livro_calculo-1-2

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Marcus Polo Rocha Duarte
Ramiro Galas Pedrosa
Marcus Polo Rocha Duarte
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Capa
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Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Brasília
 Patrão, Mauro.
P314 Cálculo 1 : derivada e integral em uma variável / Mauro Patrão. – Brasília : 
 Editora Universidade de Brasília, 2011.
319 p. ; 23 cm. (Série Ensino de Graduação)
ISBN 978-85-230-1285- 4
1. Sequências. 2. Derivada. 3. Gráficos. 4. Otimização. 5. Integral. 6. 
Velocidade. 7. Aceleração. 8. Sistema massa-mola-amortecimento. 9. Sistema 
pistão-virabrequim.10. Sistema balístico. 11. Pêndulo sem atrito. I. Título.
 CDU 517
SUMÁRIO
Sumário 5
0 Prefácio 7
1 Preliminares 11
1.1 Números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Funções reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Limite 31
2.1 Aproximação da origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Limite de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.4 Limite de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Continuidade de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6 Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7 Continuidade de funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.8 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3 Derivada 101
3.1 Reta tangente e velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2 Função derivada e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3 Derivada da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.4 Derivada de funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.5 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.6 Derivada de funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5
6 Sumário
4 Gráficos 157
4.1 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.2 Crescimento e concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.3 Assíntotas horizontais e verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.4 Método de esboço de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5 Integral 213
5.1 Área líquida e variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.2 Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.3 Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.4 Substituição trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.5 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.6 Frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.7 Volumes, comprimentos e áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.8 Pêndulo sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6 Gabaritos de Fixação 283
A Apêndices 291
A.1 Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.2 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A.3 Limite e monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
A.4 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.5 Propriedades da área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
A.6 Método da exaustão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Referências Bibliográficas 313
Índice Remissivo 315
B Sobre o autor 319
6 Sumário
4 Gráficos 157
4.1 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.2 Crescimento e concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.3 Assíntotas horizontais e verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.4 Método de esboço de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5 Integral 213
5.1 Área líquida e variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.2 Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.3 Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.4 Substituição trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.5 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.6 Frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.7 Volumes, comprimentos e áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.8 Pêndulo sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6 Gabaritos de Fixação 283
A Apêndices 291
A.1 Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.2 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A.3 Limite e monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
A.4 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.5 Propriedades da área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
A.6 Método da exaustão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Referências Bibliográficas 313
Índice Remissivo 315
B Sobre o autor 319
6 Sumário
4 Gráficos 157
4.1 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.2 Crescimento e concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.3 Assíntotas horizontais e verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.4 Método de esboço de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5 Integral 213
5.1 Área líquida e variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.2 Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.3 Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.4 Substituição trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.5 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.6 Frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
5.7 Volumes, comprimentos e áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.8 Pêndulo sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
6 Gabaritos de Fixação 283
A Apêndices 291
A.1 Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
A.2 Binômio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
A.3 Limite e monotonicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
A.4 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A.5Propriedades da área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
A.6 Método da exaustão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Referências Bibliográficas 313
Índice Remissivo 315
B Sobre o autor 319