Aproximação da distribuição binomial

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Aula 7 Probabilidade e Estatística 147
Apresentação
Na Aula 4 (Modelos probabilísticos de variáveis aleatórias discretas: Bernoulli e binomial), 
estudamos um importante modelo de probabilidade associado a determinado tipo de 
variável aleatória discreta: o modelo binomial. Naquela aula, aprendemos como obter 
as probabilidades de variáveis desse tipo, utilizando a expressão matemática que as define. 
Porém, os cálculos dessas probabilidades dependem do tamanho da amostra e, portanto, 
calculá-las por meio da fórmula (binomial) é bastante trabalhoso quando n é grande. 
Nesta aula, retomaremos esse assunto para ampliar nossos conhecimentos acerca 
do mesmo: aprenderemos a obter as referidas probabilidades, para grandes amostras, de 
uma maneira muito mais prática, utilizando o modelo normal, que aprendemos na Aula 6 
(Distribuição de probabilidade normal).
Quando usamos o modelo normal para calcular probabilidades binomiais, estamos 
fazendo o que os autores chamam: aproximação normal da (ou “para a”) distribuição 
binomial. Esse é o assunto desta aula. É fundamental que você o apreenda com clareza, 
pois ele é muito importante, tanto pelo aspecto prático em relação à redução dos cálculos 
das probabilidades binomiais, quando n é grande, quanto para que você compreenda 
inferências relativas à proporção populacional p, com base em grandes amostras, que será 
estudada mais adiante.
Objetivos
Compreender a aproximação da distribuição binomial como 
aproximação da distribuição normal.
Saber quando e como calcular as probabilidades da binomial 
usando aproximação pela distribuição normal. 
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Aula 7 Probabilidade e Estatística148
Aproximação da distribuição 
binomial pela normal 
Quando estudamos a distribuição binomial (Aula 4), vimos que uma v.a. X com tal 
distribuição é definida como sendo o nº de sucessos em n repetições de ensaios de 
Bernoulli, sendo p a probabilidade de sucesso, constante nesses n ensaios. Ora, se nos 
interessa apenas o nº de sucessos, e não a ordem, a lei binomial tem, como vimos na referida 
aula, a função de probabilidade associada a uma combinação que é função de n, ou seja:
 
P (X = k) =
(
n
k
)
× pk × q(n−k)
.
Quando o n tamanho da amostra é grande, os cálculos para se obter as probabilidades 
se tornam muito trabalhosos (caso não se disponha de uma calculadora científica), 
tanto em relação aos coeficientes binomiais quanto no que diz respeito ao cálculo das 
potências associadas a p e q, não é mesmo? Imagine calcular, por exemplo: P(X=18), se 
X∼B (27;0,82).
Felizmente, um teorema de De Moivre-Laplace nos mostra outra alternativa –muito mais 
prática! – de obter probabilidades muito próximas a essas, resultantes da lei binomial, sem 
que tenhamos que efetuar tantos cálculos. Essa nova alternativa é válida quando lidamos 
com grandes amostras (mas, é justamente para grandes amostras que queremos evitar usar 
a lei binomial, não é?).
A aplicação do resultado desse teorema é largamente usada (muitas vezes, o livro não 
menciona o teorema), sob o título “aproximação normal para a distribuição binomial” (ou similar). 
Na verdade, quanto mais próximo de 0,5 for o valor da probabilidade de sucesso p e quanto 
maior for n, o tamanho de amostra, melhor se torna a aproximação dessas probabilidades 
(binomiais e normais).
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