Álgebra linear numérica

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1. Álgebra linear numérica: métodos de resolução de sistemas lineares.
Na álgebra linear numérica, existem vários métodos eficientes para resolver sistemas de equações lineares. Vou descrever brevemente alguns dos métodos mais utilizados:
### 1. Eliminação de Gauss-Jordan:
O método de Eliminação de Gauss-Jordan é um dos métodos mais básicos e amplamente utilizados para resolver sistemas lineares. Ele consiste em aplicar operações elementares de linha para transformar o sistema em uma forma escalonada reduzida, o que facilita a identificação das soluções.
### 2. Decomposição LU:
A Decomposição LU (Lower-Upper) é outra técnica comum na resolução de sistemas lineares. Ela envolve decompor a matriz dos coeficientes em dois componentes, uma matriz triangular inferior (L) e uma matriz triangular superior (U). Isso permite resolver o sistema de forma mais eficiente.
### 3. Método de Jacobi:
O Método de Jacobi é um método iterativo usado para resolver sistemas lineares quando a matriz dos coeficientes é diagonalmente dominante. Ele envolve a iteração de uma fórmula de atualização para estimar as soluções até que a convergência seja alcançada dentro de uma tolerância especificada.
### 4. Método de Gauss-Seidel:
O Método de Gauss-Seidel é semelhante ao Método de Jacobi, mas oferece uma convergência mais rápida em muitos casos. Ele usa a mesma ideia de iteração, mas atualiza os valores das incógnitas à medida que eles são calculados, em vez de usar os valores anteriores em todas as iterações.
### 5. Decomposição QR:
A Decomposição QR é útil para resolver sistemas lineares mal condicionados. Ela envolve decompor a matriz dos coeficientes em um produto de uma matriz ortogonal (Q) e uma matriz triangular superior (R), o que simplifica a resolução do sistema.
### 6. Método de Relaxação:
O Método de Relaxação é uma extensão dos métodos iterativos como Jacobi e Gauss-Seidel. Ele introduz um parâmetro de relaxação que controla a taxa de convergência do método, permitindo ajustar a precisão da solução e a velocidade de convergência.
Esses são apenas alguns dos métodos utilizados na álgebra linear numérica para resolver sistemas de equações lineares. A escolha do método mais apropriado depende das propriedades da matriz dos coeficientes, como sua condição de esparsidade, diagonal dominante, simetria, entre outras características. Cada método tem suas vantagens e limitações, e a escolha correta pode resultar em soluções mais rápidas e precisas.