Calculo 1-154

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- Resposta: \( y(x) = Ce^{-x^2} \). 
 
157. Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\cos(x)) \). 
 - Resposta: \( f'(x) = -\tan(x) \). 
 
158. Calcule a integral indefinida de \( \int e^{2x} \cos(x) \, dx \). 
 - Resposta: \( \int e^{2x} \cos(x) \, dx = \frac{1}{5} e^{2x}(2\cos(x) + \sin(x)) \). 
 
159. Determine a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \) no 
intervalo \( [1, e] \). 
 - Resposta: A área é \( e - 1 \). 
 
160. Qual é o determinante da matriz \( \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \\ 0 & 5 & 3 
\end{pmatrix} \)? 
 - Resposta: O determinante é \( -2 \). 
 
161. Encontre a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y' + 4y = 0 \). 
 - Resposta: \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x} \). 
 
162. Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{x^3}{x^2 - 1} \, dx \). 
 - Resposta: \( \int \frac{x^3}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2}(x^2 - \ln|x^2 - 1|) + C \). 
 
163. Determine o ponto de inflexão da função \( f(x) = e^x - x \). 
 - Resposta: O ponto de inflexão é \( (\ln(2), 2 - \ln(2)) \). 
 
164. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sinh(x)}{x} \)? 
 - Resposta: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sinh(x)}{x} = 1 \). 
 
165. Resolva a equação diferencial \( y' + 2xy = 0 \). 
 - Resposta: \( y(x) = Ce^{-x^2} \). 
 
166. Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(\cos(x)) \).