Apostila_Pré-Cálculo

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Piauí
Apostila de Pré-Cálculo
Departamento de Estatística
Universidade Federal do Piauí
Centro de Ciências da Natureza
Departamento de Estatística
Coordenadora do Projeto:
Elizabete Cardoso Machado
Coordenadora Adjunta:
Valmária Rocha da Silva Ferraz
Executor Colaborador:
Cleide Mayra Menezes Lima
Jurandir de Oliveira Lopes
Diagramação e edição:
Aline Raquel Assunção Nunes
Elaboração do Conteúdo:
Airton José de Oliveira Nery Júnior
Aline Raquel Assunção Nunes
Francisco Huemerson de Sousa Pinto
Auxiliar Técnico:
José Carlos Machado da Silva
Apostila de Pré-Cálculo - Universidade Federal do Piauí, Teresina - PI: Departamento de
Estatística - UFPI, 2021, 137 p.
Noções de conjunto: Definição de conjuntos, Relação de pertinência, Conjunto unitário, Con-
junto vazio, Subconjuntos - relação de inclusão, Operações com conjuntos • Conjuntos numéricos:
Conjunto dos números naturais - N, Conjunto dos números inteiros - I, Conjunto dos números
racionais - R, Conjunto dos números irracionais - I, Conjunto dos números reais - R, Números
reais, Intervalos numéricos • Funções: Noção Intuitiva de Função, Função afim, Função quadrá-
tica, Função exponencial, Função logarítmica, Função modular, Função trigonométrica • Noções
de limites e derivadas: Função contínua, Limite de uma função, Limites laterais, Limite de fun-
ção composta, Continuidade das funções trigonométricas, Limites no infinito, Limites infinitos,
Derivadas, Derivada de uma função, Técnicas de derivação, Regras de derivação, Outras nota-
ções para a derivada, Regra da cadeia para derivação de função composta, Regra de L’Hospital
• Referências Bibliográficas.
c© UFPI/Departamento de Estatística - 2021
Campus Universitário Ministro Petrônio Portela
Bairro: Ininga
CEP: 64049− 550
Telefone: 3215− 1180
email: coord_estatistica@ufpi.edu.br
Sumário
1 Noções de conjuntos 1
1.1 Definição de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Relação de pertinência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Conjunto Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 Subconjuntos - relação de inclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6 Operações com Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.7 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.8 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Conjuntos Numéricos 9
2.1 Conjunto dos Números Naturais - N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Conjunto dos Números Inteiros - Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Conjunto dos Números Racionais - Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Conjunto dos Números Irracionais - I = Q′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Conjunto dos Números Reais - R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.7 Intervalos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.9 Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Funções 18
3.1 Noção intuitiva de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.6 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.7 Função trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Noções de limites e derivadas 88
4.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1.2 Função contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.3 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1.5 Limite de função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.6 Continuidade das funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.7 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.8 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
iii
iv SUMÁRIO
4.2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2.2 Derivada de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.3 Técnicas de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.4 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.5 Outras notações para a derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2.6 Regra da cadeia para derivação de função composta . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2.7 Regra de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Referências Bibliográficas 129
Capítulo 1 Noções de conjuntos
1.1 Definição de conjuntos
Sem definição própria, partimos de uma noção primitiva que conjunto é qualquer grupo de elementos
com características em comum.
Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos que o compõem são separados
por vírgulas e delimitados pelo uso de chaves.
1.2 Relação de pertinência
A relação de pertinência é utilizada para relacionar determinados elementos a um conjunto. Essa
relação é representada pelos seguintes símbolos:
• pertence ∈
• não pertence /∈
Para indicarmos que um objeto x é elemento do conjunto A, escrevemos:
x ∈ A (lê-se: x pertence a A)
Se o objeto x não é elemento do conjunto A, escrevemos:
x /∈ A (lê-se: x não pertence a A)
1
Capítulo 1. Noções de conjuntos
1.3 Conjunto Unitário
Conjunto que possui apenas um elemento.
• A = {Lua}
OBS: podemos descrever as características comuns dos elementos de um conjunto da seguinte maneira:
A = {x | x é satélite natural da Terra} = {Lua}
• B = {x | x é ímpar compreendido entre 4 e 6} = {5}
1.4 Conjunto Vazio
Conjunto que não possui elementos. Pode ser representado por { } ou ∅.
• A = {x | x 2 = 9 e x é par}= ∅.
• B = {x | x é ímpar e múltiplo de 2} = { }.
1.5 Subconjuntos - relação de inclusão
Dizemos que A é um subconjunto de B quando todos os elementos existentes em A também perten-
cerem ao conjunto B . Ou seja
• A ⊂ B (lê-se: A está contido em B .)
Em outras palavras
• B ⊃ A (lê-se: B contém A.)
Se o conjunto A não for subconjunto de B , escrevemos A 6⊂ B (lê-se: A não está contido em B).
Observações importantes
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo (A ⊂ A).
• ∅ é subconjunto de qualquer conjunto (∅ ⊂ A).
• O total de subconjuntos que podemos formar a partir de um conjunto A, constituído por n elementos,
é dado por2n , e denota-se por A = 2n .
• A ⊂ B e B ⊂ A se, e somente se, A = B .
• A é subconjunto próprio de B se, e somente se, A está contido em B e A 6= B .
Conjunto das partes
Consideremos em conjunto A. Denominamos conjunto das partes (P(A)) o conjunto formado por todos
os subconjuntos de A.
Exemplo:
Seja A = {1, 2, 3}, então:
O total de subconjuntos de A = 23 = 8 e o conjunto das partes:
P(A) =
{
∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
}
Diagrama de Euler-Venn
Os diagramas de Euler-Venn são utilizados para visualizar as relações entre conjuntos.
Exemplo: A = {1, 2, 3, 4}.
2
1.6. Operações com Conjuntos
1.6 Operações com Conjuntos
União ou reunião de conjuntos
O conjunto P é a união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por A∪B , formado por todos
os elementos pertencentes a A ou B , ou seja:
P = A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplos:
a) Se A = {2, 4, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
b) Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4}, então A ∪ B = A.
c) Se A = {1, 2, 3} e B = {4}, então A ∪ B = {1, 2, 3, 4}.
Interseção de conjuntos
Definimos o conjunto P como a intersecção dos conjuntos A e B , formado por todos os elementos
pertencentes a A e B , simultaneamente, e representado por A ∩ B .
P = A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplos:
a) Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, então A ∩ B = {2, 4}.
b) Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 4}, então A ∩ B = B .
c) Se A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}, então A ∩ B = ∅. Nesse caso, A e B são chamados conjuntos
disjuntos.
3
Capítulo 1. Noções de conjuntos
Conjunto diferença
Define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A − B , formado
por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B , ou seja:
P = A− B = {x | x ∈ A e x /∈ B}
Exemplo:
Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6}, então A− B = {1, 3} e B −A = {6}.
Conjunto universo (U)
Conjunto que contêm todos os elementos de interesse para um determinado problema.
Conjunto complementar
Dados os conjuntos A e B , caso o conjunto A ⊂ B , a diferença B − A refere-se ao conjunto comple-
mentar de A em relação a B e é denotado por CAB = B −A.
Para expressar a operação, basta destacar os elementos de B que não estão em A.
Exemplos:
a) Se A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 4, 6, 9}, então CAB = B −A = {0, 4, 6, 9}.
b) Se A = {1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 4, 6, 9}, então CBA = A− B = {3}.
OBS:
• ∅C = U .
• UC = ∅.
1.7 Exercícios resolvidos
1. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 5}, pede-se para escrever simbolicamente as sentenças
a seguir, classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F):
4
1.7. Exercícios resolvidos
a) 2 é elemento de A.
b) 4 pertence a B .
c) B é parte de A.
d) 1 não é elemento de B
e) A é igual B
Solução:
a) 2 ∈ A. É verdadeira.
b) 4 ∈ B . É verdadeira.
c) B ⊂ A. É falsa, pois 5 ∈ B , mas 5 /∈ A.
d) 1 /∈ B . É verdadeira.
e) A = B . É falsa (pode-se usar o mesmo elemento 5 para verificar a falsidade).
2. Classifique em verdadeiras (V) ou falsas (F) as sentenças a seguir:
a) {1} ∈ {1}
b) {1} ⊂ {1}
c) 1 ∈ {1}
d) {1} ∈
{
{1}, {2}
}
e) ∅ ⊂ ∅
f) {1} ⊂
{
{1}, {2}
}
g) {1} ⊂
{
1, {1}
}
h) ∅ ∈
{
1, 2, {1}
}
i) ∅ ⊂
{
1, 2, {1}
}
j)
{
{1}
}
⊂
{
1, 2, {1}
}
k) ∅ ∈
{
∅, 1, {1}
}
l) ∅ ⊂
{
∅, 1, {1}
}
Solução:
a) F
b) V
c) V
d) V
e) V
f) F
g) V
h) F
i) V
j) V
k) V
l) V
3. Sendo A = {a, b, c, d}, determine P(A).
Solução:
Como A tem quatro elementos, P(A) tem 24 = 16 elementos.
Daí,
P(A) =
{
∅, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c},
{a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}
}
.
4. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10, 12},B = {3, 6, 9, 12, 15} e C = {0, 5, 10, 15, 20}, determine:
a) A ∩ B
b) A ∪ B
c) A ∩ C
d) C −A
e) B ∪ C
f) B − C
g) A ∩ B ∩ C
h) A ∪ B ∪ C
i) A ∩ (B ∪ C )
j) (A ∩ (B) ∪ (B −A)
k) (A− B) ∩ (C −A)
l) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C )
m) (A− B) ∩ (B ∪ C )
n) (B − C ) ∪ (A− C ) ∪ (B −A)
Solução:
a) A ∩ B = {6, 12}
b) A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15}
c) A ∩ C = {10}
d) C −A = {0, 5, 15, 20}
5
Capítulo 1. Noções de conjuntos
e) B ∪ C = {0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20}
f) B − C = {3, 6, 9, 12}
g) A ∩ B ∩ C = {6, 12} ∩ {0, 5, 10, 15, 20} = { } = ∅
h) A ∪ B ∪ C = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15} ∪ {0, 5, 10, 15, 20} = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20}
i) A ∩ (B ∪ C ) = {2, 4, 6, 8, 10, 12} ∩ {0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20} = {6, 10, 12}
j) (A ∩ (B) ∪ (B −A) = {6, 12} ∪ {3, 9, 15} = {3, 6, 9, 12, 15}
k) (A− B) ∩ (C −A) = {2, 4, 8, 10} ∩ {0, 5, 12, 20} = { }
l) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C ) = {6, 12} ∩ {0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20} = {6, 12}
m) (A− B) ∩ (B ∪ C ) = {2, 4, 8, 10} ∩ {0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20} = {10}
n) (B − C ) ∪ (A− C ) ∪ (B −A) = {3, 6, 9, 12} ∪ {2, 4, 6, 8, 12} ∪ {3, 9, 15} = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 15}
5. Dados A = {1, 2, 3},B = {1, 2, 3, 4, 5} e C = {2, 3}, determine:
a) CBA b) C
C
B c) C
C
A
Solução:
a) CBA = B −A = {4, 5}
b) CCB = B − C = {1, 4, 5}
c) CCA = A− C = {1}
6. Dados os conjuntos A = {x ∈ N |x é ímpar}, B = {x ∈ N |x é par} e C = {x ∈ N |x é múltiplo de 3},
determine se as afirmativas abaixo são verdadeiras, justificando:
a) 3 ∈ A
b) −3 ∈ B
c) −12 ∈ C
d) 15 /∈ C
e) A 6⊂ B
f) A 6⊂ C
g) B ∩ C = ∅
h) (A ∩ C ) ∪ B = ∅
i) A ∪ B ∪ C = N
Solução:
a) Verdadeiro, pois 3 é um número natural ímpar.
b) Falso, pois (−3) não é um número natural.
c) Falso, pois (−12) não é um número natural.
d) Falso, pois 15 é um número natural múltiplo de 3.
e) Verdadeiro, pois não existe nenhum número natural ímpar e par ao mesmo tempo.
f) Verdadeiro, pois existem números naturais ímpares que não são múltiplos de 3.
g) Falso, pois existem números naturais pares que são múltiplos de 3.
h) Verdadeiro, pois (A ∩ C ) = {x ∈ N | x é ímpar e múltiplo de 3}.
i) Verdadeiro, pois, embora alguns números naturais múltiplos de 3 sejam pares ou ímpares, os ele-
mentos de um conjunto podem ser repetidos.
7. Um laboratório de análises clínicas fez uma pesquisa tomando uma amostra de 75 pacientes, portadores
do vírus HIV. Essa amostra foi classificada em três grandes grupos de risco: hemofílicos, homossexuais
e toxicômanos, dos quais:
• 41 pacientes eram homossexuais;
• 9 homossexuais e hemofílicos, não toxicômanos;
• 7 homossexuais e toxicômanos, não hemofílicos;
6
1.7. Exercícios resolvidos
• 2 hemofílicos e toxicômanos, não homossexuais;
• 6 apenas toxicômanos.
O número de pacientes apenas hemofílicos é igual ao número de pacientes apenas homossexuais. O
número de pacientes pertencentes aos três grupos simultaneamente é a metade do número de pacien-
tes que não foram classificados em nenhum dos grupos anteriores. Qual o número de pacientes que
pertencem aos três grupos simultaneamente?
Solução:
A comunidade pesquisada apresenta 75 pacientes:
U = 75
41 pacientes eram homossexuais:
A + D + G + E = 41
9 homossexuais e hemofílicos, não toxicômanos:
D = 9
7 homossexuais e toxicômanos, não homossexuais:
E = 7
2 hemofílicos e toxicômanos, não hemofílicos:
F = 2
6 apenas toxicômanos:
C = 6
Número de pacientes apenas hemofílicos igual ao número de pacientes apenas homossexuais:
A = B
O número de pacientes pertencentes aos três grupos simultaneamente é a metade do número de paci-
entes que não foram classificados em nenhum dos grupos anteriores:
G =
75− (A + B + C + D + E + F + G)
2
Com as informações anteriores, temos:
G =
75− (41 + A + 6 + 2)
2
= 13− A
2
Daí,
A + D + G + E = 41⇒ A + 9 + 13− A
2
+ 7 = 41⇒ A = 24
Temos, então:
A = 24,B = 24,C = 6,D = 9,E = 7,F = 2,G = 1
7
Capítulo 1. Noções de conjuntos
1.8 Exercícios propostos
1. Dado A =
{
1, {3, 2}, 4
}
determine se as afirmações a seguir são verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) {3, 2} ⊂ A.
b) {3, 2} 6⊂ A.
c) {2} ⊂ A.
d) {4} ⊂ A.
e) {2, 3} ∈ A.
f)
{
1, {3}
}
⊂ A.
g)
{
1, {2, 3}
}
⊂ A.
2. Um conjunto A tem 18 subconjuntos. Determine o número de elementos de A.
3. Sejam os conjuntos A = {0, 2}, B = {−1, 4, 5}, C = {0, 3, 6} e D = {2, 3, 4, 5, 6}. Determine (A −
B) ∩ (C −D).
4. Se A e B são dois conjuntos não vazios,tais que A − B = {1, 3, 6, 7}, B − A = {4, 8} e A ∪ B =
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Determine o conjunto A ∩ B .
5. Sejam A, B e A ∩ B conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente. Determinar o número de
elementos do conjunto A ∪ B .
6. Em uma cidade há mil famílias, das quais 470 assinam o jornal A; 420, o jornal B ; 315, o jornal C ;
140, B e C ; 220, A e C ; 110, A e B ; e 75 assinaram os três. Determinar:
a) quantas famílias não assinam jornal;
b) quantas famílias assinam só um dos jornais;
c) quantas famílias assinam só dois jornais;
d) quantas famílias assinam pelo menos dois jornais;
e) quantas famílias assinam no máximo dois jornais.
7. Em uma cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomem macarrão. Sabe-se
que 40% consomem arroz, 30% macarrão, 15% arroz e feijão e 60% consomem feijão. Determinar a
porcentagem correspondente às famílias que não consomem esses produtos.
8
Capítulo 2 Conjuntos Numéricos
2.1 Conjunto dos Números Naturais - N
O conjunto dos números naturais é de grande importância pelo seu uso na contagem.
Mesmo desconhecendo a ideia de coleção, o homem primitivo já usava a ideia de números, para
determinar “quantos” animais possuía, “quantas” pessoas viviam na tribo, etc. . . Assim, pela necessidade
de contagem, surgiu o primeiro conjunto numérico, denominado conjunto dos números naturais.
Sua notação é N = {0, 1, 2, . . .}
Quando não consideramos o elemento zero (0), a notação utilizada é N∗ = N− {0} = {1, 2, 3, . . .}.
Alguns historiadores acreditam que o zero foi o último dos números naturais a ser criado, justificando
que no inicio não havia necessidade de registro no caso de não se ter posses. Ainda se discute dentro da
matemática se o zero pertence ou não ao conjunto dos números naturais.
É importante notar que neste conjunto numérico estão bem definidas as operações de adição (+) e
multiplicação (×), mas não a subtração (−) e a divisão (÷).
2.2 Conjunto dos Números Inteiros - Z
O conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto dos naturais acrescidos dos
seus simétricos. Esse conjunto tem por notação Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}.
Subconjuntos de Z
a) Conjunto dos inteiros não nulos.
Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3 . . .}
9
Capítulo 2. Conjuntos Numéricos
b) Conjunto dos inteiros não negativos.
Z+ = {0, 1, 2, 3 . . .}
OBS: O conjunto N é subconjunto de Z, pois N = Z+ = {0, 1, 2, 3 . . .}.
c) Conjunto dos inteiros não positivos.
Z− = {. . . ,−3,−2,−1, 0}
d) Conjunto dos inteiros não nulos e positivos.
Z∗+ = {1, 2, 3, . . .}
e) Conjunto dos inteiros não nulos e negativos.
Z∗− = {. . . ,−3,−2,−1}
2.3 Conjunto dos Números Racionais - Q
Note que no conjunto dos números inteiros ainda não é possivel fazer todas as divisões, por exemplo
3÷2 ainda não está definida, pois ainda não existe um número que represente este resultado. Para resolver
este problema surge então o conjunto dos números racionais (Q), que é formado por todos os números
que podem ser escrito em forma de fração, ou seja, o conjunto dos números que podem ser obtidos como
resultado de alguma divisão.
Chamamos de número racional a todo número que pode ser representado da forma
p
q
, com p e q
inteiros, e q 6= 0.
Q =
{
x | x = p
q
, em que p ∈ Z e q ∈ Z∗
}
Assim:
a) Todo número natural é racional.
Exemplo: 3 =
3
1
=
6
2
= . . .
b) Todo número inteiro é racional.
Exemplo: −5 = −5
1
=
−10
2
= . . .
c) Toda dízima periódica é racional.
Chamamos de dízimas periódicas os números decimais com infinitas casas decimais, nos
quais a partir de alguma casa decimal, um algarismo ou um grupo de algarismos passa a se
repetir infinitamente. O algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente constituem o
periodo da dizima.
Exemplos:
• 0, 333 . . . = 0, 3̄ = 3
9
=
1
3
10
2.3. Conjunto dos Números Racionais - Q
De fato,
x = 0, 333 . . .
10x = 10× 0, 333 . . .
10x = 3, 333 . . .
10x = 3 + 0, 333 . . .
10x = 3 + x
10x − x = 3
9x = 3
x =
3
9
0, 333 . . . =
1
3
usando a mesma ideia conseguimos mostrar os exemplos abaixo.
• 0, 121212 . . . = 12 = 12
99
=
4
33
• 0, 225225225 . . . = 225 = 225
999
=
25
111
• 7, 464646 . . . = 739
99
Neste caso o número tem uma parte inteira que é 7 e uma parte decimal 0, 464646 . . . na qual o
período é 46. Portanto,
7, 464646 . . . = 7 + 0, 4646 . . .
= 7 +
46
99
=
7 · 99 + 46
99
=
739
99
• Considere o número 0, 25̄ = 0, 2555 . . ., neste caso o período e 5.
x = 0, 2555 . . .
100x = 25, 555 . . .
10x = 2, 555 . . .
100x − 10x = 25, 5̄− 2, 5̄
90x = 23
x =
23
90
• Considere o numero 1, 3176̄, neste caso o periodo e 6.
x = 1, 3176̄
10000x = 13176, 6̄
1000x = 1317, 6̄
10000x − 1000x = 13176, 6̄− 1317, 6̄
9000x = 11859
x =
11859
9000
x =
3953
3000
11
Capítulo 2. Conjuntos Numéricos
Com estes exemplos confirmamos que toda dízima periódica é um número racional, assim como os
números inteiros, já que, se a ∈ Z entao a = a
1
, portanto a ∈ Q e os números com um número finito
de casas decimais, por exemplo, 0, 15 =
15
100
.
d) Todo número decimal exato é racional.
Exemplos: 0, 5 =
1
2
=
2
4
= . . .
−2, 43 . . . = −243
100
=
−486
200
= . . .
Observe que N ⊂ Z ⊂ Q. E ainda que no conjunto dos números racionais temos bem definidas as
operações de soma (+), subtração (−), multiplicação/vezes (×) e divisão/razão (÷). Porém as operações
neste conjunto possuem algumas particularidades com as quais devemos ficar atentos, por isso iremos
retomá-las na sequência de nossos estudos.
2.4 Conjunto dos Números Irracionais - I = Q′
São números cuja representação decimal não é exata, nem periódica e não tem raiz exata.
a) π = 3, 141592 . . .
b)
√
2 = 1, 414213 . . .
c) e = 2, 718281 . . .
d) 3
√
10 = 2, 154434 . . .
Observamos que tais números, não podem ser escritos na forma de fração.
Números decimais com infinitas casas decimais que não sejam dízimas periódicas são portanto exemplos
de números irracionais.
2.5 Conjunto dos Números Reais - R
É a reunião do conjunto dos números racionais Q com o conjunto dos irracionais I.
R = Q ∪ I
.
Onde, Q ∩ I = ∅.
Graficamente, temos:
12
2.6. Números Reais
2.6 Números Reais
Operações
• Adição: a + b
• Subtração: a − b ou a + (−b)
• Multiplicação: a × b ou a · b
• Divisão: a
b
ou a · 1
b
Propriedades
• Fechamento
Se a, b ∈ R, então (a + b) ∈ R
Se a, b ∈ R, então (a × b) ∈ R
• Propriedade comutativa
a + b = b + a
a × b = b × a
• Propriedade associativa
a + (b + c) = (a + b) + c
a × (b × c) = (a × b)× c
• Propriedade distributiva
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
• Elemento neutro
Na adição: a + 0 = a
Na multiplicação: a × 1 = a
• Existência de simétrico ou oposto
a + (−a) = 0
• Existência de inverso ou recíproco
Se a 6= 0, então a × 1
a
= a × a−1 = 1
2.7 Intervalos numéricos
• Intervalo aberto de A e B , denotado por (a, b), é o conjunto de todos os números reais, tais que
a < x < b.
• Intervalo fechado de A e B , denotado por [a, b], é o conjunto de todos os números reais, tais que
a ≤ x ≤ b.
13
Capítulo 2. Conjuntos Numéricos
• Intervalo semi-aberto à esquerda de A e B , denotado por (a, b], é o conjunto de todos os números
reais, tais que a < x ≤ b.
• Intervalo semi-aberto à diretita de A e B , denotado por [a, b), é o conjunto de todos os números
reais, tais que a ≤ x < b.
• Outros intervalos:
a) R+ = [0,+∞) = [0,+∞[
b) R∗+ = (0,+∞) =]0,+∞[
c) R− = (−∞, 0] =]−∞, 0]
d) R∗− = (−∞, 0) =]−∞, 0[
e) R = (−∞,+∞) =]−∞,+∞[
f) [a,+∞) = [a,+∞[= {x ∈ R | x ≥ a}
g) (−∞, a] =]−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
h) (a,+∞) =]a,+∞[= {x ∈ R | x > a}
i) (−∞, a) =]−∞, a[= {x ∈ R | x < a}
2.8 Exercícios resolvidos
1. Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações:
14
2.8. Exercícios resolvidos
a) −7 ∈ N
b)
√
2 ∈ Q
c) 5 ∈ Z
d) −8 ∈ Q
e)
√
9 ∈ I
f) 3π ∈ R
g) −π ∈ I
h)
12
2
∈ Z
i)
√
−7 ∈ I
j) 3
√
64 ∈ N
k) −7 ∈ Z
l) π3 ∈ I
m) π3 ∈ Q
Solução:
a) −7 ∈ N =F
b)
√
2 ∈ Q =F
c) 5 ∈ Z =V
d) −8 ∈ Q =V
e)
√
9 ∈ I =F
f) 3π ∈ R =V
g) −π ∈ I =V
h)
12
2
∈ Z =V
i)
√
−7∈ I =F
j) 3
√
64 ∈ N =V
k) −7 ∈ Z =V
l) π3 ∈ I =V
m) π3 ∈ Q =F
2. Quais das proposições a seguir são verdadeiras:
a) 0 ∈ N
b) 0 /∈ Z
c) −15 /∈ Z
d) N ⊂ Z
e) N ∩ Z = ∅
f) 2− 7
2
/∈ Q
g)
15
7
∈ Q− Z
h) Z ∩ I = ∅
i) Q∗+ ∩ Z = N
j) {0} ⊂ Q
Solução:
a, d, g, h, j
3. Determine A ∪ B ,A ∩ B e A− B , sabendo-se que A = {x ∈ N | 2 ≤ x < 9} e B = {x ∈ N | x ≤ 7}.
Solução:
A ∪ B = {x ∈ N | x ≤ 8}, A ∩ B = {x ∈ N | 2 ≤ x ≤ 7} e A− B = {8}
4. Determine a fração irredutível que é geratriz de cada uma das dízimas periódicas:
a) 0, 6666 . . .
b) 0, 325325325 . . .
c) 0, 3252525 . . .
d) 2, 888 . . .
e) 2, 95888 . . .
Solução:
a) Como a parte inteira do número decimal é zero (0) e a parte periódica (número repetido), somente
o algarismo 6, coloca-se no numerador esse número e no denominador um único algarismo 9, isto é,
0, 6666 . . . =
6
9
=
2
3
.
b) Como a parte inteira do número decimal é zero (0) e a parte periódica (os números repetidos),
somente o algarismo 325 (três algarismos), coloca-se no numerador esses três algarismos e no deno-
minador três algarismos 9, isto é,
0, 325325325 . . . =
325
999
.
c) Como a parte inteira do número decimal é zero (0) e a parte periódica, 25 (dois algarismos), e o
algarismo 3 aparece sem repetição, coloca-se no numerador esses esses três algarismos subtraídos
do algarismo 3 (que não está repetido) e no denominador dois algarismos 9 (apontando a repetição
de 2 e 5) e zero (0), indicando a não repetição do algarismo 3, isto é,
0, 3252525 . . . =
325− 3
990
=
322
990
=
161
495
.
15
Capítulo 2. Conjuntos Numéricos
d) Como a parte inteira do número decimal é 2 e a parte periódica, somente o algarismo 8, tem-se o
número 2, 888 . . . = 2
8
9
(2 representando a parte decimal, 8 no numerador representando o algarismo
repetido e um único algarismo 9 para indicar a repetição do 8), isto é,
2, 888 . . . = 2
8
9
=
18 + 8
9
=
26
9
.
e) Como a parte inteira do número decimal é 2 e a parte periódica, somente o algarismo 8, e os
algarismos 95 não são repetidos, tem-se, no numerador, 925 subtraído da parte não repetida, 95.
No denominador, o algarismo 9, para indicar a parte periódica, e dois zeros para indicar a parte
periódica, isto é, 2, 95888 . . . = 2
958− 95
900
= 2
863
900
=
2663
900
.
5. Calcule:
a)
√
3 · (
√
3 + 2)
b) (5 +
√
2) · (5−
√
2)
c) (3
√
2 + 7
√
3) · (
√
2−
√
3)
d) (3 +
√
2)2
e)
√
2√
6
Solução:
a)
√
3 · (
√
3 + 2) = (
√
3 ·
√
3) + (
√
3 + 2) = (
√
3)2 + 2
√
3 = 3 + 2
√
3
b) (5 +
√
2) · (5−
√
2) = (5 · 5)− (5
√
2) + 5
√
2− (
√
2 ·
√
2) = 52 − (
√
2)2 = 25− 2 = 23
c) Aplicando-se a propriedade distributiva, tem-se:
(3
√
2+7
√
3)·(
√
2−
√
3) = 3
√
2·
√
2−3
√
2·
√
3+7
√
3·
√
2−7
√
3·
√
3 = 3·2−3
√
6+7
√
6−7·3 = 4
√
6−15
d) (3 +
√
2)2 = 9 + 2 · 3 ·
√
2 + 2 = 11 + 6
√
2
e)
√
2√
6
=
√
2√
2 ·
√
3
=
1√
3
=
1√
3
·
√
3√
3
=
√
3
3
6. Represente graficamente os intervalos a seguir e verifique se os números 5, π,
√
5,
5
2
,−15
7
pertencem a
cada intervalo:
a) [−2, 5) b) (2, 7) c) (6,+∞)
Solução:
Graficamente, temos:
a) 5 6∈ [−2, 5), pois tem-se o intervalo aberto em 5 (excluindo o algarismo 5 de pertencer ao conjunto);
como π = 3, 1416 . . . , π ∈ [−2, 5);
√
5 ∼= 2, 236 ∈ [−2, 5);
5
2
= 2, 5 ∈ [−2, 5);−15
7
∼= −2, 1429 < −2, isto
é, −15
7
6∈ [−2, 5).
b) 5 ∈ (2, 7);π ∈ (2, 7);
√
5 ∈ (2, 7); 5
2
∈ (2, 7);−15
7
6∈ (2, 7).
c) 5 6∈ (6,+∞);π 6∈ (6,+∞);
√
5 6∈ (6,+∞); 5
2
6∈ (6,+∞);−15
7
6∈ (6,+∞).
2.9 Exercícios propostos
1. Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações, justificando sua resposta:
16
2.9. Exercícios propostos
a)
1
5
= 0, 555 . . .
b)
2
7
+
3
5
=
5
12
c)
√
2 +
√
3 =
√
5
d)
√
2 ·
√
3 =
√
6
2. Desenvolva:
a) (3 +
√
5)2 b) (3−
√
5)2 c) (3 +
√
5) · (3−
√
5)
3. Determine se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) O conjunto dos números naturais é finito.
b) A soma de dois números irracionais pode ser um número irracional.
c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
d) O produto de dois números irracionais pode ser um número racional.
e) O produto de dois números irracionais é sempre um número racional.
4. Usando a notação de conjuntos, escreva os intervalos:
a) [5, 11]
b) (−7, 3]
c) (−8, 0)
d) [2,+∞)
e) (−∞, 5)
f) [−2, 3)
g) (−∞, 9]
5. Dados os intervalos A = [π,+∞),B = (−∞,
√
17) e C =
(8
3
, 4
]
, determinar:
a) A ∩ B
b) A ∩ C
c) B ∩ C
d) A ∩ B ∩ C
e) A ∪ B
f) A ∪ C
g) B ∪ C
h) A ∪ B ∪ C
i) A− B
j) A− C
k) B − C
17
Capítulo 3Funções
3.1 Noção intuitiva de função
As funções são utilizadas para descrever o mundo real em termos matemáticos, é o que se chama de
modelagem matemática para as diversas situações. Podem, por exemplo, descrever o ritmo cardíaco, cres-
cimento populacional, variações de temperatura, movimento de objetos, custos e lucros de uma empresa,
oscilações do solo num terremoto, entre muitas outras coisas. A noção de função é a principal ferramenta
para o estudo do cálculo diferencial e integral, pois constitui o ambiente no qual o cálculo é desenvolvido.
Dentre as funções mais importantes destacamos os polinômios, as funções racionais, as funções raízes,
as trigonométricas, exponenciais e logarítmicas. Nesse curso, vamos estudar um pouco de cada função
citada.
O Conceito de Função
As funções surgem quando uma quantidade (variável dependente) depende de outra (variável inde-
pendente).
Observe os exemplos:
1. A temperatura T da água numa panela que é colocada para ferver depende do tempo transcorrido
t . Assim, nessa situação T é a variável dependente e t a variável independente.
2. A área A de um círculo depende de seu raio r e essa dependência se expressa através da fórmula
bem conhecida A = πR2.
3. A população humana mundial P depende do tempo t e pode ter uma representação aproximada
utilizando a Tabela (3.1).
3.1. Noção intuitiva de função
Figura 3.1: População mundial - 1990− 2007
4. O cardiologista avalia o ritmo cardíaco de um indivíduo através do eletrocardiograma. Esse gráfico
mostra a variação do potencial elétrico (variável dependente) em relação ao tempo e gera uma
imagem em ondas, cujo padrão determina a condição cardíaca do paciente.
Em todos os casos acima temos uma associação que a cada valor da variável independente (tempo ou
raio), atribui um único valor à variável dependente. Essa situação constitui o que chamamos de função,
cuja definição matemática é a seguinte:
Definição 1: Uma função de um conjunto A ⊂ R para outro conjunto B ⊂ R é uma regra (lei) que
a cada elemento x ∈ A associa um único elemento y ∈ B.
Costuma-se denotar uma função por letras como f (ou g , h, T, u, ...). E a seguinte notação, devida
a Euler é utilíssima y = f (x ) (Lê-se “y é igual a f de x ”). Outra maneira de denotar uma função é f : A
⊂ R → B ⊂ R ou ainda:
f : A → B
x 7→ f (x )
O conjunto A é dito o domínio da função f , também denotado por D(f ), e B é dito seu contradomínio.
Importante: Para ser considerada função a lei deve ser capaz de associar a cada elemento do domínio
um único elemento do contradomínio. Se houver ambiguidade na associação, a lei não é considerada uma
função. Uma forma clássica de representar essa ideia é através do diagrama de flechas:
Exemplos de funções:
1. y = x 2, x ∈ R.
2. Os polinômios p(x ) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, x ∈ R, onde n é um inteiro não negativo
e an , . . . , a0 são constantes reais, são funções definidas em toda a reta real R. Para n = 2 a função
é dita quadrática e para n = 3, a função é dita cúbica.
Quando uma função for definida através de uma expressão sem referência ao domínio ou contradomí-
nio, estaremos supondo que o domínio é o maior subconjunto de R, onde a expressão pode ser calculada
e nos fornece valores reais para y e que o contradomínio é R.
Exemplos:
1. A função f (x ) =
√
x + 3
|x | − 2
tem como domínio D(f ) = [−3,−2) ∪ (2,+∞) e contradomínio R.
19
Capítulo 3. Funções
2. A função f (x ) =
1√
x
+
√
1− x tem como domínioD(f ) = (0, 1] e contradomínio R.
Definição 2: Duas funções f e g são iguais, escrevemos f = g , se e só se D(f ) = D(g), possuem o
mesmo contradomínio e f (x ) = g(x ), ∀ x ∈ D(f ).
1. A função f (x ) =
x 2 − 1
x − 1
e g(x ) = x + 1 são funções diferentes, pois D(f ) = R/{1} 6= D(g) = R.
2. A função f (x ) =
x 4 − 1
x 2 + 1
e g(x ) = x 2−1 são funções iguais, pois D(f ) = D(g) = R, o contradomínio
é o mesmo e
x 4 − 1
x 2 + 1
= x 2 − 1,∀x ∈ R.
Definição 3: O Conjunto Imagem de uma f é denotado por Im(f ) e é definido como Im(f ) = {f (x ) ∈
B; x ∈ A, Assim, Im(f ) ⊂ B, podendo ser conjuntos distintos, isto é Im(f ) 6⊆ B.
O comportamento de uma função é rapidamente visualizado através de seu gráfico, que é o conjunto
dos pares ordenados {(x , f (x )); x ∈ D(f )}. O esboço do gráfico no plano cartesiano nos fornece o com-
portamento da f , seu domínio sobre o eixo 0x e sua imagem sobre o eixo 0y . Quando o D(f ) é um
intervalo ilimitado, procuramos traçar uma parte do seu gráfico que contenha todas as suas propriedades
interessantes, como raízes e pontos de salto, e tal que se tenha uma ideia do que ocorre no restante do
gráfico.
Estudo do domínio de uma função
Estudamos que uma função f de A em B é uma relação que apresenta um domínio (A) e um contra-
domínio (B). Na função f de N em Z, definida por f (x ) = 2x − 10, por exemplo, temos que o domínio
é o conjunto N dos números naturais e o contradomínio é o conjunto Z dos números inteiros, ou seja,
D(f ) = N e CD(f ) = Z.
Porém, em algumas situações, o domínio e o contradomínio de uma função não estão explícitos, sendo
apresentada apenas a lei de formação. Nesses casos, consideramos que o domínio seja o maior subconjunto
possível dos números reais (D ⊂ R) para o qual a lei de formação faz sentido, e o contradomínio, o próprio
conjunto dos números reais (CD = R).
Exemplos:
Na função f (x ) =
√
x , como não existe raiz quadrada de números negativos no conjunto dos números
reais, consideramos que o domínio seja o conjunto dos números reais não negativos R+.
D(f ) = R+ ou D(f ) = {x ∈ R | x ≥ 0}
20
3.1. Noção intuitiva de função
Na função g(x ) =
1
x
, o domínio da função é dado pelo conjunto dos números reais não nulos, pois não
está definido em R frações com denominador zero.
D(g) = R∗ ou D(g) = {x ∈ R | x 6= 0}
Na função h(x ) =
1√
x
, o domínio da função é dado pelo conjunto dos números reais positivos, pois não
está definido em R frações com denominador zero e raiz quadrada de números negativos.
D(h) = R∗+ ou D(h) = {x ∈ R | x > 0}
Gráfico de uma função
Observe o seguinte gráfico:
Esse gráfico representa uma função da velocidade obtida pelo jamaicano Usain Bolt, em cada instante,
durante a corrida dos 100 metros em que registrou pelo primeira vez um recorde olímpico.
Ao analisarmos esse gráfico, podemos notar que:
• o domínio da função é o intervalo real [0; 9, 69], que corresponde à variação do tempo da corrida, ou
seja, de 0 segundos a 9, 69 segundos;
• a curva é mais acentuada nos primeiros e segundos de prova, o que mostra um aumento mais intenso
na velocidade do atleta nessa parte da prova.
De modo geral, o gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos de coordenadas (x , y) no
plano cartesiano, com x ∈ D(f ) e y = f (x ).
Exemplo 1
Seja a função g de R em R definida por g(x ) = x + 1.
Para esboçar o gráfico de g , obtemos inicialmente pares ordenados (x , y), para valores arbitrários de
x , e os representamos em um plano cartesiano.
21
Capítulo 3. Funções
Exemplo 2
Função h de R em R definida por h(x ) =
x 2
2
Função p de R em R definida por p(x ) =
{
1− x , se x < 1
x 2 , se x ≥ 1 . A função p é definida por duas
sentenças, um para x < 1 e outra para x ≥ 1.
22
3.1. Noção intuitiva de função
Análise do gráfico de uma função
Estudamos anteriormente que uma relação f é função se associa a cada x ∈ D(f ) um único y ∈ CD(f ).
A partir dessa característica, podemos verificar se certo gráfico representa uma função.
Observe os gráficos.
No gráfico A, qualquer que seja a reta traçada paralelamente ao eixo y , cortará o gráfico em um único
ponto, ou seja, não há abscissa x associada a mais de uma ordenada y . Dizemos então que o gráfico A
corresponde a uma função.
Já no gráfico B, note que podem ser traçadas retas paralelas ao eixo y cortando o gráfico em dois
pontos distintos, ou seja, existe pelo menos uma abscissa x associada a mais de uma ordenada y . Nesse
caso, dizemos que o gráfico não corresponde a uma função.
Analisando o gráfico de uma função, podemos, em alguns casos, determinar o domínio e a imagem
dessa função.
Para determinarmos o domínio e a imagem da função f , representada pelo gráfico a seguir, por exemplo,
projetamos esse gráfico nos eixos x e y .
A projeção do gráfico no eixo x corresponde ao domínio de f ; no eixo y , à imagem de f .
Nesse caso:
• D(f ) = [−4, 7[ ou D(f ) = {x ∈ R | − 4 ≤ x < 7}
• Im(f ) = [−3, 6] ou Im(f ) = {y ∈ R | − 3 ≤ y ≤ 6}
23
Capítulo 3. Funções
Zero de uma função
Em uma função f , o valor x ∈ D(f ) tal que f (x ) = 0, é denominado zero da função. Graficamente, os
zeros da função correspondem às abscissas dos pontos em que o gráfico cruza o eixo x .
Na função f , cujo gráfico está representado abaixo, temos f (x 1) = f (x 2) = f (x 3) = 0. Logo x1, x2 e
x3 são zeros da função.
Função crescente, decrescente e constante
O Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) é um índice inflacionário que mede a variação dos
preços para as famílias em algumas regiões metropolitanas do Brasil. Esse índice é calculado pelo IBGE
e considera nove grupos de consumo: alimentação e bebidas, artigos de residência, comunicação, despesas
pessoais, educação, habitação, saúde e cuidados pessoais, transportes e vestuários.
Observando o gráfico da Figura 3.2, é possível notar que em 2014:
• de janeiro a março, de julho a setembro e de outubro a dezembro o IPCA aumentou, ou seja, foi
crescente;
• de março a julho e de setembro a outubro o IPCA diminuiu, ou seja, foi decrescente.
24
3.1. Noção intuitiva de função
Figura 3.2:
Pode ser realizada uma análise semelhante à do gráfico acima também para o gráfico de outras funções.
Veja, por exemplo, o gráfico da função f (x ) = x 2˘1.
Note que para x ≤ 0, quando aumentamos o valor de x , o valor de f (x ) diminui, ou seja, para x ≤ 0
a função f é decrescente. Já para x ≥ 0, quando aumentamos o valor de x , o valor de f (x ) também
aumenta, ou seja, a função f é crescente para x ≥ 0.
Dizemos que uma função f é:
• decrescente em um intervalo contido no domínio de f se, para todo x1 e x2 pertencentes a esse
intervalo, com x1 > x2, temos f (x 1) < f (x 2);
• crescente em um intervalo contido no domínio de f se, para todo x1 e x2 pertencentes a esse intervalo,
com x1 > x2, temos f (x 1) > f (x 2).
25
Capítulo 3. Funções
Exemplos:
Uma função h também pode ser constante em um intervalo contido no domínio. Nesse caso, para
qualquer x pertencente a esse intervalo, h(x ) = k , sendo k um número real. Considere uma função h cujo
gráfico é dado abaixo.
Temos que h é:
• crescente no intervalo [1, 3], ou seja, para 1 ≤ x ≤ 3;
• decrescente nos intervalos ]−∞,−2] e [3,+∞[, ou seja, para x ≤ −2 e x ≥ 3;
• constante no intervalo [−2, 1], ou seja, para −2 ≤ x ≤ 1.
Função injetiva, sobrejetiva e bijetiva
Função injetiva
Dizemos que uma função f é injetiva quando elementos distintos do domínio estão associados a ele-
mentos distintos do contradomínio.
26
3.1. Noção intuitiva de função
Exemplos
Função sobrejetiva
Dizemos que uma função f é sobrejetiva quando todos os elementos do contradomínio estão associados
com algum elemento do domínio.
Exemplos
27
Capítulo 3. Funções
Função bijetiva
Exemplos
28
3.1. Noção intuitiva de função
Função composta
Dadas as função f : A → B e g : B → C, denominamos função composta de g com f a função
g ◦ f : A→ C definida por (g ◦ f )(x ) = g(f (x )).
Exemplo
A partir dos gráficos das funções f , g e h, esboçados em um mesmo plano cartesiano, calcule:
a)g(f (− 2)) + h(g(3))
b) h(g(f (2))
c) f (h(g(3)) + f (h(g(1))
Função inversa
Dada uma função bijetiva f de A em B, dizemos que uma função g de B em A é inversa de f se, para
todo a ∈ A e b ∈ B tal que f (a) = b, tem se g(b) = a. Em geral, indicamos a função inversa de f por
f −1, ou se já, f −1 = g .
Consideremos a seguinte situação:
Para determinarmos a inversa da função bijetiva f (x ) = y = 3x , por exemplo, inicialmente isolamos
a variável x :
y = 3x → x = y
3
Como, de maneira geral, quando representamos o gráfico de uma função em um plano cartesiano a
variável independente x é indicada no eixo das abscissas e a dependente y no eixo das ordenadas, é comum
permutar as variáveis x e y para expressar a função f −1 , que é a inversa de f .
29
Capítulo 3. Funções
Assim, temos:
f −1(x ) =
x
3
Representando os gráficos das função f e f −1 em um mesmo plano cartesiano, temos:
Exemplo:
Uma fábrica utiliza a função c(n) =
1
1 + n2
para calcular o custo de produção de n unidades de certo
produto. Determine a função inversa de c e interprete seu significado.
3.2 Função afim
Uma função f : R→ R, que a todo número x ∈ R associa o número ax + b, com a e b reais, é chamada
função afim.
x → ax + b
f (x ) = ax + b ou y → ax + b
Dizemos que a e b são os coeficientes da função.
De acordo com as valores dos coeficientes de uma função afim, ela pode receber uma nomenclatura
especial. Quando o coeficiente b é igual a zero, ela é chamada função linear.
x → ax
f (x ) = ax ou y → ax
Uma função afim x → ax + b, com a = 1 e b = 0, é chamada função identidade.
x → x
f (x ) = x ou y → x
OBS : Nos casos em que o coeficiente a de uma função afim é igual a zero, ela é chamada função
constante.
Exemplos
30
3.2. Função afim
Gráfico de uma função afim
O gráfico de toda função afim f (x ) = ax + b, com a 6= 0, é uma reta. Para isso, vamos considerar dois
pontos diferentes quaisquer do gráfico de f , A(xA, yA) e B(xB, yB), e mostrar que qualquer outro ponto
P(x , y) desse gráfico pertence à reta que passa por A e B. No plano cartesiano, temos:
Em relação à medida dos catetos dos triângulos ACP e PDB, indicados no gráfico, podemos escrever
a igualdade:
PC
BD
=
(ax + b)− (axA + b)
(axB + b)− (ax + b)
=
ax − axA
axB − ax
=
a(x − xA)
a(xB − x )
=
x − xA
xB − x
=
CA
DP
Por essa igualdade, temos que os triângulos possuem lados proporcionais e, além disso, possuem um
ângulo reto. Portanto, pelo caso de semelhança LAL, os triângulos ACP e PDB são semelhantes, Logo,
seus ângulos correspondentes possuem mesma medida.
Como
←→
AC //
←→
DP, temos que med(CÂP) = med(DP̂B), o que é possível somente se os pontos A,B e P
pertencerem à mesma reta, transversal às retas paralelas
←→
AC e
←→
DP.
Portanto, todo gráfico de uma função afim, com a 6= 0, é uma reta.
Zero de uma função afim
Já vimos anteriormente que o zero de uma função f é todo valor x de seu domínio tal que f (x ) = 0
e que, graficamente, os zeros correspondem às abscissas dos pontos em que o gráfico intersecta o eixo x .
Podemos obter o zero de uma função afim resolvendo a equação ax + b = 0.
Observe o gráfico da função afim f (x ) = −x + 2.
O gráfico da função f intersecta o eixo x no ponto de coordenadas (2, 0), ou seja, para x = 2 temos
f (x ) = 0. Nesse caso, a abscissa 2 é o zero da função.
31
Capítulo 3. Funções
Coeficientes de uma função afim
Os coeficientes a e b de uma função afim fornecem informações a respeito da relação entre as grandezas
x e y , bem como sobre o comportamento de seu gráfico. Observe o gráfico de algumas funções.
No gráfico de cada uma dessas funções podemos notar que o valor da ordenada do ponto em que as
retas intersectam o eixo y é igual ao coeficiente b da função. Por exemplo, na função f (x ) =
1
2
x − 1,
temos b = −1, e o gráfico intersecta o eixo y no ponto de coordenada (0,−1)
Em uma função afim f (x ) = ax + b, o coeficiente b é chamado termo constante. O gráfico dessa
função intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, b).
Agora, observe os gráficos a seguir.
32
3.2. Função afim
Podemos notar que cada uma dessas retas forma um ângulo com o eixo x . Esse ângulo está relacionado
ao coeficiente a da função.
As função f e g possuem coeficientes a iguais, e os ângulos formados com o eixo x possuem a mesma
medida, ou seja, af = ag . As retas que representam essas funções são paralelas.
Já as funções h e m possuem coeficientes a diferentes, e os ângulos formados com o eixo x também
possuem medidas diferentes, ou seja, ah 6= am . Nesse caso, as retas que representam essas funções não
são paralelas.
Em uma função afim f (x ) = ax = b, o coeficiente a é chamado declividade. Considerando que os
eixos ortogonais estão graduados na mesma unidade de medida, esse coeficiente está associado à inclinação
da reta que representa o gráfico da função.
Translação do gráfico de uma função afim
Observe o gráfico das função f (x ) = x , g(x ) = x + 3, h(x ) = x + 4 e m(x ) = x − 2 esboçados em uma
mesmo plano cartesiano.
Note que essas funções possuem declividades iguais (têm mesma inclinação) e termos constantes di-
ferentes. Por isso, os gráficos que as representam são retas paralelas que se diferenciam pela posição que
ocupam no plano cartesiano.
O gráfico da função f (x ) = x , intersecta o eixo y na origem, pois b = 0. O gráfico de g(x ) = x + 3 é
semelhante ao gráfico de f , porém transladado 3 unidades para cima, intersectando o eixo y no ponto de
ordenada 3, pois b = 3.
O gráfico de h(x ) = x + 4 também é semelhante ao gráfico de f , porém transladado 4 unidades para
cima, intersectando o eixo y no ponto de ordenada 4, pois b = 4.
A função m(x ) = x − 2 possui gráfico semelhante ao de f , porém transladado 2 unidades para baixo,
intersectando o eixo y no ponto de ordenada -2, pois b = −2.
O gráfico de uma função afim g(x ) = ax + b é semelhante ao gráfico da função linear f (x ) = ax ,
porém transladado:
• para cima no eixo y em b unidades, se b > 0;
• para baixo no eixo y , em valores absolutos, em b unidades, se b < 0.
Exemplo 1:
Nos gráficos a seguir, determine as coordenadas do ponto P .
33
Capítulo 3. Funções
Exemplo 2:
Determine a função afim g(x ) = ax + b cuja representação gráfica é uma reta que passa pelo ponto
de coordenadas (1, 3) e é paralela ao gráfico de f (x ) = 2x + 3.
Função crescente e função decrescente
Já vimos anteriormente que, em certo intervalo de seu domínio, uma função é crescente se, e somente
se, ao aumentarmos os valores de x pertencentes a esse intervalo, os valores correspondentes de y também
aumentam; e decrescente se, e somente se, ao aumentarmos os valores de x pertencentes a esse intervalo,
os valores correspondentes de y diminuem.
Observe o gráfico das funções f (x ) = 3x − 2 (I) e f (x ) = −2x + 5 (II).
34
3.2. Função afim
Note que a função (I) é crescente, pois, á medida que aumentamos os valores de x , os valores corres-
pondentes de y também aumentam, ou seja, para dois valores quaisquer, x1 e x2, pertencentes ao domínio
de f , com x1 < x2, temos f (x1) < f (x2).
Temos ainda que a declividade de f é maior que zero (a > 0). No caso de uma função afim f (x ) =
ax + b, se a > 0 e x1 < x2, então:
x1 < x2 → ax 1 < ax 2 → ax 1 + b < ax 2 + b → f (x1) < f (x2)
Note que a função (II) é decrescente, pois, á medida que aumentamos os valores de x , os valores
correspondentes de y também diminuem, ou seja, para dois valores quaisquer, x1 e x2, pertencentes ao
domínio de f , com x1 < x2, temos f (x1) > f (x2).
Temos ainda que a declividade de f é menor que zero (a < 0). No caso de uma função afim f (x ) =
ax + b, se a < 0 e x1 < x2, então:
x1 < x2 → ax 1 > ax 2 → ax 1 + b > ax 2 + b → f (x1) > f (x2)
Estudo do sinal de uma função afim
No estudo do sinal de uma função f, determinamos os valores de x pertencentes ao domínio para os
quais f (x ) = 0, f (x ) > 0 e f (x ) < 0.
Vamos verificar para quais valores pertencentes ao domínio de f (x ) = 2x +4 temos f (x ) = 0, f (x ) > 0
e f (x ) < 0.
Inicialmente, obtemos o zero de f, ou seja, o valor de x para o qual f (x ) = 0.
f (x ) = 0→ 2x + 4 = 0→ 2x = −4→ x = −2
Agora esboçamos o gráfico de f .
35
Capítulo 3. Funções
Observando o gráfico, verificamos que essa função é crescente. Podemos verificar também que a função:
• se anula, ou seja, f (x ) = 0, quando x = −2.
• é positiva, ou seja, f (x ) > 0, quando x > −2.
• é negativa, ou seja, f (x ) < 0, quando x < −2.
A função afim f (x ) = ax + b, com a 6= 0, pode ser crescente ou decrescente.
• quando f é crescente (a > 0)
• quando f é decrescente (a < 0)
36
3.3. Função quadrática
3.3 Função quadrática
Definição: Uma função f : R → R, que a todo número x ∈ R associa o número ax 2 + bx + c, com a,
b e c reais, e a 6= 0, é denominada função quadrática.
x → ax 2 + bx + c
f (x ) = ax 2 + bx + c ou y = ax 2 + bx + c
Dizemos que a, b e c são os coeficientes da função.
Exemplos:
• f (x ) = x 2 + 2x − 7, com a = 1, b = 2 e c = −7
• g(x ) = −x 2 − 9x , com a = −1, b = −9 e c = 0
• h(x ) = 5x 2 + 1, com a = 5, b = 0 e c = 1
• m(x ) = −7x 2, com a = −7, b = 0 e c = 0
As funções quadráticas em que b = 0 e c = 0, b = 0 e c 6= 0, ou b 6= 0 e c = 0 são denominadas
incompletas. Nos exemplos acima, g(x ), h(x ) e m(x ) são funções quadráticas incompletas. Já as funções
quadráticas completas são aquelas em que b 6= 0 e c 6= 0.
Gráfico de uma função quadrática
De maneira semelhante à função afim, podemos esboçar o gráfico de uma função quadrática utilizando
a ideia de representar pares ordenados em um plano cartesiano. Veja a seguir a construção do esboço do
gráfico de f (x ) = x 2.
Figura 3.3:
37
Capítulo 3. Funções
Figura 3.4:
Note que determinamos apenas alguns pares ordenados
que satisfazem essa função. No entanto, como o domínio e o
contradomínio de f é o conjunto dos números reais, podemos
atribuir infinitos valores para x , obtendo valores para y e,
consequentemente, infinitos pares ordenados (x , y).
O gráfico da função é dado pela representação de todos
esses pontos no plano cartesiano. Porém, como é impossível
calcular as coordenadas de todos eles, calculamos as coorde-
nads de alguns e traçamos o esboço do gráfico da função.
O gráfico de f é uma curva denominada parábola. Toda
parábola possui um eixo de simetria, que a intersecta em
um único ponto, denominado vértice da parábola. No caso
da função f (x ) = x 2, seu eixo de simetria coincide com eixo
y e seu vértice possui coordenadas (0, 0).
Coeficientes de uma função quadrática
Analisando os coeficientes de uma função quadrática, ob-
temos informações que nos auxiliam a esboçar o gráfico dessa
função.
Observando o coeficiente a de uma função quadrática, podemos verificar se a parábola que a representa
possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
Veja o gráfico e algumas informações acerca das função f e g .
• f (x ) = x 2 + 2
Figura 3.5:
Note que a parábola tem concavidade voltada para cima e o coeficiente a é maior que zero (a > 0).
38
3.3. Função quadrática
• g(x ) = −2x 2 + 4x
Figura 3.6:
Note que a parábola tem concavidade voltada para baixo e o coeficiente a é menor que zero (a < 0).
Analisando o coeficiente a de uma função quadrática, também podemos obter informações a respeito
da abertura da parábola.
Funções quadráticas que têm coeficiente a com valores absolutos iguais estão relacionadas a parábolas
com aberturas iguais. Aquelas que possuem diferentes valores absolutos do coeficiente a estão relacionadas
a parábolas com aberturas diferentes.
39
Capítulo 3. Funções
• Note que, para as funções abaixo, o valor absoluto do coeficiente a é o mesmo, ou seja, |a| = 1.
Nesse caso, as parábolas relacionadas possuem mesma abertura.
• Note que, para as funções abaixo, o valor absoluto dos coeficientes a são diferentes. Nesse caso, as
parábolas relacionadas possuem aberturas diferentes.
Podemos ainda verificar que, quanto menor for o valor absoluto do coeficiente a de uma função
quadrática, maior será a abertura da parábola relacionada a ela. Observe.
40
3.3. Função quadrática
O coeficiente b de uma função quadrática indica se a parábola relacionada a ela intersecta o eixo y no
ramo crescente ou no ramo decrescente. Observe os gráficos das funções f , g e h.
41
Capítulo 3. Funções
O coeficiente c de uma função quadrática corresponde à ordenada do ponto em que a parábola relaci-
onada á função intersecta o eixo y . Por exemplo, na função g(x ) =
1
2
x 2 − x + 5, temos c = 5, e o gráfico
intersecta o eixo y no ponto de coordenadas (0, 5).
O gráfico de uma função quadrática f (x ) = ax 2 + bx + c intersecta o eixo y no ponto de coordenadas
(0, c).
Zeros de uma função quadrática
Estudamos anteriormente que o zero de uma função f é todo valor x de seu domínio tal que f (x ) = 0
e que, graficamente, os zeros correspondem às abscissas dos pontos em que o gráfico intersecta o eixo x .
Para determinarmos os zeros de uma função quadrática f (x ) = ax 2 + bx + c, fazemos f (x ) = 0 e
resolvemos a equação do 2o grau ax 2 + bx + c = 0.
Essa equação pode ser resolvida utilizando a fórmula: x =
−b2 ±
√
∆
2a
, ∆ = b2 − 4ac.
De acordo com os coeficientes da função, temos três possíveis casos para os valores de ∆.
1. Quando ∆ > 0, temos que:
• a equação ax 2 + bx + c = 0 possui duas raízes reais e distintas: x1 =
−b +
√
∆
2a
e x2 =
−b −
√
∆
2a
;
• a função f (x ) = ax 2 + bx + c = 0 possui dois zeros reais e distintos;
• a parábola relacionada a f intersecta o eixo x nos pontos de coordenadas (x1, 0) e (x2, 0).
2. Quando ∆ = 0, temos que:
• a equação ax 2 + bx + c = 0 possui duas raízes reais e iguais: x1 = x2 = −
b
2a
;
• a função f (x ) = ax 2 + bx + c = 0 possui dois zeros reais e iguais;
• a parábola relacionada a f intersecta o eixo x em um único ponto, de abscissa x1 = x2 e
ordenada 0.
3. Quando ∆ < 0, temos que:
• a equação ax 2 + bx + c = 0 não possui raízes reais;
• a função f (x ) = ax 2 + bx + c = 0 não possui zeros reais;
• a parábola relacionada a f não intersecta o eixo x .
42
3.3. Função quadrática
Considerando a função quadrática f (x ) = ax 2+bx+c e algumas características de seu gráfico, podemo
organizar da seguinte maneira.
Vértice de uma parábola
Estudamos anteriormente que o eixo de simetria de uma parábola a intersecta em seu vértice. Agora,
iremos determinar as coordenadas do vértice de uma parábola.
No gráfico de f (x ) = −x 2 + 6x − 5 estão destacados alguns pontos. Note que A(2, 3) e A′(4, 3)
são pontos da parábola que possuem ordenadas iguais. Quando isso ocorre, dizemos que os pontos são
simétricos em relação ao eixo de simetria da parábola.
43
Capítulo 3. Funções
Note que, ao calcularmos a média aritmética das abscissas dos pontos da parábola simétricos em
relação ao eixo, obtemos a abscissa do vértice da parábola. No caso de A(2, 3) e A′(4, 3), temos:
Calculando f (3), obtemos a ordenada do vértice dessa parábola.
f (3) = −32 + 6 · 3− 5 = 4
Portanto, as coordenada do vértice da parábola são (3, 4).
Podemos obter as coordenadas do vértice V(xv , yv ) de uma parábola a partir dos coeficientes de uma
função quadrática f (x ) = ax 2 + bx + c. Para isso, consideramos dois pontos dessa parábola simétricos em
relação ao eixo, cujas coordenadas são (xv − p, yp) e (xv + p, yp), conforme gráfico abaixo.
Como yp = f (xv − p) e yp = f (xv + p), então f (xv − p)︸ ︷︷ ︸
yp
= f (xv + p)︸ ︷︷ ︸
yp
.
Efetuando os cálculos, obtemos:
f (xv − p) = f (xv + p)
a(xv − p)2 + b(xv − p) + c = a(xv + p)2 + b(xv + p) + c
a(xv
2 − 2xvp + p2) + b(xv − p) + c = a(xv 2 + 2xvp + p2) + b(xv + p) + c
��axv
2 − 2axvp +��ap
2 +��bxv − bp + �c = ��axv2 + 2axvp +��ap
2 +��bxv + bp + �c
−2axvp − 2axvp = bp + bp
−4axvp = 2bp
xv = −
2bp
4ap
xv = −
b
2a
Para obter a ordenada yv do vértice, calculamos f (xv ), ou seja, f
(
− b
2a
)
.
yv = f
(
− b
2a
)
= a
(
− b
2a
)2
+ b
(
− b
2a
)
+ c
yv = a ·
b2
4a2
− b
2
2a
+ c
44
3.3. Função quadrática
yv =
b2
4a
− b
2
2a
+ c
yv =
b2 − 2b2 + 4ac
4a
= −b
2 − 4ac
4a
yv = −
∆
4a
Portanto, as coordenadas V (xv , yv) do vértice da parábola correspondente à função quadrática f (x ) =
ax 2 + bx + c são:
V
(
− b
2a
,−∆
4a
)
, em que ∆ = b2 − 4ac
Vamos calcular, por exemplo, as coordenadas do vértice da parábola correspondente à função f (x ) = x 2+
6x − 5.
xv = −
b
2a
= − 6
2 · (−1)
= 3
yv = −
∆
4a
= −6
2 − 4 · (−1) · (−5)
4 · (−1)
= 4
Tal como havíamos obtido anteriormente, as coordenadas do vértice dessa parábola são V (3, 4).
Na função quadrática f (x ) = ax 2 + bx + c, em que xv é a abscissa do vértice, temos:
45
Capítulo 3. Funções
Valor máximo ou valor mínimo de uma função quadrática
Conhecendo as coordenadas do vértice de uma parábola, podemos determinar a imagem da função
quadrática relacionada a ela e também o valor máximo ou valor mínimo dessa função.
O gráfico da função f (x ) = x 2 − 4x − 5 é uma parábola com concavidade voltada para cima, pois
a = 1 > 0. O vértice dessa parábola é dado por:
V
(
− b
2a
,−∆
4a
)
⇒ V (2,−9)
Como a concavidade é voltada para cima, V (2,−9) é o ponto mínimo de f , e yv = −9 é o valor
mínimo de f .
Podemos também determinar o conjunto imagem de f , que nesse caso é dado por:
Im(f ) = {y ∈ R|y ≥ −9} ou Im(f ) = [−9,+∞[
Na função quadrática f (x ) = −x 2−2x −3 cujo gráfico é uma parábola com concavidade voltada para
baixo, pois a = −1 < 0. O vértice dessa parábola é dado por:
V
(
− b
2a
,−∆
4a
)
⇒ V (−1,−2)
Como a concavidade é voltada para baixo, V (−1,−2) é o ponto de máximo de f , e yv = −2 é o valor
máximo de f .
Podemos também determinar o conjunto imagem de f , que nesse caso é dado por:
Im(f ) = {y ∈ R|y ≤ −2} ou Im(f ) =]−∞,−2]
Na função quadrática f (x ) = ax 2+bx +c, quando a < 0, a parábola que a representa tem concavidade
voltada para baixo. Portanto:
• V (xv , yv ) é o ponto de máximo de f
• yv =
∆
4a
corresponde ao valor de máximo de f
• o conjunto imagem de f é dado por: Im(f ) =
{
y ∈ R|y ≤ −∆
4a
}
ou Im(f ) =
]
−∞, ∆
4a
]
Estudo do sinal de uma função quadrática
Anteriormente, vimos que no estudo do sinal de uma função afim f determinamos os valores de x do
domínio para os quais f (x ) = 0, f (x ) > 0 e f (x ) < 0. Para o estudo do sinal de uma função quadrática
f (x ) = ax 2 + bx + c consideraremos três casos:
46
3.3. Função quadrática
• 1◦ caso: ∆ > 0
Vamos verificar para quais valores do domínio de f (x ) = 2x 2 + 3x − 2 temos f (x ) = 0, f (x ) > 0 e
f (x ) < 0.
Verificando a concavidade da parábola e os zeros da função, temos:
– como a = 2 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima;
– como ∆ = 32 − 4 · 2 · (−2) = 25 > 0, a função possui dois zeros reais e distintos, x1 e x2.
Portanto:
– f (x ) = 0 para x = −2 ou x = 1
2
– f (x ) > 0 para x < −2 ou x > 1
2
– f (x ) < 0 para −2 < x < 1
2
Quando ∆ > 0, a função quadrática f (x ) = ax 2 + bx + c possui dois zeros reais e distintos (x1 6= x2)
e a parábola intersecta o eixo x em dois pontos. Nesse caso, no estudo do sinal f , temos:
• 2◦ caso: ∆ = 0
Vamos verificar para quais valores do domínio de f (x ) = −1
2
x 2 + 4x − 8 temos f (x ) = 0, f (x ) > 0
e f (x ) < 0.
Verificando a concavidade da parábola e os zeros da função, temos:
– como a = −1
2
< 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo;
– como ∆ = 42 − 4 ·
(
− 1
2
)
· (−8) = 0, a função possui dois zeros reais e distintos, x1 = x2.
47
Capítulo 3. Funções
Portanto:
– f (x ) = 0 para x = 4
– 6 ∃x ∈ R tal que f (x ) > 0
– f (x ) < 0 para ∀x 6= 4
Quando ∆ = 0, a função quadrática f (x ) = ax 2 + bx + c possui dois zeros reais e iguais (x1 = x2) e
a parábola intersecta o eixo x em um único pontos. Nesse caso, no estudo do sinal f , temos:
• 3◦ caso: ∆ < 0 Vamos verificar para quais valores do domínio de f (x ) = x 2− x + 6 temos f (x ) = 0,
f (x ) > 0 e f (x ) < 0.
Verificando a concavidade da parábola e os zeros da função, temos:
– como a = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima;
– como ∆ = (−1)2 − 4 · 1 · 6 = −23 < 0, a função não possui zeros reais
48
3.4. Função exponencial
Portanto:
– 6 ∃x ∈ R tal que f (x ) = 0
– f (x ) > 0 para ∀x ∈ R
– 6 ∃x ∈ R tal que f (x ) < 0
Quando ∆ < 0, a função quadrática f (x ) = ax 2 + bx + c não possui zeros reais e a parábola não
intersecta o eixo x . Nesse caso, no estudo do sinal f , temos:
3.4 Função exponencial
Definição: Uma função f (x ) : R → R∗+, definida por f (x ) = ax ou y = ax , com a > 0 e a 6= 1, é
denominada função exponencial.
Exemplos:
• f (x ) = 7x
• h(x ) = (
√
6)x
• g(x ) =
(1
2
)x
• f (x ) = (0, 5)x
OBS : As funções f (x ) : R → R∗+, definidas por f (x ) = b · ax + c, com a > 0, a 6= 1 e b 6= 0 podem
ser denominadas do tipo exponencial.
Na definição, as restrições a > 0 e a 6= 1 são necessárias, pois, caso contrário, não seria possível
caracterizar uma função exponencial.
• Se a = 1, então f (x ) = ax seria uma função constante.
f (x ) = 1x = 1 , para todo x ∈ R
• Se a ≥ 0, então f (x ) = ax não é definida para todo x ∈ R, como desejado. Exemplos:
– Para a = −3 e x = 1
2
, temos f
(1
2
)
= (−3)
1
2 e (−3)
1
2 não pertence aos R.
– Para a = 0 e x = −7, temos f (−7) = 0−7 e 0−7 não está definido em R.
49
Capítulo 3. Funções
Gráfico de uma função exponencial
Iremos esboçar o gráfico das funções exponenciais f (x ) = 2x e g(x ) =
(1
2
)x
. Para isso atribuímos
alguns valores para x e calculamos os valores correspondentes de y , determinando pares ordenados (x , y).
Em seguida, representamos esses pares ordenados em um plano cartesiano.
• f (x ) = 2x
• g(x ) =
(1
2
)x
As funções f e g são exponenciais, ou seja, são da forma y = ax . Note que f é crescente e a = 2 > 1.
Já a função g é decrescente e a a = 12 , ou seja, 0 < a < 1. Além disso, os gráficos de f e g intersectam o
eixo y no ponto de coordenadas (0, 1) e não intersectam o eixo x , sendo definidos acima dele.
De maneira geral, temos que:
• uma função exponencial é crescente se a > 1. Sempre aumentamos os valores de x , os valores
correspondentes de y aumentam, isto é, x1 > x2 ⇔ ax1 > ax2 .
50
3.5. Função logarítmica
• uma função exponencial é decrescente se 0 < a < 1. Sempre aumentamos os valores de x , os
valores correspondentes de y diminuem, isto é, x1 > x2 ⇔ ax1 < ax2 .
• o gráfico de uma função exponencial é denominado curva exponencial, intersecta o eixo y no
ponto de coordenadas (0, 1) e não interscta o eixo x , sendo definido acima desse eixo.
O gráfico de uma função do tipo exponencial f : R → R∗+ ,definida por f (x ) = b · ax + c, com a > 0,
a 6= 1 e b 6= 0, também é uma curva exponencial e pode ser obtido a partir do gráfico de f (x ) = ax . Veja,
por exemplo, como podemos esboçar o gráfico de h(x ) = (−3) · 2x + 4 e compare com o gráfico f (x ) = 2x ,
esboçado anteriormente.
3.5 Função logarítmica
A inversa de uma função exponencial é denominada função logarítmica, que pode ser definida da
seguinte maneira:
Definição: Uma função f : R→ R∗+ , definida por f (x ) =
loga x ou y = loga x , com a > 0ea 6= 1, é denominada função
logarítmica.
Veja no esquema ao lado a representação das funções lo-
garítmica f (x ) = loga x e exponencial f −1 = ax .
Na função logarítmica, R∗+ é o domínio, e R, o conjunto
imagem.
São exemplos de função logarítmica:
• f (x ) = log3 x
• f (x ) = log√7 x
• f (x ) = log x
• f (x ) = log 1
3
x
Gráfico de uma função logarítmica
Vamos esboçar o gráfico das funções logarítmicas f (x ) = log2 x e g(x ) = log 1
2
x . Para isso, atribuímos
alguns valore para x e calculamos os valores correspondentes de y , determinando pares ordenados (x , y).
Em seguida, representamos esses pares ordenados em um plano cartesiano.
51
Capítulo 3. Funções
• f (x ) = log2 x • g(x ) = log 1
2
x
Note que a função f é crescente e a base do logaritmo é a = 2 > 1. Já a função g é decrescente e a
base é a a =
1
2
, ou seja, 0 < a < 1. Além disso, os gráficos de f e g intersectam o eixo x no ponto de
coordenadas (1, 0) e não cruzam o eixo y , sendo definidas à direita dele.
De maneira geral, é possível demonstrar que:
• uma função logarítmica é crescente se a > 1. Sempreaumentamos os valores de x , os valores
correspondentes de y aumentam, isto é, x1 > x2 ⇔ loga x1 > loga x2;
• uma função logarítmica é decrescente se 0 < a < 1. Sempre aumentamos os valores de x , os
valores correspondentes de y diminuem, isto é, x1 > x2 ⇔ loga x1 < loga x2;
• o gráfico de uma função logarítmica y = loga x , com a > 0 e a 6= 0, intersecta o eixo x no ponto de
coordenadas (1, 0) e não cruza o eixo y , sendo definido à direita desse eixo.
Função logarítmica e função exponencial no plano cartesiano
É de conhecimento que os gráficos de duas funções inversas são simétricos em relação à bissetriz do 1◦
e do 3◦ quadrantes do plano cartesiano. Como a função exponencial e a função logarítmica são inversas,
os gráficos que as representam são simétricos em relação a essa bissetriz.
Veja, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções inversas f (x ) = log2 x e f (x )
−1 = 2x .
52
3.6. Função modular
Agora, veja os gráficos das funções inversas g(x ) = log 1
2
x e g−1(x ) =
(1
2
)x
.
Propriedades operatórias dos logaritmos
• logaritmo do produto: loga (b · c) = loga b + loga c, com a > 0, b > 0, c > 0 e a 6= 1,
• logaritmo do quociente: loga
(b
c
)
= loga b − loga c, com a > 0, b > 0, c > 0 e a 6= 1,
• logaritmo da potência: loga bn = n loga b, com a > 0, b > 0 e a 6= 1,
• mudança de base: loga b =
logc b
logc a
, com a > 0, b > 0, c > 0 e a 6= 1 e c 6= 1
3.6 Função modular
Sabemos que |x | existe para qualquer x ∈ R. Além disso, temos que qualquer número real x possui um
único |x | correspondente. Nessas condições, podemos estabelecer uma função f de R em R, denominada
função modular.
53
Capítulo 3. Funções
Definição: Denomina-se função modular a função f : R→ R definida por f (x ) = |x |, isto é:
f (x ) =
{
x , se x ≥ 0
−x , se se x < 0
Gráfico de uma função modular
Vamos esboçar o gráfico de f (x ) = |x | considerando inicialmente os casos x ≤ 0 e x < 0.
O gráfico de f (x ) = |x | é obtido ao esboçarmos em um único plano cartesiano aqueles obtidos anteri-
ormente.
Note que, ao projetarmos o gráfico de f sobre o eixo das abscissas, obtemos R, ou seja, D(f ) = R. Já
ao projetarmos o gráfico de f sobre o eixo das ordenadas, obtemos R+, ou seja, Im(f ) = R+ = [0,+∞[.
Translação do gráfico de uma função modular
Observe em um mesmo plano cartesiano o gráfico das funções f (x ) = |x |, g(x ) = |x | + 2, h(x ) =
|x − 3|,m(x ) = |x − 3|+ 2 e n(x ) = |x + 4| − 1.
Note que em relação ao gráfico da função modular f (x ) = |x |, o gráfico de:
54
3.6. Função modular
• g(x ) = |x |+ 2 é transladado 2 unidades para cima
• h(x ) = |x − 3| é transladado 3 unidades para a direita
• m(x ) = |x − 3|+ 2 é transladado 2 unidades para cima e 3 para a direita
• n(x ) = |x + 4| − 1 é transladado 1 unidade para baixo e 4 para a esquerda
Dada uma função g : R→ R, definida por g(x ) = |x + b|+ a, temos que o gráfico de g é semelhante
ao da função modular f (x ) = |x |, porém transladado |a| unidades para cima (se a > 0) ou para baixo (se
a < 0), e |b| para a esquerda (se b > 0) ou para a direita (se b < 0).
Se a = 0, o gráfico de se g não é transladado verticalmente; se b = 0, o gráfico de g não é transladado
horizontalmente.
Outras funções elementares
I. Função f (x ) = x 3
Façamos um estudo da função f , de R em R, que associa a cada x ∈ R o elemento x 3 ∈ R.
f (x ) = x 3
Observemos que a função f (x ) = x 3:
a) é uma função crescente em R, isto é:
(∀x1 ∈ R)(∀x2 ∈ R)(x1 < x2 ⇒ x 31 < x 32 )
b) tem imagem Im = R, pois, qualquer que seja y ∈ R, existe x ∈ R tal que y = x 3, isto é,
x = 3
√
y .
II. Função recíproca
Uma função f de R∗ em R recebe o nome de função recíproca quando a cada elemento x ∈ R∗
associa o elemento 1x .
f (x ) =
1
x
Façamos um estudo da função f .
55
Capítulo 3. Funções
Observemos que a função recíproca y =
1
x
:
a) não é definida para x = 0;
b) tem imagem Im = R∗, pois, dado um numeral real y 6= 0, sempre existe um x também real tal
que y =
1
x
;
c) tem por gráfico uma hipérbole equilátera(*).
III. Função máximo inteiro
Uma função f de R em R recebe o nome de função máximo inteiro quando associa a cada
elemento x ∈ R o elemento [x ] que é o maior inteiro que não supera x .
f (x ) = [x ]
Assim, por exemplo:
[3, 9] =
[ 39
100
]
= 3, [−0, 7] =
[
− 7
10
]
= −1 e [4] = 4
Para construímos o gráfico, notemos que:
56
3.7. Função trigonométrica
A imagem da função máximo inteiro é o conjunto Im = Z.
3.7 Função trigonométrica
I. Função Seno
Definimos como função seno a função f : R→ R, que a cada número real x associa o seno de um
arco de x radianos, ou seja, a cada x associa sen x .
Para esboçar o gráfico de f (x ) = sen x , atribuímos valores a x e calculamos os valores correspondente
de f (x ) = y .
Como há infinitos valores para x entre aqueles indicados, há infinitos pontos no gráfico de f (x ) =
sen x entre aqueles cujas coordenadas foram obtidas. Esboçando o gráfico de f inicialmente para
x ∈ [0, 2π], temos:
57
Capítulo 3. Funções
Como D(f ) = R, há valores de x menores que zero e maiores que 2π. Assim, o gráfico da função
f : R→ R, definida por f (x ) = sen x , é dado por:
Algumas características da função f (x ) = sen x :
• O domínio de f é o conjunto dos números reais: D(f ) = R.
• A imagem de f corresponde ao intervalo [−1, 1] : Im(f ) = [−1, 1].
• A função f é periódica e tem período 2π, pois seus valores se repetem de 2π em 2π.
• O gráfico de f é uma curva denominada senoide.
• A função f é ímpar, pois para todo x ∈ D(f ), f = −f (−x ).
Exemplo
sen
π
4
= − sen
(π
4
)
=
√
2
2
• Dado k ∈ Z, a função f é crescente para x ∈
[
− π
2
+ 2xπ,
π
2
+ 2xπ
]
e decrescente para
x ∈
[π
2
+ 2kπ,
3π
2
+ 2kπ
]
Exemplo
Para k = 1, temos que f é crescente para x ∈
[3π
2
,
5π
2
]
e decrescente para x ∈
[5π
2
,
7π
2
]
.
• Dado k ∈ Z, f (x ) > 0 para x ∈ ]2kπ, π + 2kπ[ e f (x ) < 0 para x ∈ ]− π + 2kπ, 2kπ[.
Exemplo Para k = 2, temos que f (x ) > 0 para x ∈]4π, 5π[ e f (x ) < 0 para x ∈]3π, 4π[.
II. Função cosseno
Definimos como função cosseno a função f : R → R, que a cada número real x associa o cosseno
de um arco de x radianos, ou seja, a cada x associa cos x .
58
3.7. Função trigonométrica
Inicialmente, vamos esboçar o gráfico f (x ) = cos x para x ∈ [0, 2π].
Esboçando o gráfico de f (x ) = cos x para todo domínio, temos:
Algumas características da função f (x ) = cos x :
• O domínio de f é o conjunto dos números reais: D(f ) = R.
• A imagem de f corresponde ao intervalo [−1, 1] : Im(f ) = [−1, 1].
• A função f é periódica e tem período 2π, pois seus valores se repetem de 2π em 2π.
• A função f é par, pois para todo x ∈ D(f ), f (x ) = f (−x ), ou seja, cos x = cos(−x ).
59
Capítulo 3. Funções
O gráfico da função cosseno (f (x ) = cos x ) é congruente ao da função seno (g(x ) = sen x ) transladado
π
2
unidades para a esquerda.
Exemplo
cos
5π
6
= cos
(
− 5π
6
)
=
−
√
3
2
• Dado k ∈ Z, a função f é crescente para x ∈ [π+2kπ, 2kπ] e decrescente para x ∈ [2kπ, π+2kπ].
Exemplo
Para k = −1, temos que f é crescente para x ∈ [−3π,−2π] e decrescente para x ∈ [−2π,−π].
• Dado k ∈ Z, f (x ) > 0 para x ∈
]
−π
2
+2kπ,
π
2
+2kπ
[
e f (x ) < 0 para x ∈
]π
2
+2kπ,
3π
2
+2kπ
[
.
Exemplo
Para k = 0, temos que f > 0 para x ∈
]
− π
2
,
π
2
[
e f (x ) < 0 para x ∈
]π
2
,
3π
2
[
.
III. Função tangente
A função tangente é a função que associa a cada número real x , com x =
π
2
+ kπ e k ∈ Z, um único
número real y tal que:
y = tg x
Na função y = tg x , a variável x pode assumir qualquer valor real tal que x 6= π
2
+ kπ com k ∈ Z.
Logo o domínio D dessa função é: D = {x ∈ R|x 6= π
2
+ kπ com k ∈ Z} e o conjunto imagem Im
da função y = tg x é Im = R.
O gráfico se repete a cada comprimento π no eixo Ox , ou seja, tg(x + π) = tg x ; logo, a função
tangente é periódica de período p = π, pois π é o menor valor positivo p tal que tg(x + p) = tg x .
60
3.7. Função trigonométrica
IV. Função cotangente
A função cotangente é a função que associa a cadanúmero real x , com x 6= kπ e k ∈ Z, um único
número real y tal que:
y = cotg x
O domínio da função cotangente é dado por D = {x ∈ R|x 6= kπ, com k ∈ Z, o conjunto imagem é
Im = R e período é p = π.
Lembrando que sen
(π
2
− x
)
= cos x e cos
(π
2
− x
)
= sen x , então temos:
tg
(π
2
− x
)
=
sen
(π
2
− x
)
cos
(π
2
− x
) = cos x
sen x
= cotg x.
Portanto o gráfico da função y = cotg x é igual ao gráfico da função tg
(π
2
− x
)
.
61
Capítulo 3. Funções
V. Função cossecante
A função cossecante é a função que associa a cada número real x , com x 6= kπ e k ∈ Z, um único
número real y tal que:
y = cossec x
O domínio da função cossecante é dado por D = {x ∈ R|x 6= kπ, com k ∈ R e o conjunto imagem é
dado por Im = {y ∈ R|y ≤ −1 ou y ≥ 1} e período é dado por p = 2π.
O gráfico da função y = cossec x é dado por:
VI. Função secante
A função secante é a função que associa a cada número real x , com x 6= π
2
+ kπ e k ∈ Z, um único
número real y tal que:
y = sec x
O domínio da função secante é dado por D = {x ∈ R|x 6= π
2
+ kπ, com k ∈ Z}, o conjunto imagem
é dado por Im = {y ∈ R|y ≤ −1 ou y ≥ 1} e período é dado por p = 2π.
Lembrando que sen
(π
2
+ x
)
= cos x , então temos que:
cossec
(π
2
+ x
)
=
1
sen
(π
2
− x
) = 1
cos x
= secx.
Portanto o gráfico da função y = secx é igual ao gráfico da função y = cossec
(π
2
+ x
)
, que é uma
translação horizontal, de
π
2
para a esquerda, do gráfico da função y = cossec x . Assim, temos:
62
3.7. Função trigonométrica
Funções trigonométricas inversas
Função arco-seno
Vamos considerar a restrição da função y = senx, com domínio D =
[
− π
2
,
π
2
]
e contradomínio
CD = [−1, 1]. O gráfico dessa restrição é:
Essa função é bijetora e, portanto, admite inversa. A inversa dessa restrição da função seno será
indicada por:
y = arcsen x
e deve ser entendida da seguinte maneira: y é o arco cujo seno vale x .
O domínio da função y = arcsen x é D = [−1, 1] e o conjunto imagem é Im =
[
− π
2
,
π
2
]
.
Observe que o domínio D e o conjunto imagem Im da função y = arcsen x são respectivamente iguais
ao conjunto imagem e ao domínio da restrição feita à função seno, pois essas duas funções são inversas
entre si.
Função arco-cosseno
Vamos considerar a restrição da função y = cosx, com domínio D = [0, π] e contradomínio CD =
[−1, 1]. O gráfico dessa restrição é o seguinte:
63
Capítulo 3. Funções
Essa função é bijetora e, portanto, admite inversa. A inversa dessa restrição da função cosseno será
indicada por:
y = arccos x
e deve ser entendida da seguinte maneira: y é o arco cujo cosseno vale x .
O domínio da função y = arccos x é D = [−1, 1] e o conjunto imagem é Im = [0, π].
Observe que o domínio D e o conjunto imagem Im da função y = arccos x são respectivamente iguais
ao conjunto imagem e ao domínio da restrição feita à função seno, pois essas duas funções são inversas
entre si.
Função arco-tangente
Vamos considerar a restrição da função y = tg x, com domínio D =
]
− π
2
,
π
2
[
e contradomínio
CD = R. O gráfico dessa restrição é:
Essa função é bijetora e, portanto, admite inversa. A inversa dessa restrição da função tangente será
indicada por:
y = arctg x
e deve ser entendida da seguinte maneira: y é o arco cuja tangente vale x .
O domínio da função y = arctg x é D = R e o conjunto imagem é Im =
]
− π
2
,
π
2
[
.
Note que o domínio D e o conjunto imagem Im da função y = arctg x são, respectivamente, iguais ao
conjunto imagem e ao domínio da restrição feita à função tangente, pois essas duas funções são inversas
entre si.
Funções do tipo trigonométricas
f (x ) = a + b · sen(cx + d) e g(x ) = a + b · cos(cx + d)
As funções definidas acima, sendo a, b, c e d números reais com b 6= 0 e c 6= 0, são chamadas funções
do tipo trigonométricas.
64
3.7. Função trigonométrica
Note que as funções f (x ) = sen x e g(x ) = cos x são casos particulares das funções do tipo trigonomé-
tricas, ou seja, quando a = 0, b = 1, c = 1 e d = 0.
São exemplos de funções do tipo trigonométricas:
• f (x ) = 5− 3 sen(2x + 1), nesse caso, a = 5, b = −3, c = 2 e d = 1
• g(x ) = −1 + cos 3x , nesse caso, a = −1, b = 1, c = 3 e d = 0
As funções do tipo trigonométricas f (x ) = a + b · sen(cx + d) e g(x ) = a + b · cos(cx + d) tem
características semelhantes a f (x ) = sen e g(x ) = cos, respectivamente. As constantes a, b, c e d estão
relacionadas a essas características da seguinte maneira:
• A constante a translada o gráfico da função |a| unidades para cima se a > 0, ou para baixo se a < 0.
A constante a altera a imagem da função.
Exemplo:
• A constante b amplia verticalmente o gráfico da função |b| > 1 e comprime verticalmente se |b| < 1.
A constante b altera a imagem da função.
Exemplo:
• A constante c amplia o período da função se |c| < 1 e comprime se |c| > 1. O novo período p = p
|c|
,
sendo pt o período da função trigonométrica correspondente.
Exemplo:
65
Capítulo 3. Funções
• A constante d translada o gráfico da função em
∣∣∣d
c
∣∣∣ unidades para a esquerda se d
c
> 0, ou para a
direita se
d
c
< 0.
Exemplo:
Algumas expressões trigonométricas
• sen2 x + cos2 x = 1
• tg x = sen x
cos x
, para x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
• cotg x = cos x
sen x
, para x 6= kπ, k ∈ Z
• sec x = 1
cos x
, para x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
• cossec x = 1
sen x
, para x 6= kπ, k ∈ Z
• cotg x = 1
tg x
, para x 6= kπ
2
, k ∈ Z
• tg2 x + 1 = sec2 x , com x 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
• 1 + cotg2 x = cossec2 x , com x 6= kπ, k ∈ Z
Fórmulas de transformação trigonométricas
• Seno da soma e da diferença
sen(a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
sen(a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a
• Cosseeno da soma e da diferença
cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b
cos(a − b) = cos a · cos b + sen a · sen b
• Tangente da soma e da diferença
tg(a + b) =
tg a + tg b
1− tg a · tg b
, válida para a 6= π
2
+ kπ, b 6= π
2
+ kπ e (a + b) 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
tg(a − b) = tg a + tg b
1 + tg a · tg b
, válida para a 6= π
2
+ kπ, b 6= π
2
+ kπ e (a − b) 6= π
2
+ kπ, k ∈ Z
66
3.7. Função trigonométrica
Fórmulas do arco duplo ou arco metade
• sen 2α = 2 · senα · cosα
• cosα = cos2 α · sen2 α
• tg 2α = 2 · tgα
1− tg2 α
, com α 6= π
2
+ kπ e α 6= π
4
+ k · π
2
, k ∈ Z
Exercícios
1. Determine algebricamente o domínio da função e verifique sua conclusão gráfica.
a) f (x ) = x 2 + 4
b) h(x ) =
5
x − 3
c) f (x ) =
3x − 1
(x + 3)(x − 1)
d) f (x ) =
1
x
+
5
x − 3
e) g(x ) =
x
x 2 − 5x
f) h(x ) =
√
4− x 2
x − 3
g) h(x ) =
√
4− x
(x + 1)(x 2 + 1)
h) f (x ) =
√
x 4 − 16x 2
2. Encontre a imagem de cada função abaixo.
a) f (x ) = 10− x 2
b) g(x ) = 5 +
√
4− x
c) f (x ) =
x 2
1− x
d) g(x ) =
3 + x 2
4− x 2
3. De acordo com o gráfico de cada função, identifique os intervalos nos quais temos uma função
crescente, decrescente ou constante.
a) f (x ) = |x + 2| − 1
b) f (x ) = |x + 1|+ |x − 1| − 3
c) g(x ) = |x + 2|+ |x − 1| − 2
d) h(x ) = 0, 5(x + 2)2 − 1
e) g(x ) = 3− (x − 1)2
f) f (x ) = x 3 − x 2 − x
4. Indique se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois. Verifique graficamente e confirme algebrica-
mente.
a) f (x ) = 2x 4
b) g(x ) = x 3
c) f (x ) =
√
x 2 + 2
d) g(x ) =
3
1 + x 2
e) f (x ) = −x 2 + 0, 03x + 5
f) f (x ) = x 3 + 0, 04x 2 + 3
g) g(x ) = 2x 3 − 3x
h) h(x ) =
1
x
5. Qual das funções abaixo é decrescente?
a) a temperatura externa, como uma função do tempo.
67
Capítulo 3. Funções
b) a média do índice de Dow Jones, como uma função do tempo.
c) a pressão do ar na atmosfera terrestre, como uma função da altitude.
d) a população mundial desde 1900, como uma função do tempo.
e) a pressão da água o oceano, como uma função da profundidade.
6. Qual das funções não pode ser classificada como crescente ou decrescente?
a) a massa de um bloco de chumbo, como uma função do volume.
b) a altura em que uma bola foi lançada para cima, como uma função do tempo.
c) o tempo de viagem de um lugar para outro, como uma função da velocidade da viagem.
d) a área de um quadrado, como uma função