativas do fenômeno. São mais utilizados em 
jornais, revistas, cartazes e propagandas. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
69 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
70 
São usados para apresentar os dados estatísticos 
referentes à regiões bem definidas geograficamente. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
71 
  Usados para interpretações de 
informações 
  Análises de dados 
  Dedução geométrica de fórmulas 
  Histograma 
  Polígono de freqüências 
  Histograma para freqüências 
acumuladas 
  Polígono de freqüências acumuladas 
(Ogivas de Galton) 
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72 
  Semelhante ao gráfico de colunas 
  Altura dos retângulos proporcionais à freqüência 
simples 
  Área dos retângulos proporcionais à freqüência 
simples 
  Soma das áreas proporcional à freqüência total 
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73 
EMISSÃO DE ÓXIDO DE ENXOFRE NOS ÚLTIMOS 70 MESES - em ton
6
10 11
20
13
7
3
0
5
10
15
20
25
6,2 |-- 9,99,9 |-- 13,613,6 |-- 17,317,3 |-- 2121 |-- 24,724,7 |-- 28,428,4 |-- 32,1
Toneladas
N
º 
de
 m
es
es
Fonte: dados fictícios 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
74 
Unir por linhas retas os pontos médios das bases 
superiores dos retângulos do histograma 
EMISSÃO DE ÓXIDO DE ENXOFRE - EM TONELADAS
0
5
10
15
20
25
6,2 |-- 9,9 9,9 |-- 13,613,6 |-- 17,317,3 |-- 21 21 |-- 24,7 24,7 |-- 28,428,4 |-- 32,1
Toneladas
N
º 
de
 m
es
es
Polígono de 
Freqüências 
Esses triângulos 
compensam os que 
ficam fora do polígono 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
75 Fonte: Fonte: SECEX (Secretaria do Comércio Exterior). 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
76 
Procedimentos 
  Identificar as variáveis expressas pelo gráfico 
  Identificar máximo e mínimo 
  Identificar tendência 
  Analisar de maneira geral, identificando as 
alterações mais expressivas 
  Outras análises 
12/4 13/4 14/4 15/4 16/4
2,9092,920
2,910
2,900
2,890
2,880
Dólar comercial
Em R$
2,894
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
77 
2002 2003
10/10 15/1 12/2 4/4
... O DÓLAR TAMBÉM CAIU...
3,89 (em reais)
3,62
3,33
3,22
Procedimentos 
  Identificar as variáveis 
expressas pelo gráfico 
  Identificar máximo e mínimo 
  Identificar tendência 
  Analisar de maneira geral, 
identificando as alterações 
mais expressivas 
  Outras análises 
Fonte: Veja de 9 de abril de 
2003 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
78 
 Medidas de tendência central 
 Média 
 Mediana 
 Moda 
 Separatrizes 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
79 
A média é uma das medidas mais importantes 
dentro da Estatística. Ela é o ponto de equilíbrio 
de uma série de dados. 
Notação: 
 para a amostra 
 µ para população 
X
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80 
Tipos de média: 
Média Aritmética Simples 
 
€ 
x=
xi∑
n = x1 + x2 +...+ xn
n
Média Aritmética Ponderada 
€ 
x =
xi pi∑
pi∑
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
81 
€ 
xg = x
1
⎛ 
⎝ 
⎜ ⎞ 
⎠ 
⎟ 
p1
 . x
2
⎛ 
⎝ 
⎜ ⎞ 
⎠ 
⎟ 
p2
 ... x
n
⎛ 
⎝ 
⎜ ⎞ 
⎠ 
⎟ 
pnp
i
∑
Média Geométrica Ponderada 
 
€ 
xg = xi∏ n = x
1
. x
2
... x
n
 n
Média Geométrica Simples 
Tipos de média: 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
82 
Média Harmônica Ponderada 
Média Harmônica Simples 
Tipos de média: 
€ 
xh = n
1
xi
∑
€ 
xh =
pi∑
pi
xi
∑
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83 
Média aritmética para dados agrupados 
€ 
x =
xi fi∑
fi∑
Dados agrupados sem intervalos (variável discreta) 
Número de defeitos por peças analisadas do lote Zyz 
Número de 
defeitos (xi) 
Número de 
peças (fi) 
xi.fi 
0 33 
1 9 
2 4 
3 5 
4 3 
5 1 
6 1 
Total (!fi) 56 
 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
84 
Mediana para dados brutos – nº ímpar de observações 
Exemplo: X: 5, 30, 27, 9, 15, 19, 24, 20, 31 
1º passo: Rol - ordem crescente 
2º passo: posição 
3º passo: identificar a Mediana 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +=
2
1nPos
Posição 
A mediana é valor que divide o total de observações em 
duas partes iguais. Notação: Me ou Md 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
85 
Mediana para dados brutos – nº ímpar de observações 
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 
5 9 15 19 20 24 27 30 31 
 Interpretação: 50% dos valores da série são menores ou iguais 
a 20 e 50% dos valores da série são maiores ou iguais a 20. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
86 
Mediana para dados brutos – nº par de observações 
Exemplo: X: 5, 30, 27, 9, 15, 19, 24, 20 
1º passo: Rol - ordem crescente 
Posição1 Posição2 
€ 
Pos1 =
n
2
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ =
8
2
= 4o
€ 
Pos2 =
n
2
+1
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ =
8
2
+1 = 5o
Rol: X: 5, 9, 15, 19, 20, 24, 27, 30 
2º passo: posição 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
87 
Mediana para dados brutos – nº par de observações 
3º passo: identificar e calcular a Mediana 
1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 
5 9 15 19 Me 20 24 27 30 
 
€ 
Me =
19 + 20
2
=
39
2
=19,5
Interpretação: 50% dos valores da série são menores que 
19,5 e 50% dos valores da série são valores maiores que 
19,5. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
88 
Mediana para dados agrupados 
Sem intervalos (variável discreta) exemplo para n par 
Número de defeitos por peças analisadas do lote xxxx 
Número de 
defeitos (xi) 
Número de 
peças (fi) 
fiacd 
0 33 33 
1 9 42 
2 4 46 
3 5 51 
4 3 54 
5 1 55 
6 1 56 
Total (!fi) 56 
 
Posição 
€ 
Pos1=
56
2
=28o
€Pos2 = 562 +1= 29o
Me=0 Interpretação: 50% das peças apresentaram 
zero (nenhum) defeito e 50% das peças 
apresentaram zero ou mais defeitos. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
89 
Sem intervalos (variável discreta) exemplo para n ímpar 
Posição 
€ 
Pos = 63+1
2 = 32o
Me=19 
Interpretação: 50% dos estagiários tem idade 
menor ou igual a 19 anos e 50% dos estagiários 
tem idade maior ou igual a 19 anos . 
Idade dos estagiários da empresa 
Idade (xi) Número de 
estagiários (fi) 
fiacd 
17 5 5 
18 20 25 
19 22 47 
20 10 57 
21 6 63 
Total (!fi) 63 
 
Mediana para dados agrupados 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
90 
Moda para dados brutos 
Exemplo: X: 15, 16, 19, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26,28 
Interpretação: O elemento que mais se repete é o 22. 
Mo=22 
A moda é o valor que mais se repete, ou seja, o valor de 
maior freqüência. Notação: Mo 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
91 
Moda para dados brutos 
Exemplo: X: 20, 20, 22, 22, 25, 25, 28,28 
Interpretação: Na série acima não se tem um elemento 
que mais se repete 
Mo=não existe 
Exemplo: X: 15, 16, 20, 20, 20, 22, 22, 22, 25, 26,28 
Interpretação: Os elementos que mais se repetem são o 20 e o 22 
Mo1=20 e Mo2=22 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
92 
Moda para dados agrupados sem intervalos 
Sem intervalos (variável discreta) 
Remuneração da empresa – filial 1 
Nº de salários-
mínimos 
fi 
1 29 
2 28 
3 20 
4 18 
5 16 
6 15 
7 9 
! 135 
 
Remuneração da empresa – filial 2 
Nº de salários-
mínimos 
fi 
1 9 
2 25 
3 16 
4 18 
5 20 
6 22 
7 25 
! 134 
 
Mo=1 Mo1=2 e Mo2=7 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
93 
Sem intervalos (variável discreta) 
Mo=não existe 
Remuneração da empresa – filial 3 
Nº de salários-
mínimos 
fi 
1 7 
2 7 
3 7 
4 7 
5 7 
6 7 
7 7 
! 49 
 
Moda para dados agrupados sem intervalos 
LISTA 04 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
94 
Média aritmética para dados agrupados 
Dados agrupados com intervalos (variável contínua) 
 
€ 
x =
PM. f i∑
f i∑
Volume de vendas mensal, em milhares de reais 
Volume de vendas 
(em mil reais) 
Nº de 
Representantes (fi) 
PM PM.fi 
15,9 |--- 18,7 12 17,3 
18,7 |--- 21,5 8 20,1 
21,5 |--- 24,3 12 22,9 
24,3 |--- 27,1 5 25,7 
27,1 |--- 29,9 3 28,5 
29,9 |--- 32,7 6 31,3 
32,7 |--- 35,5 10 34,1 
Total (!fi) 56 
 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
95 
Com intervalos (variável contínua) 
€ 
Me= lime+
n
2
− f
iacd
ant
f
i
me
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎜ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ 
⎟ 
⎟ 
.h
Posição 
2
nPos =
lime = limite inferior da classe mediana 
n = número de elementos da série 
fiacdant = freqüência acumulada direta anterior 
fime = freqüência simples da classe mediana 
h = amplitude do intervalo de classe 
Mediana para dados agrupados 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
96 
Com intervalos (variável contínua) 
€ 
Me= lime+
n
2
− f
iacd
ant
f
i
me
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎜ 
⎜ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
⎟ 
⎟ 
⎟ 
.h
Posição 
€ 
Pos =
n
2
lime = 
n = 
fiacdant = 
fime = 
h = 
Me=23,3667 
Mediana para dados agrupados 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
97 
Moda para dados agrupados 
Com intervalos (variável contínua) 
€ 
Mo= limo+
f
i
mo - f
i
ant
2. f
i
mo - ( f
i
ant+ f
i
post)
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
.h
limo = limite inferior da classe modal 
fimo = freqüência simples da classe modal 
fiant = freqüência simples anterior à classe modal 
fipost = freqüência simples posterior à classe modal 
h = amplitude do intervalo de classe 
Moda de Czuber 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
98 
Moda para dados agrupados 
Com intervalos (variável contínua) 
limo = 
fimo = 
fiant = 
fipost = 
h = 
Mo1=22,5182 
Mo2=18 
LISTA 05 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
99 
Levantamento salarial de três filiais de uma empresa 
€ 
X =
60
10
= 6Filial 1: 
Filial número de salários-mínimos por pessoa (10 pessoas) Total 
Filial 1: 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 
Filial 2: 1 8 9 2 6 10 5 8 7 4 
Filial 3: 5 6 7 7 6 5 6 7 5 6 
 
€ 
X =
60
10
= 6Filial 3: 
€ 
X =
60
10
= 6Filial 2: 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
100 
"   As principais medidas de dispersão absolutas são: 
  Amplitude total, 
  Desvio médio simples, 
  Variância e 
  Desvio-padrão. 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
101 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
NOTAÇÃO USADA: 
POPULAÇÃO 
€ 
σ 2 (x) variância 
€ 
σ (x) desvio-padrão 
AMOSTRA 
(x)2S variância 
S (x) desvio-padrão 
 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
102 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Para dados brutos: 
População 
€ 
σ 2 (x) =
(xi −µ∑ )2
n variância 
 
€ 
σ (x) = σ 2 (x) desvio-padrão 
Amostra 
1-n
)x(x
(x)S
2
2 i∑ −
= variância 
(x)(x)S 2S= desvio-padrão 
 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
103 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Para dados brutos: exemplo - Notas: 7; 7,8; 6 e 8 
Passo 1 – Calcule a média 
€ 
µ = x =
7 + 7,8 + 6 + 8
4
=
28,8
4
= 7,2
€ 
S2(x) =
Σ(xi − x )2
n -1
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
104 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Passo 2 – agora calcule os desvios (xi - ): x
(x1-x )=(7-7,2)=-0,2 
(x2-x )=(7,8-7,2)=0,6 
(x3-x )=(6-7,2)=-1,2 
(x4-x )=(8-7,2)=0,8 
€ 
S2(x) =
Σ(xi − x )2
n -1
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
105 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Passo 3 – elevar ao quadrado cada desvio (xi - )2 x
(x1-x )2=(-0,2)2=0,04 
(x2-x )2=(0,6)2=0,36 
(x3-x )2=(-1,2)2=1,44 
(x4-x )2=(0,8)2=0,64 
€ 
S2(x) =
Σ(xi − x )2
n -1
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
106 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Passo 4 – A média dos quadrados dos desvios 
Caso sejam dados de uma população: 
€ 
σ 2 (x) =
(xi −µ∑ )2
n
=
0,04 + 0,36 + 1,44 + 0,64
4
=
2,48
4
 
 
Então 
€ 
σ 2 (x) = 0,62 
€ 
S2(x) =
Σ(xi − x )2
n -1
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
107 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Passo 4 – A média dos quadrados dos desvios 
VARIÂNCIA: (amostra) 
3
2,48
3
0,641,440,360,04
1-n
)x(x
(x)S
2
2 i =
+++
=
!
=" 
Então 0,8267(x)S2 = 
 
€ 
S2(x) =
Σ(xi − x )2
n -1
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
108 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Passo 5 – Desvio-padrão - raiz da variância 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
109 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Dados agrupados sem intervalos (variável discreta) 
População 
€ 
σ 2 (x) =
(xi −µ∑ )2 . fi
fi∑ variância 
 
€ 
σ (x) = σ 2 (x) desvio-padrão 
Amostra 
1-f
.f)x(x
(x)S
i
ii
2
2
∑
∑ −
= variância 
(x)(x)S 2S= desvio-padrão 
 
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110 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
€ 
S2(x) =
Σ(xi − x )2. f i
Σf i -1
€ 
x = Σxi . fi
Σf i
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111 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
VARIÂNCIA: população : 
€ 
σ 2 (x) =
(xi −µ∑ )2. fi
f i∑
=
490,015
135
= 3,6297 
VARIÂNCIA: amostra 
6568,3
341
015,490
1-351
015,490
1-f
.f)x(x
(x)S
i
ii
2
2 ===
−
=
∑
∑
 
 
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112 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
DESVIO-PADRÃO: população : 
€ 
σ (x) = 3,6297 =1,9052 
DESVIO-PADRÃO: amostra 
 
€ 
S(x) = 3,6568 =1,9123 
 
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113 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
Dados agrupados com intervalos (variável contínua) 
POPULAÇÃO 
€ 
σ 2 (x) =
(PMi −µ∑ )2. fi
f i∑ variância 
 
€ 
σ (x) = σ 2 (x) desvio-padrão 
AMOSTRA 
1-f
.f)x(PM
(x)S
i
i
2
i2
∑
∑ −
= variância 
(x)(x)S 2S= desvio-padrão 
 
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114 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
€ 
S2(x) =
Σ(PMi − x )2. f i
Σf i -1
€ 
x = ΣPMi . f i
Σf i
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115 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
VARIÂNCIA: população : 
€ 
σ 2 (x) =
(PMi −µ∑ )2. fi
fi∑
=
2058,42
56
= 36,7575 
VARIÂNCIA: amostra 
4258,37
55
42,20581-56
42,2058
1-f
.f)x(PM
(x)S
i
ii
2
2 ===
−
=
∑
∑
 
 
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116 
"   Como calcular a variância e o desvio-padrão? 
DESVIO-PADRÃO: população : 
€ 
σ (x) = 36,7575 = 6,0628 
DESVIO-PADRÃO: amostra 
1177,64258,37(x)S2 == 
 
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117 
 Para entender melhor o desvio-padrão 
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
s=0
1 2 3 4 5 6 7
s=0,8
1 2 3 4 5 6 7
s=1,2
1 2 3 4 5 6 7
s=3,0
O desvio padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
6
7
s=0
1 2 3 4 5 6 7
s=0,8
1 2 3 4 5 6 7
s=1,2
1 2 3 4 5 6 7
s=3,0
O desvio padrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta
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118 
"   Como comparar séries com médias iguais? 
"   Como comparar séries com médias diferentes? 
Filial 1 Filial 2 
=µ 122 mil reais 
=σ )x( 4,5 mil reais 
=µ 122 mil reais 
=σ )x( 7,5 mil reais 
 
Filial 1 Filial 2 
=µ 145 mil reais 
=σ )x( 9,8 mil reais 
=µ 95 mil reais 
=σ )x( 7,5 mil reais 
 
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119 
"   Coeficiente de Variação ? 
Exemplo: 
Filial 1: 
Filial 2: 
0676,0
145
8,9)x()x(CV ===
µ
σ
0789,0
95
5,7)x()x(CV ===
µ
σ
Para a população 
€ 
CV(x) =
σ (x)
µ 
Para a amostra 
x
(x)SCV(x) =
 
 
Filial 1 Filial 2 
=µ 145 mil reais 
=σ )x( 9,8 mil reais 
=µ 95 mil reais 
=σ )x( 7,5 mil reais 
 
LISTA 06 
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120 
TIPOS DE FENÔMENOS 
  Fenômenos determinísticos: 
São fenômenos em que as condições iniciais 
determinam um único resultado; 
 Fenômenos aleatórios: 
São fenômenos em que as condições iniciais não 
determinam a possibilidade da existência de um 
resultado em particular 
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121 
"   As principais conceitos 
  O que é espaço amostral? 
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um 
experimento (fenômeno) aleatório 
Notação: 
Representação do conjunto espaço amostral – S 
número de elementos de S= n(S) 
Exemplo: Em um exame de admissão, cada questão tem 5 respostas 
possíveis, sendo somente uma delas a correta. 
Pode-se construir o seguinte conjunto: 
S={a, b, c, d, e }: Observe que são todas as possibilidades para a 
questão. 
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122 
"   As principais conceitos 
  O que são eventos? 
É qualquer subconjunto do espaço amostral determinado pelo 
experimento (fenômeno) aleatório em estudo. 
Notação: 
Representação do subconjunto evento – A (letra maiúscula). 
Número de elementos de A = n(A) 
Exemplo: Em um exame de admissão, cada questão tem 5 respostas 
possíveis, sendo somente uma delas a correta. Identifique o número de 
elementos do evento A: acertar a questão 
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123 
"   As principais conceitos 
  Evento simples: Formado por apenas um 
elemento - n(A)=1 
 Evento composto: Formado por dois ou mais 
elementos - n(B)=5 
 Evento impossível: Não ocorre, seja qual for a 
realização do experimento aleatório. - n(C)=0 
 Evento certo: É quando o evento é o próprio 
espaço amostral. - n(D)=n(S) 
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124 
"   Operações com eventos 
  União de eventos 
A B
S
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125 
"   Operações com eventos 
  Interseção de eventos 
A B
S
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126 
A
S
A’
"   Operações com eventos 
  Complementar de um evento 
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127 
A B
S
"   Operações com eventos 
  Subtração de eventos 
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128 
A
B
S
C
"   Operações com eventos 
  Eventos excludentes 
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129 
"   Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
  Probabilidade clássica: A probabilidade de ocorrer um determinado 
resultado na realização de um experimento é igual ao quociente entre o 
número de casos favoráveis ao sucesso (número de elementos do 
evento A) e o número de casos possíveis (número de elementos do 
espaço amostral - S). 
Probabilidade de um evento A ocorrer: 
)S(n
)A(n)A(P = = p = sucesso 
OBS: A probabilidade de não-ocorrência pode ser representada por: 
)A(P1)A(P != = q = fracasso 
 
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130 
"   Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
  Exemplo 01: Determinado despachante aduaneiro controla negócios 
de 8 empresas exportadoras. Sabe, ele, que duas destas empresas são 
mal pagadoras. Qual a probabilidade de, ao escolher uma empresa, ela 
ser mal pagadora? 
S: empresas controladas pelo despachante 
A: empresas controladas pelo despachante que são mal pagadoras 
n(A) = 2 
n(S) = 8 
25% ou 0,25
8
2
)S(n
)A(n)A(P ===
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131 
"   Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
  Exemplo 02: Um relatório recente distinguiu em seis tipos os principais 
motivos de tensão (estresse). A pesquisa realizada para provar isso, 
resultou nos dados abaixo (dados fictícios). 
Pesquisa dos motivos de estresse 
Motivos de estresse Número de pessoas 
Morte de um filho 29 
Morte do cônjuge 24 
Morte dos pais ou irmãos 20 
Divórcio 17 
Doença grave 17 
Demissão 11 
Total 118 
 
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132 
"   Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
Pesquisa dos motivos de estresse 
Motivos de estresse Número de pessoas Probabilidade 
Morte de um filho 29 0,2458 
Morte do cônjuge 24 0,2034 
Morte dos pais ou irmãos 20 0,1695 
Divórcio 17 0,1441 
Doença grave 17 0,1441 
Demissão 11 0,0932 
Total 118 1 
 
24,58%ou 0,2458
118
29
n(S)
n(A)P(A) ===
20,34%ou 0,2034
118
24
n(S)
n(B)P(B) ===
16,95%ou 0,1695
118
20
n(S)
n(C)P(C) ===
14,41%ou 0,1441
118
17
n(S)
n(D)P(D) ===
14,41%ou 0,1441
118
17
n(S)
n(E)P(E) ===
9,32%ou 0,0932
118
11
n(S)
n(F)P(F) ===
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
133 
"   Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
  Freqüência Relativa : A freqüência relativa de um evento A é 
calculada dividindo o número de vezes que ocorre o evento A pelo total de 
observação do experimento. É chamada, também, de probabilidade 
avaliada ou probabilidade estimada. 
Freqüência relativa de um evento A: 
sobservaçõe de total número
 Aocorreu que vezes de número
=Afr 
 
É importante que você saiba que essa aproximação para o 
cálculo de probabilidade só será considerável caso aja um 
número bastante grande de tentativas de execução do 
experimento. 
 
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134 
"   Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
  Exemplo 01: Um estudo de 3.500 vôos da VARIG, selecionados 
aleatoriamente mostrou que 875 chegaram no horário (com base nos 
dados do Ministério dos Transportes). Qual é a probabilidade estimada 
(freqüência relativa) de um vôo da VARIG, chegar no horário? Você acha 
que é um resultado satisfatório, com relação às possibilidades de atraso? 
A: um vôo da VARIG, chegar no horário. 
Número de vezes que ocorre A: 875 
Número total de observações: 3500 
25% ou 0,25
3500
875
sobservaçõe de total número
 Aocorreu que vezes de número
===Afr
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135 
"   Quais são os Conceitos de Probabilidade e seus cálculos? 
 Algumas considerações 
 Para cada evento A 0 ≤ P(A) ≤ 1 
 P(S) = 1 
 Sejam A, B e C, todos os eventos possíveis do espaço amostral, 
então: P(A) + P(B) + P(C) = 1 ou 100% 
 Quando A e B são mutuamente exclusivos: P(A U B) = P(A) + P
(B) 
 Quando A e B não são mutuamente exclusivos: 
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
 Se A, B, C, ... são uma seqüência de eventos mutuamente 
exclusivos, então: P(A U B U C U ...) = P(A) + P(B) + P(C) + .... 
LISTA 07 
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136 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
137 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
138 
"   EXEMPLO 01: 
 Quantos números de dois algarismos distintos podem ser 
formados usando os algarismos 2, 3, 4, 5 ? 
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139 
"   EXEMPLO 02: 
 Quantascomissões de duas pessoas podem ser formadas 
com 4 alunos? ALUNOS:{A, B, C, D} 
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140 
"   FATORIAL 
 0!= 
 1!= 
 5! + 3! = 
 5! . 3! = 
 8!/4!= 
 . 
 . 
=
− )!022(!0
!22
=
− )!422(!4
!22
 (22-2)!= 
 (5-3)!= 
 (8/2)! 
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141 
"   ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 Arranjo - grupo é diferente de outro pela ordem ou pela 
natureza dos elementos componentes. 
 Combinações - grupo é diferente de outro apenas pela 
natureza dos elementos componentes. 
)!kn(
!nA k,n −
=
)!kn!.(k
!nC k,n −
=
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142 
"   Distribuição de Bernoulli 
 EXEMPLO: Uma questão de um exame tem 5 respostas e 
somente uma está correta. Qual a probabilidade, ao 
respondermos aleatoriamente, de errarmos a questão? 
 FRACASSO ⇒NÃO OCORRER ⇒P(F)=q 
 SUCESSO ⇒OCORRER ⇒P(S)=p 
 p+q=1 
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143 
"   Distribuição de Binomial 
1)Experimento for repetido “n” vezes independentes; 
2) A cada tentativa admitir somente dois resultados: Sucesso 
ou Fracasso 
3) Estudar o número de sucessos e fracassos, sem importar a 
ordem em que acontecem 
Seja X: o número de sucessos em “n” tentativas do experimento 
€ 
P(X = k) = Cn,k .p
k .qn−k
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144 
"   Distribuição de Binomial 
Exemplo: Num exame com 4 questões, sendo que cada uma delas 
apresentam 5 alternativas e somente uma está correta, calcule a 
probabilidade de, por acaso (a resolução será feita em sala de aula): 
 Acertar três questões; 
 Acertar uma questão; 
 Errar três questões; 
 Errar uma questões; 
 Acertar nenhuma questão; 
 Acertar todas questões; 
 Errar todas questões; 
 Errar nenhuma questão; 
 Acertar três ou menos questões; 
 Errar uma ou mais questões; 
€ 
P(X = k) = Cn,k .p
k .qn−k
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145 
"   Representação gráfica de uma distribuição Binomial 
Número de 
erros
P(X)
0 0,0016
1 0,0256
2 0,1536
3 0,4096
4 0,4096
Total 1
Probabilidade de errar as questões do teste
Probabilidade de errar as questões do teste
0,0016
0,0256
0,1536
0,4096 0,4096
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0 1 2 3 4
Número de erros
Pr
ob
ab
ilid
ad
e
LISTA 08 
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146 
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147 Fonte: dados fictícios 
Escores (em pontos) de um teste realizado em uma escola de periferia 
de Florianópolis
0
2
4
6
8
10
12
14
16
15,9 |--- 18,7 18,7 |--- 21,5 21,5 |--- 24,3 24,3 |--- 27,1 27,1 |--- 29,9 29,9 |--- 32,7 32,7 |--- 35,5
Escore (em pontos)
N
º d
e 
es
tu
da
nt
es
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
148 
Escores (em pontos) de um teste realizado em uma escola de periferia de 
Florianópolis
0
2
4
6
8
10
12
14
16
15,9 |--- 18,718,7 |--- 21,521,5 |--- 24,324,3 |--- 27,127,1 |--- 29,929,9 |--- 32,732,7 |--- 35,5
Escore (em pontos)
N
º 
de
 e
st
ud
an
te
s
Polígono de 
Freqüências 
Esses triângulos 
compensam os que 
ficam fora do polígono 
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149 
Você observou que o polígono de freqüências tem um formato especial? 
Sim, ele tem o formato de um sino. Essa curva é chamada de curva Normal 
ou de Gauss-Laplace e ela tem algumas características bem especiais. Veja 
a seguir: 
 Forma de um sino 
 É simétrica com relação à média 
 Área total é 1 ou 100% 
 É assintótica 
 É unimodal 
 MODA = MÉDIA = MEDIANA 
f
xa b
P(a<x<b)
€ 
P(a < x < b) = f (x)
a
b
∫ =
1
σ. 2π
.e
−
1
2
x − µ
σ
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
a
b
∫
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150 
X1 = 28 
µ(x)= 21 
σ(x) = 7 
Cálculo da variável padronizada: 
Onde: 
X1 = valor da v.a. (limite do 
intervalo) 
µ = média 
σ = desvio padrão 
 
€ 
Z =
(x − µ)
σ
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151 
0 z
Área
P(21<X1< 28)=0,3413 ou 34,13% 
Procurar 1,0 
Procurar 0,00 
Cruzando	
  a	
  
linha	
  com	
  a	
  
coluna...	
  
Cruzando	
  a	
  
linha	
  com	
  a	
  
coluna...	
  
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
152 
Cálculo da variável padronizada: 
 e 
Onde: 
X1 e X2 = limites do intervalo 
µ = média 
σ = desvio padrão 
σ
µ−
=
)x(
Z 1
1 σ
µ−
=
)X(
Z 2
2
P(z <Z<z )1 2
x1 x2 x
z1 z2 z0
P(x1<x<x2)
X1 = 13,65 e X2 = 27,65 
µ(x)= 21 
σ(x) = 7 
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153 
Z 0,00 0,01 ... 0,04 0,05 
0,0 0,0000 0,0040 ... 0,0160 0,0199 
0,1 0,0398 0,0438 ... 0,0557 0,0596 
0,2 0,0793 0,0832 ... 0,0948 0,0987 
... ... ... ... ... ... 
0,8 0,2881 0,2910 ... 0,2995 0,3023 
0,9 0,3159 0,3186 ... 0,3264 0,3289 
1,0 0,3413 0,3438 ... 0,3508 0,3531 
1,1 0,3643 0,3665 ... 0,3729 0,3749 
1,2 0,3849 0,3869 ... 0,3925 0,3944 
 
Cruzando a 
linha com a 
coluna... 
Procurar 0,05 
Cruzando a 
linha com a 
coluna... Procurar 1,0 
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154 
Procurar 0,9 
Procurar 0,05 Z 0,00 ... 0,04 0,05 
0,0 0,0000 ... 0,0160 0,0199 
0,l 0,0398 ... 0,0557 0,0596 
... ... ... ... ... 
0,7 0,2580 ... 0,2704 0,2734 
0,8 0,2881 ... 0,2995 0,3023 
0,9 0,3159 ... 0,3264 0,3289 
1,0 0,3413 ... 0,3508 0,3531 
1,1 0,3643 ... 0,3729 0,3749 
 
Cruzando a 
linha com a 
coluna... 
Cruzando a 
linha com a 
coluna... 
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155 
P(13,65 <X1< 27,65)=0,3531+0,3289= 
P(13,65 <X1< 27,65) =0,682 ou 68,2% 
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156 z=0,95
µ=24 x1=29,7
Área
0
Área
 Média: µ=24 
 Desvio padrão: σ(x)=6 
 Limitado abaixo por 
x=29,7 e não tem limite 
acima 
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157 
 Média: µ=24 
 Desvio padrão: σ(x)=6 
 Limitado abaixo por x=29,7 e não tem limite acima 
z=0,950
0,3289
0,5-0,3289
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158 
0,3413
ou
34,13%
0,5
X
50%
ou
 Média: µ=24 
 Desvio padrão: σ(x)=3 
 Limitado abaixo por x=21 e não tem limite acima 
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159 
Exemplo 01: Numa prova final de Estatística, as notas dos 
alunos tiveram uma distribuição normal com média 6,0 e desvio 
padrão 1,5. Sendo 5,0 a nota mínima de aprovação, qual a 
proporção de alunos reprovados? 
z
µ=
0
x
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160 
Exemplo 02: O Departamento de Marketing da empresa resolve 
premiar 5% dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento 
das vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam 
normalmente com média 240.000 u.m. e desvio-padrão 30.000 u.m. 
Qual o volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar 
para ser premiado? 
z
µ=
0
x
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161 
Exemplo 03: O volume de exportações de uma empresa, durante 
um determinado período, se distribui normalmente. Apresentou 
uma média de 250 u.m. e um desvio padrão de 50. Dentre os 
meses pesquisados, qual a probabilidade de escolhermos um que 
tenha um volume de exportação: 
 Maior que 250 u.m.? 
 Maior que 312,5 u.m.? 
 Menor que 187,5 u.m.? 
 Entre 295 e 344 u.m.? 
z
µ=
0
x
LISTA 09 
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162 
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163 
O que é População e Amostra? 
População: é o conjunto total de elementos com pelo 
menos uma característica em comum, cujo 
comportamento interessa estudar. 
N= número de elementos da população 
Amostra: é o conjunto de elementos ou 
observações, recolhidos a partir de um 
subconjunto da população, que se estuda 
com o objetivo de tirar conclusões para a 
população de onde foi recolhida. 
n= número de elementos da amostra 
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164 
O objetivo da amostragem é fazer inferências, 
estimar e tirar conclusões a respeito da 
população. 
AMOSTRA DEVE SER 
REPRESENTATIVA 
EVITAR DISTORÇÃO 
DA REALIDADE 
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165 
Que informações a amostragem pode revelar? 
Intenções de votos - Pesquisa Eleitoral
39%37%
35%
26%24%26%
9%
15%
11%10% 7%
11%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
Agosto Setembro Outubro
A
B
C
D
Outras informações: 
Margem de erro: 2 % 
Tamanho da amostra: 
2000 eleitores 
Nível de confiança: 
95% Intervalo: 
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166 
Intervalos de proporção (%): São intervalos como o visto no 
exemplo anterior, os percentuais das intenções de votos. 
Exemplos: 
 Proporção de famílias, 
 Percentual de pacientes 
 Proporção de consumidores, 
 etc.; 
Intervalos da média: São intervalos baseados em medidas. 
Sempre calculado pela média dessas medidas. 
Exemplo: 
 Preço médio, 
 Peso médio, 
 Altura média, 
 etc 
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167 
 Nível de confiança: Nível de confiança é a probabilidade do 
intervalo conter o parâmetro estimado. Veja a figura abaixo: 
 Intervalo de confiança: Intervalo de confiança é o intervalo 
que contém o parâmetro estudado com determinada 
probabilidade (nível de confiança). Veja a figura acima. 
Exemplo 01: Determinar os valores de Z (valores críticos) do 
intervalo de confiança, sabendo que o Nível de confiança é de 
95%: 
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168 
Exemplo 02: Determinar os valores de Z (valores críticos) do 
intervalo de confiança, os valores para o Nível de confiança da 
tabela abaixo: 
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169 
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170 
Distribuições Amostrais 
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171 
Estimativa para a média populacional 
Exemplo estimativas para a média populacional: 
 Tempo médio de atendimento; 
 Idade média dos clientes; 
 custo médio; 
 consumo médio mensal, etc. 
Obs.: Note que estes valores foram obtidos usando uma amostra. 
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172 
Estimativa para a média populacional 
Cálculo do erro amostral: 
Caso 01: amostra utilizada é maior 
que 30 elementos e desvio padrão 
da amostra ou população 
conhecidos. 
€ 
e = Zvc.
S
n
Sendo: 
e= erro amostral 
Zvc= Valor crítico (mostrado na seção anterior e depende do Nível de 
Confiança) 
S=Desvio padrão amostral (ou da população se for conhecido) 
σ=Desvio padrão populacional 
n= tamanho da amostra utilizada 
Cálculo do erro amostral: 
Caso 02: amostra utilizada é 
menor ou igual a 30 elementos e o 
desvio padrão da população for 
conhecido. 
€ 
e = Zvc.
σ
n
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173 
Estimativa para a média populacional 
Cálculo do erro amostral: 
Resumindo: no caso 01 amostra maior que 30 elementos 
e desvio padrão da amostra ou população, caso 02, 
amostra menor ou igual a 30 e desvio da população. 
OBS.: Caso a amostra seja menor ou igual a 30 
elementos e o desvio padrão da população não seja 
conhecido, deve ser usado outro método. 
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174 
Estimativa para a média populacional 
Cálculo do erro amostral: 
Exemplo 01: O Departamento de Recursos Humanos de uma 
empresa informa que o tempo de execução de tarefas que 
envolvem participação manual varia de tarefa para tarefa, mas 
que o desvio padrão permanece aproximadamente constante, 
em 3 minutos. Uma nova tarefa está sendo implantada na 
empresa. Uma amostra aleatória do tempo de execução de 50 
destas novas tarefas forneceu o valor médio de 15 minutos. 
Determine um intervalo de confiança de 95% para o tempo 
médio de execução desta nova tarefa. 
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175 
Estimativa para a média populacional 
Cálculo do erro amostral: 
Exemplo 02: Sabe-se que as despesas mensais com 
alimentação dos alunos de uma faculdade no período escolar 
são normalmente distribuídas com desvio padrão de R$ 7,00. 
Uma amostra, sem reposição de 100 estudantes, revelou uma 
despesa média mensal de R$ 60,00. Determine um intervalo de 
confiança de 90% para a despesa média com alimentação no 
período escolar dos alunos desta faculdade. 
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176 
Estimativa para a média populacional 
Cálculo do intervalo de confiança 
Exemplo: 
Uma amostragem feita com o consumo dos caminhões da 
empresa deu uma média de 19 km/l de diesel. Calculado o 
erro amostral, seu resultado foi de 1,7 km/l. Qual seria o 
intervalo de confiança? 
€ 
X − e < µ < X + e ⇒
⇒19−1,7 < µ <19+1,7⇒
⇒19−1,7 < µ <19+1,7⇒
⇒17,3 < µ < 20,7
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177 
Estimativa para a proporção populacional 
Exemplo estimativas para a proporção populacional: 
 Intenções de voto; 
 Proporção de peças com defeito; 
 Percentual de atrasos na entrega, etc. 
Obs.: Note que estes valores foram obtidos usando uma amostra. 
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178 
Estimativa para a proporção populacional 
Cálculo do erro amostral: 
Fórmula para cálculo do erro: 
€ 
e = Zvc.
ˆ p . ˆ q 
n
€ 
Sendo :
e = Erro amostral
Zvc = Valor Crítico
ˆ p = é a proporção amostral de sucesso (é o percentual de sucesso)
ˆ q = é a proporção amostral de fracasso (é o percentual de fracasso)
n = Tamanho da amostra utilizada
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179 
Estimativa para a proporção populacional 
Cálculo do erro amostral: 
Exemplo 01: Uma pesquisa eleitoral realizada em uma cidade 
com 150 eleitores, revelou que 35% votariam no candidato A. 
Determine um intervalo de confiança para o percentual 
populacional dos eleitores que votam neste candidato. Use com 
nível de confiança 95%. 
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180 
Estimativa para a proporção populacional 
Cálculo do erro amostral: 
Exemplo 02: Em pesquisa feita com uma amostra de 500 
estudantes, detectou-se que 140 possuem acesso a internet em 
casa. Determine um intervalo de confiança de 90% para a 
população de estudantes que possuem acesso a internet em 
casa. 
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181 
Estimativa para a proporção populacional 
Cálculo do intervalo de confiança 
Exemplo: 
Uma amostragem feita com eleitores de uma cidade 
resultou que 29% destes eleitores votariam no Candidato 
A. O erro amostral calculado foi de 2,2% para mais ou 
para menos. Qual seria o intervalo de confiança? 
€ 
ˆ p − e < p < ˆ p + e ⇒
⇒ 29− 2,2 < p < 29+ 2,2 ⇒
⇒ 26,8 < p < 31,2 LISTAS 10 
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182 
População pequena ou amostragem sem reposição 
A correção é feita multiplicando o erro amostral 
pelo Fator de Correção: 
€ 
FC =
N − n
N −1
Antes de calcular o erro para uma 
estimativa, testar se a amostra é 
maior que 5% da população. Como 
fazer: 
€ 
n
N
> 0,05 Se for maior que 0,05, você deve usar o FC. 
Caso contrário, fica como antes. 
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183 
População pequena ou amostragem sem reposição 
Abaixo as fórmulas para o erro usando o FC: 
€ 
Para estimativas da média populacional :
e = Zvc.
S
n
.FC ⇒ e = Zvc.
S
n
. N − n
N −1
Para estimativas da proporção populacional :
e = Zvc.
ˆ p . ˆ q 
n
.FC ⇒ e = Zvc.
ˆ p . ˆ q 
n
. N − n
N −1
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184 
População pequena ou amostragem sem reposição 
Exemplo 01: Sabe-se que as despesas mensais com 
alimentação dos 1.000 alunos de uma faculdade no período 
escolar são normalmente distribuídas com desvio padrão de R$ 
7,00. Uma amostra, sem reposição de 100 estudantes, revelou 
uma despesa média mensal de R$ 60,00. Determine um 
intervalo de confiança de 90% para a despesa média com 
alimentação no período escolar dos alunos desta. 
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185 
População pequena ou amostragem sem reposição 
Exemplo 02: Uma pesquisa eleitoral realizada em uma cidade 
com 150 eleitores, revelou que 35% votariam no candidato A. 
Determine um intervalo de confiança para o percentual 
populacional dos eleitores que votam neste candidato. Use com 
nível de confiança 95% e considere que a população é de 1000 
eleitores nesta cidade. 
LISTA 11 
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186 
Que tamanho de amostra usar? 
 Quando não se têm informações sobre a População 
Tamanho da amostra: 
20 E
1n = 
Onde: 
n0 – primeira aproximação para o 
tamanho da amostra; 
E – erro amostral tolerável. 
(usar o erro na forma unitária, ex.: 2%, 
usar 0,02) 
 
Tamanho da amostra: 
0
0
nN
nNn
+
=
.
 
Onde: 
n0 – primeira aproximação para o 
tamanho da amostra; 
E – erro amostral tolerável 
N – tamanho da população; 
n – tamanho da amostra; 
(usar oerro na forma unitária, ex.: 2%, 
usar 0,02) 
 
Quando não se
conhece o tamanho
 da população
Quando se
conhece o tamanho
da população
Quando não se têm informações sobre a População
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187 
Que tamanho de amostra usar? 
 Quando não se têm informações sobre a População 
Exemplo 01: Um pesquisador deseja realizar estudo para 
conhecer melhor o perfil das empresas, do estado de Santa 
Catarina, que utilizam os serviços de entrega rápida de outras 
empresas. Nessa pesquisa, irá tolerar um erro amostral de 4%. 
Ele gostaria de saber qual seria o tamanho da amostra 
necessária para realizar sua pesquisa, nos seguintes casos: 
a) Não conhece o número total de empresas do estado de Santa 
Catarina; 
b) O número total de empresas do estado de Santa Catarina 
27.000 empresas (população). 
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188 
Que tamanho de amostra usar? 
 Quando se têm informações sobre a População 
€ 
n =
Z.σ
e
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
2
€ 
n =
Z2.σ 2N
e2(N −1) + Z2.σ 2
€ 
n =
Z 2. ˆ p ̂ q 
e2
€ 
n =
Z 2. ˆ p ̂ q N
e2(N −1) + Z 2. ˆ p ˆ q 
Onde: 
n = tamanho da amostra 
N = tamanho da população 
e = erro amostral 
 = desvio padrão 
€ 
ˆ p = percentual de elementos com a 
característica estudada 
€ 
ˆ q = percentual de elementos sem a 
característica estudada 
Z = limite do intervalo (dist. Normal) 
 
Com reposição
 (população infinita)
Sem reposição
(população finita)
ESTIMATIVA DA MÉDIA
Com reposição
 (população infinita)
Sem reposição
(população finita)
ESTIMATIVA DA PROPORÇÃO
TAMANHO DA AMOSTRA PARA ESTIMATIVAS POPULACIONAIS
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189 
Que tamanho de amostra usar? 
 Quando se têm informações sobre a População 
Exemplo 01: Uma população admite distribuição normal de 
probabilidades com σ=2. Calcule o tamanho da amostra 
necessário para que possamos ter 95% de confiança de que não 
erraremos por mais que 0,5 unidades ao estimar a média 
populacional. 
Exemplo 02: Um instituto de pesquisa pretende avaliar a 
proporção de eleitores que votarão em determinado candidato, 
com 90% de confiança de que não errará por mais de 3%. Para 
isto em uma pré-amostra a proporção de eleitores deste 
candidato foi de 20%. Determine o tamanho da amostra 
necessário para atingir a precisão desejada. LISTA 12 
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190 
O que é correlação linear simples? 
Como faço para analisar e comparar duas 
variáveis simultaneamente? 
A correlação é uma ferramenta destinada ao 
estudo da relação entre duas variáveis 
quantitativas, além de fornecer a intensidade 
dessa relação. 
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191 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
Ano Emprego Produção
1975 100,00 100,00
1976 104,03 111,90
1977 108,63 114,31
1978 115,58 121,32
1979 120,28 129,77
1980 129,10 141,71
1981 118,63 127,28
1982 120,31 127,31
1983 106,54 120,72
1984 114,01 129,30
1985 117,60 122,70
1986 122,30 129,00
1987 119,70 125,00
1988 103,60 110,90
1989 109,70 116,00
1990 110,20 119,50
Índices da Indústria
Produção x Emprego
90
100
110
120
130
140
150
95 100 105 110 115 120 125 130 135
Emprego
Pr
od
uç
ão
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192 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO 
Produção x Emprego
90
100
110
120
130
140
150
95 100 105 110 115 120 125 130 135
Emprego
P
ro
du
çã
o
Reta imaginária 
Pares ordenados 
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193 
Coeficiente de Correlação Linear de Pearson 
( )( )[ ]
( ) ( )
!"
#
$%
& ' '(!"
#
$%
& ' '(
' ''
=
2222
xy
yy.n.xx.n
y.x- y.x.n
r 
 
Onde: 
r = resultado do coeficiente de correlação linear de 
Pearson 
n = número de observações 
x = valores assumidos pela variável X 
y = valores assumidos pela variável Y 
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194 
Como calcular o coeficiente de correlação? 
EXEMPLO: Calcule o coeficiente de correlação de Pearson e construa o diagrama 
de dispersão para as operações de crédito do sistema financeiro (Saldos em final 
de período em R$ bilhões) e as taxas de juros descritas a seguir: 
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195 
Quanto ao resultado de r você deve considerar : 
Valor de r correlação entre as variáveis 
‘r’ próximo de 0 correlação linear pouco significativa 
‘r’ = 0 não há correlação linear entre as variáveis 
‘r’ próximo de –1 há correlação linear negativa (significativa) 
‘r’ = –1 há correlação linear negativa perfeita 
‘r’ próximo de +1 há correlação linear positiva (significativa) 
‘r’ = +1 há correlação linear positiva perfeita 
 
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196 
TIPOS DE CORRELAÇÕES: 
Correlação linear positiva 
Produção x Emprego
90
100
110
120
130
140
150
95 100 105 110 115 120 125 130 135
Emprego
P
ro
du
çã
o
 x cresce, y cresce 
⇒emprego cresce, produção cresce 
  x decresce, y decresce 
⇒ emprego decresce, produção decresce 
 coeficiente de Pearson 
entre 0 e 1 ⇒ intervalo (0,1) 
ou próximo de 1 
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197 
Produção x Emprego
90
100
110
120
130
140
95 100 105 110 115 120 125 130 135Emprego
P
ro
du
çã
o
TIPOS DE CORRELAÇÕES: 
Correlação linear perfeita positiva 
 x cresce, y cresce 
⇒emprego cresce, produção cresce 
  x decresce, y decresce 
⇒ emprego decresce, produção decresce 
 coeficiente de 
Pearson r=1 
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198 
Empréstimos x Juros
16,0
16,5
17,0
17,5
18,0
18,5
19,0
19,5
20,0
250 260 270 280 290 300 310
Empréstimos (R$ bilhões)
TIPOS DE CORRELAÇÕES: 
Correlação linear negativa 
 x cresce, y decresce 
⇒empréstimo cresce, taxa de juros decresce 
 x decresce, y cresce 
⇒empréstimo decresce, taxa de juros cresce 
 coeficiente de 
Pearson entre -1 e 0 ⇒ 
intervalo (-1,0) ou 
próximo de -1 
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199 
Empréstimos x Juros
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
22,0
250 260 270 280 290 300 310
Empréstimos (R$ bilhões)
Tx
 J
ur
os
 (%
 a
. a
.)
TIPOS DE CORRELAÇÕES: 
Correlação linear perfeita negativa 
 x cresce, y decresce 
⇒empréstimo cresce, taxa de juros decresce 
 x decresce, y cresce 
⇒empréstimo decresce, taxa de juros cresce 
 coeficiente de 
Pearson r=-1 
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200 
Empréstimos x Juros
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
0 5 10 15 20
Empréstimos (R$ bilhões)
Tx
 J
ur
os
 (%
 a
. a
.)
TIPOS DE CORRELAÇÕES: 
Correlação linear nula ou ausência de 
correlação 
 coeficiente de 
Pearson r=0, ou 
próximo de zero 
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201 
Como fazer uma análise de regressão? 
A reta imaginária obtida pela 
aproximação dos pontos do 
diagrama de dispersão é chamada 
de reta de regressão 
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202 
Como fazer uma análise de regressão? 
MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 
RETA DE REGRESSÃO 
X.abŶ += 
 
( )( )[ ]
( )22 xx.n
y.xy.xn
a
!"!
!!"!
= 
 
n
x.ay
b !"!
= 
 = valor predito de y
x= valor da variável x para determinado elemento da amostra
y= valor da variável y para determinado elemento da amostra
n= n.º total de observações (tamanho da amostra)
b= a intersecção do eixo y
a= coeficiente de inclinação da reta
Ŷ
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203 
 Interpolação: estimativas com valores entre 
os da série; 
 Extrapolação: estimativas com valores fora 
dos da série; 
 Resíduo: é a diferença entre um valor 
amostral observado y, e o valor predito com 
base na equação de regressão. 
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204 
EXEMPLO: A tabela a seguir (mesma do exemplo anterior) descreve as 
operações de crédito do sistema financeiro (Saldos em final de período em 
R$ bilhões) e as taxas de juros. Você deverá: 
• Construir a equação de uma reta de regressão para prever a taxa de juros; 
• Prever a taxa de juros para julho de 2000, admitindo que o saldo de 
empréstimos foi de 30,7 (bilhões de reais). 
Mês Empréstimos 
(x)
Tx. Juros em % 
(y) x.y x2 y2
1999 Ago 26,1 19,5 508,95 681,21 380,25
Set 26,3 19,4 510,22 691,69 376,36
Out 26,8 18,9 506,52 718,24 357,21
Nov 27,118,9 512,19 734,41 357,21
Dez 26,3 19 499,7 691,69 361
2000 Jan 26,2 18,9 495,18 686,44 357,21
Fev 26,2 18,9 495,18 686,44 357,21
Mar 28,6 18,8 537,68 817,96 353,44
Abr 29 18,6 539,4 841 345,96
Mai 29,9 18,5 553,15 894,01 342,25
Jun 30 18 540 900 324
TOTAIS 302,5 207,4 5698,17 8343,09 3912,1
Fonte: Banco Central
Operações de crédito do sistema financeiro
€ 
ˆ Y = b + a.X
€ 
a =
n x.y∑ − x∑( ). y∑( )[ ]
n. x 2∑ − x∑( )2
€ 
b =
y∑ − a. x∑
n
LISTA 13 
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205 
Distribuição t de Student para a estimativa da 
média 
Quando usar a distribuição t de Student: 
 Quando o tamanho da amostra for menor ou igual à 30 
elementos; 
 Quando o desvio padrão da população for desconhecido; 
 Quando a população tem distribuição normal. 
1-α
α/2
-tα/2
α/2
tα/2
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206 
Área de 0 à t gl 0,25 0,40 0,45 0,475 0,49 0,495 
1. 1,000 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 
2. 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 
3. 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 
4. 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 
5. 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 
6. 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 
7. 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 
8. 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 
9. 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 
10. 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 
11. 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 
12. 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 
13. 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 
14. 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 
15. 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 
16. 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 
17. 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 
18. 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 
19. 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 
20. 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 
21. 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 
22. 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 
23. 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 
24. 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 
25. 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 
26. 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 
27. 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 
28. 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 
29. 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 
30. 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 
 
Exemplo para determinar valor crítico t: Com um nível de 
confiança 95% e uma amostra de 25 elementos, determinar os 
valores críticos t, sabendo que o desvio padrão da população é 
desconhecido. 
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207 
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208 
Estimativa para a média populacional 
CÁLCULO DO ERRO AMOSTRAL USANDO A 
DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT : 
Sendo: 
e= erro amostral 
tvc= Valor crítico 
S=Desvio padrão amostral 
n= tamanho da amostra utilizada 
€ 
e = tvc.
S
n
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209 
Estimativa para a proporção populacional 
CÁLCULO DO ERRO AMOSTRAL USANDO A 
DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT : 
Exemplo 01: O Departamento de Recursos Humanos de uma 
empresa informa que o tempo de execução de tarefas que 
envolvem participação manual varia de tarefa para tarefa. Uma 
nova tarefa está sendo implantada na empresa. Uma amostra 
aleatória do tempo de execução de 28 destas novas tarefas 
forneceu o valor médio de 15 minutos e o desvio padrão em 3 
minutos.. Determine um intervalo de confiança de 95% para o 
tempo médio de execução desta nova tarefa. 
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210 
Exemplo 01: 
n=28 
GL=n-1=28-1=27 
Média= 15 min 
DP = 3 min 
NC= 95% 
Área de 0 à t gl 0,25 0,40 0,45 0,475 0,49 0,495 
1. 1,000 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 
2. 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 
3. 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 
4. 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 
5. 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 
6. 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 
7. 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 
8. 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 
9. 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 
10. 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 
11. 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 
12. 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 
13. 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 
14. 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 
15. 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 
16. 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 
17. 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 
18. 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 
19. 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 
20. 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 
21. 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 
22. 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 
23. 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 
24. 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 
25. 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 
26. 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 
27. 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 
28. 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 
29. 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 
30. 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 
 
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211 
Estimativa para a proporção populacional 
CÁLCULO DO ERRO AMOSTRAL USANDO A 
DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT : 
Exemplo 02: Sabe-se que as despesas mensais com 
alimentação dos alunos de uma faculdade no período escolar 
são normalmente distribuídas. Uma amostra, sem reposição de 
18 estudantes, revelou uma despesa média mensal de R$ 
60,00 e com desvio padrão de R$ 7,00. Determine um intervalo 
de confiança de 90% para a despesa média com alimentação 
no período escolar dos alunos desta faculdade. 
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212 
Exemplo 02: 
n=18 
GL=n-1=18-1=17 
Média= 60 
DP = 7 min 
NC= 90% 
Área de 0 à t gl 0,25 0,40 0,45 0,475 0,49 0,495 
1. 1,000 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 
2. 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 
3. 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 
4. 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 
5. 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 
6. 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 
7. 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 
8. 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 
9. 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 
10. 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 
11. 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 
12. 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 
13. 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 
14. 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 
15. 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 
16. 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 
17. 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 
18. 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 
19. 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 
20. 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 
21. 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 
22. 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 
23. 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 
24. 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 
25. 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 
26. 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 
27. 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 
28. 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 
29. 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 
30. 0,683 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 
 
LISTA 14 
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213 
Principais conceitos 
O que é uma Hipótese Estatística? 
Segundo SILVA (1996): “Uma hipótese estatística, que 
denotaremos por H, é qualquer afirmação sobre a 
população em estudo.” 
 Determinado produto tem vida útil média de 1500 horas: 
  A altura média dos estudantes da Unisul é de 1,71 m: 
  Um determinado produto apresenta resistência maior 
que outro: € 
H : µ = 1500 hs
€ 
H : µ = 1,71 hs
€ 
H : µA < µB
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214 
Principais conceitos 
Tipos de erros: 
 REALIDADE 
DECISÃO H0 é 
verdadeira H0 é falsa 
aceita-se H0 
decisão 
correta Erro Tipo II 
rejeita-se H0 Erro Tipo I decisão 
correta 
 
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215 
Principais conceitos 
Importância do erro do tipo I: 
 REALIDADE 
DECISÃO Ho - 
inocente 
Ha - 
culpado 
Inocente – 
aceita-se Ho 
decisão 
correta Erro Tipo II 
Culpado – 
rejeita-se Ho Erro Tipo I decisão 
correta 
 
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216 
Principais conceitos 
Importância do erro do tipo I: 
 REALIDADE 
DECISÃO Precisa 
operar 
Não precisa 
operar 
Opera decisão 
correta Erro Tipo II 
Não opera Erro Tipo I decisão 
correta 
 
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217 
Principais conceitos 
 Nível de significância de um teste: é a probabilidade de se 
cometer o erro tipo I, ou seja, rejeitar uma hipótese verdadeira. Hipótese nula: é a hipótese relacionada ao valor do 
parâmetro que queremos avaliar. Notação: H0: hipótese nula 
 Hipótese alternativa: é a afirmação a respeito da valor do 
parâmetro que estaremos aceitando caso haja rejeição a 
hipótese nula (H0). Notação: HA: hipótese alternativa. 
 Teste de significância: é o teste específico feito para apoiar 
a decisão de não rejeitar ou rejeitar uma hipótese nula , isto 
tudo, com base em informações provenientes de uma amostra. 
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218 
Principais conceitos 
TIPOS DE TESTES: 
 Testes bilaterais: a região de não rejeição é central e as 
regiões críticas estão a direita e a esquerda da região de não 
rejeição: 
€ 
H 0 : parâmetro = b
HA : parâmetro≠ b
⎧ 
⎨ 
⎩ 
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219 
Principais conceitos 
TIPOS DE TESTES: 
 Testes unilateral a esquerda: a região de não rejeição é a 
direita e tem uma região crítica a esquerda: 
€ 
H 0 : parâmetro = b
HA : parâmetro < b
⎧ 
⎨ 
⎩ 
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220 
Principais conceitos 
TIPOS DE TESTES: 
 Testes unilateral a direita: a região de não rejeição é a 
esquerda e tem uma região crítica a direita: 
€ 
H 0 : parâmetro = b
HA : parâmetro > b
⎧ 
⎨ 
⎩ 
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221 
Principais conceitos 
TIPOS DE TESTES: 
Observação: A mostra deve ser selecionada após a 
escolha do tipo de teste a ser utilizado e não ao contrário. 
Os dados coletados não devem influenciar na escolha do 
teste a ser utilizado. 
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222 
Como testar hipóteses para as médias populacionais? 
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223 
Exemplo 01: Para uma determinada população, sabe-se que 
historicamente apresenta um desvio padrão de 6. Tirando uma 
amostra aleatória de 16 elementos, desta população, observou-se 
que a média apresentada é . Um pesquisador afirma que a média 
populacional é µ=45 com um grau de significância de 10%, ele 
está correto? 
€ 
H 0 : µ = 45
HA : µ ≠ 45
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⇒ Teste bilateral
Como testar hipóteses para as médias populacionais? 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
224 
Exemplo 02: Como os males que o tabagismo traz, uma série de 
institutos de pesquisa levantam dados sobre o consumo e suas 
patologias. Um deles levantou uma amostra de 10 cigarros de uma 
marca que, em média, tem 25,3 mg de nicotina. Por experiência, os 
institutos sabem que o desvio padrão para esta marca é de 2,31 mg. Já 
o fabricante desta marca afirma que este cigarro apresenta menos de 
26 mg. Usando um grau de significância de 5%, determine se este 
fabricante está correto. 
€ 
H 0 : µ = 26
HA : µ < 26
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⇒ Teste unilateral a esquerda
Como testar hipóteses para as médias populacionais? 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
225 
Exemplo 03: Um industrial está tentando aumentar a resistência de um 
tipo de aço fabricado por sua empresa. Atualmente sua resistência é de 
325 kg. A resistência deste tipo de aço apresenta uma variabilidade 
σ=18 kg. O setor de controle de qualidade examinou uma amostra de 
35 peças e constatou uma resistência média de 334 Kg. Ao nível de 
significância de 10% pode o industrial afirmar que a resistência 
aumentou? 
€ 
H 0 : µ = 325
HA : µ > 325
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⇒ Teste unilateral a direita
Como testar hipóteses para as médias populacionais? 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
226 
Como testar hipóteses para as proporções populacionais? 
Prof. Luiz Arthur Dornelles Jr. 
227 
Exemplo 01: Uma máquina é considerada regulada quando 5% 
de sua produção é defeituosa. Um levantamento feito com 500 
peças, resultou que 32 delas eram defeituosas. A um nível de 
significância de 2% se esta máquina está desregulada. 
Como testar hipóteses para as proporções populacionais? 
€ 
H 0 : p = 0,05
HA : p > 0,05
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⇒ Teste unilateral a direita
Exemplo 02: O prefeito da cidade afirmou que mais de 40% dos 
trabalhadores do município tem algum convênio particular de 
assistência médica. Representante dos trabalhadores resolveu 
testar esta hipótese e com uma amostra de 90 trabalhadores, 
descobriu que 30% deles tinham este tipo de convênio. Com 
base nestes dados e com um nível de significância de 5%, 
determine se o prefeito está correto. 
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228 
Como testar hipóteses para as proporções populacionais? 
€ 
H 0 : p = 0,4
HA : p =< 0,4
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⇒ Teste unilateral a esquerda
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229 
Exemplo 03: Um candidato a governador do estado afirmou que 
tem 60% das intenções de votos. A pedido do partido oponente, 
um instituto levantou uma amostra de 300 eleitores para 
investigar qual o percentual de votantes neste candidato. Nesta 
amostra, 159 indicaram que votariam no candidato. A afirmação 
do candidato está correta adotando um nível de significância de 
5%? 
Como testar hipóteses para as proporções populacionais? 
€ 
H 0 : p = 0,6
HA : p ≠ 0,6
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⇒ Teste bilateral
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230 
Usando a distribuição t de Student para testar hipóteses 
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231 
Exemplo 01: Um determinado produto por uma empresa, apresenta, 
em média, vida útil de 1120 horas. O setor de qualidade para manter 
atualizadas as informações sobre os produtos, levantou uma amostra 
de 8 elementos deste produto e verificou que a vida útil média foi de 
1070 horas e apresentou desvio padrão de 125 horas e distribuição 
normal. Este setor comunicou que a vida média deste produto não se 
alterou. Com um grau de significância de 1%, verifique se o setor está 
correto? 
Usando a distribuição t de Student para testar hipóteses 
€ 
H 0 : µ = 1120
HA : µ ≠ 1120
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⇒ Teste bilateral
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232 
Exemplo 02: Como os males que o tabagismo traz, uma série de 
institutos de pesquisa levantam dados sobre o consumo e suas 
patologias. Um deles levantou uma amostra de 25 cigarros de uma 
marca que, em média, tem 38 mg de nicotina e o desvio padrão de 0,5 
mg. Já o fabricante desta marca afirma que este cigarro apresenta 
menos de 40 mg. Usando um grau de significância de 5%, determine 
se este fabricante está correto. 
Usando a distribuição t de Student para testar hipóteses 
€ 
H 0 : µ = 40
HA : µ < 40
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⇒ Teste unilateral a esquerda
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233 
Exemplo 03: Uma máquina que produz uma determinada peça de 
precisão, está sendo testada pela manutenção. Esta máquina produz 
peças de 2 cm de diâmetro. Para testar o setor utilizou uma amostra de 
10 peças e os resultados obtidos foram . A 
manutenção deseja saber se esta máquina está produzindo peças com 
diâmetros maiores. Use um grau de significância de 10%. 
Usando a distribuição t de Student para testar hipóteses 
€ 
H 0 : µ = 2
HA : µ > 2
⎧ 
⎨ 
⎩ 
⇒ Teste unilateral a direita
€ 
x = 2,008 cm e S = 0,004 cm
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234 
OBSERVAÇÕES: 
• A amostra é selecionada depois da escolha do teste. 
• Dados amostrais não devem influenciar na escolha 
do tipo de teste. 
• Nível de significância: 
Menor ou igual a 5% - altamente significativos. 
Entre 5% e 10% - provavelmente significativos. 
Maior ou igual a 10% - pouco significativos. 
• A hipótese nula é expressa por uma igualdade 
enquanto que a hipótese alternativa é dada por uma 
desigualdade ( < , > , ≠ ). 
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235 
PODER DE UM TESTE: 
A força de um teste é dada pela probabilidade de os 
erros do tipo I ou II ocorrerem, ou seja: 
* - Probabilidade de cometer o erro do tipo I 
** - Probabilidade de cometer o erro do tipo II 
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236 
PODER DE UM TESTE: 
Quanto menor o β (Probabilidade de cometer o erro do tipo II) 
melhor o poder do teste. 
* - Probabilidade de cometer o erro do tipo I 
** - Probabilidade de cometer o erro do tipo II 
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237 
PODER DE UM 
TESTE: 
LISTA 15 
BIBLIOGRAFIA