Prob_Est_Livro_GR-121

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Aula 11 Probabilidade e Estatística 239
O erro tipo II (não rejeitar H
0
, sendo H
0
 falsa) é designado por β (lê-se “beta”, a 2ª letra do 
alfabeto grego). Normalmente, os testes são realizados estabelecendo-se previamente apenas 
um valor para α, sem mencionar valor algum para β (o cálculo da probabilidade associada a esse 
erro é mais complexo, pois ele só ocorre quando H
0
 é falsa, e existem infinitas possibilidades 
de H
0
 ser falsa, enquanto só há uma possibilidade dela ser verdadeira).
Muitas vezes, H
0
 é estabelecida com fortes suspeitas de que será rejeitada, mas, para que 
isso ocorra, é preciso que se tenha uma boa margem de confiança associada à nossa decisão. 
Essa margem de confiança é exatamente a probabilidade de tomarmos a decisão certa de não 
rejeitar H
0
 quando H
0
 for verdadeira.
Atente para o quadro que se segue. Ele mostra, resumidamente, os possíveis resultados 
associados a um teste de hipóteses e suas respectivas probabilidades.
Decisão tomada em relação à H
0
Quando H
0
 é verdadeira Quando H
0
 é falsa
Não rejeitar H
0
Decisão correta (1−α) Erro tipo II (β)
Rejeitar H
0
Erro tipo I (α) Decisão correta (1−β)
São muitas informações, não é? Mas, vamos voltar ao nosso exemplo da moeda para que 
você entenda melhor a lógica dos testes de hipóteses. Suponha que, para tirar sua dúvida, você 
obtenha uma amostra composta pelos resultados (cara e coroa) obtidos ao se jogar 200 vezes 
essa moeda. A partir de tais resultados, você observa o nº de ocorrências do evento “cara” 
nessa amostra. Se essa moeda é equilibrada (ou seja, se H
0
 de fato se verifica), espera-se que, 
nessas 200 jogadas, a proporção de “caras” seja um valor próximo da proporção de “coroas”, 
você concorda? Pois se p = 0,5 (como afirma H
0
), então, a proporção de “cara” observada 
nessa amostra p deve ser um valor em torno de 0,5, não é mesmo? Caso essa proporção 
amostral, p , seja muito menor que esse valor, há motivos para você acreditar que P(cara) 
< P(coroa), para essa moeda, e, conseqüentemente, você deve rejeitar a afirmação feita em 
H
0
, isto é, você rejeita p = 0,5.
Vamos continuar com o exemplo. Suponha que nessas 200 jogadas tenha ocorrido 82 
caras e 118 coroas. Diante desses resultados amostrais, qual a decisão a ser tomada? Rejeitar 
H
0
 ou não rejeitar H
0
? Ora, se o nº de “caras” foi 82 em 200 jogadas, isso nos dá uma 
estimativa p igual a:
p̂ =
82
200
= 0, 41 ou 41%.
Para decidir sobre rejeitar ou não H
0
, primeiro temos que averiguar se esse resultado 
amostral, p = 41%, apóia a afirmação H
0
: p = 0,5. Para isso, precisamos saber quão provável 
é a ocorrência de valores associados à v.a. proporção amostral (p ), tal que p ≤ 41%, em 
uma distribuição com parâmetro p = 0,5 (ou seja, supondo H
0
 verdadeiro). 
Observação – Consideramos igual ou menor por causa da formulação de H
1
 que afirma p < 0,5.
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Aula 11 Probabilidade e Estatística240
A solução em relação a essa decisão encontra-se na probabilidade associada à ocorrência p 
< 0,41, sendo E(p ) = 0,5. Tal probabilidade é obtida por meio da distribuição da v.a. proporção 
amostral (p ), considerando H
0
 como verdadeira. Esta será a distribuição de uma estatística a 
qual chamamos estatística-teste. A estatística-teste nos fornecerá um resultado que será uma 
espécie de bússola em relação à rejeição ou não de H
0
. Tal resultado sempre irá nortear nossa 
decisão, pois a estatística-teste é obtida com base nos resultados amostrais (nas estimativas) 
e na distribuição da v.a. correspondente ao estimador que gerou essa estimativa, supondo 
H
0
 verdadeira. No caso da moeda, a distribuição do estimador p é binomial, porém, como 
n = 200 (n é grande), então, poderemos usar aproximação pela distribuição normal em nossos 
cálculos. Nesta aula, veremos tão somente o caso de uma amostra para n ≥ 30, e testes para 
a proporção p. Assim, no exemplo, supondo H
0
 verdadeira, ou seja, p = 0,5, temos que:
a média da v. a. será E[p ] = p = 0,5 e a variância σ2
p̂ =
pq
n
=
(0, 5)(0, 5)
200
, portanto, a 
variância é: σ2
p̂ =
0, 25
200
= 0, 00125∴ σ2
p̂ = 0, 00125 ⇒ σp̂ =
√
0, 00125 = 0, 03536 (o 
desvio padrão).
Então, teremos (não esqueça! Sempre supondo H
0
 verdadeira!) que a distribuição amostral 
usada para o cálculo da estatística-teste será uma normal, com as seguintes características:
p̂ ∼ N
(
0, 5;
0, 25
200
)
 ou p ∼ N (0,5; 0,00125).
Você se lembra que na distribuição Normal, sempre escrevemos dentro dos parênteses 
(média; variância), nesta ordem?
A partir dessa distribuição amostral da proporção (você já estudou na aula 8 – Distribuições 
amostrais da média e da proporção P – lembra?), vamos calcular a probabilidade associada 
à ocorrência de valores de p para os quais p ≤ 0,41 (resultado da estimativa amostral). 
Portanto, queremos o resultado dessa probabilidade P(p ≤ 0,41). Então, padronizando, 
temos que:
 P (p̂ ≤ 0, 41) ⇒ P
(
Z ≤ p̂ − E(p̂)
σp̂
)
,
essa é a expressão de nossa estatística-teste. Considerando H
0
: p = 0,5, n = 200, teremos, 
depois de substituirmos os valores que já calculamos, o seguinte resultado:
Zteste =
p̂ − 0, 5√
0, 00125
=
0, 41 − 0, 5
0, 03536
=
−0, 09
0, 03536
= −2, 55, logo Zteste = −2,55.
Esse valor de Zteste indica, de acordo com a tabela da distribuição normal, que: 
P(p ≤ 0,41) = P(Z ≤ −2,55) = 0,5 − 0,4946, portanto, P(p ≤ 0,41) = 0,0054.
Esse resultado (0,0054) evidencia que é muito pequena a probabilidade de, numa amostra 
de 200 jogadas, se ter uma proporção amostral de caras, p ≤ 0,41, considerando a hipótese 
H
0
: p = 0,5 como verdadeira. Atenção, esse resultado é possível, no entanto, muito pouco 
provável para p = 0,5.
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