Cálculo Numérico

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354 Cálculo Numérico
e, de forma análoga:
√
e2x + x2 − ex =
x2√
e2x + x2 + ex
. (2.204)
E 2.9.5. 4,12451228×10−16 J; 0,002%; 0,26654956×10−14 J; 0,002%; 4,98497440×10−13 J; 0,057%; 1,74927914×10−12 J;
0,522%.
E 3.1.1.
Observamos que a equação é equivalente a cos(x) − x = 0. Tomando, então, f(x) = cos(x) − x, temos que f(x) é contínua
em [0, π/2], f(0) = 1 e f(π/2) = −π/2 < 0. Logo, do teorema de Bolzano 3.1.1, concluímos que a equação dada tem pelo menos
uma solução no intervalo (0, π/2).
E 3.1.2.
No Exercício 3.1.1, mostramos que a função f(x) = cos(x) − x tem um zero no intervalo [0, π/2]. Agora, observamos que
f ′(x) = − sen (x)−1. Como 0 < sen x < 1 para todo x ∈ (0, π/2), temos que f ′(x) < 0 em (0, π/2), isto é, f(x) é monotonicamente
decrescente neste intervalo. Logo, da Proposição 3.1.1, temos que existe um único zero da função neste intervalo.
E 3.1.3.
k ≈ 0,161228
E 3.1.5.
Escolhendo o intervalo [a, b] = [−1,841− 10−3,−1,841 + 10−3], temos f(a) ≈ 5× 10−4 > 0 e f(b) ≈ −1,2× 10−3 < 0, isto
é, f(a) · f(b) < 0. Então, o teorema de Bolzano nos garante que o zero exato x∗ de f(x) está no intervalo (a, b). Logo, da escolha
feita, | − 1,841− x∗| < 10−3.
E 3.1.6. Basta aplicar as ideias da solução do Exercício 3.1.5.
E 3.2.1. 0,6875
E 3.2.2. Intervalo (0,4, 0,5), zero 0,45931. Intervalo (1,7, 1,8), zero 1,7036. Intervalo (2,5, 2,6), zero 2,5582.
E 3.2.3. a) x1 = 1. b) Dica: como x2 = 2 é raiz dupla, tem-se que p′(x2) = 0.
E 3.2.5. 1,390054; 1,8913954; 2,4895673; 3,1641544; 3,8965468
E 3.2.6. kθ = lP
2 cos(θ) com θ ∈ (0, π/2); 1,030.
E 3.2.7. 19; 23; 26; 0,567143; 1,745528; 3,385630
E 3.2.8. a) 0,623; b) 0,559; c) 0,500; d) 0,300; e) −0,3; f) −30; g) −30
E 3.2.9. a) 0,0294; b) 2.44e− 3; c) 2.50e− 4; d) 1.09 · 10−7; e) −10−12; f) −10−12; g) −10−12
E 3.3.1. −1,8414057
E 3.3.2.
0,7391
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 355
E 3.3.3.
Tomemos x(1) = 1 como aproximação inicial para a solução deste problema, iterando a primeira sequência a), obtemos:
x
(1) = 1 (3.79)
x
(2) = ln
(
10
1
)
= 2,3025851 (3.80)
x
(3) = ln
(
10
2,3025851
)
= 1,4685526 (3.81)
... (3.82)
x
(21) = 1,7455151 (3.83)
x
(31) = 1,745528 (3.84)
x
(32) = 1,745528 (3.85)
Iterando a segunda sequência b), obtemos:
x
(1) = 1 (3.86)
x
(2) = 10e−1 = 3,6787944 (3.87)
x
(3) = 10e−3,6787944 = 0,2525340 (3.88)
x
(4) = 10e−0,2525340 = 7,7682979 (3.89)
x
(5) = 10e−7,7682979 = 0,0042293 (3.90)
x
(6) = 10e−0,0042293 = 9,9577961 (3.91)
Este experimento numérico sugere que a iteração a) converge para 1,745528 e a iteração b) não é convergente.
E 3.3.7. x1 ≈ 1,4506619, x2 ≈ 4,8574864, x3 = 7,7430681.
E 3.3.10.
0.0431266
E 3.4.1. raiz:0,82413, processo iterativo: x(n+1) = x(n) + cos(x)−x2
sen (x)+2x
E 3.4.3. 0,65291864
E 3.4.4. 0,0198679; 0,533890; 0,735412; 1,13237 e 1,38851.
E 3.4.6. −99.99970, −0.3376513; −1.314006.
E 3.4.9.
x0 > 1.
E 3.4.10.
x
(0) = C.I. (3.147)
x
(n+1) = x
(n)
(
2− Ax(n)
)
(3.148)
(3.149)
E 3.4.11.
x0 = C.I. (3.150)
x
(n+1) = x
(n)
(
1−
1
n
)
+
A
nx(n)
(3.151)
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