C2 Lista Semanal 6 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO II
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 6
Questão 1. Calcular as derivadas parciais de primeira ordem, e as derivadas parciais
de segunda ordem das funções a seguir:
a) f(x, y) =
x2 − y
xy
b) f(x, y) = exy − x3y
Solução: a) Temos as primeiras derivadas
∂f
∂x
=
2x2y − (x2 − y)y
x2y2
∂f
∂y
=
(−1)xy − (x2 − y)x
x2y2
∂f
∂x
=
x2y + y2
x2y2
=
1
y
+
1
x2
∂f
∂y
= − x
3
x2y2
= − x
y2
.
Já as segundas derivadas são dadas por:
∂2f
∂x2
= − 2
x3
∂2f
∂y2
=
2x
y3
∂2f
∂x∂y
= − 1
y2
=
∂2f
∂y∂x
b) Temos as primeiras derivadas
∂f
∂x
= yexy − 3x2y ∂f
∂y
= xexy − x3
Já as segundas derivadas são dadas por:
∂2f
∂x2
= y2exy − 6xy
∂2f
∂y2
= x2exy
∂2f
∂x∂y
= exy + xyexy − 3x2 = ∂
2f
∂y∂x
Questão 2. Suponha que a temperatura T (x, y) em graus Celsius em uma chapa
metálica seja dada pela função T (x, y) = 3x2 − 2y2. Determine as derivadas parciais
de primeira ordem
∂T
∂x
e
∂T
∂y
e interprete o significado dessas derivadas no contexto
da taxa de variação da temperatura na chapa metálica.
Solução: A temperatura T (x, y) na chapa metálica é dada por T (x, y) = 3x2−2y2.
Para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, derivamos T em relação a x e
a y:
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Universidade Federal do Pará
Cálculo II Lista de Exercícios 6
∂T
∂x
= 6x,
∂T
∂y
= −4y.
As derivadas parciais representam as taxas de variação da temperatura na chapa
metálica em relação a x e y. A derivada parcial
∂T
∂x
indica como a temperatura muda
quando a posição x varia, mantendo a posição y constante. Similarmente, a derivada
parcial
∂T
∂y
indica como a temperatura muda quando a posição y varia, mantendo a
posição x constante.
Questão 3. Sabemos que a derivada de uma função f na direção do vetor v⃗ no ponto
P = (x0, y0) é dada por:
Dv⃗f(x0, y0) = ∇⃗f(x0, y0) · u⃗,
onde u⃗ é o versor de v⃗. Calcule as derivadas de f na direção v⃗ e no ponto P :
a) f(x, y) = x3 + ln (3xy + y2), v⃗ = (2, 5) e P = (1, 5).
b) f(x, y) = cos(x)− sen(y), v⃗ = (0, π) e P = (7, 2).
Solução:
a)
Dv⃗f(1, 5) = ∇⃗f(1, 5) ·
v⃗
||v⃗||
=
(
27
8
,
13
40
)
·
(
2√
29
,
5√
29
)
=
67
√
29
232
.
b)
Dv⃗f(7, 2) = ∇⃗f(7, 2) ·
v⃗
||v⃗||
= (− sen (7),− cos (2)) · (0, 1) = − cos(2).
Questão 4. Dada a função f(x, y) =
1
x2 + y2
. Verifique se f satisfaz a seguinte
igualdade:
x
∂2f
∂x2
(x, y) + y
∂2f
∂y∂x
(x, y) = −3∂f
∂x
(x, y)
Solução: Temos x
∂2f
∂x2
(x, y) = x
6x2 − 2y2
(x2 + y2)3
e y
∂2f
∂y∂x
(x, y) = y
8xy
(x2 + y2)3
. Então
o lado esquerdo fica
x
∂2f
∂x2
(x, y) + y
∂2f
∂y∂x
(x, y) =
6x
(x2 + y2)2)
.
Agora, o lado direito é
−3∂f
∂x
(x, y) = −3
(
− 2x
(x2 + y2)2
)
=
6x
(x2 + y2)2)
.
Portanto, a igualdade é verdadeira para a f dada.
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Cálculo II Lista de Exercícios 6
Questão 5. Suponha que o pontential elétrico em uma região do espaço seja dado
por:
V (x, y, z) = ln
(
1√
x2 + y2
)
.
a) Calcule a taxa de variação do pontencial em P (3, 4, 5) na direção do vetor v⃗ =
i⃗+ j⃗ − k⃗.
b) Em qual direção o potencial varia mais rapidamente nesse ponto?
c) Qual a taxa de variação do potencial no ponto dado?
Solução:
1. Temos
∇V (x, y, z) = − 1
x2 + y2
⟨x, y, 0⟩ .
A taxa de variação de V no ponto P e na direção de v⃗ é dada por
Dv⃗V (P ) ≡ ∇V (P ) ·
v⃗
||v⃗||
= − 1
25
· ⟨3, 4, 0⟩ · ⟨1, 1,−1⟩ · 1√
3
= − 7
25
√
3
.
2. A direção na qual o potencial varia mais rapidamente é a direção do vetor gra-
diente nesse ponto, ou seja, a direção do vetor ∇V (P ) = − 1
25
⟨3, 4, 0⟩.
3. A máxima taxa de variação de V no ponto P será dada por ||∇V (P )|| = 1
5
.
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