Trigonometria Básica

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Capítulo 1
Módulo 7
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©Shutterstock/Bent Chang
Trigonometria: conceitos básicos
AUTORIA:
Ângela Ferreira Pires da Trindade
EDIÇÃO DE CONTEÚDO:
Lúcio Carneiro
REVISÃO DE TEXTO:
Miriam Raquel Moro Conforto
CRÉDITOS DAS IMAGENS DE ABERTURA:
LatinStock/Corbis/Fotógrafo Desconhecido; brizillo-stock.deviart.com/#/d1xp9wo; ©Shuttertock/More Images
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Objetivos que deverão ser atingidos com o estudo da unidade:
Compreender, estudar e resolver problemas envolvendo conceitos básicos de trigonometria, como: arcos e ângulos, circunferência trigonométrica e simetria de arcos.
Arcos e ângulos
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Arcos e ângulos
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Observar com os alunos a notação correta para representar um arco de circunferência.
A notação indicada no slide representa qualquer um dos sentidos do arco.
É importante ser enfatizado que ao intencionarmos escolher um dos sentidos do arco, há necessidade de indicarmos mais um ponto entre A e B. 
Por exemplo, ACB com a indicação de arco sobre as três letras, representa um arco que vai de A até B passando por C.
Arcos
Considerando dois pontos A e B, situados sobre uma circunferência de centro O, esta fica dividida em duas partes, chamadas de arcos, cujas extremidades são A e B. Observe:
Indica-se o arco com extremidades A e B por .
Medida de um arco
A medida de um arco é realizada comparando este a um arco unitário em que m ( ) é a medida do arco . Por exemplo: 
 AB
͡
 AB
͡
Radiano
Um radiano corresponde a um arco que possui comprimento igual ao raio da circunferência.
Para uma circunferência qualquer, tem-se:
360º corresponde a 2 rad 
180º corresponde a rad
m = 1 rad
(AB)
͡
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Circunferência Trigonométrica
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Circunferência Trigonométrica
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Ao apresentar a circunferência trigonométrica aos alunos, é conveniente que alguns pontos importantes sejam enfatizados, pois o conceito que trazem consigo do Ensino Fundamental é apenas o fato de que a medida do ângulo central da circunferência é igual a 360º.
Pontos importantes:
 a circunferência trigonométrica é composta de uma circunferência de raio unitário e um plano cartesiano. O centro é a origem do plano cartesiano.
 a origem dos arcos é o ponto A (1,0).
 os arcos que estão no sentido horário são negativos e os que estão no sentido anti-horário são positivos.
 a circunferência está dividida em quatro partes, denominadas quadrantes, numeradas no sentido anti-horário.
Arcos côngruos
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Neste momento pode-se retomar a manobra do skatista Sandro Dias para explorar os arcos côngruos.
Ao fazer a manobra, Sandro Dias parte de um ponto, dá duas voltas e meia no ar e termina a manobra no lado oposto de onde partiu.
Se alguém não acompanhasse a manobra e apenas visse a posição inicial e a final entenderia que ele se movimentou apenas 180º.
Por esse motivo, dizemos que 900º e 180º são arcos côngruos, uma vez que 2 voltas e meia corresponde a 
360°+ 360°+ 180° = 900°.
Skatista fazendo uma manobra de giro no ar
© Shutterstock/Benis Arapovic
Na circunferência trigonométrica, podem-se marcar ângulos cujas medidas sejam maiores que 360° (2π rad).
Na circunferência trigonométrica abaixo, o ângulo corresponde à manobra 900.
Seno de um arco
Considere no ciclo trigonométrico, um ponto P formando um arco cujo ângulo central é a.
Define-se como seno do arco ou do ângulo a (sen a) a ordenada do ponto P, ou seja, sen a = OP’
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O conhecimento que os alunos trazem do Ensino Fundamental é apenas das relações trigonométricas no triângulo retângulo.
O que deve ficar claro para o aluno é que serão estabelecidas as mesmas relações, pois o seno, o cosseno e a tangente serão obtidos tendo como referência o triângulo retângulo,.
Observe:
O seno é a razão entre o cateto oposto ao ângulo α e a hipotenusa é o segmento OP, de medida um, por ser o raio unitário.
Logo, sen α = OP’/ 1 = OP’
O mais importante, neste momento, é que retenham o conceito de que o seno é a projeção ortogonal do segmento OP sobre o eixo y.
AP
͡
AP
͡
Cosseno de um arco
No ciclo trigonométrico, considere um ponto P formando um 
arco cujo ângulo central é a
Define-se como cosseno do arco ou do ângulo a (cos a) a abscissa do ponto P, ou seja: cos a = OP’.
AP
͡
AP
͡
Tangente de um arco
No ciclo trigonométrico, considere um ponto P, formado por um arco , cujo ângulo central é a.
Define-se como tangente do arco ou do ângulo a (tg a) a medida do segmento AT, ou seja: tg a = AT
AP
͡
AP
͡
Circunferência Trigonométrica
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Tem-se aqui o seno, o cosseno e a tangente no ciclo trigonométrico.
É importante que os alunos sejam sempre lembrados de que o raio é unitário, portanto os valores do seno, cosseno e tangente de alguns dos ângulos podem ser visualizados no ciclo trigonométrico.
Dado um ponto P, na circunferência trigonométrica, formando 
um arco , cujo ângulo central é a, define-se:
O ponto P tem coordenadas x = cos a y = sen a, logo P (cos a, sen a).
sen α = OP'
cos α = OP''
tg α = AT 
AP
͡
Relação fundamental da Trigonometria
A relação fundamental da Trigonometria pode ser assim escrita:
sen2 a + cos2 a = 1
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Simetria dos arcos (redução ao primeiro quadrante)
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Simetria dos arcos (redução ao primeiro quadrante)
Valores do seno e cosseno de alguns arcos do 2º quadrante
Arco que pertence ao 3º quadrante
Valores do seno e cosseno de alguns arcos do 3º quadrante
Arco que pertence ao 4º quadrante
Valores do seno e cosseno de alguns arcos do 4º quadrante
Simetria dos arcos
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Este quadro apresenta um resumo dos valores de seno e cosseno dos outros quadrantes.
É uma sistematização para uma consulta.
Se os alunos tiverem oportunidade de construir o ciclo trigonométrico e obter os valores percebendo os sinais, por se tratar de uma circunferência construída no plano cartesiano, provavelmente não necessitarão da memorização dessa tabela.
Sinais das funções em cada quadrante
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Este quadro apresenta um resumo dos valores de seno e cosseno dos outros quadrantes.
É uma sistematização para uma consulta.
Se os alunos tiverem oportunidade de construir o ciclo trigonométrico e obter os valores percebendo os sinais, por se tratar de uma circunferência construída no plano cartesiano, provavelmente não necessitarão da memorização dessa tabela.
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