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Aula 13 – 
Números Complexos 
 
ENEM 
 
 
 
Professor Marçal 
 
 
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Sumário 
Introdução ............................................................................................................... 3 
1. Conjuntos numéricos ........................................................................................... 4 
1.1. Os conjuntos numéricos as equações polinomiais .......................................................... 4 
1.2. O número imaginário ...................................................................................................... 9 
1.3. O número complexo ...................................................................................................... 15 
1.4. Relação entre Plano de Argand-Gauss e plano cartesiano ........................................... 18 
2. Formas de se escrever um número complexo ..................................................... 20 
3. As quatro operações com os números complexos .............................................. 21 
3.1. Soma e Subtração ......................................................................................................... 21 
3.2. Multiplicação ................................................................................................................ 25 
3.3. Divisão ........................................................................................................................... 34 
4. Conjugado de um número complexo .................................................................. 39 
5. Forma trigonométrica dos números complexos ................................................. 43 
5.1. Revisando seno e cosseno e tangente no triângulo retângulo ..................................... 44 
5.2. Forma trigonométrica (ou polar) .................................................................................. 46 
5.3. Norma de um número complexo .................................................................................. 47 
5.4. Argumento de um número complexo ........................................................................... 47 
6. Potenciação e Radiciação nos complexos ........................................................... 48 
6.1. Potenciação de um número complexo .......................................................................... 48 
6.2. Radiciação de um número complexo ............................................................................ 50 
7. Resumo .............................................................................................................. 57 
8. Fórmulas, demonstrações e comentários ........................................................... 58 
8.1. Dedução da primeira fórmula de Moivre ..................................................................... 58 
8.2. Radiciação de complexos na forma algébrica .............................................................. 59 
8.3. Notação cis(θ) ............................................................................................................... 59 
9. Questões de vestibulares anteriores .................................................................. 60 
10. Gabarito das questões de vestibulares anteriores ............................................ 60 
11. Questões de vestibulares anteriores resolvidas e comentadas ......................... 66 
12. Considerações finais ....................................................................................... 102 
 
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INTRODUÇÃO 
Entraremos, agora, no campo dos números complexos, o último dos conjuntos numéricos 
para fechar o que chamamos de Álgebra. 
A álgebra tem sua estrutura montada nas incógnitas, na forma de polinômios. 
Embora haja poucas questões específicas sobre os números complexos nos vestibulares, esse 
conteúdo é muito cobrado dentro de outras áreas, como veremos no nosso curso, além de ser vital 
para estudarmos os polinômios, tópico da próxima aula. 
Se você já domina a teoria sobre os números complexos, pode ir direto para os exercícios de 
vestibulares anteriores. Conseguindo resolver todos corretamente, pode ir direto para a parte de 
polinômios. 
Se você ainda não conhece a teoria muito bem, ou ainda, se nunca estudou os números 
complexos, leia a teoria com atenção. Não se apresse, a construção de conhecimento nessa parte 
pode exigir um tempo de maturação. Se estiver com a “cabeça cheia”, passe para outro tema e, 
depois, retorne a esta aula. 
O surgimento dos números complexos deixou muitos dos maiores matemáticos da história 
de “cabelo em pé”, então, vá com calma. 
Dúvidas? 
Já sabe, não as deixe sem solução. Se precisar de ajuda, poste-as no fórum. Estamos aqui para 
auxiliá-lo. 
Boa aula. 
 
 
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1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
No início do curso, estudamos os conjuntos numéricos ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀, ℝ, ℂ; e suas relações de 
pertinência, ou seja, qual conjunto está contido em qual. 
 
Naquele momento, não demos ênfase aos Números Complexos e trabalhamos, desde então, 
dentro do conjunto dos números reais estudando equações, inequações e funções. 
Agora, vamos expandir nossa noção de número para além dos Números Reais. 
Para entender os Números Complexos, precisamos voltar à noção de conjuntos numéricos e 
entender como esses conjuntos se relacionam por meio da Álgebra. 
 
1.1. OS CONJUNTOS NUMÉRICOS AS EQUAÇÕES POLINOMIAIS 
 
Lembra-se de que falamos sobre a Álgebra e a Aritmética? 
Uma expressão é considerada aritmética se não contém incógnitas, enquanto uma expressão 
com incógnitas é considerada algébrica. 
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Nossa conversa sobre os conjuntos, aqui, se dará com ênfase na relação entre os elementos 
de um conjunto e as resoluções de equações dentro desse mesmo conjunto. Acompanhe. 
 O primeiro conjunto que estudamos é a nossa base para a contagem: o conjunto dos 
Números Naturais, 
ℕ = {0,1,2,3,4,5,6… }. 
Vamos utilizar as operações básicas da álgebra para resolver algumas equações dentro do 
conjunto ℕ. 
Comecemos com a equação 
𝑥 + 2 = 5. 
Essa equação representa a pergunta: qual é o número que, somado a dois, resulta em cinco? 
Resolvendo. 
𝑥 + 2 = 5 
Subtraindo 2 de ambos os membros da equação. 
𝑥 + 2 − 2 = 5 − 2 
𝑥 + 2 − 2 = 5 − 2 
 
∴ 𝑥 = 3 
Ou seja, a resposta para a nossa pergunta (qual é o número que, somado a dois, resulta em 
cinco?) é três. 
Perceba que tanto a pergunta quanto a resposta foram feitas em termos de Números 
Naturais. Não há, na pergunta, um número fracionário, uma raiz ou um número negativo, só os 
Números Naturais, as operações da álgebra e a incógnita. 
Até aqui, tudo bem. Perguntamos em termos de Números Naturais e respondemos nesses 
mesmos termos. 
No entanto, há situações em que o conjunto ℕ não consegue suprir as equações feitas com 
seus elementos, veja. 
Vamos resolver a equação 
𝑥 + 2 = 1 
Subtraindo 2 de ambos os membros. 
𝑥 + 2 − 2 = 1 − 2 
𝑥 + 2 − 2 = 1 − 2 
𝑥 = 1 − 2 
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No conjunto dos Números Naturais, não há a possibilidade de retirarmos 2 unidades do 
número 1. Essa operação simplesmente não é possível. 
Assim, 
𝑥 = 1 − 2 
𝑥 = ∅ 
Ou seja, a equação 
𝑥 + 2 = 1 
é feita somente com números naturais, no entanto, sua solução não pertence ao conjunto 
dos Números Naturais. 
Nesse ponto, ao enfrentar um problema cuja solução não pertence ao conjunto de aplicação, 
ocorre a expansão: uma definição de conjunto mais abrangente que o anterior, coerente dentro das 
operaçõesalgébricas, e que permite a resolução da equação em questão. 
A solução encontrada foi ampliar o conjunto dos Números Naturais para o conjunto dos 
Números Inteiros ℤ. 
ℤ = {…− 3, −2,−1, 0, 1, 2, 3… } 
Nesse novo conjunto, a equação anterior tem solução, veja. 
𝑥 = 1 − 2 
 
∴ 𝑥 = −1 
Percebemos, então, que o conjunto ℤ tem uma amplitude maior que o conjunto ℕ no que 
tange solucionar equações. 
Mas será que o conjunto ℤ é fechado em si mesmo? Será que ele resolve todas as equações 
expressas em números inteiros? 
Não, não é. 
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Há muitas situações nas quais o conjunto ℤ não é suficiente para resolver uma equação. 
Vejamos um exemplo. 
2𝑥 + 1 = 4 
Para iniciar a resolução, vamos subtrair 1 de ambos os membros da equação. 
2𝑥 + 1 − 1 = 4 − 1 
2𝑥 + 1 − 1 = 4 − 1 
2𝑥 = 3 
Dividindo ambos os membros por 2. 
2𝑥
2
=
3
2
 
 
 2 𝑥
 2 
=
3
2
 
 
𝑥 =
3
2
 
Mas o que seria esse número, 
3
2
? 
 
Dividir, por exemplo, o número 4 por 2, tudo bem, pois 4 é um número par. No entanto, 
dividir um número ímpar por 2, no conjunto ℤ não é possível. 
Desse modo, temos que 
𝑥 = ∅. 
A expansão dos Números Inteiros, para solucionar problemas como o que vimos, deu origem 
a um novo conjunto, o dos Números Racionais ℚ. 
Dessa forma, nossa equação passa a ter solução: um número simbolizado pela razão entre 
dois inteiros. 
𝑥 =
3
2
= 1,5 
 
 
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Perceba que nosso rol de números possíveis ganha novos representantes na medida em que 
nossos problemas se tornam mais e mais complicados. 
Até aqui, passamos de ℕ a ℤ e, dele, para ℚ. 
 A cada vez que expandimos nosso universo numérico, ganhamos capacidade de resolução de 
equações e, com isso, novas aplicações passam a modelar o corpo do possível. 
Mas será que isso é possível indefinidamente? 
Bom, sigamos caminhando para ver o fina da história. 
Vejamos o que o conjunto dos racionais ℚ nos diz sobre a equação seguinte. 
𝑥2 = 7 
Aplicando a raiz quadrada em ambos os membros da equação. 
√𝑥2 = √7 
|𝑥2| = √7 
𝑥 = ±√7 
Como sabemos, não existe um número racional de tal forma que uma fração seja igual a raiz 
de 7, assim, no conjunto ℚ, 
𝑥 = ∅ 
Novamente, fomos obrigados a procurar um conjunto mais amplo, que nos permita resolver 
equações como a anterior. 
Esse novo tipo de número, que não pode ser escrito como razão entre dois números inteiros, 
foi nomeado número irracional. 
 
Permitindo que possamos dar nossa resposta como 
𝑥 = ±√7 = ± 2,64575134406… 
Se unirmos todos os conjuntos numéricos vistos até aqui, temos o conjunto dos Números 
Reais ℝ, que é, normalmente, o conjunto a que nos referimos na maioria dos problemas cotidianos, 
o que inclui o seu vestibular. 
Perceba que estamos, aos poucos, montando um grande quebra-cabeças numérico, com o 
intuito de conseguirmos resolver a maior quantidade possível de equações algébricas. 
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O conjunto ℝ envolve todos os tipos de números e problemas que citamos até aqui. No 
entanto, mesmo com esse poder de fogo, por muito tempo não foi possível resolver algumas 
equações como 
𝑥2 + 1 = 0. 
O quebra-cabeças da álgebra continuava incompleto. 
1.2. O NÚMERO IMAGINÁRIO 
Se tentarmos resolver a equação anterior com as ferramentas algébricas dentro do conjunto 
dos Números Reais, chegamos a uma equação sem solução, veja. 
𝑥2 + 1 = 0 
Subtraindo 1 de ambos os membros da equação. 
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𝑥2 + 1 − 1 = 0 − 1 
𝑥2 + 1 − 1 = 0 − 1 
𝑥2 = −1 
Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros. 
√𝑥2 = √−1 
|𝑥2| = √−1 
𝑥 = ± √−1 
Pois é. 
A equação 
𝑥2 = −1 
nos pergunta: qual é o número que, elevado ao quadrado, resulta em −1? 
Sabemos que, na reta dos reais, a reta numérica que estivemos construindo até agora, não 
há um número que, multiplicado por ele mesmo, resulte em −1. 
Mas não sejamos precipitados, vamos recapitular o que sabemos sobre a multiplicação de 
números, dando ênfase aos sinais. 
Aprendemos, no início do nosso curso, que o sinal de negativo indica o oposto de um número, 
ou seja, um número que “aponta para o lado oposto” da reta numérica. 
Assim, se o número 1 está à direita do zero, digamos que ele “aponta” para o lado positivo e, 
então, −1 só poderia “apontar” para o outro lado. Assim, criamos a parte negativa da reta numérica. 
Nessa linha, conversamos sobre −1 ser o oposto de 1. 
Vamos expandir um pouco essa noção, mas sem alterar o que já construímos até aqui. 
Partamos da unidade, do número 1, na reta dos reais, cuja origem é o número 0. 
 
Nesse contexto, recordemos o que significa multiplicar o número 1 pelo seu oposto, −1. 
 
Agora, além de pensarmos em −1 como o número que está do outro lado do número 1, 
tendo o zero como referência, vamos pensar no caminho como uma rotação, ou seja, multiplicar 1 
por −1 sendo o mesmo que rotacionar o número 1 em 180°, com eixo no zero. 
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Com essa nova interpretação, como seria a multiplicação (−1) ∙ (−1)? 
Vejamos. 
Como a multiplicação por (−1) gera uma rotação de 180° em torno da origem, se aplicarmos 
essa mesma rotação ao (−1), voltaríamos ao número 1. 
 
Assim, estamos de acordo com nosso antigo pensamento, o sinal de negativo indica o oposto 
de um número e simbolizamos esse número como diametralmente oposto ao zero, considerando 
essa oposição feita por meio de uma rotação de 180°. 
Agora, voltemos ao problema. 
Precisamos calcular um número 𝑥 tal que 
𝑥2 = −1. 
Se pensarmos em 𝑥2 como o produto 1 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑥, precisamos de um número que, ao aplicado 
duas vezes seguidas, transforme o número 1 em (−1). 
Para fazer isso acontecer, precisaríamos de algo como: 
 
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Na reta dos reais, parece realmente não existir um número tal que 1 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑥 = −1. No 
entanto, se pensarmos do ponto de vista da rotação e estivermos dispostos a aceitar um número 
que esteja fora da reta dos reais, 1 ⋅ 𝑥 ⋅ 𝑥 = −1 parece bem possível. 
Vamos efetuar o produto. 
 
Dessa forma, nosso número 𝑥 que transforma, com duas multiplicações sucessivas, 1 em −1, 
é um ponto fora da reta dos reais, logo acima do zero. 
 
Friedrich Gauss, inicialmente, chamou √−1 de número lateral, o que parece bem óbvio. 
No entanto, foi o termo cunhado por Rene Descartes, no livro A Geometria, que acabou 
“pegando” e, hoje, o número √−1 não somente é conhecido como número imaginário como seu 
símbolo é a letra 𝑖. 
Assim, nasce nosso novo número, o número imaginário 𝑖 = √−1. 
 
Como consequência da definição, temos a seguinte sequência de potências para 𝑖. 
𝑖 = √−1 
𝑖2 = −1 
𝑖3 = 𝑖2 ⋅ 𝑖 = −1 ⋅ 𝑖 = −𝑖 
𝑖4 = 𝑖2 ⋅ 𝑖2 = (−1) ⋅ (−1) = 1 
𝑖5 = 𝑖4 ⋅ 𝑖 = 1 ⋅ 𝑖 = 𝑖 
𝑖6 = 𝑖4 ⋅ 𝑖2 = 1 ⋅ (−1) = −1 
⋮ 
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Vamos colocar mais alguns resultados em uma tabela. 
𝑖 = √−1 𝑖5 = 𝑖 𝑖9 = 𝑖 𝑖13 = 𝑖 𝑖17 = 𝑖 
𝑖2 = −1 𝑖6 = −1 𝑖10 = −1 𝑖14 = −1 𝑖18 = −1 
𝑖3 = −𝑖 𝑖7 = −𝑖 𝑖11 = −𝑖 𝑖15 = −𝑖 𝑖19 = −𝑖 
𝑖4 = 1 𝑖8 = 1 𝑖12 = 1 𝑖16 = 1 𝑖20 = 1 
Percebeu um padrão ocorrendo? 
Como o número complexo “rotaciona” o número real 1 em 90°, em 4 rotações nós voltamos 
para onde estávamos, ou seja, no próprio número 1. 
 
Assim, as potências de 𝑖 são sequenciais e apresentam apenas 4 resultados possíveis: 
𝑖, −1,−𝑖, 1. 
 
Além disso, se temos um número imaginário𝑖, não é difícil pensar em seus múltiplos, suas 
frações e seu oposto; números como 
𝑖, 2𝑖, 5𝑖,
𝑖
2
, −𝑖, −3𝑖, … 
Vamos, com base no número 𝑖 e em sua posição com relação à reta dos reais, posicionar esses 
números. 
Como o número imaginário 𝑖 será a base para todos os novos números do tipo, chamaremos 
𝐼𝑚 o eixo a eles referente. 
Quanto aos reais, podemos utilizar ℝ sempre. No entanto, é comum encontrarmos nos livros 
didáticos a referência de eixo como 𝑅𝑒. Como utilizaremos 𝑅𝑒 mais à frente, daremos preferência a 
esta nomenclatura. 
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Professor, isso aí parece o plano cartesiano. Será possível marcarmos números fora das retas? 
Excelente pergunta, podemos sim! 
Mas temos que tomar um certo cuidado. 
As regras da álgebra exigem algumas ressalvas para serem aplicadas a números de “tipos” 
diferentes. 
Por exemplo, podemos tranquilamente aplicar a soma para dois números inteiros: 
2 + 3 = 5. 
No entanto, há certas combinações nas quais não podemos aplicar diretamente a soma e ela 
fica somente indicada: 
2 + √3 
Já em alguns casos, podemos contornar a diferença por meio de operações básicas: 
2 +
4
5
=
10 + 4
5
=
14
5
 
E como, então, é a “mistura” de nossos novos números, imaginários, com os outros números 
que já conhecíamos, os reais? 
Vejamos. 
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1.3. O NÚMERO COMPLEXO 
Pois bem, do mesmo modo com que se relacionam os inteiros e os irracionais, as operações 
de soma e de subtração para números reais e imaginários ficam indicadas. Veremos, em capítulo 
específico ainda nesta aula, as operações básicas com números desse tipo em detalhes. Por ora, veja 
como fica a soma entre um número real e um imaginário: 
2 + 3 ⋅ 𝑖 
E onde fica esse número no plano numérico que acabamos de criar? 
Chamemos esse número de 𝑧. 
𝑧 = 2 + 3 ⋅ 𝑖 
Podemos perceber que o número 𝑧 possui uma parte real e uma parte imaginária, indicadas 
por 𝑅𝑒(𝑧) = 2 e 𝐼𝑚(𝑧) = 3, respectivamente. 
𝑧 = 2 + 3 ⋅ 𝑖 
A parte real de 𝑧 indica o quanto nos deslocamos da origem, do zero, na horizontal, no eixo 
dos reais; enquanto a parte imaginária de 𝑧, indica o quanto nos deslocamos na vertical, acima ou 
abaixo do eixo dos reais. 
Seguindo essas recomendações, conseguimos colocar o número 𝑧 em seu devido lugar no 
plano numérico. 
 
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Números que não possuem uma parte imaginária são chamados números reais puros e estão 
localizados no eixo horizontal. 
O número 𝑖 e seus múltiplos são denominados números imaginários puros e estão localizados no 
eixo vertical. 
Os números mistos, com uma parte real e outra imaginária, como nosso número 𝑧, são chamados 
números complexos e estão em todos os pontos do Plano de Argand-Gauss. 
Números reais puros e imaginários puros também são considerados complexos, só apresentam 
uma das suas partes igual a zero. 
O conjunto dos números complexos, simbolizado por ℂ, abrange todos os outros conjuntos 
numéricos dos quais já falamos até aqui. 
Voltemos, então, à figura dos conjuntos que vimos no início da aula. 
Aqui temos uma representação de inclusão entre os conjuntos, dos Naturais aos Complexos, 
explicitando qual conjunto numérico engloba qual. 
Perceba que fomos, por força as equações sem solução, forçados a ampliar nossa ideia de 
conjunto numérico até que chegamos nos Números Complexos. 
 
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Pois bem, agora é que temos uma novidade surpreendente: não precisamos mais procurar 
conjuntos mais amplos, pelo menos no que tange a solução de equações polinomiais. 
 
O Princípio Fundamental da Álgebra, enunciado por Gauss, nos diz que: 
Qualquer que seja o grau de uma equação polinomial de coeficientes complexos, sempre há uma 
solução complexa. 
Assim, tratando-se do conjunto complexo, não mais ocorrerá de termos uma “pergunta” sem 
solução, forçando-nos a ampliar a noção de número. 
Desse modo, podemos considerar que a nossa álgebra, finalmente, pode ser considerada 
fechada em si mesma, completando o quebra-cabeças. 
 
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1.4. RELAÇÃO ENTRE PLANO DE ARGAND-GAUSS E PLANO CARTESIANO 
Você deve ter percebido que, mesmo sem querer, acabamos construindo um plano muito 
parecido com o nosso plano cartesiano, aquele com 𝑥 e 𝑦. 
 Há, sim, muitas semelhanças entre esses planos, mas há também muitas diferenças. 
O plano cartesiano traz dois eixos, 𝑥 e 𝑦, colocados perpendicularmente. Na verdade, são 
dois eixos com o mesmo “tipo” de números, os números reais. Até por isso, é comum nos referirmos 
ao plano cartesiano como ℝ2 (não é ℝ ao quadrado, a leitura é ℝ dois, simbolizando duas dimensões 
reais). 
Desse modo, um ponto no plano cartesiano é formado por dois números, x e y, muitas vezes 
escritos na forma de coordenadas (𝑥; 𝑦). Mas atenção, 𝑥 e 𝑦 são dois números reais simbolizando 
uma localização no espaço bidimensional chamado ℝ2. 
Já o plano formado pelo eixo dos números reais e pelo eixo dos números imaginários é um 
plano no qual cada ponto representa um número único, chamado de número complexo, que 
engloba tanto os números reais puros quanto os imaginários puros. 
Esse plano recebe o nome de Plano de Argand-Gauss em homenagem aos matemáticos de 
referência nesse assunto. 
Assim, temos dois planos similares em aparência, mas muito diferentes em seus 
fundamentos. 
 
Não é raro vermos gráficos mistos, com o eixo horizontal indicando 𝑥 e o eixo vertical 
indicando 𝑦 e, ainda assim, representar um número complexo 𝑧 nesse plano. 
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 Vamos evitar esse tipo de notação no curso. No entanto, se você vir esta notação mista em 
exercícios ou até na sua prova, entenda tratar-se de uma notação alternativa e use normalmente a 
teoria que estamos estudando para os números complexos, ok? 
 
Quando marcamos um número complexo no plano de Argand-Gauss, a marca propriamente dita 
recebe o nome de afixo do número complexo. Cuidado para não confundir com um ponto do plano 
cartesiano! 
Exercício de fixação 
01) Marque os afixos dos números complexos no plano de Argand-Gauss. 
a) 𝑎 = 2 + 𝑖 b) 𝑏 = −1 + 2𝑖 c) 𝑐 = −2 − 4𝑖 d) 𝑑 = 3𝑖 
e) 𝑒 = 1 f) 𝑓 = −3 g) 𝑔 = 3 − 2𝑖 h) ℎ = −1 − 𝑖 
i) 𝑘 = 4 + 5𝑖 j) 𝑚 = −3𝑖 
Gabarito: 
 
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2. FORMAS DE SE ESCREVER UM NÚMERO COMPLEXO 
 
Como você simbolizaria numericamente esse desenho? 
Já recebi muitas respostas diferentes para essa pergunta. As mais comuns foram: 
8 ; 7 ; 1 +
3
4
 ; 1,75 𝑒 
7
4
 
Se você respondeu 8, provavelmente contou todos os quadradinhos. 
Se você respondeu 7, provavelmente contou os quadradinhos pintados. 
Se você respondeu 1 + 
3
4
, 1,75 ou 
7
4
, provavelmente pensou nos dois conjuntos, cada um 
com 4 quadradinhos simbolizando uma unidade. 
Do modo como a pergunta foi feita, não há, ao pé da letra, uma resposta correta. 
Podemos interpretar o que vimos de vários modos. 
Vamos considerar, aqui, que cada conjunto de 4 quadradinhos realmente representem uma 
unidade, portanto, cada quadradinho representaria 
1
4
 de unidade. 
Dessa forma, os quadradinhos pintados representam: 
1 +
3
4
=
7
4
= 1,75 =
175
100
= 175 % 
O interessante é que, matematicamente, todas essas expressões são equivalentes. 
Esse é um exemplo de como temos muitas maneiras de representar algo matematicamente. 
O mesmoacontece com os números complexos. 
Para um número complexo genérico 𝑧, com a parte real 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎 e a parte imaginária 
𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏, temos as seguintes opções de notação, ou formas, todas equivalentes. 
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Vamos aprender a utilizar todas essas notações nos próximos tópicos. 
3. AS QUATRO OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS COMPLEXOS 
Como já vimos em outros tópicos, ao entrarmos em um conjunto numérico novo, devemos 
entender como as operações algébricas são definidas para os elementos do conjunto em questão. 
Com os números complexos isso não é diferente. 
Vamos, então, estudar como realizar as quatro operações básicas (soma, subtração, 
multiplicação e divisão) com números complexos. 
3.1. SOMA E SUBTRAÇÃO 
Já vimos que a parte real e a parte imaginária de um número complexo não se misturam e a 
soma ou a subtração com esses elementos fica indicada. 
 No entanto, quando temos dois ou mais números complexos, podemos somá-los ou subtrair 
um do outro tranquilamente; mas com suas partes operadas de modo independente. 
Assim, se temos dois números complexos genéricos 
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 
𝑧2 = 𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝑖 
A soma desses números é definida por 
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑) ⋅ 𝑖 
Vejamos alguns exemplos. 
Dados os números 
Número complexo 𝑧
𝑅𝑒 𝑧 = 𝑎 Parte real de 𝑧
𝐼𝑚 𝑧 = 𝑏 Parte imaginária de 𝑧
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 Forma algébrica
𝑧 = 𝑎, 𝑏 Forma de par ordenado
𝑧 = 𝑧 ⋅ cos 𝜃 + 𝑖 ⋅ sen 𝜃 Forma trigonométrica
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𝑧1 = 2 + 3𝑖 𝑧2 = 1 − 𝑖 𝑧3 = −4 + 3𝑖 
Façamos as seguintes operações: 
𝑧1 + 𝑧2 
𝑧1 + 𝑧3 
𝑧2 + 𝑧3 
A primeira soma é representada por 
𝑧1 + 𝑧2 = (2 + 3𝑖) + (1 − 𝑖) 
Vamos separar as partes real e imaginária de cada um desses números complexos. 
𝑧1 + 𝑧2 = 2 + 3𝑖 + 1 − 𝑖 
𝑧1 + 𝑧2 = 2 + 1 + 3𝑖 − 𝑖 
𝑧1 + 𝑧2 = (2 + 1) + (3𝑖 − 𝑖) 
E fazer a operação de soma propriamente dita. 
𝑧1 + 𝑧2 = (2 + 1) + (3𝑖 − 𝑖) 
𝑧1 + 𝑧2 = (3) + (2𝑖) 
𝑧1 + 𝑧2 = 3 + 2𝑖 
Mais uma. 
𝑧1 + 𝑧3 = (2 + 3𝑖) + (−4 + 3𝑖) 
Separando as partes real e imaginária. 
𝑧1 + 𝑧3 = 2 + 3𝑖 − 4 + 3𝑖 
𝑧1 + 𝑧3 = 2 − 4 + 3𝑖 + 3𝑖 
𝑧1 + 𝑧3 = (2 − 4) + (3𝑖 + 3𝑖) 
Somando. 
𝑧1 + 𝑧3 = (−2) + (6𝑖) 
𝑧1 + 𝑧3 = −2 + 6𝑖 
Agora que já entendemos o que está sendo feito, sejamos mais práticos um pouco. Vamos 
somar diretamente as partes real e imaginária. 
𝑧2 + 𝑧3 = (1 − 𝑖) + (−4 + 3i) 
Como os parênteses estão sem função, podemos eliminá-los e efetuar a soma. 
𝑧2 + 𝑧3 = 1 −𝑖 −4 +3𝑖 
 
𝑧2 + 𝑧3 = −3 +2𝑖 
𝑧2 + 𝑧3 = −3 + 2𝑖 
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Para a subtração, não é diferente. Fazemos, também, a parte real com a parte real e a parte 
imaginária com a parte imaginária. 
Tomando nossos números genéricos 
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 
𝑧2 = 𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝑖 
Podemos pensar na subtração como 
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖) − (𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝑖) ⋅ 𝑖 
Distribuindo o sinal de negativo, temos. 
 
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖) − (𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝑖) 
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 − 𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖 
Finalmente, agrupando as partes real e imaginária, temos. 
𝑧1 − 𝑧2 = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑) ⋅ 𝑖 
Não há necessidade de se decorar essas fórmulas, basta tomar o cuidado de não misturar as 
partes real e imaginária dos números e de distribuir inicialmente o sinal de negativo quando houver. 
Se você estiver confortável com o processo, pode até fazer essa etapa mentalmente. 
Vejamos alguns exemplos práticos, ainda com os números complexos 
𝑧1 = 2 + 3𝑖 
𝑧2 = 1 − 𝑖 
𝑧3 = −4 + 3𝑖 
Primeira subtração. 
𝑧1 − 𝑧2 = (2 + 3𝑖) − (1 − 𝑖) 
 
𝑧1 − 𝑧2 = (2 + 3𝑖) − (1 − 𝑖) 
 
𝑧1 − 𝑧2 = 2 + 3𝑖 − 1 + 𝑖 
 
Lembre-se: menos com menos. 
Antes, pensávamos: “menos com menos dá mais” 
Agora, já podemos pensar na multiplicação de dois negativos como duas rotações de 180° 
sucessivas, pois ampliamos nossa visão acerca da multiplicação numérica. 
 
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Assim, podemos obter o resultado da subtração aglutinando as partes semelhantes. 
𝑧1 − 𝑧2 = 2 +3𝑖 −1 +𝑖 
 
𝑧1 − 𝑧2 = −1 +4𝑖 
𝑧1 − 𝑧2 = −1 + 4𝑖 
Vejamos mais alguns exemplos. 
𝑧1 − 𝑧3 = (2 + 3𝑖) − (−4 + 3𝑖) 
 
 
𝑧1 − 𝑧3 = (2 + 3𝑖) − (−4 + 3𝑖) 
 
𝑧1 − 𝑧3 = 2 + 3𝑖 + 4 − 3𝑖 
 
𝑧1 − 𝑧3 = 2 + 4 + 3𝑖 − 3𝑖 
 
𝑧1 − 𝑧3 = 6 + 0𝑖 
 
𝑧1 − 𝑧3 = 6 
Interessante. Subtraímos um número complexo de outro e o resultado foi um número real 
puro. 
O último, prometo. 
𝑧2 − 𝑧3 = (1 − 𝑖) − (−4 + 3𝑖) 
 
𝑧2 − 𝑧3 = (1 − 𝑖) − (−4 + 3𝑖) 
 
𝑧2 − 𝑧3 = 1 − 𝑖 + 4 − 3𝑖 
 
𝑧2 − 𝑧3 = 1 + 4 − 3𝑖 − 𝑖 
 
𝑧2 − 𝑧3 = 5 − 4𝑖 
 
 
 
 
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3.2. MULTIPLICAÇÃO 
Para a multiplicação de números complexos, tenhamos duas coisas em mente: as regras da 
multiplicação algébrica continuam valendo e 𝑖 = √−1. 
No mais, podemos operar normalmente, como estávamos acostumados, veja. 
Ainda com os números complexos 
𝑧1 = 2 + 3𝑖 
𝑧2 = 1 − 𝑖 
𝑧3 = −4 + 3𝑖 
Façamos as seguintes operações: 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 
𝑧1 ⋅ 𝑧3 
𝑧2 ⋅ 𝑧3 
Primeiro produto. 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = (2 + 3𝑖) ⋅ (1 − 𝑖) 
Apliquemos a distributiva, como fazemos com os binômios. 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = (2 + 3𝑖) ⋅ (1 − 𝑖) 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ (−𝑖) + 3𝑖 ⋅ 1 − 3𝑖 ⋅ 𝑖 
Fazendo os produtos (inclusive os sinais). 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 2 − 2𝑖 + 3𝑖 − 3𝑖
2 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 2 + 𝑖 − 3𝑖
2 
Chegamos a um ponto crucial na multiplicação de números complexos. 
Lembre-se, 𝑖 = √−1, ou seja, 𝑖2 = −1. 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 2 + 𝑖 − 3𝑖
2 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 2 + 𝑖 − 3 ⋅ (−1) 
soma e subtração 
com números 
complexos
parte real com parte real
parte imaginária com parte imaginária
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Menos com menos? Duas rotações de 180°, resultando em mais. 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 2 + 𝑖 + 3 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 5 + 𝑖 
Ok, professor, é até fácil. Mas o que significa, realmente, multiplicar dois números 
complexos? 
Excelente pergunta! Vamos entender esse processo do início. 
Em uma multiplicação entre números reais, temos, na verdade, uma soma “disfarçada”, em 
que um dos produtos significa em quantas parcelas o termo multiplicado aparece. 
3 ⋅ 5 = 5 + 5 + 5⏟ 
3 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠
 
 
O produto entre números reais é comutativo, ou seja, 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3. 
No entanto, eles significam coisas diferentes. 
A rigor, temos: 
 3 ⋅ 5 = 5 ⋅ 3 
 
 5 + 5 + 5⏟ 
3 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠
= 3 + 3 + 3 + 3 + 3⏟ 
5 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠
 
 
 15 = 15 
Entendido o que significa o produto entre dois números reais, vamos avançar para os 
números complexos. 
Nosso estudo do produto se dará em duas etapas: a etapa algébrica e a etapa gráfica. 
Na etapa algébrica, calcularemos o produto com as regras algébricas que já aprendemos. 
Na etapa gráfica, vamos comparar os afixos dos fatores e o afixo do produto em si. 
Nessa segunda etapa, estarão indicados nos planos complexos, além dos afixos, os ângulos 
dos números complexos e a distância de seus afixos à origem. Não se atenha a como calculá-los 
agora. Teremos um tópico nessa aula especificamente para isso. Foquemos nossas atenções aos 
números e suas relações. 
Vamos lá. 
Primeiro, a etapa algébrica. 
Calculemos os produtos a seguir. 
 
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(𝟒 + 𝟑𝒊) ⋅ 𝒊 (𝟐 + 𝒊) ⋅ 𝟐𝒊 (𝟏 + 𝟑𝒊) ⋅ (𝟏 + 𝒊) (𝟐 + 𝒊) ⋅ (𝟏 + 𝟐𝒊) 
 
(4 + 3𝑖) ⋅ 𝑖 
 
(2 + 𝑖) ⋅ 2𝑖 (1 + 3𝑖) ⋅ (1 + 𝑖) (2 + 𝑖) ⋅(1 + 2𝑖) 
4𝑖 + 3𝑖 ⋅ 𝑖 2 ⋅ 2𝑖 + 𝑖 ⋅ 2𝑖 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 𝑖 + 3𝑖 ⋅ 1 + 3𝑖 ⋅ 𝑖 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2𝑖 + 𝑖 ⋅ 1 + 𝑖 ⋅ 2𝑖 
4𝑖 + 3𝑖2 4𝑖 + 2𝑖² 1 + 𝑖 + 3𝑖 + 3𝑖² 2 + 4𝑖 + 𝑖 + 2𝑖² 
4𝑖 + 3𝑖2 4𝑖 + 2𝑖² 1 + 4𝑖 + 3𝑖² 2 + 5𝑖 + 2𝑖² 
4𝑖 + 3 ⋅ (−1) 4𝑖 + 2 ⋅ (−1) 1 + 4𝑖 + 3 ⋅ (−1) 2 + 5𝑖 + 2 ⋅ (−1) 
4𝑖 − 3 8𝑖 − 2 1 + 4𝑖 − 3 2 + 5𝑖 − 2 
−3 + 4𝑖 −2 + 4𝑖 −2 + 4𝑖 5𝑖 
Assim, conseguimos fazer os produtos algebricamente. Vamos, então, comparar os afixos dos 
fatores e dos produtos. 
No plano à esquerda, os afixos dos fatores; no da direita, do produto. Analise com calma as 
distâncias dos números à origem do plano complexo e os ângulos. Tente encontrar uma relação 
entre os valores dos fatores e do produto. 
 
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Conseguiu perceber algum padrão? 
São duas proposições importantes: sobre as distâncias à origem e sobre os ângulos. 
 
O produto das distâncias entre os fatores e a origem 
é igual à distância entre o produto e a origem. 
Vejamos isso em cada um desses produtos. 
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1 ⋅ 5 = 5 
2 ⋅ 2,236 = 4,472 
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Muito bem, conseguimos entender a relação entre as distâncias dos afixos até a origem. No 
produto, as distâncias são multiplicadas. 
3,1623 ⋅ 1,4142 = 4,472 
2,24 ⋅ 2,24 = 5 
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Agora, vejamos a relação angular, que relação tem os ângulos dos fatores com o ângulo do 
produto. 
Como no caso da distância à origem, vamos analisar graficamente. 
 
 
90° + 36,87° = 126,87° 
90° + 26,57° = 116,57° 
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Assim, conseguimos entender o comportamento geométrico do produto entre números 
complexos. 
3,1623 ⋅ 1,4142 = 4,472 
63,43° + 26,57° = 90° 
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No produto entre números complexos: 
as distâncias são multiplicadas; os ângulos, somados. 
Voltaremos a ver essas distâncias e ângulos mais à frente. 
Por ora, sigamos com a quarta operação fundamental: a divisão. 
3.3. DIVISÃO 
Dados os números complexos 
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 
𝑧2 = 𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝑖 
Uma divisão entre dois números complexos seria algo do tipo: 
𝑧3 =
𝑧1
𝑧2
 
Não existe um algoritmo para a divisão propriamente dita entre complexos. 
Para isso, utilizamos um artifício matemático chamado conjugado, semelhante ao que vimos 
nos conjugados dos binômios nos produtos notáveis (pois é, eles sempre aparecem). 
Dessa forma, vamos desenvolver algebricamente a divisão. 
𝑧3 =
𝑧1
𝑧2
 
𝑧3 =
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖
𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝑖
 
Nesse ponto, multiplicaremos o segundo membro da equação por 1 , mas por um 1 especial, 
uma razão com numerador e denominador idênticos e de valor igual ao conjugado do denominador 
da fração original. 
Nossa, professor, agora complicou! 
Calma, a frase é difícil, mas o procedimento, não, veja. 
𝑧3 =
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖
𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝑖
⋅ 1 
 
𝑧3 =
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖
𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝑖
⋅
𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖
𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖
 
 Multiplicamos dessa maneira para que o produto da soma pela diferença apareça e acabe 
elevando ambos os membros ao quadrado, está lembrado? 
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𝑧3 =
(𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖) ⋅ (𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖)
(𝑐 + 𝑑 ⋅ 𝑖) ⋅ (𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖)
 
 
𝑧3 =
(𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖) ⋅ (𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖)
𝑐2 − (𝑑 ⋅ 𝑖)2
 
Elevando a parte complexa ao quadrado, temos 𝑖2 = −1, ou seja, esse processo acaba por 
eliminar a parte complexa do denominador. 
𝑧3 =
(𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖) ⋅ (𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖)
𝑐2 − 𝑑² ⋅ 𝑖²
 
 
𝑧3 =
(𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖) ⋅ (𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖)
𝑐2 − 𝑑² ⋅ (−1)
 
 
𝑧3 =
(𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖) ⋅ (𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖)
𝑐2 + 𝑑²
 
Desse modo, temos uma transformação de uma divisão para uma multiplicação e já 
aprendemos a fazer as multiplicações, tanto algebricamente quanto graficamente. 
 
𝑧3 =
(𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖) ⋅ (𝑐 − 𝑑 ⋅ 𝑖)
 
 
𝑐2 + 𝑑²
 
 
𝑧3 =
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 ⋅ 𝑖 + 𝑏𝑐 ⋅ 𝑖 − 𝑏𝑑 ⋅ 𝑖2
𝑐2 + 𝑑²
 
 
Como 𝑖2 = −1, temos. 
𝑧3 =
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 ⋅ 𝑖 + 𝑏𝑐 ⋅ 𝑖 − 𝑏𝑑 ⋅ (−1)
𝑐2 + 𝑑²
 
 
𝑧3 =
𝑎𝑐 − 𝑎𝑑 ⋅ 𝑖 + 𝑏𝑐 ⋅ 𝑖 + 𝑏𝑑
𝑐2 + 𝑑²
 
 
Agrupando os termos reais e imaginários, temos. 
 
𝑧3 =
(𝑎𝑐 + 𝑏𝑑) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑) ⋅ 𝑖
𝑐2 + 𝑑²
 
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Você não precisa decorar esse resultado. Toda vez que tivermos uma divisão, efetuaremos a 
multiplicação pelo conjugado e desenvolveremos na hora, é mais seguro que decorar a fórmula. 
No entanto, se você tem facilidade com memorização e quiser, fique à vontade para memorizá-la e 
utilizá-la diretamente, ok? 
Vamos praticar um pouco? 
Exercício de fixação 
02) Efetue as divisões a seguir. 
 𝑧1 =
2 + 𝑖
3 − 2𝑖
 𝑧2 =
5 − 𝑖
1 + 𝑖
 𝑧3 =
𝑖
2 − 2𝑖
 𝑧4 =
3 − 𝑖
𝑖
 
Comentários 
𝑧1 =
2 + 𝑖
3 − 2𝑖
 
 
𝑧1 =
2 + 𝑖
3 − 2𝑖
⋅
3 + 2𝑖
3 + 2𝑖
 
 
𝑧1 =
(2 + 𝑖) ⋅ (3 + 2𝑖)
(3 − 2𝑖) ⋅ (3 + 2𝑖)
 
 
 
𝑧1 =
(2 + 𝑖) ⋅ (3 + 2𝑖)
 
 
32 − (2 ⋅ 𝑖)2
 
 
𝑧1 =
2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 ⋅ 𝑖 + 3 ⋅ 𝑖 + 2 ⋅ 𝑖2
9 − 2² ⋅ 𝑖²
 
 Lembre-se: 𝑖2 = −1. 
𝑧1 =
6 + 4𝑖 + 3𝑖 + 2 ⋅ (−1)
9 − 4 ⋅ (−1)
 
 
𝑧1 =
6 + 4𝑖 + 3𝑖 − 2
9 + 4
 
Conjugado de 3 − 2𝑖 
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Agrupando os termos reais e imaginários. 
𝑧1 =
6 + 4𝑖 + 3𝑖 − 2
9 + 4
=
4 + 7𝑖
13
 
Podemos parar por aqui. No entanto, é muito comum vermos, nos livros e nas provas, a 
divisão também separada para as partes real e imaginária do número complexo. 
𝑧1 =
4
13
+
7𝑖
13
 
As notações são equivalentes, então, quando a ocasião não exigir uma ou outra forma, fica a 
seu critério qual usar. 
 Próximo. 
𝑧2 =
5 − 𝑖
1 + 𝑖
 
 
𝑧2 =
5 − 𝑖
1 + 𝑖
⋅
1 − i
1 − i
 
 
𝑧2 =
(5 − 𝑖) ⋅ (1 − i)
(1 + 𝑖) ⋅ (1 − i)
 
 
 
𝑧2 =
(5 − 𝑖) ⋅ (1 − i)
 
 
12 − (𝑖)2
 
 
𝑧2 =
5 ⋅ 1 − 5 ⋅ 𝑖 − 1 ⋅ 𝑖 + 𝑖2
1 − 𝑖2
 
 
 Lembre-se: 𝑖2 = −1. 
𝑧2 =
5 − 5𝑖 − 𝑖 + (−1)
1 − (−1)
 
 
𝑧2 =
5 − 5𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
 
 
 
Conjugado de 1 + 𝑖 
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Agrupando os termos reais e imaginários. 
𝑧2 =
5 − 5𝑖 − 𝑖 − 1
1 + 1
 
 
𝑧2 =
4 − 6𝑖
2
 
 
𝑧2 = 2 − 3𝑖 
Mais um. 
𝑧3 =
𝑖
2 − 2𝑖
 
 
𝑧3 =
𝑖
2 − 2𝑖
⋅
2 + 2𝑖
2 + 2𝑖
 
 
𝑧3 =
𝑖 ⋅ (2 + 2𝑖)
2 − 2𝑖 ⋅ (2 + 2𝑖)
 
 
 
𝑧3 =
𝑖 ⋅ (2 + 2𝑖)
22 − (2 ⋅ 𝑖)2
 
 
𝑧3 =
2𝑖 + 2 ⋅ 𝑖2
4 − 2² ⋅ 𝑖²
 
 Lembre-se: 𝑖2 = −1. 
𝑧3 =
2𝑖 + 2 ⋅ (−1)
4 − 4 ⋅ (−1)
 
 
𝑧3 =
2𝑖 − 2
4 + 4
 
 
𝑧3 =
2𝑖 − 2
8
 
 
𝑧3 = −
2
8
+
2 ⋅ 𝑖
8
 
Conjugado de 2 − 2𝑖 
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Aqui, podemos fazer uma simplificação. 
𝑧3 = −
 2 
 8 
4 +
 2 𝑖
 8 
4 
𝑧3 = −
1
4
+
𝑖
4
 
O último. 
𝑧4 =
3 − 𝑖
𝑖
 
Aqui, não precisamos multiplicar pelo conjugado, visto que não temos os dois termos no 
denominador, então não conseguiremos produzir o produto notável diferença de dois quadrados. 
Para eliminarmos o númeroimaginário do denominador, basta que multipliquemos por 𝑖. 
𝑧4 =
3 − 𝑖
𝑖
⋅
𝑖
𝑖
 
 
𝑧4 =
(3 − 𝑖) ⋅ 𝑖
𝑖2
 
 
𝑧4 =
3𝑖 − 𝑖2
𝑖2
 
E quanto vale 𝑖2? 
 −1. 
𝑧4 =
3𝑖 − (−1)
−1
 
 
𝑧4 =
3𝑖 + 1
−1
 
Separando as frações. 
𝑧4 =
1
−1
+
3𝑖
−1
 
 
𝑧4 = −1 − 3𝑖 
4. CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
Vimos que na divisão utilizamos a ideia de conjugado, a mesma ideia que usávamos nos 
binômios para definir, nos produtos notáveis, a diferença de dois quadrados, está lembrado? 
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Na divisão, nós utilizamos essa ideia de conjugado para atingir um fim específico: produzir 
um produto notável no denominador de modo a “eliminar” a parte imaginária dessa posição e, 
assim, transformar a divisão em uma multiplicação. 
Essa ideia de conjugado que utilizamos toma forma no que chamamos conjugado de um 
número complexo e sua notação é a seguinte: 
Dado o número complexo 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 
Seu conjugado algébrico é dado por 
𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑖 
E como fica um conjugado no plano de Argand-Gauss? 
Simples. 
Você percebeu que só mudamos o sinal da parte imaginária do número complexo 𝑧? 
 
Assim, o afixo do conjugado de um número complexo 𝑧 traz simetria com o eixo dos números 
reais, horizontal. 
Vamos explicitar essa propriedade com um exercício. 
Exercício de fixação 
03) Marque os afixos dos números complexos e de seus conjugados no plano de Argand-
Gauss. 
a) 𝑎 = 2 + 𝑖 b) 𝑏 = −1 + 2𝑖 c) 𝑐 = −2 − 4𝑖 d) 𝑑 = 3𝑖 
e) 𝑒 = 1 f) 𝑓 = −3 g) 𝑔 = 3 − 2𝑖 h) ℎ = −1 − 𝑖 
i) 𝑘 = 4 + 5𝑖 j) 𝑚 = −3𝑖 
Comentários 
Calculando os conjugados. 
a) 𝑎 = 2 + 𝑖 → �̅� = 2 − 𝑖 b) 𝑏 = −1 + 2𝑖 → �̅� = −1 − 2𝑖 
c) 𝑐 = −2 − 4𝑖 → 𝑐̅ = −2 + 4𝑖 d) 𝑑 = +3𝑖 → �̅� = −3𝑖 
e) 𝑒 = 1 → �̅� = 1 f) 𝑓 = −3 → 𝑓̅ = −3 
g) 𝑔 = 3 − 2𝑖 → �̅� = 3 + 2𝑖 h) ℎ = −1 − 𝑖 → ℎ̅ = −1 + 𝑖 
i) 𝑘 = 4 + 5𝑖 → �̅� = 4 − 5𝑖 j) 𝑚 = −3𝑖 → �̅� = +3𝑖 
Marcando os conjugados no plano Argand-Gauss. 
 
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5. FORMA TRIGONOMÉTRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
Vimos no início da aula três formas de escrevermos um número complexo: 
 
 
Veremos, agora, como utilizar a forma trigonométrica 
𝑧 = |𝑧| ⋅ (cos(𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃)) 
Antes de entrarmos no assunto propriamente dito, façamos uma breve retomada dos 
conceitos de seno e cosseno, já que precisaremos bastante deles por aqui. 
Número complexo 𝑧
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 Forma algébrica
𝑧 = 𝑎, 𝑏 Forma de par ordenado
𝑧 = 𝑧 ⋅ cos 𝜃 + 𝑖 ⋅ sen 𝜃 Forma trigonométrica
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5.1. REVISANDO SENO E COSSENO E TANGENTE NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Quanto estudamos senos e cossenos no triângulo retângulo vimos que, dado um triângulo 
retângulo e definido um ângulo 𝜃, temos: 
 
 
sen(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
 
 
cos(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
 
 
tg(𝜃) =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
 
 
Quando estamos no plano Argand-Gauss, o afixo do número complexo explicita a distância 
deste à origem, sua parte real e sua parte imaginária. 
Perceba que há, entre esses elementos, uma semelhança com o triângulo retângulo anterior, 
veja. 
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Para uma comparação mais direta, vamos retirar o triângulo do plano Argand-Gauss. 
 
 
Para simplificação, chamaremos, a partir de agora, a distância entre o afixo de 𝑧 e a origem 
de módulo de 𝑧, ou |𝑧|. 
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Desse modo, podemos fazer um paralelo entre os triângulos e as razões seno e cosseno, veja. 
sen(𝜃) =
𝑐𝑜
ℎ𝑖𝑝
=
𝑏
|𝑧|
 
 
cos(𝜃) =
𝑐𝑎
ℎ𝑖𝑝
=
𝑎
|𝑧|
 
 
tg(𝜃) =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
=
𝑏
𝑎
 
Simplificando as equações do seno e do cosseno, temos. 
𝐬𝐞𝐧(𝜽) =
𝒄𝒐
𝒉𝒊𝒑
=
𝒃
|𝒛|
 𝐜𝐨𝐬(𝜽) =
𝒄𝒂
𝒉𝒊𝒑
=
𝒂
|𝒛|
 
sen(𝜃) =
𝑏
|𝑧|
 cos(𝜃) =
𝑎
|𝑧|
 
|𝑧| ⋅ sen(𝜃) =
𝑏
|𝑧|
⋅ |𝑧| |𝑧| ⋅ cos(𝜃) =
𝑎
|𝑧|
⋅ |𝑧| 
|𝑧| ⋅ sen(𝜃) =
𝑏
 |𝑧| 
⋅ |𝑧| |𝑧| ⋅ cos(𝜃) =
𝑎
 |𝑧| 
⋅ |𝑧| 
|𝑧| ⋅ sen(𝜃) = 𝑏 |𝑧| ⋅ cos(𝜃) = 𝑎 
 
É comum vermos |𝑧| representado pela letra grega rho (𝜌) e até pela letra minúscula 𝑟. 
|𝑧| = 𝜌 = 𝑟 
5.2. FORMA TRIGONOMÉTRICA (OU POLAR) 
Como a forma algébrica de nosso número complexo 𝑧 é da forma 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖, 
podemos dizer que 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 
𝑧 = |𝑧| ⋅ cos(𝜃) + |𝑧| ⋅ sen(𝜃) ⋅ 𝑖 
Colocando |𝑧| em evidência, temos. 
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𝑧 = |𝑧| ⋅ (cos(𝜃) + sen(𝜃) ⋅ 𝑖) 
Ou, como muitos livros preferem, 
𝑧 = |𝑧| ⋅ (cos(𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃)) 
que é a nossa forma trigonométrica, ou forma polar, para o número complexo 𝑧. 
5.3. NORMA DE UM NÚMERO COMPLEXO 
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo que fizemos para o número complexo 𝑧. 
 
Nessas condições, temos. 
|𝑧|2 = 𝑎2 + 𝑏2 
Chamamos de Norma de um número complexo, 𝑁(𝑧), a expressão 𝑎2 + 𝑏2, assim, 
|𝑧|2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑁(𝑧) 
Extraindo a raiz quadrada de todos os termos da equação, temos: 
√|𝑧|2 = √𝑎2 + 𝑏2 = √𝑁(𝑧) 
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 = √𝑁(𝑧) 
5.4. ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
O argumento de um número complexo 𝑧, simbolizado por arg(𝑧), é o próprio ângulo 𝜃, entre 
o segmento de reta que liga o afixo de 𝑧 à origem. 
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6. POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO NOS COMPLEXOS 
6.1. POTENCIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
Vamos, agora, fazer um paralelo entre a multiplicação entre números complexos e a 
potenciação. 
Vimos que, ao multiplicarmos dois números complexos, seus módulos são multiplicados e 
seus ângulos, somados. 
Se vamos elevar um número complexo, digamos, ao quadrado, é de se esperar que seu 
módulo seja elevado ao quadrado e seu ângulo, dobrado, como vimos nos gráficos anteriores. 
Graficamente, temos algo como: 
 
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Esse padrão se dá indefinidamente. A cada vez que multiplicamos um número por ele mesmo, 
multiplicamos seu módulo e somamos seu argumento. 
Escrevendo esse comportamento dentro da forma trigonométrica do número complexo, 
temos: 
𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛 ⋅ (cos(𝑛 ⋅ 𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝑛 ⋅ 𝜃)) 
Onde 
 
 
 
𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛 ⋅ (cos( 𝑛 ⋅ 𝜃 ) + 𝑖 ⋅ sen( 𝑛 ⋅ 𝜃 )) 
 
 
Essa fórmula aparece nos livros com vários nomes diferentes: a primeira fórmula de Moivre 
(nomenclatura que usaremos durante o curso), fórmula de potenciação de De Moivre, ou ainda, 
fórmula de De Moivre. 
Exercício de fixação 
04) Calcule 𝑖3 com a fórmula de Moivre. 
Comentários 
Embora saibamos o valor de 𝑖3, vamos aplicar a fórmula de Moivre para entender melhor seu 
funcionamento. 
O número 𝑖 está no eixo vertical, sua distância até a origem é de 1 unidade e seu argumento 
é de 90°. 
 
O ângulo original é multiplicado por 𝑛 
Elevar um número complexo a potência 𝑛 
O módulo é elevado à potência 𝑛 
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A fórmula de potenciação de Moivre nos diz que 
𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛 ⋅ (cos(𝑛 ⋅ 𝜃) +𝑖 ⋅ sen(𝑛 ⋅ 𝜃)). 
Aplicando ao número 𝑖, temos. 
𝑖3 = |1|3 ⋅ (cos(3 ⋅ 90°) + 𝑖 ⋅ sen(3 ⋅ 90°)) 
𝑖3 = 1 ⋅ (cos(270°) + 𝑖 ⋅ sen(270°)) 
𝑖3 = 0 + i ⋅ (−1) 
𝑖3 = −𝑖 
Concordando com o que já havíamos visto acerca das potências de 𝑖. 
 6.2. RADICIAÇÃO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
Se a primeira fórmula de Moivre trata sobre a potenciação, a segunda trata da operação 
inversa, a radiciação. 
A potenciação e a radiciação guardam uma relação, que já estudamos no início do curso: 
√𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 
Assim, podemos entender a radiciação como um caso específico da potenciação com 
expoentes fracionários. 
Para o caso da raiz enésima de um número qualquer, podemos dizer apenas que 
√𝑎
𝑛
= 𝑎
1
𝑛 
Vamos analisar a primeira fórmula de Moivre sob essa perspectiva. 
𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛 ⋅ (cos(𝑛 ⋅ 𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝑛 ⋅ 𝜃)), 
onde 
𝑧 = |𝑧| ⋅ (cos(𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃)). 
Nesse mesmo princípio, se estamos procurando a raiz enésima de um número complexo, 
podemos escrever a mesma fórmula de Moivre para potenciação, mas com o expoente fracionário. 
√𝑧
𝑛
= 𝑧
1
𝑛 = |𝑧|
1
𝑛 ⋅ (cos (
1
𝑛
⋅ 𝜃) + 𝑖 ⋅ sen (
1
𝑛
⋅ 𝜃)) 
Ou, se preferir, 
√𝑧
𝑛
= 𝑧
1
𝑛 = |𝑧|
1
𝑛 ⋅ (cos (
𝜃
𝑛
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜃
𝑛
)) 
O problema é que essa fórmula só apresenta uma raiz e, como podemos perceber quando 
estudamos multiplicações de números complexos nos gráficos, há mais respostas que acabaram 
ficando ocultas. 
Na próxima aula nós veremos que a raiz enésima de um número complexo apresenta 
exatamente 𝑛 respostas, ou raízes. 
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Essas outras raízes que estão ocultas não apareceram pelo fato de estarmos lidando com 
senos e cossenos, funções cíclicas que podem apresentar infinitas respostas para uma equação 
dentro de sua amplitude. 
Dentro dessas infinitas respostas, muitas são equivalentes entre si, outras não. Mas como 
vamos descobri-las e diferenciar umas das outras? 
Simples. 
Para que não deixemos resposta alguma de fora, vamos adicionar um termo cíclico ao ângulo 
𝜃, e, em vez de considerá-lo único, vamos considerá-lo a cada volta do ciclo trigonométrico, ou seja, 
substituiremos 𝜃 por 𝜃 + 2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋, com 𝑘 ∈ ℤ. 
Dessa forma, não deixamos raiz alguma de fora. 
Mas, em contrapartida, estamos considerando infinitas respostas, mas foi dito que teríamos 
apenas 𝑛 respostas. Como fazemos para escolher uma de cada tipo, sem repetir as que são 
equivalentes? 
Simples também. 
Nós vamos considerar quaisquer 𝑛 inteiros e consecutivos. Se queremos calcular uma raiz 
cúbica, escolheremos 3 números inteiros consecutivos para nossa fórmula. Se estamos atrás de uma 
raiz quinta, 5 números inteiros e consecutivos. Raiz décima? 10 números inteiros e consecutivos. 
Mas professor, se eu estiver calculando uma raiz quarta, terei que escolher 4 números 
inteiros e consecutivos para colocar no lugar de 𝑘 na fórmula, correto? 
Correto. 
Posso começar do 22 e escolher 22,23,24 e 25? 
Pode, claro. 
Você pode escolher, sim, quaisquer 4 números inteiros e consecutivos, inclusive negativos. 
No entanto, dará muito trabalho. 
Por isso, aconselho sempre começar a sua escolha pelo zero e, daí, seguir até 𝑛 − 1. 
No caso da raiz quarta que você perguntou, indico escolher 𝑘 = 0,1,2,3. 
Corrigindo a fórmula para que consigamos todas as raízes de um número complexo, temos. 
 
 
 
√𝑧
𝑛
= √|𝑧|
𝑛
⋅ (cos (
𝜃
𝑛
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
𝑛
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜃
𝑛
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
𝑛
)) 
 
 
 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3, … , 𝑛 − 1. 
O ângulo original é dividido por 𝑛 
Extrair a raiz enésima de um número complexo 
Extrai-se a raiz enésima do 
módulo do número complexo 
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As duas fórmulas de Moivre podem ser escritas tanto com os ângulos em radianos (𝜃, 𝜋) quanto em 
graus (𝜃, 180°). 
Essa é a segunda fórmula de Moivre e a utilizamos sempre que precisamos calcular a raiz 
enésima de um número complexo. 
Vamos fazer um exercício para praticar? 
Exercício de fixação 
05) Calcule, com a segunda fórmula de Moivre, as raízes dos seguintes números complexos. 
a) √−1 b) √𝑖
3
 c) √16(cos(120°) + 𝑖 ⋅ sen(120°))
4
 
Comentários 
a) √−1 
Professor, eu já sei quanto é a raiz de −1, é 𝑖. Preciso mesmo calcular? 
Pois é, lembra-se de que dissemos que para uma raiz enésima há 𝑛 repostas? Para uma raiz 
quadrada, esperamos ter 2 raízes e 𝑖 é somente uma, qual é a outra raiz? 
Vamos aplicar a fórmula e descobrir. 
O número −1 está no eixo dos reais, a uma distância de uma unidade da origem, portanto de 
módulo 1 e com 180° ou 𝜋 𝑟𝑎𝑑 de argumento. 
 
Assim, podemos montar a segunda fórmula de Moivre para a raiz quadrada de −1. 
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√−1 = √−1
2
= √|−1|
2
⋅ (cos (
𝜋
2
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
2
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜋
2
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
2
)) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1. 
Para 𝑘 = 0. 
√−1 = √|−1|
2
⋅ (cos (
𝜋
2
+
2 ⋅ 0 ⋅ 𝜋
2
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜋
2
+
2 ⋅ 0 ⋅ 𝜋
2
)) 
√−1 = √1 ⋅ (cos (
𝜋
2
+ 0) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜋
2
+ 0)) 
√−1 = 1 ⋅ (cos (
𝜋
2
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜋
2
)) 
√−1 = 1 ⋅ (0 + 𝑖 ⋅ 1) 
√−1 = 𝑖 
Que é a raiz que já conhecíamos. 
Para 𝑘 = 1. 
√−1 = √|−1|
2
⋅ (cos (
𝜋
2
+
2 ⋅ 1 ⋅ 𝜋
2
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜋
2
+
2 ⋅ 1 ⋅ 𝜋
2
)) 
√−1 = √1 ⋅ (cos (
𝜋
2
+
2𝜋
2
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜋
2
+
2𝜋
2
)) 
√−1 = √1 ⋅ (cos (
3𝜋
2
) + 𝑖 ⋅ sen (
3𝜋
2
)) 
√−1 = 1 ⋅ (0 + 𝑖 ⋅ (−1)) 
√−1 = −𝑖 
Que é a raiz que ainda não conhecíamos. 
Portanto, temos duas raízes quadradas para −1: 𝑖 e −𝑖. 
 
b) √𝑖
3
 
Como já vimos, número 𝑖 está no eixo vertical, sua distância até a origem é de 1 unidade e 
seu argumento é de 90°. 
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Assim, vamos aplicar a fórmula de Moivre para calcularmos as raízes cúbicas de 𝑖. 
Como exercício, vamos utilizá-la com os ângulos em graus. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
3
)) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2. 
Para 𝑘 = 0. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
3
)) 
√𝑖
3
= √1
3
⋅ (cos(30°) + 𝑖 ⋅ sen(30°)) 
√𝑖
3
= 1 ⋅ (
√3
2
+ 𝑖 ⋅
1
2
) 
√𝑖
3
=
√3
2
+
1
2
⋅ 𝑖 
Para 𝑘 = 1. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
3
)) 
√𝑖
3
= √1
3
⋅ (cos(30° + 120°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 120°)) 
√𝑖
3
= 1 ⋅ (cos(150°) + 𝑖 ⋅ sen(150°)) 
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√𝑖
3
= −
√3
2
+ 𝑖 ⋅ (
1
2
) 
√𝑖
3
= −
√3
2
+
1
2
𝑖 
Para 𝑘 = 2. 
√𝑖
3
= √|1|
3
⋅ (cos (
90°
3
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
3
) + 𝑖 ⋅ sen (
90°
3
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
3
)) 
√𝑖
3
= √1
3
⋅ (cos(30° + 240°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 240°)) 
√𝑖
3
= 1 ⋅ (cos(270°) + 𝑖 ⋅ sen(270°)) 
√𝑖
3
= 0 + 𝑖 ⋅ (−1) 
√𝑖
3
= −𝑖 
Portanto, temos três raízes cúbicas para 𝑖: 
√3
2
+
1
2
⋅ 𝑖 , −
√3
2
+
1
2
𝑖 𝑒 − 𝑖 
 
c) √16(cos(120°) + 𝑖 ⋅ sen(120°))
4
 
Como nosso número complexo já está com o argumento em graus, usaremos nossa fórmula 
também em graus. 
Por simplicidade, chamemos 
𝑧 = 16(cos(120°) + 𝑖 ⋅ sen(120°)). 
Dessa forma, 
√𝑧
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 180°
4
)) 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3. 
Para 𝑘 = 0. 
√𝑧
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 0 ⋅ 180°
4
)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (cos(30° + 0) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 0)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (cos(30°) + 𝑖 ⋅ sen(30°)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (
√3
2
+ 𝑖 ⋅
1
2
) 
√𝑧
4
= 2 ⋅
√3
 2 
+ 2 ⋅ 𝑖 ⋅
1
 2 
 
√𝑧
4
= √3 + 𝑖 ⋅ 1 
√𝑧
4
= √3 + 𝑖 
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Aula 13 – Números complexos 
www.estrategiavestibulares.com.brPara 𝑘 = 1. 
√𝑧
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 1 ⋅ 180°
4
)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (cos(30° + 90°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 90°)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (cos(120°) + 𝑖 ⋅ sen(120°)) 
Reduzindo ao primeiro quadrante, temos. 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (− cos(60°) + 𝑖 ⋅ sen(60°)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (−
1
2
+ 𝑖 ⋅
√3
2
) 
√𝑧
4
= − 2 ⋅
1
 2 
+ 2 ⋅ 𝑖 ⋅
√3
 2 
 
√𝑧
4
= −1 + √3𝑖 
Para 𝑘 = 2. 
√𝑧
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 2 ⋅ 180°
4
)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (cos(30° + 180°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 180°)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (cos(210°) + 𝑖 ⋅ sen(210°)) 
Reduzindo ao primeiro quadrante, temos. 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (− cos(30°) + 𝑖 ⋅ (−sen(30°))) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (−
√3
2
+ 𝑖 ⋅ (−
1
2
)) 
√𝑧
4
= − 2 ⋅
√3
 2 
− 2 ⋅ 𝑖 ⋅
1
 2 
 
√𝑧
4
= −√3 − 𝑖 
Para 𝑘 = 3. 
√𝑧
4
= √16
4
⋅ (cos (
120°
4
+
2 ⋅ 3 ⋅ 180°
4
) + 𝑖 ⋅ sen (
120°
4
+
2 ⋅ 3 ⋅ 180°
4
)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (cos(30° + 270°) + 𝑖 ⋅ sen(30° + 270°)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (cos(300°) + 𝑖 ⋅ sen(300°)) 
Reduzindo ao primeiro quadrante, temos. 
√𝑧
4
= 2 ⋅ (cos(60°) + 𝑖 ⋅ (−sen(60°))) 
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√𝑧
4
= 2 ⋅ (
1
2
+ 𝑖 ⋅ (−
√3
2
)) 
√𝑧
4
= 2 ⋅
1
 2 
− 2 ⋅ 𝑖 ⋅
√3
 2 
 
√𝑧
4
= 1 − √3𝑖 
Portanto, temos quatro raízes quartas para 16(cos(120°) + 𝑖 ⋅ sen(120°)): 
√3 + 𝑖 , − 1 + √3𝑖 , − √3 − 𝑖 𝑒 1 − √3𝑖 
7. RESUMO 
 
 
Número 
complexo
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑅𝑒 𝑧 = 𝑎 Parte real de 𝑧
𝐼𝑚 𝑧 = 𝑏 Parte imaginária de 𝑧
𝑁 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 Norma de 𝑧
𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2 Módulo de 𝑧
𝑧 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 Forma algébrica
𝑧 = 𝑎, 𝑏
Forma de 
par ordenado
𝑧 = 𝑧 ⋅ cos 𝜃 + 𝑖 ⋅ sen 𝜃 Forma trigonométrica
𝑧𝑛 = 𝑧 𝑛 ⋅ cos 𝑛 ⋅ 𝜃 + 𝑖 ⋅ sen 𝑛 ⋅ 𝜃
1ª fórmula de Moivre
Potenciação
𝑛 𝑧 =
𝑛
𝑧 ⋅ cos
𝜃
𝑛
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
𝑛
+ 𝑖 ⋅ sen
𝜃
𝑛
+
2 ⋅ 𝑘 ⋅ 𝜋
𝑛
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 = 0,1,2,3, … , 𝑛 − 1.
2ª fórmula de 
Moivre
Radiciação
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8. FÓRMULAS, DEMONSTRAÇÕES E COMENTÁRIOS 
8.1. DEDUÇÃO DA PRIMEIRA FÓRMULA DE MOIVRE 
Tomemos dois números complexos 
𝑧1 = |𝑧1| ⋅ (cos(𝜃1) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃1)) 
𝑧2 = |𝑧2| ⋅ (cos(𝜃2) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃2)) 
Então 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = |𝑧1| ⋅ (cos(𝜃1) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃1)) ⋅ |𝑧2| ⋅ (cos(𝜃2) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃2)) 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = |𝑧1| ⋅ |𝑧2| ⋅ (cos(𝜃1) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃1)) ⋅ (cos(𝜃2) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃2)) 
 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = |𝑧1| ⋅ |𝑧2| ⋅ (cos(𝜃1) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃1)) ⋅ (cos(𝜃2) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃2)) 
 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = |𝑧1||𝑧2|(cos(𝜃1) cos(𝜃2) + cos(𝜃1) 𝑖 sen(𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1) cos(𝜃2) + 𝑖 sen(𝜃1) 𝑖 sen(𝜃2)) 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2
= |𝑧1||𝑧2|(cos(𝜃1) cos(𝜃2) + (cos(𝜃1) sen(𝜃2) + sen(𝜃1) cos(𝜃2))𝑖 + 𝑖² sen(𝜃1) 𝑖 sen(𝜃2)) 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = |𝑧1||𝑧2|(cos(𝜃1) cos(𝜃2) + (cos(𝜃1) sen(𝜃2) + sen(𝜃1) cos(𝜃2))𝑖 + (−1) sen(𝜃1) 𝑖 sen(𝜃2)) 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = |𝑧1||𝑧2|(cos(𝜃1) cos(𝜃2) + (cos(𝜃1) sen(𝜃2) + sen(𝜃1) cos(𝜃2))𝑖 − sen(𝜃1) 𝑖 sen(𝜃2)) 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = |𝑧1||𝑧2|(cos(𝜃1) cos(𝜃2) − sen(𝜃1) 𝑖 sen(𝜃2) + (cos(𝜃1) sen(𝜃2) + sen(𝜃1) cos(𝜃2))𝑖) 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = |𝑧1||𝑧2|(cos(𝜃1 + 𝜃2) + (sen(𝜃1 + 𝜃2))𝑖) 
 
𝑧1 ⋅ 𝑧2 = |𝑧1||𝑧2|(cos(𝜃1 + 𝜃2) + 𝑖 ⋅ (sen(𝜃1 + 𝜃2))) 
 
Ao multiplicar dois números complexos, multiplica-se os módulos e soma-se os argumentos. 
Dessa forma, ao tomar um número complexo genérico 
𝑧 = |𝑧| ⋅ (cos(𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃)) 
Aplicando a fórmula da multiplicação anterior, temos. 
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𝑧 ⋅ 𝑧 = |𝑧| ⋅ |𝑧| ⋅ (cos(𝜃 + 𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃 + 𝜃)) 
𝑧2 = |𝑧|2 ⋅ (cos(2𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(2𝜃)) 
Reaplicando. 
𝑧3 = 𝑧 ⋅ 𝑧2 = |𝑧| ⋅ |𝑧|2 ⋅ (cos(𝜃 + 2𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃 + 2𝜃)) 
𝑧3 = |𝑧|3 ⋅ (cos(3𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(3𝜃)) 
Reaplicando. 
𝑧4 = 𝑧 ⋅ 𝑧3 = |𝑧| ⋅ |𝑧|3 ⋅ (cos(𝜃 + 3𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃 + 3𝜃)) 
𝑧4 = |𝑧|4 ⋅ (cos(4𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(4𝜃)) 
Se continuarmos o padrão indefinidamente, temos. 
𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛 ⋅ (cos(𝑛𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝑛𝜃)) 
Que é a primeira fórmula de Moivre, a fórmula para a potenciação de um número complexo 
na forma trigonométrica. 
 
8.2. RADICIAÇÃO DE COMPLEXOS NA FORMA ALGÉBRICA 
Uma fórmula muito útil para calcular a raiz quadrada de números complexos é dada por 
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 
√𝑧 = ±(√
|𝑧| + 𝑎
2
± √
|𝑧| − 𝑎
2
⋅ 𝑖) 
 
Essa fórmula não substitui a fórmula de Moivre 
8.3. NOTAÇÃO CIS(Θ) 
Embora não usual nos vestibulares, o número complexo 
𝑧 = |𝑧| ⋅ (cos(𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃)) 
pode ser escrito com a notação 𝑐𝑖𝑠(𝜃) substituindo cos(𝜃) + 𝑖 ⋅ sen(𝜃). 
𝑧 = |𝑧| ⋅ 𝑐𝑖𝑠(𝜃) 
 
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9. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 
1. (EEAR/2019) 
A parte real das raízes complexas da equação 𝑥² − 4𝑥 + 13 = 0, é igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
2. (Espcex/2019) 
No plano complexo, temos uma circunferência 𝜆 de raio 2 centrada na origem. Sendo 
𝐴𝐵𝐶𝐷 um quadrado inscrito à 𝜆, de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o 
número complexo que representa o vértice 𝐵 é 
 
𝑎) −
1
2
+
√3
2
𝑖 𝑏) − √3 − 𝑖 𝑐) − 1 + √3𝑖 
𝑑) −
1
2
−
√3
2
𝑖 𝑒) −
√3
2
+
1
2
𝑖 
3. (Pucsp/2018) 
Considere os números complexos 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = −𝑏 + 3𝑖 e 𝑧3 = −𝑏 + 3𝑖, com 𝑎 e 
𝑏 números inteiros. Sabendo que 
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0, 
o valor de 
(
𝑧2
𝑧1
)
3
 
é igual a 
a) 1. b) −1. c) −𝑖. d) 𝑖. 
 
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4. (FGV/2017) 
Seja 𝑍 um número complexo cujo afixo 𝑃 está localizado no 1° quadrante do plano 
complexo, e sejam 𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼, 𝐼𝑉 e 𝑉 os afixos de cinco outros números complexos, conforme 
indica a figura seguinte. 
 
Se a circunferência traçada na figura possui raio 1 e está centrada na origem do plano 
complexo, então o afixo de 
1
𝑍
 pode ser 
a) 𝐼. b) 𝐼𝐼 c) 𝐼𝐼𝐼. d) 𝐼𝑉. e) 𝑉. 
5. (Mackenzie/2017) 
Se 
2 + 𝑖
𝛽 + 2𝑖
 
 tem parte imaginária igual a zero, então o número real 𝛽 é igual a 
a) 4 b) 2 c) 1 d) -2 e) -4 
6. (Unicamp/2016) 
Considere o número complexo 
𝑧 =
1 + 𝑎𝑖
𝑎 − 𝑖
, 
onde 𝑎 é um número real e 𝑖 é a unidade imaginária, isto é, 𝑖2 = −1. 
O valor de 𝑧2016 é igual a 
a) 
2016. 
b) 1. c) 1 +
2016𝑖. 
d) 𝑖. 
7. (Espcex/2016) 
Se 
(1 + 𝑖) ⋅ (cos (
𝜋
12
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜋
12
)) = 𝑥 + 𝑦 ⋅ 𝑖 
em que i é a unidade imaginária e 𝑥 e 𝑦 são números reais, o valor de √3 ⋅ 𝑥 + 𝑦 é 
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𝑎) √6 𝑏) √3 𝑐)
√2
2
 𝑑) 3√6 𝑒)
√3
2
 
8. (Unicamp/2015) 
Sejam 𝑥 e 𝑦 números reais tais que 𝑥 + 𝑦𝑖 = √3 + 4𝑖, onde 𝑖 é a unidade imaginária. 
O valor de 𝑥𝑦 é igual a 
a) -2. b) -1. c) 1. d) 2. 
9. (Unicamp/2014) 
O módulo do número complexo 𝑧 = 𝑖2014 − 𝑖1987 é igual a 
a) √2 b) 0 c) √3 d) 1 
10. (Unicamp/2013) 
Chamamos de unidade imaginária e denotamos por 𝑖 o número complexo tal que 𝑖2 =
−1. 
Então 𝑖0 + 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 +⋯+ 𝑖2013 vale 
a) 0 b) 1 c) 𝑖 d) 1 + 𝑖 
11. (Unesp/2008) 
Considere o número complexo 
𝑧 = cos (
𝜋
6
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜋
6
) 
O valor de 𝑧3 + 𝑧6 + 𝑧12 é 
𝑎) − 𝑖 𝑏)
1
2
+
√3
2
𝑖 𝑐) 𝑖 − 2 𝑑) 𝑖 𝑒) 2𝑖 
12. (Unesp/2006) 
A figura representa, no plano complexo, um semicírculo de centro na origem e raio 1. 
 
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Indique por 𝑅𝑒(𝑧), 𝐼𝑚(𝑧) e |𝑧| a parte real, a parte imaginária e o módulo de um 
número complexo𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖, respectivamente, onde 𝑖 indica a unidade imaginária. A única 
alternativa que contém as condições que descrevem totalmente o subconjunto do plano que 
representa a região sombreada, incluindo sua fronteira, é 
a) 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0, 𝐼𝑚(𝑧) ≥ 0 e |𝑧| ≤ 1 
b) 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0, 𝐼𝑚(𝑧) ≤ 0 e |𝑧| ≤ 1 
c) 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0 e |𝑧| ≥ 1 
d) 𝐼𝑚(𝑧) ≥ 0 e |𝑧| ≥ 1 
e) 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0e |𝑧| ≤ 1 
13. (Unesp/2003) 
Se 𝑧 = (2 + 𝑖) ⋅ (1 + 𝑖) ⋅ 𝑖, então, o conjugado de 𝑧 será dado por 
a) −3 − 𝑖 b) 1 − 3𝑖 c) 3 − 𝑖 d) −3 + 𝑖 e) 3 + 𝑖 
14. (Unesp/1999) 
Considere o número complexo 𝑧 = 𝑖, onde 𝑖 é a unidade imaginária. O valor de 
𝑧4 + 𝑧3 + 𝑧2 + 𝑧 +
1
𝑧
 
é 
a) −1 b) 0 c) 1 d) 𝑖 e) −𝑖 
15. (Fuvest/1998) 
Dentre os números complexos z = a + bi, não nulos, que têm argumento igual a 
𝜋
4
, aquele 
cuja representação geométrica está sobre a parábola 𝑦 = 𝑥² é 
a) 1 + 𝑖 b) 1 − 𝑖 c) −1 − 𝑖 
d) √2 + √2 ⋅ 𝑖 e) −√2 + 2 ⋅ 𝑖 
16. (Fuvest/1997) 
Sendo 𝑖 a unidade imaginária (𝑖2 = −1) pergunta-se: quantos números reais a existem 
para os quais (𝑎 + 𝑖)4 é um número real? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos 
17. (Fuvest/1996) 
Dado o número complexo 𝑧 = √3 + 𝑖 qual é o menor valor do inteiro 𝑛 ≥ 1 para o qual 
𝑧𝑛 é um número real? 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 
18. (Fuvest/1995) 
Sabendo que 𝛼 é um número real e que a parte imaginária do número complexo 
2 + 𝑖
 𝛼 + 2𝑖
 
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é zero, então 𝛼 é: 
a) −4. b) −2. c) 1. d) 2. e) 4. 
19. (Unesp/1990) 
O diagrama que melhor representa as raízes cúbicas de −𝑖 é 
 
 
 
 
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10. GABARITO DAS QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 
 
1. B 
2. C 
3. C 
4. C 
5. A 
6. B 
7. A 
8. D 
9. A 
10. D 
11. D 
12. E 
13. A 
14. E 
15. A 
16. C 
17. C 
18. E 
19. B 
 
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11. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES RESOLVIDAS E COMENTADAS 
1. (EEAR/2019) 
A parte real das raízes complexas da equação 𝑥² − 4𝑥 + 13 = 0, é igual a 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
Comentários 
Muito bem, vamos resolver a equação do segundo grau como faríamos normalmente, com a 
fórmula de Bhaskara. 
𝑥² − 4𝑥 + 13 = 0 
 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 = (−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 13 = 16 − 52 = −36 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−(−4) ± √−36
2 ⋅ 1
=
4 ± √−36
2
 
Agora que encontramos uma raiz quadrada de número negativo, podemos decompô-la em 
duas raízes, uma positiva e uma negativa de módulo 1, veja. 
√−36 = √(36) ⋅ (−1) = √36 ⋅ √−1 
Como 𝑖 = √−1, temos. 
√−36 = √(36) ⋅ (−1) = √36 ⋅ √−1 = 6 ⋅ 𝑖 
Voltemos à nossa equação. 
𝑥 =
4 ± √−36
2
==
4 ± 6 ⋅ 𝑖
2
{
 
 
 
 𝑥′ =
4 + 6 ⋅ 𝑖
2
=
4
2
+
6 ⋅ 𝑖
2
= 2 + 3 ⋅ 𝑖
)
𝑥′′ =
4 − 6 ⋅ 𝑖
2
=
4
2
−
6 ⋅ 𝑖
2
= 2 − 3 ⋅ 𝑖
 
Como o exercício nos pede qual é a parte real das raízes complexas da equação, nossa resposta 
é 2. 
Gabarito: b) 
 
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2. (Espcex/2019) 
No plano complexo, temos uma circunferência 𝜆 de raio 2 centrada na origem. Sendo 
𝐴𝐵𝐶𝐷 um quadrado inscrito à 𝜆, de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o 
número complexo que representa o vértice 𝐵 é 
 
𝑎) −
1
2
+
√3
2
𝑖 𝑏) − √3 − 𝑖 𝑐) − 1 + √3𝑖 
𝑑) −
1
2
−
√3
2
𝑖 𝑒) −
√3
2
+
1
2
𝑖 
Comentários 
Para sairmos do ponto 𝐴 e irmos para o ponto 𝐵, sendo ambos vértices de um quadrado, 
temos que percorrer 90° no sentido anti-horário. 
Além disso, todos os vértices estão em uma circunferência de raio 2, ou seja, o módulo dos 
números complexos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 são todos iguais a 2. 
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Assim, sabemos que |𝐵| = 2 e arg(𝐵) = 120°. 
Desse modo, podemos escrever o número complexo 𝐵 na forma trigonométrica. 
𝐵 = |𝐵| ⋅ (cos(120°) + 𝑖 ⋅ sen(120°)) 
Da tabela de senos e cossenos, tiramos seno e cosseno de 120°. 
𝐵 = 2 ⋅ (−
1
2
+ 𝑖 ⋅
√3
2
) 
Distribuindo o 2. 
𝐵 = 2 ⋅ (−
1
2
+ 𝑖 ⋅
√3
2
) 
 
𝐵 = −2 ⋅
1
2
+ 𝑖 ⋅ 2 ⋅
√3
2
 
 
𝐵 = − 2 ⋅
1
 2 
+ 𝑖 ⋅ 2 ⋅
√3
 2 
 
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𝐵 = 1 + 𝑖√3 
Ou, se preferir, 
𝐵 = 1 + √3 ⋅ 𝑖 
Gabarito: c) 
3. (Pucsp/2018) 
Considere os números complexos 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = −𝑏 + 𝑎𝑖 e 𝑧3 = −𝑏 + 3𝑖, com 𝑎 e 
𝑏 números inteiros. Sabendo que 
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0, 
o valor de 
(
𝑧2
𝑧1
)
3
 
é igual a 
a) 1. b) −1. c) −𝑖. d) 𝑖. 
Comentários 
Comecemos da soma fornecida pelo enunciado. 
𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3 = 0 
Substituindo os valores de 𝑧1, 𝑧2 e 𝑧3 na equação. 
𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑏 + 𝑎𝑖 − 𝑏 + 3𝑖 = 0 
Como estamos tratando de uma equação complexa, vamos escrever o segundo membro, 
também, na forma complexa. 
𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑏 + 𝑎𝑖 − 𝑏 + 3𝑖 = 0 + 0𝑖 
Agrupando os valores reais e imaginários. 
𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑏 + 𝑎𝑖 − 𝑏 + 3𝑖 = 0 + 0𝑖 
𝑎 − 𝑏 − 𝑏 + 𝑏𝑖 + 𝑎𝑖 + 3𝑖 = 0 + 0𝑖 
Colocando 𝑖 em evidência para os números imaginários. 
(𝑎 − 𝑏 − 𝑏) + (𝑏 + 𝑎 + 3)𝑖 = 0 + 0𝑖 
Nesse ponto, podemos igualar, entre os dois membros da equação, tanto as partes 
imaginárias quanto as partes reais, o que leva a um sistema de duas equações e duas incógnitas. 
 
{
𝑎 − 𝑏 − 𝑏 = 0
 
𝑏 + 𝑎 + 3 = 0
→ {
𝑎 − 2𝑏 = 0
 
𝑎 + 𝑏 + 3 = 0
→ {
𝑎 = 2𝑏
 
𝑎 + 𝑏 + 3 = 0
 
 
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Substituindo 𝑎 = 2𝑏 na segunda equação. 
 
{
𝑎 = 2𝑏
 
𝑎 + 𝑏 + 3 = 0
→ {
𝑎 = 2𝑏
 
2𝑏 + 𝑏 + 3 = 0
→ {
𝑎 = 2𝑏
 
3𝑏 + 3 = 0
→ {
𝑎 = 2𝑏
 
3𝑏 = −3
→ {
𝑎 = 2𝑏
 
𝑏 = −1
 
 
Substituindo 𝑏 = −1 na primeira equação. 
{
𝑎 = 2𝑏
 
𝑏 = −1
→ {
𝑎 = 2(−1)
 
𝑏 = −1
→ {
𝑎 = −2
 
𝑏 = −1
 
Desse modo, podemos estabelecer os valores de todos os números complexos do enunciado. 
{
 
 
 
 
𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖
 
𝑧2 = −𝑏 + 𝑎𝑖
 
𝑧3 = −𝑏 + 3𝑖
→
{
 
 
 
 
𝑧1 = −2 − 1𝑖
 
𝑧2 = −(−1) − 2𝑖
 
𝑧3 = −1 + 3𝑖
→
{
 
 
 
 
𝑧1 = −2 − 𝑖
 
𝑧2 = 1 − 2𝑖
 
𝑧3 = −1 + 3𝑖
 
De posse dos valores dos complexos, podemos partir para a próxima etapa: calcular o valor 
da expressão 
(
𝑧2
𝑧1
)
3
 
Substituindo os valores de 𝑧1 e 𝑧2 na expressão. 
(
1 − 2𝑖
−2 − 𝑖
)
3
 
Primeiro, os parênteses. Para a divisão entre números complexos, usaremos o conjugado do 
complexo que está no denominador. 
(
1 − 2𝑖
−2 − 𝑖
⋅
−2 + 𝑖
−2 + 𝑖
)
3
 
No numerador, produto comum entre complexos. No denominador, produto notável: 
diferença de dois quadrados. 
 
(
(1 − 2𝑖) ⋅ (−2 + 𝑖)
 
 
(−2)2 − (𝑖)2
)
3
 
 
(
1 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 𝑖 − 2𝑖(−2) − 2𝑖 ⋅ 𝑖
4 − 𝑖²
)
3
 
 
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(
−2 + 𝑖 + 4𝑖 − 2𝑖2
4 − 𝑖²
)
3
 
Como 𝑖2 = −1, temos. 
(
−2 + 𝑖 + 4𝑖 − 2(−1)
4 − (−1)
)
3
 
 
(
−2 + 𝑖 + 4𝑖 + 2
4 + 1
)
3
 
 
(
− 2 + 5𝑖 + 2 
5
)
3
 
 
(
 5 𝑖
 5 
)
3
 
 
(𝑖)3 
 
Com as potências de 𝑖, chegamos à conclusão: 
(𝑖)3 = 𝑖2 ⋅ 𝑖 = −1 ⋅ 𝑖 = −𝑖 
Gabarito: c) 
4. (FGV/2017) 
Seja 𝑍 um número complexo cujo afixo 𝑃 está localizado no 1° quadrante do plano 
complexo, e sejam 𝐼, 𝐼𝐼, 𝐼𝐼𝐼, 𝐼𝑉 e 𝑉 os afixos de cinco outros números complexos, conforme 
indica a figura seguinte. 
 
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Se a circunferência traçada na figura possui raio 1 e está centrada na origem do planocomplexo, então o afixo de 
1
𝑍
 pode ser 
a) 𝐼. b) 𝐼𝐼 c) 𝐼𝐼𝐼. d) 𝐼𝑉. e) 𝑉. 
Comentários 
Vamos decifrando o enunciado por partes. 
“Seja 𝑍 um número complexo...” 
Então, 
𝑍 = 𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖 
“...cujo afixo 𝑃 está localizado no 1° quadrante do plano complexo...” 
Se ele está localizado no 1° quadrante, temos 𝑎 > 0 e 𝑏 > 0. 
 “...o afixo de 
1
𝑍
 pode ser...” 
Para saber onde estaria o afixo de 
1
𝑍
, podemos calculá-lo de maneira literal e, daí, 
descobrirmos qual seria o seu quadrante. 
Vamos lá. 
1
𝑍
=
1
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖
 
Para divisões entre números complexos, complementar. 
1
𝑍
=
1
𝑎 + 𝑏 ⋅ 𝑖
⋅
𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑖
𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑖
 
No numerador, produto normal. No denominador, produto notável. 
1
𝑍
=
1 ⋅ (𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑖)
𝑎2 − (𝑏 ⋅ 𝑖)2
 
 
1
𝑍
=
𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑖
𝑎2 − 𝑏² ⋅ 𝑖²
 
Sabemos que 𝑖2 = −1, portanto 
1
𝑍
=
𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑖
𝑎2 − 𝑏² ⋅ (−1)
 
 
1
𝑍
=
𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑖
𝑎2 − 𝑏² ⋅ (−1)
 
 
1
𝑍
=
𝑎 − 𝑏 ⋅ 𝑖
𝑎2 + 𝑏²
 
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Separando a parte real e a parte imaginária em frações independentes. 
1
𝑍
=
𝑎
𝑎2 + 𝑏²
−
𝑏
𝑎2 + 𝑏2
⋅ 𝑖 
Agora, analisemos. 
Sobre o quadrante, podemos perceber que a parte real é positiva, enquanto a parte 
imaginária é negativa, indicando o quarto quadrante como lugar do afixo de 
1
𝑍
. 
A questão traz dois afixos no terceiro quadrante, 𝐼𝐼𝐼 e 𝑉. 
Para decidir qual deles é o afixo de 
1
𝑍
 nessas condições, temos que analisar o módulo de 
1
𝑍
, se 
ele é maior ou menor que o raio da esfera que, neste caso, é igual a 1. 
Não precisamos, aqui, aplicar a fórmula do módulo, pois podemos analisar diretamente as 
partes real e imaginária, veja. 
Na parte real de 
1
𝑍
 
𝑎
𝑎2 + 𝑏²
, 
temos que, qualquer que sejam 𝑎 e 𝑏, positivos como já concluímos, o denominador 𝑎2 + 𝑏² 
sempre será maior que o próprio número 𝑎, portanto, a fração sempre será de módulo menor que 
1, nunca maior. 
|
𝑎
𝑎2 + 𝑏²
| < 1 
Além disso, como só temos números positivos, temos que a fração também é positiva, ou 
seja, maior que zero. 
0 <
𝑎
𝑎2 + 𝑏²
< 1 
A mesma análise é feita para a parte imaginária de 
1
𝑍
. Se 𝑎 e 𝑏 são positivos, o denominador 
𝑎2 + 𝑏2 também é maior que 𝑏, indicando a fração como de módulo menor que 1. 
|
𝑏
𝑎2 + 𝑏2
| < 1 
Do mesmo modo que a parte imaginária, todos os números envolvidos na fração são 
positivos, indicando que a fração também é positiva, ou seja, maior que zero. 
0 <
𝑏
𝑎2 + 𝑏2
< 1 
Se ambas as frações estão entre 0 e 1, nosso número complexo 
1
𝑍
 só pode estar na parte 
interna da circunferência. 
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Dessa forma, concluímos que o número complexo 
1
𝑍
 está no quarto quadrante pelo sinal de 
negativo na parte imaginária e que ele está dentro da circunferência, por suas frações 
representarem números entre 0 e 1 para suas partes imaginária e real. 
O único afixo nessas condições é o de número 𝐼𝐼𝐼. 
Gabarito: c) 
5. (Mackenzie/2017) 
Se 
2 + 𝑖
𝛽 + 2𝑖
 
 tem parte imaginária igual a zero, então o número real 𝛽 é igual a 
a) 4 b) 2 c) 1 d) -2 e) -4 
Comentários 
Vamos, então, trabalhar com o número complexo proposto. 
2 + 𝑖
𝛽 + 2𝑖
 
O enunciado informou que nosso número complexo tem parte imaginária igual a zero, então, 
simbolizemos essa informação na forma de equação. 
2 + 𝑖
𝛽 + 2𝑖
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
Para divisões entre números complexos? Conjugado. 
Multiplicando pelo conjugado do denominador. 
2 + 𝑖
𝛽 + 2𝑖
⋅
𝛽 − 2𝑖
𝛽 − 2𝑖
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
No numerador, produto normal. No denominador, produto notável. 
(2 + 𝑖) ⋅ (𝛽 − 2𝑖)
𝛽2 − (2𝑖)²
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
 
(2 + 𝑖) ⋅ (𝛽 − 2𝑖)
 
 
𝛽2 − 2²𝑖²
 
 
 
 
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖
 
 
 
 
2 ⋅ 𝛽 − 2 ⋅ 2𝑖 + 𝑖 ⋅ 𝛽 − 𝑖 ⋅ 2𝑖
𝛽2 − 4𝑖²
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
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2 ⋅ 𝛽 − 4𝑖 + 𝛽𝑖 − 2𝑖²
𝛽2 − 4𝑖²
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
Como 𝑖2 = −1, temos. 
2 ⋅ 𝛽 − 4𝑖 + 𝛽𝑖 − 2 ⋅ (−1)
𝛽2 − 4 ⋅ (−1)
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
 
2 ⋅ 𝛽 − 4𝑖 + 𝛽𝑖 − 2 ⋅ (−1)
𝛽2 − 4 ⋅ (−1)
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
 
2 ⋅ 𝛽 − 4𝑖 + 𝛽𝑖 + 2
𝛽2 + 4
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
Separando as partes real e imaginária no primeiro membro da equação. 
2 ⋅ 𝛽 + 2 − 4𝑖 + 𝛽𝑖
𝛽2 + 4
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
Separando as partes real e imaginária em frações independentes. 
2 ⋅ 𝛽 + 2
𝛽2 + 4
+
−4𝑖 + 𝛽𝑖
𝛽2 + 4
= 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
Colocando 𝑖 em evidência no primeiro membro da equação e reescrevendo. 
2 ⋅ 𝛽 + 2
𝛽2 + 4
+
−4 + 𝛽
𝛽2 + 4
⋅ 𝑖 = 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
 
2 ⋅ 𝛽 + 2
𝛽2 + 4
+
𝛽 − 4
𝛽2 + 4
⋅ 𝑖 = 𝑎 + 0 ⋅ 𝑖 
Com uma equação complexa e os dois membros apresentando as partes real e imaginária 
separadas, podemos igualá-las de forma independente. 
Tenhamos em mente que o enunciado nos pediu o valor de 𝛽. 
Se trabalharmos igualando as partes reais da equação, teríamos que trabalhar, também, com 
o valor da incógnita 𝑎, o que não é solicitado no exercício. 
Se trabalharmos igualando as partes imaginárias, não precisamos passar pela incógnita 𝑎 e 
acabamos por economizar algum tempo. 
Dessa forma, optaremos por igualar as partes imaginárias dos dois membros da equação. 
𝛽 − 4
𝛽2 + 4
= 0 
Multiplicando os dois membros da equação por 𝛽2 + 4. 
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(𝛽2 + 4) ⋅
𝛽 − 4
𝛽2 + 4
= 0. (𝛽2 + 4) 
 
 (𝛽2 + 4) ⋅
𝛽 − 4
 𝛽2 + 4 
= 0 
 
𝛽 − 4 = 0 
Somando 4 a ambos os membros da equação. 
𝛽 − 4 + 4 = 0 + 4 
𝛽 − 4 + 4 = 0 + 4 
𝛽 = 4 
Gabarito: a) 
6. (Unicamp/2016) 
Considere o número complexo 
𝑧 =
1 + 𝑎𝑖
𝑎 − 𝑖
, 
onde 𝑎 é um número real e 𝑖 é a unidade imaginária, isto é, 𝑖2 = −1. 
O valor de 𝑧2016 é igual a 
a) 2016. b) 1. c) 1 + 2016𝑖. d) 𝑖. 
Comentários 
Antes de fazermos a potência de 𝑧, vamos efetuar a divisão proposta. 
Para divisões entre números complexos: conjugado. 
Multiplicando o segundo membro pelo conjugado do denominador. 
𝑧 =
1 + 𝑎𝑖
𝑎 − 𝑖
⋅
𝑎 + 𝑖
𝑎 + 𝑖
 
No numerador, produto comum. No denominador, produto notável. 
𝑧 =
(1 + 𝑎𝑖) ⋅ (𝑎 + 𝑖)
𝑎² − 𝑖²
 
 
𝑧 =
(1 + 𝑎𝑖) ⋅ (𝑎 + 𝑖)
 
 
𝑎² − 𝑖²
 
 
𝑧 =
1 ⋅ 𝑎 + 1 ⋅ 𝑖 + 𝑎𝑖 ⋅ 𝑎 + 𝑎𝑖 ⋅ 𝑖
𝑎² − 𝑖²
 
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𝑧 =
𝑎 + 𝑖 + 𝑎²𝑖 + 𝑎𝑖²
𝑎² − 𝑖²
 
 
Lembre-se: 𝑖2 = −1. 
𝑧 =
𝑎 + 𝑖 + 𝑎2𝑖 + 𝑎 ⋅ (−1)
𝑎² − (−1)
 
 
𝑧 =
 𝑎 + 𝑖 + 𝑎2𝑖 − 𝑎 
𝑎2 + 1
 
 
𝑧 =
𝑖 + 𝑎2𝑖
𝑎2 + 1
 
Colocando 𝑖 em evidência no numerador. 
𝑧 =
(1 + 𝑎2) ⋅ 𝑖
𝑎2 + 1
 
Reescrevendo o numerador na mesma ordem do denominador. 
𝑧 =
(1 + 𝑎2) ⋅ 𝑖
𝑎2 + 1
 
Simplificando. 
𝑧 =
 (𝑎2 + 1) ⋅ 𝑖
 𝑎2 + 1 
 
 
𝑧 = 𝑖 
Perceba que, ao simplificar o número complexo 𝑧, nosso trabalho com a potência ficou 
extremamente reduzido. 
Elevando ambos os membros da equação a 2016, temos. 
𝑧2016 = 𝑖2016 
Vimos na teoria que as potências de 𝑖 são cíclicas e se repetem a cada 4 termos. 
Como 2016 é múltiplo de 4 (2016 = 4 ⋅ 504), temos que 
𝑧2016 = 𝑖2016 
𝑧2016 = (𝑖4)504 
Sabemos que 𝑖4 = 1, então 
𝑧2016 = (𝑖4)504 = (1)504 = 1 
Gabarito: b) 
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7. (Espcex/2016) 
Se 
(1 + 𝑖) ⋅ (cos (
𝜋
12
) + 𝑖 ⋅ sen (
𝜋
12
)) = 𝑥 + 𝑦 ⋅ 𝑖 
em que i é a unidade imaginária e 𝑥 e 𝑦 são números reais, o valor de √3 ⋅ 𝑥 + 𝑦 é 
𝑎) √6 𝑏) √3 𝑐)
√2
2
 𝑑) 3√6 𝑒)
√3
2
 
Comentários 
Para conseguirmos os valores de 𝑥 e de 𝑦, precisamos efetuar o produto dos números 
complexos presentes no primeiro membro da equação.