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356 Cálculo Numérico
E 3.4.12.
x0 = C.I. (3.152)
x
(n+1) = x
(n) +
x(n) − Ax(n)
2
=
(3− A)x(n)
2
(3.153)
(3.154)
E 3.6.5. Seja f(x) ∈ C2 um função tal que f(x∗) = 0 e f ′(x∗) 6= 0. Considere o processo iterativo do método das secantes:
x
(n+1) = x
(n) −
f(x(n))
f(x(n))− f(x(n−1))
(x(n) − x(n−1)) (3.201)
Esta expressão pode ser escrita como:
x
(n+1) = x
(n) −
f(x(n))(x(n) − x(n−1))
f(x(n))− f(x(n−1))
(3.202)
(3.203)
=
x(n)
(
f(x(n))− f(x(n−1))
)
− f(x(n))(x(n) − x(n−1))
f(x(n))− f(x(n−1))
(3.204)
=
x(n)f(x(n−1))− x(n−1)f(x(n))
f(x(n))− f(x(n−1))
(3.205)
Subtraindo x∗ de ambos os lados temos:
x
(n+1) − x∗ =
x(n)f(x(n−1))− x(n−1)f(x(n))
f(x(n))− f(x(n−1))
− x∗ (3.206)
=
x(n)f(x(n−1))− x(n−1)f(x(n))− x∗
(
f(x(n))− f(x(n−1))
)
f(x(n))− f(x(n−1))
(3.207)
=
(x(n) − x∗)f(x(n−1))− (x(n−1) − x∗)f(x(n))
f(x(n))− f(x(n−1))
(3.208)
Definimos εn = xn − x∗, equivalente a xn = x∗ + εn
εn+1 =
εnf(x∗ + εn−1)− εn−1f(x∗ + εn)
f(x∗ + εn)− f(x∗ + εn−1)
(3.209)
Aproximamos a função f(x) no numerador por
f(x∗ + ε) ≈ f(x∗) + εf
′(x∗) + ε
2 f
′′(x∗)
2
(3.210)
f(x∗ + ε) ≈ εf
′(x∗) + ε
2 f
′′(x∗)
2
(3.211)
εn+1 ≈
εn
[
εn−1f
′(x∗) + ε2
n−1
f′′(x∗)
2
]
− εn−1
[
εnf
′(x∗) + ε2
n
f′′(x∗)
2
]
f(x∗ + εn)− f(x∗ + εn−1)
(3.212)
=
f′′(x∗)
2
(
εnε
2
n−1 − εn−1ε
2
n
)
f(x∗ + εn)− f(x∗ + εn−1)
(3.213)
=
1
2
f
′′(x∗)
εnεn−1
(
εn−1 − εn
)
f(x∗ + εn)− f(x∗ + εn−1)
(3.214)
Observamos, agora, que
f(x∗ + εn)− f(x∗ + εn−1) ≈
[
f(x∗) + f
′(x∗)εn
]
−
[
f(x∗) + f
′(x∗)εn−1
]
= f
′(x∗)(εn − εn−1)
(3.215)
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 357
Portanto:
εn+1 ≈
1
2
f ′′(x∗)
f ′(x∗)
εnεn−1 (3.216)
ou, equivalentemente:
x
(n+1) − x∗ ≈
1
2
f ′′(x∗)
f ′(x∗)
(
x
(n) − x∗
)(
x
(n−1) − x∗
)
(3.217)
E 3.7.2.
x > a com a ≈ 0,4193648.
E 3.7.3.
z1 ≈ 0.3252768, z2 ≈ 1.5153738, z3 ≈ 2.497846, z4 ≈ 3.5002901, zj ≈ j − 1/2− (−1)j e
−2j+1
π
, j > 4
E 3.7.4.
150 W, 133 W, 87 W, 55 W, 6,5 W
E 3.7.5.
a) 42 s e 8 min2 s, b) 14 min56 s.
E 3.7.6.
118940992
E 3.7.7.
7,7 cm
E 3.7.8.
4,32 cm
E 3.7.9.
(0,652919, 0,426303)
E 3.7.10.
7,19% ao mês
E 3.7.11.
4,54% ao mês.
E 3.7.12.
500 K, 700 K em t = 3 ln(2), 26 min, 4 h27 min.
E 3.7.13.
(±1,1101388,−0,7675919), (±1,5602111, 0,342585)
E 3.7.14.
1,5318075
E 3.7.15.
Aproximadamente 2500 reais por hora.
E 3.7.16.
a) 332,74 K b) 359,33 K
E 3.7.17.
1,2285751, 4,76770758, 7,88704085
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