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Aula 10 – 
Sistemas Lineares 
 
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Professor Marçal 
 
 
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Sumário 
Introdução ............................................................................................................... 4 
1. Equação linear ..................................................................................................... 5 
1.1. Solução de uma equação linear ...................................................................................... 5 
2. Sistema de equações lineares .............................................................................. 6 
2.1. Solução de um sistema linear ......................................................................................... 7 
3. Representação matricial de um sistema linear ..................................................... 8 
3.1. Matriz incompleta de um sistema linear ...................................................................... 10 
3.2. Matriz completa de um sistema linear ......................................................................... 10 
3.3. Equações equivalentes .................................................................................................. 11 
3.4. Combinação linear de equações ................................................................................... 12 
3.5. Matrizes equivalentes de um sistema linear ................................................................ 13 
4. Escalonamento .................................................................................................. 15 
4.1. Sistema escalonado ...................................................................................................... 15 
4.2. Matriz escalonada de um sistema ................................................................................ 15 
4.3. Escalonamento de uma matriz ..................................................................................... 16 
4.4. Posto ou Característica da matriz escalonada ............................................................. 18 
5. Métodos de resolução de um sistema linear ...................................................... 19 
5.1. Substituição de variáveis............................................................................................... 19 
5.2. Soma de equações no próprio sistema ......................................................................... 20 
5.3. Resolução por escalonamento ...................................................................................... 21 
5.4. Teorema de Cramer ...................................................................................................... 25 
6. Tipos de Sistemas Lineares ................................................................................. 28 
6.1. Sistema Possível Determinado (SPD) ............................................................................ 29 
6.2. Sistema Possível Indeterminado (SPI) ........................................................................... 29 
6.2.1. Grau de liberdade ................................................................................................................................... 29 
6.3. Sistema Impossível ........................................................................................................ 30 
7. Discussão de um Sistema Linear ......................................................................... 30 
7.1. Teorema de Cramer e os tipos de Sistema Linear ......................................................... 31 
7.2. Escalonamento e os tipos de Sistema Linear ................................................................ 31 
7.3. Sistema linear homogêneo e a solução trivial .............................................................. 33 
7.4. Sistema linear homogêneo e a solução não trivial ....................................................... 33 
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8. Fórmulas, demonstrações e comentários ........................................................... 34 
8.1. Afinal, o que é o determinante de uma matriz? ........................................................... 34 
9. Questões de vestibulares anteriores .................................................................. 36 
10. Gabarito das questões de vestibulares anteriores ............................................ 45 
11. Questões de vestibulares anteriores resolvidas e comentadas ......................... 46 
12. Considerações finais ......................................................................................... 96 
 
 
 
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 INTRODUÇÃO 
Olá. 
Nesta aula, veremos como resolver e discutir um sistema linear. 
É um assunto extenso e teórico, mas é amplamente utilizado nas ciências e exatamente por 
esse motivo é tão pedido nos vestibulares. 
A teoria apresentada é sucinta, justamente para não sobrecarregar você com informação 
desnecessária. No entanto, mesmo o mínimo necessário é, por vezes, um pouco extenso. 
Precisaremos desse conteúdo em vários outros pontos do curso, então faça a aula no seu 
ritmo, mas não negligencie a ferramenta. 
A parte teórica da aula é focada nos sistemas em si, deixando para que os próprios exercícios 
resolvidos deem uma ideia da vastidão do campo de aplicações e de contextualizações possíveis. 
Nossa última aula foi sobre operações com matrizes e esse conhecimento é vital para a 
presente aula. Portanto, se você ainda não fez a aula referente às matrizes, recomendo 
veementemente que a faça antes de prosseguir. 
Indico fazer uma leitura da parte teórica para absorver (ou reciclar, caso você já conheça o 
assunto) a nomenclatura específica e as técnicas utilizadas. 
Após a leitura da teoria, se você já tem amplitude com o tema, faça a lista de exercícios por 
sua conta e, depois, confira o gabarito e a proposta de solução. 
Caso seja sua primeira vez com o tema ou não tenha muito conhecimento acerca dos sistemas 
lineares, estude também pela resolução dos exercícios até ter segurança e técnica para resolver os 
exercícios de modo independente. 
A resolução apresentada na aula é uma parte importante da passagem de conhecimento, 
pois, nela, podemos conversar sobre técnicas de resolução de exercícios que seriam impertinentes 
ao texto teórico. 
Restaram dúvidas? 
Já sabe, não as deixe sem solução. Se precisar de ajuda com elas, poste-as no fórum. Estamos 
aqui para auxiliá-lo. 
Boa aula. 
 
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1. EQUAÇÃO LINEAR 
Já estudamos as equações no início do nosso curso. Agora, vamos expandir o conceito. 
Podemos, a priori, ter várias incógnitas em uma mesma equação, não há limite para essa 
quantidade. 
Como exemplo, vejamos a equação de 3 incógnitas a seguir. 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
Nessa equação, 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são incógnitas e 12 é o termo independente, enquanto 1, 2 e −3 são 
coeficientes. 
Perceba que o expoente de todas as incógnitas é 1 e não há produto entre incógnitas. Nessas 
condições, dizemos que a equação é linear. 
Caso haja produto entre incógnitas ou ainda expoente de alguma delas diferente de 1, 
diremos que a equação é não-linear. 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 
𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 8 → 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑛ã𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 
Nesta aula, daremos enfoque nas equações lineares, embora, vez ou outra, poderemos 
esbarrar com uma equação não linear nos exercícios. Quando isso acontecer, usaremos nossos 
conhecimentos acumulados até aqui acerca de expressões, equações e funções para resolvê-las. 
1.1. SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR 
A solução de uma equação linear é apresentada na forma de um conjunto com tantos 
elementosquantas incógnitas na equação. 
Para maior praticidade, é comum substituirmos a notação completa da solução por um 
conjunto de elementos numéricos ordenados simbolizando cada um uma incógnita. 
 
𝑥 = 17
 
𝑦 = 2
 
𝑧 = 3 }
 
 
 
 
(17,2,3) 
 
Para a equação linear do item anterior, veja o que acontece quando substituímos os 
elementos do conjunto (17,2,3) nos valores de (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
17 + 2 ∙ 2 − 3 ∙ 3 = 12 
17 + 4 − 9 = 12 
12 = 12 → 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 
Dessa forma, dizemos que a terna (17,2,3) é solução da equação 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12. 
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Mas cuidado, nem toda equação tem solução única. 
Na verdade, nossa equação de exemplo tem infinitas soluções, veja alguns exemplos. 
(𝟐𝟑, 𝟓, 𝟕) (𝟏𝟎,
𝟑
𝟐
,
𝟏
𝟑
) (𝟎, 𝟏, −
𝟏𝟎
𝟑
) 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
23 + 2 ∙ 5 − 3 ∙ 7 = 12 10 + 2 ∙
3
2
− 3 ∙
1
3
= 12 0 + 2 ∙ 1 − 3 ∙ (−
10
3
) = 12 
23 + 10 − 21 = 12 10 + 3 − 1 = 12 0 + 2 − (−10) = 12 
12 = 12 12 = 12 12 = 12 
𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 
Professor, e o que acontece se eu substituir três valores que não são solução da equação? 
Vejamos. 
Vamos substituir a terna (1,2,3) e verificar sua validade na equação. 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 
1 + 2 ∙ 2 − 3 ∙ 3 = 12 
1 + 4 − 9 = 12 
−4 = 12 → 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜 
Dessa forma, podemos afirmar que (23,5,7), (10,
3
2
,
1
3
) e (0,1, −
10
3
) são soluções da equação 
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 12 e que (1,2,3) não é solução. 
Note que as ternas são ordenadas. Esta ordem se dá, preferencialmente, na ordem em que 
as incógnitas são ordenadas em colunas, da esquerda para a direita. Neste exemplo, na ordem, 
(𝑥, 𝑦, 𝑧). 
 
Nosso exemplo tinha 3 incógnitas, mas podemos ter muitas mais, ok? 
O número de incógnitas que uma equação pode abarcar é, literalmente, ilimitado. 
2. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
Agora que sabemos o que é uma equação linear, podemos entender o que é um sistema de 
equações lineares, também chamado de sistema linear. 
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O sistema é um conjunto de equações que devem ser satisfeitas simultaneamente. Para 
simbolizar quais equações devem ser tratadas de modo simultâneo, colocamos uma chave do lado 
esquerdo do conjunto. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 0
 
𝑥 ∙ 𝑦 = 1
 
O sistema anterior possui duas equações e quatro incógnitas. A primeira equação é linear e 
a segunda, não. Por esse motivo, o sistema é dito não linear. 
Para que um sistema seja considerado linear, todas as suas equações devem ser lineares, 
como no caso seguinte. 
{
𝑥 ∙ cos (
𝜋
2
) − 𝑦 ∙ sen(𝜋) = 0
 
𝑥 − 𝑦 = 1
 
 
Note que temos um sistema linear. Os valores do cosseno e do seno, presentes 
no sistema, são valores constantes, portanto, não alteram a linearidade do sistema. 
Você, inclusive, deve saber quais são esses valores de memória. Se não sabe, pode ser 
uma boa hora para revisar. 
2.1. SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
O sistema linear tem um conjunto solução da mesma forma que a equação linear. 
A diferença é que o conjunto solução deve tornar verdadeira não só uma, mas todas as 
equações do sistema. 
Vejamos um exemplo. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑦 + 𝑧 = 2
 
𝑥 + 𝑧 = 3
 
 
Nosso sistema linear tem 3 equações e 3 incógnitas. Vejamos quais das ternas a seguir podem 
ser consideradas solução. 
 
 
 
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Terna (𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒙 + 𝒚 = 𝟏 𝒚 + 𝒛 = 𝟐 𝒙 + 𝒛 = 𝟑 
(0,1,1) 0 + 1 = 1 √ 1 + 1 = 2 √ 0 + 1 = 3 Χ 
(1,1,1) 1 + 1 = 1 Χ 1 + 1 = 2 √ 1 + 1 = 3 Χ 
(0,0,1) 0 + 0 = 1 Χ 0 + 1 = 2 Χ 0 + 1 = 3 Χ 
(2,0,1) 2 + 0 = 1 Χ 0 + 1 = 2 Χ 2 + 1 = 3 √ 
(1,2,0) 1 + 2 = 1 Χ 2 + 0 = 2 √ 1 + 0 = 3 Χ 
(1,1,2) 1 + 1 = 1 Χ 1 + 2 = 2 Χ 1 + 2 = 3 √ 
(1,0,2) 1 + 0 = 1 √ 0 + 2 = 2 √ 1 + 2 = 3 √ 
 
Pelo que podemos ver na tabela, algumas ternas não satisfazem a equação alguma, outras 
satisfazem apenas uma ou apenas duas equações. Dos exemplos da tabela, apenas a terna 
(1,0,2) satisfez a todas as equações do sistema, portanto dizemos que ela é uma solução do sistema 
linear. Mais tarde aprenderemos não só a encontrar a terna solução desse sistema como teremos 
condições de dizer se esta é única ou se existem outras soluções. 
Existem, também, sistemas que não apresentam solução alguma, são os ditos sistemas 
impossíveis. 
Dedicaremos mais tempo ao estudo destes mais adiante, mas vejamos um exemplo a título 
de ilustração. 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑥 + 𝑦 = 2
 
Mesmo que não tenhamos estudado como solucionar um sistema ainda, podemos perceber 
que não existem dois números 𝑥 e 𝑦 cuja soma dê 1 e 2 simultaneamente. Assim, este sistema é 
impossível. 
Veremos as técnicas para se resolver um sistema nos próximos tópicos. Por ora, precisamos 
apenas entender o que é um sistema e reconhecer quando um conjunto é ou não solução deste. 
3. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR 
Você se lembra da multiplicação de matrizes? 
Vamos utilizá-la agora. 
Dadas as matrizes 
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𝐴 = [
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] 
𝑋 = [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
Façamos o produto das matrizes 𝐴 ∙ 𝑋. 
𝐴 ∙ 𝑋 = [
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] ∙ [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
Algumas observações: 
 Estamos multiplicando uma matriz 𝐴3𝑥3 por outra 𝑋3𝑥1. 
 
 O produto é possível e a matriz resultante é do tipo 𝐴 ∙ 𝑋3𝑥1. 
Continuemos. 
Preparemos as matrizes para o produto. 
𝐴 ∙ 𝑋 = [
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] ∙ [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
𝐴 ∙ 𝑋 = [
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧
] 
Perceba que esse conjunto de equações é muito similar às equações que vimos no sistema 
linear. 
Como adendo, pensemos em uma igualdade entre o produto 𝐴 ∙ 𝑋 e uma matriz 𝐵 dada por 
𝐵 = [
2
4
5
] 
Nas condições dadas, temos. 
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 
[
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] ∙ [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
2
4
5
] 
[
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧
] = [
2
4
5
] 
Para que duas matrizes sejam iguais, seus elementos precisam ser idênticos, ou seja 
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{
 
 
 
 
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧 = 2
 
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 4
 
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 5
 
Que é a representação de um sistema de equações lineares, um sistema linear. 
Assim, podemos tanto representar um sistema linear por meio de suas equações quanto por 
meio de uma equação matricial do tipo 
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 
3.1. MATRIZ INCOMPLETA DE UM SISTEMA LINEAR 
Chamaremos de matriz incompleta de um sistema linear a matriz 𝐴 formada pelos 
coeficientes de todas as equações do sistema. 
Assim, dado o sistema que acabamos de ver no item anterior 
{
 
 
 
 
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧 = 2
 
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 4
 
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 5
 
A matriz incompleta do sistema é 
𝐴 = [
1 2 3
4 7 2
3 1 1
] 
A matriz 𝐴 é chamada de incompleta por não conter os valores dos termos independentes do 
sistema, não carregando, portanto, informação suficiente para inferirmos, só a partir dela, o sistema 
todo. 
3.2. MATRIZ COMPLETA DE UM SISTEMA LINEAR 
A matriz completa 𝐶 de um sistema linear traz tanto os coeficientes das equações quanto os 
termos independentes. 
{
 
 
 
 
1 ∙ 𝑥 + 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 𝑧 = 2
 
4 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦 + 2 ∙ 𝑧 = 4
 
3 ∙ 𝑥 + 1 ∙ 𝑦 + 1 ∙ 𝑧 = 5
 
 
𝐶 = [
1 2 3 2
4 7 2 4
3 1 1 5
] 
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3.3. EQUAÇÕES EQUIVALENTES 
Duas equações são ditas equivalentes se têm exatamente o mesmo conjunto solução. 
Veja, por exemplo, as duas equações do sistema a seguir. 
{
𝑥 + 𝑦 = 6
 
2𝑥 + 2𝑦 = 12
 
Para a primeira,há vários pares ordenados que são solução, por exemplo podemos citar (2,4) 
e (0,6). 
Vamos testar esses pares na primeira equação para nos certificar de que são, realmente, 
soluções. 
Par ordenado (𝒙, 𝒚) 𝒙 + 𝒚 = 𝟔 
(2,4) 2 + 4 = 6 √ 
(0,6) 0 + 6 = 6 √ 
Vimos que, para ser solução de um sistema, a solução deve satisfazer a todas as equações do 
sistema. 
Testemos, então, as mesmas soluções para a segunda equação. 
Par ordenado (𝒙, 𝒚) 𝒙 + 𝒚 = 𝟔 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟏𝟐 
(2,4) 2 + 4 = 6 √ 2 ∙ 2 + 2 ∙ 4 = 4 + 8 = 12 √ 
(0,6) 0 + 6 = 6 √ 2 ∙ 0 + 2 ∙ 6 = 0 + 12 = 12 √ 
Percebemos, então, que as soluções (2,4) e (0,6) são soluções de ambas as equações. 
Como são equações, podemos isolar uma das variáveis para deixá-la explícita. Façamos isso 
com ambas. 
𝑥 + 𝑦 = 6 
Subtraindo 𝑦 de ambos os membros da equação. 
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 6 − 𝑦 
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 6 − 𝑦 
𝑥 = 6 − 𝑦 
Façamos o mesmo com a segunda equação. 
2𝑥 + 2𝑦 = 12 
Colocando 2 em evidência no primeiro membro. 
2(𝑥 + 𝑦) = 12 
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Dividindo ambos os membros por 2. 
2(𝑥 + 𝑦)
2
=
12
2
 
2(𝑥 + 𝑦)
2
=
12
2
 
2(𝑥 + 𝑦)
2
= 6 
𝑥 + 𝑦 = 6 
Subtraindo 𝑦 de ambos os membros. 
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 6 − 𝑦 
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 6 − 𝑦 
𝑥 = 6 − 𝑦 
Percebeu como ambas as equações explicitaram a mesma expressão para a incógnita 𝑥? 
Isso quer dizer que qualquer solução que encontremos para a primeira equação será, 
também, solução da segunda, pois ambas trazem a mesma informação acerca das variáveis, são 
equivalentes. 
Olhando com atenção para as equações do sistema, podemos perceber que a segunda 
equação tem seus termos, um a um, correspondentes ao dobro dos termos da primeira equação. 
{
𝑥 + 𝑦 = 6
 
2𝑥 + 2𝑦 = 12
 
Sempre que tivermos uma equação linear sendo resultado da multiplicação de outra equação 
linear por uma constante (diferente de zero), essas equações apresentarão exatamente a mesma 
informação, portanto, serão equivalentes. 
Utilizaremos esse mesmo fato para simplificar equações equivalentes nos próximos tópicos. 
3.4. COMBINAÇÃO LINEAR DE EQUAÇÕES 
As equações equivalentes são proporcionais entre si e há uma correspondência entre elas 
por meio de uma constante. 
No entanto, uma equação, mesmo que não equivalente a outra de um sistema, pode não 
trazer uma informação nova, pois tudo o que ela “informa” já está contido nas outras equações do 
sistema. 
Vejamos um caso prático. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
 
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Embora a terceira equação do sistema não seja equivalente a nenhuma das outras, ela não 
traz informação nova ao sistema. 
Pense que cada equação traz restrições às variáveis em questão. 
Antes de colocar qualquer equação em um sistema, é como se fosse perguntado algo do tipo: 
pense em quaisquer 3 números. 
Quando colocamos a equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10, restringimos de “quaisquer 3 números” para 
“pense em 3 números com soma igual a 10“. Houve uma restrição de possibilidades. 
Ao colocar a segunda equação, 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 17, aumentamos a restrição. Agora, não basta 
pensar em 3 números com soma 10, é preciso que, além de apresentar a soma 10, o dobro do 
primeiro menos o segundo mais o dobro do terceiro resulte em 17. Uma restrição ainda maior. 
O problema é que, ao inserir a terceira equação, 3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 27, essa restrição não 
censura número algum que já não tenha sido restringido pelas anteriores. 
Mas professor, como é que eu vou saber disso? 
No próximo tópico veremos um método para retirar de um sistema as equações “inúteis”. 
Por enquanto, podemos ver um indício disso ao perceber que a terceira equação é a soma das outras 
duas, veja. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
 
Na aula sobre matrizes, estudamos quando uma fila era combinação linear de outras, lembra? 
Pois é, aqui é exatamente a mesma coisa. Uma equação é “inútil” em um sistema se ela é 
uma combinação linear de outras. 
Poderíamos então, sem perda de informação ou generalidade, reescrever o sistema sem essa 
equação “inútil”. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
E teríamos, exatamente, o mesmo conjunto solução que o sistema de onde partimos. 
Vejamos, agora, um método para descobrir essas tais equações “inúteis” em um sistema para 
podermos eliminá-las e reescrevermos nossos sistemas de forma mais objetiva. 
3.5. MATRIZES EQUIVALENTES DE UM SISTEMA LINEAR 
Recapitulando. 
Vimos que um sistema linear pode ser representado por um produto de matrizes e tivemos 
contato tanto com a matriz incompleta quanto com a matriz completa do sistema. 
Vimos também que há equações equivalentes entre si e equações que são combinações 
lineares de outras. 
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De posse dessas duas informações, podemos elaborar o seguinte raciocínio. 
Um sistema linear pode ser equivalente a outro, desde que suas equações sejam equivalentes 
entre si. 
 Vejamos o exemplo em que todas as equações do segundo sistema são o dobro das equações 
do primeiro. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 20
 
4𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 34
 
6𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 54
 
 
As matrizes completas (as que incluem os termos independentes) desses sistemas são: 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
3 2 3 27
] → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 → [
2 2 2 20
4 2 4 34
6 4 6 54
]. 
Vimos no item anterior que a terceira equação desse sistema, por ser a soma das duas 
equações anteriores, pode ser excluída do rol sem prejuízo para o sistema. 
 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
3 2 3 27
] → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 → [
2 2 2 20
4 2 4 34
6 4 6 54
] 
 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
] → 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 → [
2 2 2 20
4 2 4 34
6 4 6 54
] 
Voltando à representação clássica do sistema, essas matrizes representam 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 20
 
4𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 34
 
6𝑥 + 4𝑦 + 6𝑧 = 54
 
Portanto, podemos ter dois sistemas com escritas diferentes, com representações matriciais 
diferentes, e, ainda assim, serem equivalentes. 
Vamos, então, aprender a reduzir a matriz de um sistema, até quando possível, para que 
trabalhemos com os sistemas escritos de forma clara e concisa. 
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4. ESCALONAMENTO 
4.1. SISTEMA ESCALONADO 
Um sistema escalonado é um sistema equivalente ao inicial, porém com a característica de 
ter um formato peculiar, de escada (ou de degraus como alguns preferem). 
 
Em um sistema escalonado, a cada linha que avançamos, temos um número crescente de 
zeros (que podem estar escritos ou não) nas primeiras posições. Ao chegar à última linha, 
percebemos no sistema um formato indentado, de degraus, de escada, por isso o nome 
“escalonado”. 
Veja dois sistemas equivalentes. O primeiro, nosso ponto de partida, um sistema qualquer. O 
segundo e o terceiro, equivalentes ao primeiro, porém escalonados. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
0𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
0𝑥 + 0𝑦 + 𝑧 = 1
→ 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 
O sistema escalonado apresenta vantagens com relação ao não escalonado, principalmente 
no tocante à resolução. Perceba que uma das incógnitas, na versão escalonada, nem está tão 
incógnita assim, pois, ao analisarmos a última linha do sistema, o valor está explícito. 
Outra vantagem de se escalonar um sistema é que as eventuais equações “inúteis” acabam 
sendoeliminadas naturalmente. 
Vejamos o caso do sistema estudado anteriormente em que uma das equações é “inútil” e 
comparemos o original à sua versão escalonada. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
3𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 27
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
0𝑥 + 𝑦 + 0𝑧 = 3
 
0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 0
→ {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
 
Ao escalonar um sistema, as equações “inúteis” são transformadas em linhas nulas, onde 
todos os coeficientes e o termo independentes são iguais a zero. Dessa forma, a equação pode ser 
eliminada do sistema. 
Para fins de escalonamento, consideramos apenas os zeros à esquerda. A partir da ocorrência 
de algum coeficiente diferente de zero, os próximos, à direita deste, não serão zeros de 
escalonamento, ok? 
4.2. MATRIZ ESCALONADA DE UM SISTEMA 
Do mesmo modo que temos um sistema escalonado, podemos falar em matriz escalonada, 
visto que podemos representar o sistema por meio de uma matriz. 
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Utilizaremos a matriz completa do sistema, assim podemos chegar a conclusões 
importantes ao fim do processo, o que não conseguiríamos caso trabalhássemos com a 
matriz incompleta. 
A título de comparação, vejamos o sistema anterior, original e escalonado, e suas respectivas 
matrizes. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
 
 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1 
 𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜
 
 
[
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
]
 
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙
→
[
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
]
 
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
 
 
Veja o formato de escada que aparece na matriz escalonada quando isolamos os zeros à 
esquerda. 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 1 3 5
 
0 0 1 1]
 
 
 
 
 
4.3. ESCALONAMENTO DE UMA MATRIZ 
Partindo de uma matriz qualquer, podemos escaloná-la por meio de combinações lineares, 
que vimos na aula sobre matrizes. 
 
De modo prático, há 3 operações principais para escalonarmos uma matriz: 
 
 
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Na operação 1), quando trocamos duas linhas de posição em uma matriz, o 
determinante desta muda de sinal. No entanto, isso não afeta a resolução de um sistema, 
os valores das incógnitas continuam os mesmos. 
Na operação 2), quando multiplicamos ou dividimos uma linha por uma constante, 
o determinante da matriz fica multiplicado (ou dividido) por essa mesma constante. 
Novamente, isso não afeta o valor das incógnitas. 
A operação 3) é, na prática, uma combinação linear. 
Vamos à prática, escalonemos a matriz a seguir. 
𝐴 = [
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
] 
Escolhemos, de início, uma linha que não tenha zero na primeira incógnita. Como a matriz 𝐴 
já apresenta essa condição, continuemos. 
Precisamos, então, induzir as primeiras posições de todas as outras linhas terem 0 nas 
primeiras posições. 
Para conseguir 0 na primeira posição da segunda linha, multiplicaremos a primeira linha por 
(−2) e somaremos à própria segunda linha. 
Para conseguir 0 na primeira posição da terceira linha, multiplicaremos a primeira linha por 
(−1) e somaremos à própria terceira linha. 
Podemos fazer ambos os passos de forma simultânea, acompanhe. 
 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
2 1 −1 7
 
1 2 1 8]
 
 
 
 
 
 
 
+
 
+
 
∙ (−2)
 
 
 
 
 
∙ (−1)
 
 
 
 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 1 0 2 ]
 
 
 
 
 
 
1)
• Trocar duas linhas de posição
2)
• Multiplicar (ou dividir) uma linha qualquer por uma constante
3)
• Substituir uma linha pela soma dela própria com outra qualquer 
(multiplicada ou não por uma constante)
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Agora, precisamos colocar outro zero na terceira linha, segunda coluna. 
Para isso, manteremos a segunda linha (equivalente a multiplicar por 1) e somaremos à 
própria terceira linha. 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 1 0 2 ]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 
 
 ∙ (1)
 
→
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 0 −3 −3]
 
 
 
 
 
Em tese, a matriz já foi escalonada. No entanto, para facilitar nossos cálculos futuros, vamos 
multiplicar a segunda linha por −1 e dividir a terceira linha por −3. 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 −1 −3 −5
 
0 0 −3 −3]
 
 
 
 
 
 
 
 
∙ (−1)
 
÷ (−3)
 →
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 1 3 5
 
0 0 1 1]
 
 
 
 
 
E, finalmente, chegamos a nossa matriz escalonada (e simplificada). 
[
 
 
 
 
1 1 1 6
 
0 1 3 5
 
0 0 1 1]
 
 
 
 
 
4.4. POSTO OU CARACTERÍSTICA DA MATRIZ ESCALONADA 
A característica da matriz escalonada é o número de linhas não nulas dessa matriz. 
Representamos essa característica da matriz 𝐴 por 𝜌(𝐴). 
Dessa forma, temos. 
𝐴 = [
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
] → 𝜌(𝐴) = 3 
𝐵 = [
1 1 1 10
0 1 0 3
0 0 0 0
] → 𝜌(𝐴) = 2 
 
𝐶 =
[
 
 
 
 
 
7 1 4 10
0 1 0 2
0 0 1 5
0 0 0 3
0 0 0 0
0 0 0 0 ]
 
 
 
 
 
→ 𝜌(𝐴) = 4 
Sempre que uma linha for combinação linear de outras ou ainda, produto de outra linha por 
uma constante, teremos uma redução do posto da matriz, pois se trata, como dissemos antes, de 
uma linha “inútil”. 
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5. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
De agora em diante, durante todo o nosso curso, resolveremos os sistemas que aparecerem 
de uma das quatro formas: soma de equações, substituição de variáveis, por escalonamento ou pelo 
teorema de Cramer. 
São processos suficientemente poderosos para resolver o que tivermos pela frente nas 
provas de vestibular. 
Vamos começar? 
5.1. SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS 
Já utilizamos, mesmo que discretamente, várias vezes essa técnica até agora. 
É uma técnica relativamente simples, mas muito efetiva. 
Consiste em isolar uma variável de uma equação e substituir em outra. 
Veja um veja um exemplo. 
{
𝑥 + 𝑦 = 5
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
Podemos, por exemplo, isolar o valor de 𝑥 na primeira equação e substitui-lo na segunda. 
Para isolar 𝑥 na primeira equação, vamos subtrair 𝑦 de ambos os membros. 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
{
𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
{
𝑥 = 5 − 𝑦
 
2𝑥 − 𝑦 = 4
 
 Agora que isolamos 𝑥 na primeira equação, façamos a substituição na segunda equação. 
2𝑥 − 𝑦 = 4 
2(5 − 𝑦) − 𝑦 = 4 
Distribuindo o 2. 
2(5 − 𝑦) − 𝑦 = 4 
10 − 2𝑦 − 𝑦 = 4 
10 − 3𝑦 = 4 
10 − 3𝑦 = 4 
 
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Somando a expressão 3𝑦 − 4 a ambos os membros da equação. 
10 − 3𝑦 + 3𝑦 − 4 = 4 + 3𝑦 − 4 
10 − 3𝑦 + 3𝑦 − 4 = 4 + 3𝑦 − 4 
10 − 4 = 3𝑦 
6 = 3𝑦 
Dividindo ambos os membros por 3. 
6
3
=
3𝑦
3
 
2 =
3𝑦
3
 
2 = 𝑦 
Vamos devolver essa informação ao nosso sistema. 
{
𝑥 = 5 − 𝑦
 
𝑦 = 2
 
Podemos, assim, substituir o valor de 𝑦 na primeira equação. 
{
𝑥 = 5 − 2
 
𝑦 = 2
 
{
𝑥 = 3
 
𝑦 = 2
 
E, assim, chegamos à solução do nosso sistema. Podemos, também, enunciar nossa solução 
em forma de par ordenado (3,2). 
Perceba que não fizemos mais do que as operações básicas e a substituição de uma expressão 
em outra equação. 
Todas essas operações já foram feitas durante nosso curso até agora e não deve ter sido uma 
novidade para você. 
Ainda assim, é uma técnica importante e é preciso evidenciá-la na resolução de sistemas 
lineares. 
Uma nota importante é que, em sistemas muito grandes, com várias variáveis, pode ser muito 
onerosa a resolução por substituição, então estudaremos outras técnicas mais adequadas ao caso. 
5.2. SOMA DE EQUAÇÕES NO PRÓPRIO SISTEMA 
Um método simples, mas eficaz nas condições corretas, é a soma (ou subtração) de equações 
de um mesmo sistema. 
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A condição mais propícia para utilizar o método da soma de equações em um sistema é ter 
pelo menos uma incógnita com coeficiente de mesmo módulo e de sinais opostos em duas equações 
distintas. 
Veja um exemplo. 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
 
𝑥 − 𝑦 = 1
 
Perceba que, se somarmos ambas as equações, a incógnita 𝑦 será anulada, facilitando o 
cálculo da incógnita 𝑥. 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
+
𝑥 − 𝑦 = 1
2𝑥 = 8
 
2𝑥
2
=
8
2
 
𝑥 = 4
 
Para calcularmos o valor da incógnita 𝑦, basta substituirmos o valor de 𝑥 = 4 em qualquer 
das equações do sistema. Vamos substituir na primeira equação do sistema original. 
𝑥 + 𝑦 = 7 
4 + 𝑦 = 7 
𝑦 = 7 − 4 
𝑦 = 3 
Assim, nossa resposta ao sistema 
{
𝑥 + 𝑦 = 7
 
𝑥 − 𝑦 = 1
 
será 
{
𝑥 = 4
 
𝑦 = 3
 
De modo geral, quando os coeficientes são distintos e temos muitas incógnitas, o método 
acaba não sendo viável e preferimos o escalonamento. 
5.3. RESOLUÇÃO POR ESCALONAMENTO 
Já entendemos como escalonar uma matriz e sabemos que matrizes podem representar 
sistemas lineares. 
O que faremos aqui é utilizar essas informações, associadas à substituição que acabamos de 
rever, para resolver sistemas lineares. 
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Vejamos o processo completo com sistemas e equações já usados até agora. 
O sistema 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
 
pode ser representado por esta matriz 
[
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
] 
que, quando escalonada, retorna 
[
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
]. 
Essa matriz escalonada, pode ser novamente reescrita como um sistema, equivalente ao 
primeiro. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 
A partir desse ponto, podemos usar a substituição, de baixo para cima, e ir descobrindo o 
valor de nossas incógnitas. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3 ∙ 1 = 5
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 = 5 − 3
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
 
 
E, assim, substituir o valor das incógnitas 𝑧 e 𝑦, já conhecidas, na primeira equação. 
 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
 →
{
 
 
 
 
𝑥 + 2 + 1 = 6
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
 𝑥 = 6 − 3
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
→
{
 
 
 
 
 𝑥 = 3
 
 𝑦 = 2
 
 𝑧 = 1
 
 
Conciliando as duas técnicas, escalonamento e substituição, conseguimos resolver o sistema 
linear. 
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Podemos expressar o conjunto solução como (3,2,1) e lembre-se, a solução é um conjunto 
ordenado, portanto, (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,2,1). 
 
Muitos autores apresentam o escalonamento do próprio sistema, ao invés de 
escrevê-lo na forma matricial. 
Como um sistema pode ser representado por uma matriz e vice-versa, não há 
problema em fazer o escalonamento diretamente no sistema. 
Por organização, daremos preferência no curso à versão matricial. 
 
Vamos resolver mais um? 
O sistema 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
 
pode ser representado por esta matriz 
[
1 1 1 10
2 1 2 17
]. 
Para escaloná-la, precisamos transformar o elemento 𝑎21 em 0. Para isso, vamos substituir a 
segunda linha 𝐿2 pela soma dela mesma com o produto de a primeira linha por −2. Acompanhe. 
 
[
1 1 1 10
 
2 1 2 17
] 
 
 
+
 
∙ (−2)
 
 
 → [
1 1 1 10
 
0 −1 0 −3
] 
 
Apesar de não ser um passo obrigatório, vamos multiplicar a segunda linha 𝐿2 por −1. 
 
[
1 1 1 10
 
0 −1 0 −3
] 
 
 
∙ (−1)
→ [
1 1 1 10
 
0 1 0 3
] 
 
Essa matriz escalonada, pode ser novamente reescrita como um sistema, equivalente ao 
primeiro. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
 
Substituindo o valor de 𝑦 = 2 na primeira equação, podemos isolar uma das outras 
incógnitas, ou 𝑥 ou 𝑦. 
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Como não há equações suficientes para determinarmos todas as incógnitas, uma delas ficará 
indeterminada. 
Neste caso, optaremos por isolar a variável 𝑥, mas essa escolha é randômica1. Se quiser, você 
pode isolar a incógnita 𝑧 sem problemas. 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
 → {
𝑥 + 3 + 𝑧 = 10
 
 𝑦 = 3
→ {
𝑥 = 10 − 3 − 𝑧
 
 𝑦 = 3
→ { 
𝑥 = 7 − 𝑧
 
 𝑦 = 3
 
 
Nosso sistema conta com 3 incógnitas, então, nossa resposta deve ser do tipo (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
Mas, como você viu, não conseguimos determinar o valor da incógnita 𝑧. 
Neste caso, nós deixaremos indicada a incógnita 𝑧 e escreveremos todas as outras incógnitas 
normalmente. Algumas determinadas e outras, quando indeterminadas, em função da incógnita 𝑧. 
Assim, nossa resposta para esse sistema é (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
Desse ponto em diante, para encontrar uma resposta numérica particular, é só 
determinarmos um valor para 𝑧. Para cada valor de 𝑧, teremos uma resposta diferente para o 
sistema, portanto, esse sistema possui infinitas respostas, uma para cada um dos infinitos valores 
possíveis para 𝑧. 
Veja alguns exemplos. 
𝒛 (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟕 − 𝒛, 𝟑, 𝒛) 
−1 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − (−1), 3, −1) = (7 + 1,3, −1) = (8,3, −1) 
0 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 0,3,0) = (7,3,0) 
1
2
 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 −
1
2
, 3,
1
2
) = (
13
2
, 3,
1
2
) 
𝜋 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 𝜋, 3, 𝜋) 
Voltaremos a esse sistema mais adiante na aula para estudarmos sobre essa característica de 
um sistema ter infinitas soluções. Adiantando um pouquinho, temos, aqui, um Sistema Possível 
Indeterminado (SPI). 
Por enquanto, sabemos como resolvê-lo e enunciar o conjunto solução, mesmo que 
indeterminado, em função de 𝑧. 
 
1 Randômico: aleatório, incerto, ao acaso, que depende de situações não determinadas. 
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5.4. TEOREMA DE CRAMER 
Invoquemos, aqui, a versão matricial de um sistema linear, onde 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
 
pode ser representado pelo produto matricial 
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵 
no qual 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 
𝑋 = [
𝑥
𝑦
𝑧
] 
𝐵 = [
6
7
8
]. 
Para o teorema de Cramer, utilizaremos as matrizes 𝐴 e 𝐵, associadas a determinantes. 
De início, calculemos o determinante da matriz 𝐴. 
det(𝐴) = |
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
| 
De modo auxiliar, separemos a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a segunda 
colunas já duplicadas. 
|
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
| 
1
2
1
 
1
1
2
 − |
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
| 
1
2
1
 
1
1
2
 
(1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 1) 
Assim, 
det(𝐴) = (1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 1) 
det(𝐴) = (1 − 1 + 4) − (1 − 2 + 2) 
det(𝐴) = 4 − 1 
det(𝐴) = 3 
Esse será nosso determinante “principal” e nos referiremos a ele, de agora em diante, por 
𝐷 = det(𝐴). 
Perceba que a primeira coluna da matriz 𝐴 apresenta apenas coeficientes da incógnita 𝑥, a 
segunda, apenas de 𝑦 enquanto a terceira, apenas de 𝑧. 
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{
 
 
 
 
1𝑥 + 1𝑦 + 1𝑧 = 6
 
2𝑥 + 1𝑦 − 1𝑧 = 7
 
1𝑥 + 2𝑦 + 1𝑧 = 8
→ [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 
O processo que faremos aqui será repetido para quantas incógnitas nosso sistema possuir. 
Neste caso, 3 vezes, para 𝑥, 𝑦, 𝑧. 
Na matriz original incompleta 𝐴, substituiremosa coluna de cada incógnita, uma por vez, pela 
matriz de termos independentes, de resultados, ou simplesmente, pela matriz 𝐵, e calcularemos o 
determinante da nova matriz com a substituição. 
Façamos o processo com a incógnita 𝑥. 
Para não nos perdermos em meio a tantos determinantes, como estamos substituindo a 
matriz 𝐵 na coluna da incógnita 𝑥, chamaremos a esse determinante de 𝐷𝑥. 
Assim, 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
Substituindo a matriz 𝐵 na primeira coluna de 𝐴 e calculando o determinante 𝐷𝑥. 
 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
 
 
 𝐷𝑥 = |
6 1 1
7 1 −1
8 2 1
| 
Como fizemos antes, separemos a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a 
segunda colunas duplicadas. 
|
6 1 1
7 1 −1
8 2 1
| 
6
7
8
 
1
1
2
 − |
6 1 1
7 1 −1
8 2 1
| 
6
7
8
 
1
1
2
 
(6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 8 + 6 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 7 ∙ 1) 
Assim, 
𝐷𝑥 = (6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 2) − (1 ∙ 1 ∙ 8 + 6 ∙ (−1) ∙ 2 + 1 ∙ 7 ∙ 1) 
𝐷𝑥 = (6 − 8 + 14) − (8 − 12 + 7) 
𝐷𝑥 = 12 − 3 
𝐷𝑥 = 9 
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Como temos mais duas incógnitas, 𝑦 e 𝑧, faremos o mesmo processo por mais duas vezes e 
calcular 𝐷𝑦 e 𝐷𝑧. 
Substituindo a matriz 𝐵 na segunda coluna de 𝐴 e calculando o determinante 𝐷𝑦. 
 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
 
 
 𝐷𝑦 = |
1 6 1
2 7 −1
1 8 1
| 
 
Novamente, separemos a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a segunda 
colunas duplicadas. 
|
1 6 1
2 7 −1
1 8 1
| 
1
2
1
 
6
7
8
 − |
1 6 1
2 7 −1
1 8 1
| 
1
2
1
 
6
7
8
 
(1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 8) − (1 ∙ 7 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 6 ∙ 2 ∙ 1) 
Assim, 
𝐷𝑦 = (1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ (−1) ∙ 1 + 1 ∙ 2 ∙ 8) − (1 ∙ 7 ∙ 1 + 1 ∙ (−1) ∙ 8 + 6 ∙ 2 ∙ 1) 
𝐷𝑦 = (7 − 6 + 16) − (7 − 8 + 12) 
𝐷𝑦 = 17 − 11 
𝐷𝑦 = 6 
Mais uma vez. 
Substituindo a matriz 𝐵 na terceira coluna de 𝐴 e calculando o determinante 𝐷𝑧. 
 
 
𝐴 = [
1 1 1
2 1 −1
1 2 1
] 𝐵 = [
6
7
8
] 
 
 
 𝐷𝑧 = |
1 1 6
2 1 7
1 2 8
| 
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Separando a parte positiva e a parte negativa, com a primeira e a segunda colunas duplicadas. 
|
1 1 6
2 1 7
1 2 8
| 
1
2
1
 
1
1
2
 − |
1 1 6
2 1 7
1 2 8
| 
1
2
1
 
1
1
2
 
(1 ∙ 1 ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ 2 ∙ 2) − (6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ 7 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 8) 
Assim, 
𝐷𝑧 = (1 ∙ 1 ∙ 8 + 1 ∙ 7 ∙ 1 + 6 ∙ 2 ∙ 2) − (6 ∙ 1 ∙ 1 + 1 ∙ 7 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 8) 
𝐷𝑧 = (8 + 7 + 24) − (6 + 14 + 16) 
𝐷𝑧 = 39 − 36 
𝐷𝑧 = 3 
Recapitulando. 
Calculamos o determinante da matriz incompleta do sistema e o nomeamos 𝐷. 
Substituímos a primeira coluna da matriz incompleta pelos valores da matriz B, calculamos o 
determinante dessa matriz e o nomeamos 𝐷𝑥. 
Substituímos a segunda coluna da matriz incompleta pelos valores da matriz B, calculamos o 
determinante dessa matriz e o nomeamos 𝐷𝑦. 
Substituímos a terceira coluna da matriz incompleta pelos valores da matriz B, calculamos o 
determinante dessa matriz e o nomeamos 𝐷𝑧. 
Agora vem a parte mais divertida, calcular os valores das incógnitas com esses determinantes. 
O teorema de Cramer diz que podemos calcular o valor de cada incógnita utilizando esses 
determinantes de forma que 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
 
Como temos todos os valores desses determinantes, 𝐷 = 3,𝐷𝑥 = 9,𝐷𝑦 = 6,𝐷𝑧 = 3, calculemos, 
enfim, nossas incógnitas. 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
9
3
= 3 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
6
3
= 2 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
3
3
= 1 
Como era de se esperar, a mesma resposta a que chegamos anteriormente: (𝑥, 𝑦, 𝑧) =
(3,2,1). 
Perceba que, para que existam as incógnitas, o determinante 𝐷 deve ser diferente de zero, 
ou não teremos possibilidade de fazer as divisões. 
6. TIPOS DE SISTEMAS LINEARES 
Falamos, até agora, em soluções para os sistemas lineares e estudamos 3 métodos diferentes 
para solucioná-los. 
Com relação às soluções, há 3 tipos diferentes de sistemas, a saber. 
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Vejamos o que significam esses tipos. 
6.1. SISTEMA POSSÍVEL DETERMINADO (SPD) 
Um Sistema Possível Determinado (SPD) é um sistema que admite um número finito de 
soluções. 
No SPD, é possível encontrar a solução e ela é sempre limitada. 
Quando solucionamos um sistema na aula e sua resposta foi (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3,2,1), tratava-se 
de um SPD. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
→
{
 
 
 
 
𝑥 = 3
 
𝑦 = 2
 
𝑧 = 1
→ (3,2,1) 
6.2. SISTEMA POSSÍVEL INDETERMINADO (SPI) 
Um Sistema Possível Indeterminado (SPI) é um sistema que admite um número infinito de 
respostas. Veja bem, ele é possível, só não tem um número limitado de respostas. 
Um dos sistemas que resolvemos nesta aula foi 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
→ { 
𝑥 = 7 − 𝑧
 
 𝑦 = 3
→ (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
Para cada valor de 𝑧, uma solução diferente, portanto o sistema é possível, mas de resposta 
indeterminada, SPI. 
6.2.1. Grau de liberdade 
O grau de liberdade de um sistema é a diferença entre o número de incógnitas presentes no 
sistema e o posto da matriz escalonada, ou seja, o número de linhas não nulas na matriz escalonada 
(ou no próprio sistema escalonado). 
𝐺𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝐿𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 = 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 
Sistema
Possível
Determinado 
(solução única)
SPD
Indeterminado 
(infinitas soluções)
SPI
Impossível
(sem solução)
SI
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Note que para um sistema possível e determinado, o grau de liberdade é zero, 
enquanto para um sistema possível e indeterminado, o grau de liberdade é sempre um 
número inteiro e positivo. 
Para o sistema do item anterior, temos 2 equações e 3 incógnitas, portanto, grau de liberdade 
igual a 3 − 2 = 1. 
Isso pode ser notado, também, na resposta, pois há uma variável, chamada de variável livre. 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
6.3. SISTEMA IMPOSSÍVEL 
Um Sistema Impossível (SI), como o próprio nome diz, é impossível, não existem valores para 
as incógnitas que tornem verdadeiras todas as equações desse tipo de sistema. 
Com exemplo, um sistema que, também, já foi visto na aula. 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑥 + 𝑦 = 2
→ ∅ 
Não é possível encontrar dois valores cuja soma seja, simultaneamente, 1 e 2. Por isso, 
dizemos que o sistema é impossível. 
Ou, para praticar a linguagem matemática, podemos escrever que 
 
∄ 𝑥, 𝑦 ∶ 𝑥 + 𝑦 = 1 𝑒 𝑥 + 𝑦 = 2 →
{
 
 
 
 
𝑁ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚
𝑥 𝑒 𝑦 
𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑗𝑎 1
𝑒
𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑗𝑎 2
 
7. DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
Discutir um Sistema Linear é um processo de análise do sistema com base nos coeficientes e 
nos termos independentes. 
 Essa análise nos permite classificar um sistema como SPD, SPI ou SI com precisão. 
 Veremos, nesse capítulo, dois métodos de discussão: pelo Teorema de Cramer e por 
escalonamento. 
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7.1. TEOREMA DE CRAMER E OS TIPOS DE SISTEMA LINEAR 
Para que possamos definir os valores das incógnitas pelo Teorema de Cramer, é necessário 
que 𝐷 ≠ 0, pois 𝐷 é o denominador de todas as frações determinantes das incógnitas. 
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
, 𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
, 𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
,𝑤 =
𝐷𝑤
𝐷
, 𝑡 =
𝐷𝑡
𝐷
,… 
Assim, se 𝐷 ≠ 0, o sistema é do tipo SPD. 
Caso nosso sistema apresente 𝐷 = 0, poderá ser classificado ou como SPI ou como SI. 
 
No próximo tópico veremos como fazer a distinção entre SPI e SI por meio do escalonamento.7.2. ESCALONAMENTO E OS TIPOS DE SISTEMA LINEAR 
Para classificar um sistema por escalonamento, devemos, como o nome sugere, escalonar 
algo. No caso, a matriz completa do sistema. 
De posse do sistema escalonado, obtido por meio do escalonamento de sua matriz completa, 
analisaremos as seguintes informações. 
1) a última linha do sistema 
2) o número de equações (𝐸) e de incógnitas (𝐼) do sistema 
Sistema Impossível 
 Se o sistema, ou sua matriz equivalente, apresenta a última linha com todos os coeficientes 
nulos e o termo independente diferente de zero, o sistema é SI. 
 Vejamos o exemplo que vimos no início da aula. 
{
𝑥 + 𝑦 = 1
 
𝑥 + 𝑦 = 2
→ [
1 1 1
 
1 1 2
]
0
 
+
∙ (−1)
 
 
→ [
1 1 1
 
0 0 1
] → {
𝑥 + 𝑦 = 1
 
0𝑥 + 0𝑦 = 1
 
 Perceba que não é possível encontrarmos valores para 𝑥 e 𝑦 que satisfaçam 0𝑥 + 0𝑦 = 1, o 
que torna o sistema impossível. 
 
 Se a matriz apresenta a última linha com pelo menos um coeficiente diferente de zero, 
precisamos analisar o número de equações 𝐸 e o de incógnitas 𝐼. 
 Se o 𝐸 = 𝐼, SPD. 
 Vejamos um exemplo, também já estudado nesta aula. 
Teorema de Cramer
𝐷 ≠ 0 SPD
𝐷 = 0 ou SPI ou SI
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{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 7
 
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 8
→ [
1 1 1 6
2 1 −1 7
1 2 1 8
] → [
1 1 1 6
0 1 3 5
0 0 1 1
] →
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
 
 𝑦 + 3𝑧 = 5
 
 𝑧 = 1
 
 Perceba que, no sistema escalonado, temos 3 equações (válidas) e 3 incógnitas, 
caracterizando um grau de liberdade 3 − 3 = 0, ou seja, SPD. 
 Se 𝐸 < 𝐼, SPI. 
Mais um exemplo já resolvido anteriormente. 
{
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 17
→ [
1 1 1 10
 
2 1 2 17
] → [
1 1 1 10
 
0 1 0 3
] → 
 
→ {
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 10
 
𝑦 = 3
→ { 
𝑥 = 7 − 𝑧
 
𝑦 = 3
→ (7 − 𝑧, 3, 𝑧) 
 Perceba que, no sistema já escalonado, temos 2 equações e 3 incógnitas, ou seja, grau de 
liberdade igual a 3 − 2 = 1, definindo assim um sistema possível, mas indeterminado. 
 
O processo de escalonamento elimina as informações duplicadas nas equações. 
Desse modo, só podemos ter uma matriz escalonada, resultante de um sistema linear, 
com um número de linhas menor ou igual ao número de incógnitas, ou seja, 𝐸 ≤ 𝐼. 
 
 
Última linha não nula do 
sistema escalonado
Todos os coeficientes 
nulos e termo 
independente não nulo
SI
Pelo menos um 
coeficiente não nulo
𝐸 = 𝐼 SPD
𝐸 < 𝐼 SPI
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Guarde esse esquema na memória. Sempre que formos discutir um sistema, recorreremos a esse 
raciocínio. 
7.3. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO E A SOLUÇÃO TRIVIAL 
Um sistema linear é homogêneo quando todos os seus termos independentes são nulos. Em 
uma representação típica, colocamos os termos independentes no segundo membro de cada 
igualdade, enquanto os termos que apresentam as incógnitas ficam no primeiro membro. 
{
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = 0
 
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 𝑤 = 0
 
3𝑥 − 2𝑦 − 8𝑧 + 1𝑤 = 0
 
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 − 𝑤 = 0
 
Esse tipo de sistema pode apresentar uma ou várias soluções, mas nunca é impossível. 
Como todas as equações são iguais a zero, podemos pensar, sempre, em um conjunto de 
tantos elementos quantas forem as incógnitas do sistema, todos nulos, como solução. 
Para o caso do exemplo, uma solução desse tipo seria (0,0,0,0). 
A solução apresentada não representa os zeros à direita das equações, 
representa o valor das incógnitas 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤. 
 
 (0,0,0,0)
{
 
 
 
 
𝑥 = 0
 
𝑦 = 0
 
𝑧 = 0
 
𝑤 = 0
 
Um sistema homogêneo, além da solução trivial, pode ou não apresentar uma solução não 
trivial. 
7.4. SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO E A SOLUÇÃO NÃO TRIVIAL 
 A solução não trivial para um sistema linear homogêneo aparece quando escalonamos a 
matriz completa do sistema e chegamos à conclusão de que temos um SPI, ou seja, múltiplas 
respostas. 
A resposta trivial sempre será uma possibilidade e, a depender da matriz escalonada, alguns 
sistemas lineares homogêneos podem, também, apresentar a solução não trivial na forma 
indeterminada. 
Dessa forma, nunca teremos um sistema linear homogêneo impossível. 
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8. FÓRMULAS, DEMONSTRAÇÕES E COMENTÁRIOS 
8.1. AFINAL, O QUE É O DETERMINANTE DE UMA MATRIZ? 
Na aula passada, fiz a promessa de explicar melhor o que seria o determinante de uma matriz. 
Pois bem, vamos pagar essa promessa. 
Muitos livros, inclusive de bons autores, definem o determinante de uma matriz como um 
valor calculado com o procedimento tal, e apresentam o procedimento. 
Esse tipo de definição é muito vaga e causa uma estranheza nos que prezam por um 
entendimento mais contextualizado. 
Confesso que não encontrei, até hoje, uma boa definição de determinante nesse sentido. 
O que pude perceber ao longo dos anos trabalhando com o tema é que o cálculo do 
determinante aparece, espontaneamente, quando tentamos resolver um sistema por substituição. 
Vejamos esse processo com calma. 
Vamos resolver um sistema genérico de duas equações e duas incógnitas. 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘
 
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑤
 
Se isolarmos, digamos, 𝑦 na segunda equação e substituirmos na primeira, teremos. 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→ {
𝑎𝑥 + 𝑏 (
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥) = 𝑘
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑎𝑥 +
𝑏𝑤
𝑑
−
𝑏𝑐
𝑑
𝑥 = 𝑘
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
 
Isolemos, agora, 𝑥 na primeira equação. 
{
 
 𝑎𝑥 +
𝑏𝑤
𝑑
−
𝑏𝑐
𝑑
𝑥 = 𝑘
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑎𝑥 −
𝑏𝑐
𝑑
𝑥 = 𝑘 −
𝑏𝑤
𝑑 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑥 (𝑎 −
𝑏𝑐
𝑑
) = 𝑘 −
𝑏𝑤
𝑑 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→ 
 
→
{
 
 𝑥 (
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑
) =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑑
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑑
∙
𝑑
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
→
{
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
𝑥
 
Substituamos, então, o valor de 𝑥 na segunda equação. 
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤
𝑑
−
𝑐
𝑑
∙
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
𝑦 =
𝑤 ∙ (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) − 𝑐 ∙ (𝑘𝑑 − 𝑏𝑤)
𝑑(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
→ 
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→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤𝑎𝑑 − 𝑤𝑏𝑐 − 𝑐𝑘𝑑 + 𝑐𝑏𝑤
𝑑(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤𝑎𝑑 − 𝑐𝑘𝑑
𝑑(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
→ 
 
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
𝑦 =
𝑑(𝑤𝑎 − 𝑐𝑘)
𝑑(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
𝑦 =
𝑤𝑎 − 𝑐𝑘
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
 
Perceba que o termo 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 aparece como denominador em ambas as incógnitas 
explicitadas. 
Se escrevermos a matriz incompleta do sistema, ou seja, a matriz dos coeficientes, a 
expressão 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 é justamente o que chamamos de determinante dessa matriz. 
Assim, por praticidade, em vez de fazermos esses cálculos algébricos e extensos toda vez, 
convencionou-se fazer o produto da diagonal principal menos o da diagonal secundária, para 
matrizes de ordem 2𝑥2 e a esse cálculo demos o nome de determinante. 
𝐷 = det [
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
] = |
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 
Note que, se colocarmos a coluna dos termos independentes no lugar da primeira coluna da 
matriz de coeficientes, na coluna da incógnita 𝑥, e calcularmos o determinante 𝐷𝑥, temos o 
numerador de uma das incógnitas. 
𝐷𝑥 = det [
𝑘 𝑏
𝑤 𝑑
] = |
𝑘 𝑏
𝑤 𝑑
| = 𝑘𝑑 − 𝑏𝑤 
E, se fizermos com a outra coluna, de 𝑦, idem para 𝐷𝑦. 
𝐷𝑦 = det [
𝑎 𝑘
𝑐 𝑤
] = |
𝑎 𝑘
𝑐 𝑤
| = 𝑎𝑤 − 𝑘𝑐 
Chamando essas expressões de determinantes, vamos reescrever nossa solução para o 
conjunto genérico. 
{
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑘
 
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑤
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝑘𝑑 − 𝑏𝑤
𝑎𝑑 −𝑏𝑐 
𝑦 =
𝑤𝑎 − 𝑐𝑘
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
→
{
 
 
 
 𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷 
𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
 
E acabamos, meio que por acidente, provando o teorema de Cramer para os sistemas de duas 
equações e duas incógnitas. 
Esse teorema pode ser provado para todos os sistemas com matrizes incompletas quadradas, 
mas isso é conversa para outro momento. 
Desse modo, o determinante nada mais é que uma expressão que aparece na solução de um 
sistema linear por substituição, nomeado dessa forma para tornar nossos cálculos mais práticos. 
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9. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES 
1. (Enem/2017) 
Chegando ao destino de uma mesma viagem, os turistas 𝑋 e 𝑌 alugarão, cada um deles, 
um carro. Fizeram, previamente, cotações com as mesmas três locadoras de automóveis da 
região. Os valores dos aluguéis estão representados pelas expressões dadas no quadro, 
sendo 𝐾 o número de quilômetros percorridos, e 𝑁 o número de diárias pagas pelo aluguel. 
 
O turista 𝑋 alugará um carro em uma mesma locadora por três dias e percorrerá 
250 𝑘𝑚. Já a pessoa 𝑌 usará o carro por apenas um dia e percorrerá 120 𝑘𝑚. 
Com o intuito de economizarem com as locações dos carros, e mediante as informações, os 
turistas 𝑋 e 𝑌 alugarão os carros, respectivamente, nas empresas 
a) I e II. 
b) I e III. 
c) II e II. 
d) II e III. 
e) III e I. 
2. (Enem/2017) 
Os consumidores X, Y e Z desejam trocar seus planos de internet móvel na tentativa de 
obterem um serviço de melhor qualidade. Após pesquisarem, escolheram uma operadora que 
oferece cinco planos para diferentes perfis, conforme apresentado no quadro. 
 
Em cada plano, o consumidor paga um valor fixo (preço mensal da assinatura) pela 
franquia contratada e um valor variável, que depende da quantidade de MB utilizado além da 
franquia. Considere que a velocidade máxima de acesso seja a mesma, independentemente 
do plano, que os consumos mensais de X, Y e Z são de 190 𝑀𝐵, 450 𝑀𝐵 e 890 𝑀𝐵, 
respectivamente, e que cada um deles escolherá apenas um plano. 
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Com base nos dados do quadro, as escolhas dos planos com menores custos para os 
consumidores X, Y e Z, respectivamente, são 
a) A, C e C 
b) A, B e D 
c) B, B e D 
d) B, C e C 
e) B, C e D 
3. (Enem/2018) 
Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos 
faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram 
três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que 
comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes 
vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio. Quantos alunos compraram 
somente um bilhete? 
a) 34 
b) 42 
c) 47 
d) 48 
e) 79 
4. (Enem/2016) 
Uma empresa pretende adquirir uma nova impressora com o objetivo de suprir um dos 
seus departamentos que tem uma demanda grande por cópias. Para isso, efetuou-se uma 
pesquisa de mercado que resultou em três modelos de impressora distintos, que se 
diferenciam apenas pelas seguintes características: 
 
Para facilitar a tomada de decisão, o departamento informou que sua demanda será de, 
exatamente, 50 000 cópias. 
Assim, deve-se adquirir a impressora 
 
a) A ou B, em vez de C. 
b) B, em vez de A ou C. 
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c) A, em vez de B ou C. 
d) C, em vez de A ou B. 
e) A ou C, em vez de B. 
 
5. (Unicamp/2020) 
Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem 
um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total de filhos e filhas 
dessa família é igual a 
a) 11. b) 9. c) 7. d) 5. 
6. (Fuvest/2020) 
Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris 
e Roma. Sabe-se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de 
passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente. Sabe-se também que, para 
Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi 
o total de passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 b) 38 c) 42 d) 62 e) 68 
7. (Fuvest/2017) 
João tem 𝑅$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja 𝐴 as canetas são vendidas 
em dúzias, cada dúzia custa 𝑅$ 40,00 e há apenas 2 dúzias em estoque. Na loja 𝐵 as canetas 
são vendidas em pares, cada par custa 𝑅$ 7,60 e há 10 pares em estoque. Na loja 𝐶 as canetas 
são vendidas avulsas, cada caneta custa 𝑅$ 3,20 e há 25 canetas em estoque. 
O maior número de canetas que João pode comprar nas lojas 𝐴, 𝐵 e 𝐶 utilizando no 
máximo 𝑅$ 150,00 é igual a 
a) 46 b) 45 c) 44 d) 43 e) 42 
8. (Fuvest/2016) 
Uma dieta de emagrecimento atribui a cada alimento um certo número de pontos, que 
equivale ao valor calórico do alimento ao ser ingerido. Assim, por exemplo, as combinações 
abaixo somam, cada uma 85 pontos: 
- 4 colheres de arroz + 2 colheres de azeite + 1 fatia de queijo branco. 
- 1 colher de arroz + 1 bife + 2 fatias de queijo branco. 
- 4 colheres de arroz + 1 colher de azeite + 2 fatias de queijo branco. 
- 4 colheres de arroz + 1 bife. 
Note e adote: 
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São macronutrientes as proteínas, os carboidratos e os lipídeos. 
Com base nas informações fornecidas, e na composição nutricional dos alimentos, 
considere as seguintes afirmações: 
I. A pontuação de um bife de 100 g é 45. 
II. O macronutriente presente em maior quantidade no arroz é o carboidrato. 
III. Para uma mesma massa de lipídeo de origem vegetal e de carboidrato, a razão 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑝í𝑑𝑖𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑖𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜
 
é 1,5. 
É correto o que se afirma em 
a) I. apenas. b) II, apenas. c) I e II, apenas. d) II e III, apenas. e) I, II e III. 
9. (Unesp/2015) 
Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela 
quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês estão representados 
na figura a seguir, sendo que três deles estão com os respectivos preços. 
 
De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa 
a) 𝑅$15,30. b) 𝑅$16,20. c) 𝑅$14,80. d) 𝑅$17,00. e) 𝑅$15,50. 
10. (Unesp/2015) 
A tabela indica o gasto de água, em 𝑚³ por minuto, de uma torneira (aberta), em função 
do quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas posições do registro. 
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Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é uma reta, e que o gasto de 
água, por minuto, quando a torneira está totalmente aberta, é de 0,034 𝑚³. Portanto, é 
correto afirmar que essa torneira estará totalmente aberta quando houver um giro no seu 
registro de abertura de 1 volta completa e mais 
a) 
1
2
 de volta. b) 
1
5
 de volta. c) 
2
5
 de volta. d) 
3
4
 de volta. e) 
1
4
 de volta. 
11. (Fuvest/2015) 
No sistema linear 
{
 
 
 
 
𝑎𝑥 − 𝑦 = 1
 
𝑦 + 𝑧 = 1
 
𝑥 + 𝑧 = 𝑚
 
nas variáveis 𝑥, 𝑦 e 𝑧, 𝑎 e 𝑚 são constantes reais. É correto afirmar: 
 
a) No caso em que 𝑎 = 1, o sistema tem solução se, e somente se, 𝑚 = 2. 
b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝑎 e de 𝑚. 
c) No caso em que 𝑚 = 2, o sistema tem solução se, e somente se, 𝑎 = 1. 
d) O sistema só tem solução se 𝑎 = 𝑚 = 1. 
e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de 𝑎 e de 𝑚. 
12. (Unesp/2013) 
Os habitantes de um planeta chamado Jumpspace locomovem-se saltando.Para isto, 
realizam apenas um número inteiro de saltos de dois tipos, o slow jump (𝑆𝐽) e o quick jump 
(𝑄𝐽). Ao executarem um 𝑆𝐽 saltam sempre 20 𝑢. 𝑑. (unidade de distância) para Leste e 30 𝑢. 𝑑. 
para Norte. Já no 𝑄𝐽 saltam sempre 40 𝑢. 𝑑. para Oeste e 80 𝑢. 𝑑. para Sul. 
Um habitante desse planeta deseja chegar exatamente a um ponto situado 204 𝑢. 𝑑. a 
Leste e 278 𝑢. 𝑑. ao Norte de onde se encontra. Nesse caso, é correto afirmar que o habitante 
a) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 13 saltos 𝑆𝐽 e 7 𝑄𝐽. 
b) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 7 saltos 𝑆𝐽 e 13 𝑄𝐽. 
c) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 13 saltos 𝑆𝐽. 
d) não conseguirá alcançar seu objetivo, pois não há número inteiro de saltos que lhe 
permita isso. 
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e) conseguirá alcançar seu objetivo, realizando 7 saltos 𝑄𝐽. 
13. (Fuvest/2012) 
Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e 
restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55 
homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada 
homem. O número 𝑛 de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a 
a) 100 b) 105 c) 115 d) 130 e) 135 
14. (Unesp/2011) 
Uma pessoa necessita de 5 𝑚𝑔 de vitamina 𝐸 por semana, a serem obtidos com a 
ingestão de dois complementos alimentares 𝛼 e 𝛽. Cada pacote desses complementos fornece, 
respectivamente, 1 𝑚𝑔 e 0,25 𝑚𝑔 de vitamina 𝐸. Essa pessoa dispõe de exatamente 𝑅$47,00 
semanais para gastar com os complementos, sendo que cada pacote de 𝛼 custa 𝑅$5,00 e de 
𝛽 𝑅$4,00. 
O número mínimo de pacotes do complemento alimentar 𝛼 que essa pessoa deve 
ingerir semanalmente, para garantir os 5 𝑚𝑔 de vitamina 𝐸 ao custo fixado para o mesmo 
período, é de: 
𝑎) 3 𝑏) 3
5
16
 𝑐) 5,5 𝑑) 6
3
4
 𝑒) 8 
15. (Unesp/2011) 
Uma família fez uma pesquisa de mercado, nas lojas de eletrodomésticos, à procura de 
três produtos que desejava adquirir: uma TV, um freezer e uma churrasqueira. Em três das 
lojas pesquisadas, os preços de cada um dos produtos eram coincidentes entre si, mas 
nenhuma das lojas tinha os três produtos simultaneamente para a venda. A loja A vendia a 
churrasqueira e o freezer por R$ 1.288,00. A loja B vendia a TV e o freezer por R$ 3.698,00 e a 
loja C vendia a churrasqueira e a TV por R$ 2.588,00. 
A família acabou comprando a TV, o freezer e a churrasqueira nestas três lojas. O valor 
total pago, em reais, pelos três produtos foi de 
a) 3.767,00. b) 3.777,00. c) 3.787,00. d) 3.797,00. e) 3.807,00. 
16. (Fuvest/2011) 
Uma geladeira é vendida em 𝑛 parcelas iguais, sem juros. Caso se queira adquirir o 
produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela deve 
ser acrescido de 𝑅$ 60,00 ou de 𝑅$125,00 , respectivamente. Com base nessas informações, 
conclui-se que o valor de 𝑛 é igual a 
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 
17. (Unesp/2008) 
Um grupo de 𝑥 estudantes se juntou para comprar um computador portátil (notebook) 
que custa 𝑅$ 3.250,00. Alguns dias depois, mais três pessoas se juntaram ao grupo, formando 
um novo grupo com 𝑥 + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do computador pelo número 
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de pessoas que estão compondo o novo grupo, verificou-se que cada pessoa pagaria 𝑅$ 75,00 
a menos do que o inicialmente programado para cada um no primeiro grupo. 
O número 𝑥 de pessoas que formavam o primeiro grupo é: 
a) 9. b) 10. c) 11. d) 12. e) 13. 
18. (Unesp/2008) 
Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete 
cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de uma lapiseira, um caderno e uma 
caneta, juntos, em reais, é: 
a) 11. b) 12. c) 13. d) 17. e) 38. 
19. (Unesp/2007) 
Um fazendeiro plantou 3.960 árvores em sua propriedade no período de 24 meses. A 
plantação foi feita mês a mês, em progressão aritmética. No primeiro mês foram plantadas 𝑥 
árvores, no mês seguinte (𝑥 + 𝑟) árvores, 𝑟 > 0, e assim sucessivamente, sempre plantando 
no mês seguinte 𝑟 árvores a mais do que no mês anterior. Sabendo-se que ao término do 
décimo quinto mês do início do plantio ainda restavam 2.160 árvores para serem plantadas, o 
número de árvores plantadas no primeiro mês foi: 
a) 50. b) 75. c) 100. d) 150. e) 165. 
20. (Fuvest/2006) 
João, Maria e Antônia tinham, juntos, 𝑅$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte 
por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, 
Antônia passou a ter 𝑅$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os 
três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros 
de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos 
capitais de Maria e João. 
Qual era o capital inicial de João? 
a) 𝑅$ 20.000,00 b) 𝑅$ 22.000,00 c) 𝑅$ 24.000,00 
d) 𝑅$ 26.000,00 e) 𝑅$ 28.000,00 
21. (Unesp/2006) 
Seja 𝑇𝐶 a temperatura em graus Celsius e 𝑇𝐹 a mesma temperatura em graus 
Fahrenheit. Essas duas escalas de temperatura estão relacionadas pela equação 
9𝑇𝐶 = 5𝑇𝐹 − 160 
Considere agora 𝑇𝐾 a mesma temperatura na escala Kelvin. As escalas Kelvin e Celsius 
estão relacionadas pela equação 
𝑇𝐾 = 𝑇𝐶 + 273. 
A equação que relaciona as escalas Fahrenheit e Kelvin é: 
a) 𝑇𝐹 = (𝑇𝐾 − 113) / 5 
b) 𝑇𝐹 = (9𝑇𝐾 − 2457) / 5 
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c) 𝑇𝐹 = (9𝑇𝐾 − 2297) / 5 
d) 𝑇𝐹 = (9𝑇𝐾 − 2657) / 5 
e) 𝑇𝐹 = (9𝑇𝐾 − 2617) / 5 
22. (Fuvest/2005) 
Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi 
entregue, embalada em 10 caixas, com 24 frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa 
continha 2 frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número 
de frascos entregues, no aroma limão, foi 
a) 110 b) 120 c) 130 d) 140 e) 150 
23. (Fuvest/2003) 
O sistema 
{
𝑥 + (𝑐 + 1)𝑦 = 0
 
𝑐𝑥 + 𝑦 = −1
 
onde𝑐 ≠ 0, admite uma solução (𝑥, 𝑦) com 𝑥 = 1. Então, o valor de 𝑐 é: 
a) −3 b) −2 c) −1 d) 1 e) 2 
24. (Fuvest/2002) 
Se (𝑥, 𝑦) é solução do sistema 
{
𝑥 +
1
𝑦
= 1
 
𝑥2 + 𝑦2 = 4
 
então 
𝑥
𝑦
 é igual a: 
𝑎) 1 𝑏) − 1 𝑐) 
1
3
 𝑑) −
3
2
 𝑒) −
2
3
 
25. (Fuvest/2002) 
Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo, 
conforme a planta adiante, com uma ponte para atravessá-lo. 
 
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Em um certo dia, ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e 
deu uma volta completa no muro interno. Esse trajeto foi completado em 5.320 passos. No 
dia seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma 
volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 8.120 passos. Pode-se 
concluir que a largura 𝐿 do fosso, em passos, é. 
a) 36 b) 40 c) 44 d) 48 e) 50 
26. (Unesp/1999) 
Uma pessoa, em seu antigo emprego, trabalhava uma quantidade 𝑥 de horas por 
semana e ganhava 𝑅$ 60,00 pela semana trabalhada. Em seu novo emprego, essa pessoa 
continua ganhando os mesmos 𝑅$ 60,00 por semana. Trabalha, porém, 4 horas a mais por 
semana e recebe 𝑅$ 4,00 a menos por hora trabalhada. O valor de 𝑥 é 
a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) 14. 
 
 
 
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10. GABARITO DAS QUESTÕESDE VESTIBULARES ANTERIORES 
1. B 
2. C 
3. D 
4. E 
5. C 
6. D 
7. B 
8. E 
9. A 
10. B 
11. A 
12. D 
13. D 
14. A 
15. C 
16. A 
17. B 
18. C 
19. A 
20. A 
21. C 
22. C 
23. B 
24. D 
25. B 
26. A 
 
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11. QUESTÕES DE VESTIBULARES ANTERIORES RESOLVIDAS E COMENTADAS 
1. (Enem/2017) 
Chegando ao destino de uma mesma viagem, os turistas 𝑋 e 𝑌 alugarão, cada um deles, 
um carro. Fizeram, previamente, cotações com as mesmas três locadoras de automóveis da 
região. Os valores dos aluguéis estão representados pelas expressões dadas no quadro, 
sendo 𝐾 o número de quilômetros percorridos, e 𝑁 o número de diárias pagas pelo aluguel. 
 
O turista 𝑋 alugará um carro em uma mesma locadora por três dias e percorrerá 
250 𝑘𝑚. Já a pessoa 𝑌 usará o carro por apenas um dia e percorrerá 120 𝑘𝑚. 
Com o intuito de economizarem com as locações dos carros, e mediante as informações, os 
turistas 𝑋 e 𝑌 alugarão os carros, respectivamente, nas empresas 
a) I e II. 
b) I e III. 
c) II e II. 
d) II e III. 
e) III e I. 
Comentários 
Para 𝑁 = 3 e 𝐾 = 250: 
𝐼. 100.3 + 0,8.250 = 500 
𝐼𝐼. 70.3 + 1,2.250 = 510 
𝐼𝐼𝐼. 120.3 + 0,6.250 = 510 
X alugará na empresa I. 
Para 𝑁 = 1 e 𝐾 = 120: 
𝐼. 100.1 + 0,8.120 = 196 
𝐼𝐼. 70.1 + 1,2.120 = 214 
𝐼𝐼𝐼. 120.1 + 0,6.120 = 192 
Y alugará na empresa III. 
Gabarito: b) 
 
 
 
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2. (Enem/2017) 
Os consumidores X, Y e Z desejam trocar seus planos de internet móvel na tentativa de 
obterem um serviço de melhor qualidade. Após pesquisarem, escolheram uma operadora que 
oferece cinco planos para diferentes perfis, conforme apresentado no quadro. 
 
Em cada plano, o consumidor paga um valor fixo (preço mensal da assinatura) pela 
franquia contratada e um valor variável, que depende da quantidade de MB utilizado além da 
franquia. Considere que a velocidade máxima de acesso seja a mesma, independentemente 
do plano, que os consumos mensais de X, Y e Z são de 190 𝑀𝐵, 450 𝑀𝐵 e 890 𝑀𝐵, 
respectivamente, e que cada um deles escolherá apenas um plano. 
Com base nos dados do quadro, as escolhas dos planos com menores custos para os 
consumidores X, Y e Z, respectivamente, são 
a) A, C e C 
b) A, B e D 
c) B, B e D 
d) B, C e C 
e) B, C e D 
Comentários 
Consumidor X: 
𝐴: 29,9 + 40.0,40 = 𝑅$45,90 
𝐵: 𝑅$34,9 
O consumidor X tem menor custo no plano B. 
Consumidor Y: 
𝐴: 29,9 + 300.0,4 = 𝑅$149,90 
𝐵: 34,9 + 200.0,1 = 𝑅$54,90 
𝐶: 𝑅$59,9 
O consumidor Y tem menor custo no plano B. 
Consumidor Z: 
𝐴: 29,9 + 740.0,4 = 𝑅$325,90 
𝐵: 34,9 + 640.0,1 = 𝑅$98,9 
𝐶: 59,9 + 390.0,1 = 𝑅$98,9 
𝐷: 𝑅$89,90 
O consumidor Z tem menor custo no plano D. 
Gabarito: c) 
 
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3. (Enem/2018) 
Durante uma festa de colégio, um grupo de alunos organizou uma rifa. Oitenta alunos 
faltaram à festa e não participaram da rifa. Entre os que compareceram, alguns compraram 
três bilhetes, 45 compraram 2 bilhetes, e muitos compraram apenas um. O total de alunos que 
comprou um único bilhete era 20% do número total de bilhetes vendidos, e o total de bilhetes 
vendidos excedeu em 33 o número total de alunos do colégio. Quantos alunos compraram 
somente um bilhete? 
a) 34 
b) 42 
c) 47 
d) 48 
e) 79 
Comentários 
Quantidade de alunos que faltaram: 80 
Quantidade de alunos que compareceram: 𝑥 
Quantidade total de alunos: 80 + 𝑥 
Total de bilhetes vendidos: 𝑏 = 80 + 𝑥 + 33 
Quantidade de alunos que compraram 1 bilhete: a 
Quantidade de alunos que compraram 2 bilhetes: 45 
Quantidade de alunos que compraram 3 bilhetes: 𝑐 
De acordo com o enunciado 𝑎 = 0,2𝑏 
𝑎 = 0,2(𝑎 + 90 + 3𝑐) 
𝑎 + 90 + 3𝑐 − (80 + 𝑎 + 45 + 𝑐) = 33 
𝑎 + 90 + 3𝑐 − 80 − 𝑎 − 45 − 𝑐 = 33 
2𝑐 = 68 
𝑐 = 34 
 Substituindo na primeira equação: 
𝑎 = 0,2𝑎 + 0,2.90 + 0,6.34 
0,8𝑎 = 18 + 20,4 
𝑎 = 48 
Gabarito: d) 
 
 
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4. (Enem/2016) 
Uma empresa pretende adquirir uma nova impressora com o objetivo de suprir um dos 
seus departamentos que tem uma demanda grande por cópias. Para isso, efetuou-se uma 
pesquisa de mercado que resultou em três modelos de impressora distintos, que se 
diferenciam apenas pelas seguintes características: 
 
Para facilitar a tomada de decisão, o departamento informou que sua demanda será de, 
exatamente, 50 000 cópias. 
Assim, deve-se adquirir a impressora 
 
a) A ou B, em vez de C. 
b) B, em vez de A ou C. 
c) A, em vez de B ou C. 
d) C, em vez de A ou B. 
e) A ou C, em vez de B. 
Comentários 
Impressora A: 
𝑝 = 500 + 50.80 = 4500 
Impressora B: 
𝑝 = 1100 + 25.140 = 4600 
Impressora C: 
𝑝 = 2000 + 10.250 = 4500 
Gabarito: e) 
 
5. (Unicamp/2020) 
Em uma família, cada filha tem o mesmo número de irmãs e irmãos, e cada filho tem 
um número de irmãs igual ao dobro do número de irmãos. O número total de filhos e filhas 
dessa família é igual a 
a) 11. b) 9. c) 7. d) 5. 
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Comentários: 
Para uma filha, podemos dizer que o número de irmãs, sendo 𝐴 o número de filhas, é dado 
por 𝐴 − 1, pois uma filha não é considerada irmã de si mesma. Já o número de irmãos de uma filha, 
sendo 𝑂 o número de filhos, é dado por 𝑂 mesmo. 
Já para um filho, o número de irmãos é igual a 𝑂 − 1 pelo mesmo motivo citado 
anteriormente. O número de irmãs de um filho é igual a 𝐴. 
Dessa forma, pelo enunciado, podemos montar o seguinte sistema de equações: 
{
𝐴 − 1 = 𝑂
 
2 ⋅ (𝑂 − 1) = 𝐴
→ {
𝐴 − 1 = 𝑂
 
2 ⋅ 𝑂 − 2 = 𝐴
→ {
𝐴 − 𝑂 = 1
 
−𝐴 + 2 ⋅ 𝑂 = 2
→ {
𝐴 − 𝑂 = 1
 
𝑂 = 3
→ {
𝐴 = 4
 
𝑂 = 3
 
De posse do número de filhos 𝑂 e de filhas 𝐴, a soma é dada por: 
𝐴 + 𝑂 = 4 + 3 = 7 
Gabarito: c) 
6. (Fuvest/2020) 
Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris 
e Roma. Sabe-se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de 
passagens vendidas para os outros dois destinos conjuntamente. Sabe-se também que, para 
Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das vendidas para Lisboa. Qual foi 
o total de passagens vendidas, conjuntamente, para Paris e Roma? 
a) 26 b) 38 c) 42 d) 62 e) 68 
Comentários 
Considerando 𝐿 como Lisboa, 𝑃 como Paris e 𝑅 como Roma, extraímos do enunciado o as 
seguintes informações em forma de equações: 
Uma agência de turismo vendeu um total de 78 passagens para os destinos: Lisboa, Paris 
e Roma 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
Sabe-se que o número de passagens vendidas para Paris foi o dobro do número de passagens 
vendidas para os outros dois destinos conjuntamente 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅) 
Sabe-se também que, para Roma, foram vendidas duas passagens a mais que a metade das 
vendidas para Lisboa. 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
 
Essas equações formam um sistema linear. 
Professor Marçal 
Aula 10: Enem 
51 
96 
 
Aula 06 – Sistemas Lineares 
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{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
𝑃 = 2 ⋅ (𝐿 + 𝑅)
 
𝑅 = 2 +
𝐿
2
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
2𝐿 − 𝑃 + 2𝑅 = 0
 
−𝐿 + 2𝑅 = 4
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
−3𝑃 + 2 = −78 ⋅ 2
 
𝑃 + 3𝑅 = 82
 
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
3𝑃 + 2 = 52
 
𝑃 + 3𝑅 = 82
→
{
 
 
 
 
𝐿 + 𝑃 + 𝑅 = 78 
 
3𝑃 + 2 = 52
 
𝑅 = 10
 
Novamente, a questão nos solicitou o valor da soma 𝑃 + 𝑅, portanto, não há necessidade de 
seguirmos com a resolução do sistema, uma vez que 
𝑃 + 𝑅 = 52 + 10 = 62 
Gabarito: d) 
7. (Fuvest/2017) 
João tem 𝑅$ 150,00 para comprar canetas em 3 lojas. Na loja 𝐴 as canetas