Função Polinomial do 2 Grau 3

Prévia do material em texto

**Função Polinomial do 2º Grau**
A função polinomial do 2º grau, também conhecida como função quadrática, é uma das funções mais estudadas e aplicadas em matemática. Sua forma geral é dada por \( f(x) = ax^2 + bx + c \), onde \( a \), \( b \) e \( c \) são coeficientes reais e \( a \neq 0 \). Para um estudante que está se preparando para um exame de concurso, é crucial entender as propriedades, características, gráfico e métodos de resolução das funções quadráticas. Neste artigo, vamos abordar esses aspectos e fornecer exercícios para reforçar o aprendizado.
**Características da Função Quadrática**
1. **Domínio:** O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais, ou seja, \( \mathbb{R} \).
2. **Vértice:** O vértice da parábola representada pela função quadrática está localizado no ponto \((h, k)\), onde:
 \[ h = -\frac{b}{2a} \]
 \[ k = f(h) \]
3. **Coeficiente \( a \):**
 - \( a > 0 \): A parábola é concavidade para cima.
 - \( a < 0 \): A parábola é concavidade para baixo.
4. **Raízes:** As raízes da função quadrática são os pontos onde a função intercepta o eixo \( x \), ou seja, os valores de \( x \) para os quais \( f(x) = 0 \).
 \[ \Delta = b^2 - 4ac \]
 - Se \( \Delta > 0 \), a função possui duas raízes reais e distintas.
 - Se \( \Delta = 0 \), a função possui duas raízes reais iguais.
 - Se \( \Delta < 0 \), a função não possui raízes reais.
**Gráfico da Função Quadrática**
O gráfico da função quadrática é uma parábola no plano cartesiano. A concavidade da parábola e a posição no eixo vertical (direção) dependem do coeficiente \( a \). O vértice da parábola é o ponto mais baixo (para \( a > 0 \)) ou o ponto mais alto (para \( a < 0 \)) da curva.
**Exercícios de Aprendizagem**
1. Dada a função quadrática \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \):
 a) Determine os coeficientes \( a \), \( b \) e \( c \).
 
 b) Calcule o vértice da parábola.
 
 c) Determine o valor de \( \Delta \) e as raízes da função.
2. Questão Discursiva:
 Explique as características e propriedades da função quadrática. Descreva como determinar o vértice da parábola, os coeficientes e as raízes de uma função quadrática. Desenhe um gráfico representativo de uma função quadrática com base em seus coeficientes.
**Respostas dos Exercícios**
1. 
 a) Coeficientes: \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \).
 
 b) Vértice: 
 \[ h = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2 \]
 \[ k = f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \]
 Portanto, o vértice é o ponto (2, -1).
 
 c) 
 \[ \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 \]
 Raízes:
 \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
 \[ x_1, x_2 = \frac{4 \pm 2}{2} \]
 \[ x_1 = 3 \text{ e } x_2 = 1 \]
2. 
 A função quadrática é uma função polinomial do 2º grau representada pela expressão \( f(x) = ax^2 + bx + c \). O domínio da função é o conjunto dos números reais, \( \mathbb{R} \). O vértice da parábola é o ponto \((h, k)\), onde \( h = -\frac{b}{2a} \) e \( k = f(h) \). O coeficiente \( a \) determina a concavidade da parábola: se \( a > 0 \), a parábola é concavidade para cima; se \( a < 0 \), a parábola é concavidade para baixo. As raízes da função quadrática são os pontos onde a função intercepta o eixo \( x \), e podem ser determinadas pelo discriminante \( \Delta \), onde \( \Delta = b^2 - 4ac \). Dependendo do valor de \( \Delta \), a função possui duas raízes reais distintas, duas raízes reais iguais ou nenhuma raiz real. O gráfico da função quadrática é uma parábola no plano cartesiano, e a posição, direção e forma da parábola podem ser determinadas pelos coeficientes da função.