trigonometria

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Introdução
A palavra trigonometria (do grego TRIGONO = triângulo, METRIA = medida) teve origem na resolução de problemas práticos, relacionados principalmente à navegação e à astronomia.
A trigonometria relaciona mas medidas dos lados dos triângulos com a medida de seus ângulos e é de grande utilidade para o cálculo de distancias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres, distancia entre rios.
Acredita-se que como ciência, a trigonometria nasceu pelas mãos de diversos homens, com destaque ao astrônomo grego Hiparco de Nicélia (190 aC – 125 aC).
Introdução
Este astrônomo utilizou a matemática aplicada para prever eclipses e movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e propiciando mais segurança à navegação.
Hiparco ficou conhecido como pai da trigonometria por ter sistematizado algumas relações no triangulo retângulo.
A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo:
na engenharia: na cinemática, trabalho, no movimento harmônico
na acústica: o som segue uma função seno.
Introdução
A trigonometria não se limita ao estudo de triângulos, encontramos aplicações, por exemplo:
na química: Na química utilizamos a trigonometria para definir a geometria das moléculas e assim definir algumas propriedades suas.
na astronomia: Para o calculo do distancia entre o astros.
na medicina: A variação da pressão nas paredes dos vasos sanguíneos de um certo indivíduo em função do instante de coleta dessa medida. 
Introdução
Conceitos iniciais:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Atividade 1:
Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊.
Agora, calcule as seguintes razões:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Por que deu igual o de todo mundo?
Todos encontraram o mesmo resultado por que a razão está relacionada ao valor do ângulo e não da medida do lado propriamente dito.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
	Vale lembrar: 
	Todos os triângulos desenhados na sala são semelhantes, pois possuem todos os ângulos internos iguais. Ou seja, os lados de todos os triângulos são proporcionais, logo a razão resultará num mesmo valor.
Essas divisões, recebem, cada uma, um nome específico.
	 São eles: SENO, COSSENO, TANGENTE.
Voltemos à atividade 1...
CO
CA
H
Atividade 1:
Em uma folha, desenhe, utilizando régua, e transferidor um triangulo retângulo, em que um dos ângulos meça 50 ̊.
Agora, calcule as seguintes razões:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Atividade 1:
Ou seja: Podemos concluir que:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Seno de 50 ̊ = 0,766
sen(50 ̊) = 0,766
Coseno de 50 ̊ = 0,642
cos(50 ̊) = 0,642
Tangente de 50 ̊ = 1,119
tg(50 ̊) = 1,119
CO
CA
H
Os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulo menores que 90 ̊, já são conhecidos e estão tabelados. 
Observe ao lado:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Atividade 2:
O ângulo de elevação do topo da encosta tomado a partir do pé de uma árvore é de 60 ̊. Sabendo que a arvore está a 50m de distância da base da encosta, qual é a medida que deve ter um cabo de aço para ligar a base da arvore ao topo da encosta? 
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Da tabela: cos(60 ̊) = 0,5 
Qual relação vamos utilizar?
COSSENO
Atividade 3:
A determinação feita por radares da altura de uma nuvem em relação ao solo é importante para previsões meteorológicas e na orientação de aviões para que evitem turbulências. Nessas condições, determine a altura das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho a seguir.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Da tabela: tg (4 ̊) = 0,07 
Qual relação vamos utilizar?
TANGENTE
Atividade 4:
Uma escada de um carro de bombeiros pode estender-se até um comprimento máximo de 30m, quando é levantada a um ângulo máximo de 70 ̊. Sabe-se que a base da escada está colocada sobre um caminhão, a uma altura de 2m do solo. Que altura em relação ao solo, essa escada poderá alcançar?
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Da tabela: sen(70 ̊) = 0,939 
Qual relação vamos utilizar?
SENO
Como saber qual relação usar???
Depende dos dados do seu problema...
Se as variáveis a serem relacionadas são:
	Cateto Oposto e Hipotenusa ->	Seno
	Cateto Adjacente e Hipotenusa -> Cosseno
	Cateto Oposto e Cateto Adjacente -> Tangente
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
SOH CAH TOA
Na resolução de alguns problemas é mais conveniente usar os valores da seguinte tabela:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Exercícios:
Página 71: E 33, 34, 43
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Objetivo:
Determinar a altura de objetos do modo indireto, utilizando as funções trigonométricas
O teodolito é um instrumento ótico utilizado na Topografia e na Agrimensura para realizar medidas de ângulos verticais e horizontais, usando cálculos de triangulação.
Basicamente é um telescópio com movimentos graduados na vertical e na horizontal, e montado sobre um tripé, podendo possuir ou não uma bússola incorporada.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Construindo um teodolito:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Materiais necessários:
Copo plástico com tampa de encaixe.
Cópia de transferidor circular
Quadrado de papelão
Pedaço de arame fino ( 15 cm)
Conudinho do Mc Donal`s
Construindo um teodolito:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Como construir
Cubra o quadrado do papelão, colando a cópia do transferidor, no centro do quadrado; posicione o ângulo zero na direção do ponto médio de um lado.
2. Cole a tampa do copo no interior da figura do transferidor, centralizada.
Construindo um teodolito:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Como construir
3. Passe o arame pela boca do copo numa posição diametral, deixando que suas pontas, atinjam as extremidades do transferidor.
4. Cole o pedaço de canudinho no fundo do copo, também em posição diametral, na mesma direção do arame.
5. Encaixe o copo na tampa.
Utilizando o um teodolito:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Vamos então fazer um experimento?
Podemos ir até o ginásio de esportes da escola para medir a altura da tabela da cesta da basquete.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
	Procedimento:
Primeiro deve-se marcar no chão a linha perpendicular que contém a tabela.
Deste ponto em diante, usar a trena para marcar as distâncias de 5m, 10m, 20m, 30m para serem referência de marcação.
Os dados obtidos serão registrados em uma tabela:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
	Distancia do observador ao objeto	Medida do ângulo de visada	Altura do Observador	Altura do objeto
	5m			
	10m			
Há duas relações importantes válidas entre as razões trigonométricas estudadas. Observe a primeira:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Segunda relação:
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
a
b
c
Pelo Teorema de Pitágoras:
Substituindo, obtemos:
As duas relações aprendidas servem como uma ferramenta a mais para determinarmos o valor das funções trigonométricas dos ângulos.
EXERCÍCIOS: 
	Página 61 – E14, 15
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
image1.jpeg
image2.jpeg
image3.gif
image4.jpeg
image5.png
image6.png
image7.png
image8.png
image9.jpeg
image10.png
image11.png
image12.wmf
m
X
X
Hipotenusa
adjacente
C
seno
100
5
,
0
50
5
,
0
50
)
60
cos(
cos
0
=
=
=
=
=
image13.png
oleObject1.bin
image14.wmf
km
X
X
tg
adjacente
C
oposto
C
gente
6
,
5
80
07
,
0
07
,
0
80
)
4
(
tan
0
=
´
=
=
=
=
oleObject2.bin
image15.gif
image16.wmf
m
H
H
sen
Hipotenusa
oposto
C
seno
19
,
28
30
939
,
0
939
,
0
30
)
70
(
0
=
´
=
=
=
=
image17.wmf
m
total
Altura
19
,
30
2
19
,
28
=
+
=
image18.png
oleObject3.bin
oleObject4.bin
image19.jpeg
image20.png
image21.pngimage22.jpeg
image23.jpeg
image24.png
image25.png
image26.jpeg
image27.wmf
hipotenusa
adjacente
C
Hipotenusa
oposto
C
sen
=
a
a
cos
image28.wmf
a
a
a
tg
adjacente
C
oposto
C
adjacente
C
Hipotenusa
Hipotenusa
oposto
C
sen
=
=
´
=
cos
image29.wmf
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
=
=
hipotenusa
adjacente
C
Hipotenusa
oposto
C
sen
a
a
cos
image30.wmf
a
a
a
tg
sen
=
cos
oleObject5.bin
oleObject6.bin
oleObject7.bin
oleObject8.bin
image31.wmf
c
a
e
c
b
sen
=
=
a
a
cos
image32.wmf
=
+
a
a
2
2
cos
sen
image33.wmf
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
b
a
c
a
c
b
c
a
c
b
+
=
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
image34.wmf
2
2
2
c
b
a
=
+
image35.wmf
1
cos
2
2
2
2
2
2
2
=
=
+
=
+
c
c
c
b
a
sen
a
a
image36.wmf
1
cos
2
2
=
+
a
a
sen
oleObject9.bin
oleObject10.bin
image37.png
oleObject11.bin
oleObject12.bin
oleObject13.bin
oleObject14.bin