C1 Nota de Aula 06 - 2023_2

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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula nº 06: Limites Laterais e Limite da Função Composta.
Objetivos da Aula
� De�nir limites laterais de uma função em um ponto de seu domínio;
� Utilizar os limites laterais para veri�car a existência de um limite;
� Calcular o limite de uma função composta;
1 Limites Laterais
Ao discutirmos a ideia intuitiva de limite de uma função f num ponto p na aula passada, �zemos questão
de sempre exibir uma tabela tomando valores maiores que p (à direita de p) e menores que p (à esquerda
de p). Essa preocupação pode ser exempli�cada no seguinte exemplo:
Exemplo 1. Considere a função de Heaviside, de�nida por
H(t) =
{
1 se t ≥ 0
0 se t < 0
.
É possível calcular lim
t→0
H(t)?
Figura 1: Grá�co da função de Heaviside.
Antes de responder a essa questão, devemos entender que considerar pontos x tendendo a um número
real p pela direita, signi�ca dizer que estamos nos aproximando de p por valores maiores que ele. Sempre
que �zermos isso, utilizaremos a notação x → p+. Analogamente, se considerarmos pontos x tendendo a
um número real p pela esquerda, signi�ca que estamos nos aproximando de p por números menores que ele,
e isso será denotado por x→ p−.
No caso da função de Heaviside, H, notamos que lim
t→0+
H(t) = 1 e limt→0− H(t) = 0. Formalizando
essa ideia:
1
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De�nição 1. Dizemos que L é o limite à direita da função f(x) quando x→ p+ e escrevemos
lim
x→p+
f(x) = L
se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, se p < x < p+ δ, então |f(x)− L| < ε.
De�nição 2. Dizemos que L é o limite à esquerda da função f(x) quando x→ p− e escrevemos
lim
x→p−
f(x) = L
se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, se p− δ < x < p, então |f(x)− L| < ε.
Como não existe um único número real para o qual a função H(t) se aproxima quando t → 0
(independente do lado pelo qual se aproxima do ponto 0), dizemos que lim
t→0
H(t) não existe e esse fato
é enunciando no nosso próximo teorema, que relaciona a de�nição de limite com as de�nições de limite à
esquerda e à direita:
Teorema 1. lim
x→p
f(x) = L se, e somente se, lim
x→p+
f(x) = L = lim
x→p−
f(x)
Portanto, o teorema acima é um bom critério para sabermos se o limite de uma função existe ou não,
como podemos observar nos seguinte exemplos:
Exemplo 2. Calcule o valor de lim
x→0
f(x), se existir, onde f(x) = |x|.
Solução: Por de�nição, f(x) é dada por
f(x) =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Observemos que f(x) = x se x → 0+ e f(x) = −x se x → 0−. Logo, calculando os limites laterais,
temos que
lim
x→0+
f(x) = lim
x→0+
x = 0
e
lim
x→0−
f(x) = lim
x→0−
−x = 0.
Logo, pelo Teorema 1, lim
x→0
|x| = 0. �
Exemplo 3. Veri�que a existência do limite lim
x→0
|x|
x
.
Solução: Note que:
lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1; (1)
lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
−1 = −1; (2)
Como lim
x→0+
f(x) 6= lim
x→0−
f(x) então, pelo Teorema 1, temos que lim
x→0
|x|
x
não existe.
2 Limite de uma Função Composta
Nosso intuito nessa seção é estudar o limite de uma função composta. Apresentaremos dois resultados
importantes para o nosso estudo, que nos permitirão calcular certos limites que por ora ainda não são
possíveis.
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Teorema 2. Sejam f, g duas funções tais que Imf ⊆ Dg. Se lim
x→a
f(x) = b e g é contínua em b, então
lim
x→a
g(f(x)) = g
(
lim
x→a
f(x)
)
.
Exibiremos agora alguns exemplos de utilização do resultado anterior.
Exemplo 4. Calcule:
(a) lim
x→1
cos
(
1−
√
x
1− x
)
;
(b) lim
x→1
√
x2 − 1
x− 1
;
(c) lim
x→1
(3− x3)4 − 16
x3 − 1
;
(d) lim
x→−1
3
√
x+ 2− 1
x+ 1
.
Solução:
(a) Um primeiro passo a ser dado é identi�car na composta g(f(x)) = cos
(
1−
√
x
1− x
)
, qual é a função
f(x) e g(u). Nesse caso, �ca claro que
f(x) =
1−
√
x
1− x
e que
g(u) = cosu.
Agora, devemos veri�car se as funções dadas satisfazem as hipóteses do Teorema 2. Primeiramente,
vamos calcular limx→1 f(x). Observe que
lim
x→1
1−
√
x
1− x
= lim
x→1
1−
√
x
12 − (
√
x)2
= lim
x→1
��
��1−
√
x
��
���(1−
√
x)(1 +
√
x)
= lim
x→1
1
1 +
√
x
=
1
2
.
O segundo passo a ser dado é veri�car se g(u) é contínua em u =
1
2
. De fato, pois a função
g(u) = cosu é contínua em R. Logo, pelo teorema 2, temos que
lim
x→1
cos
(
1−
√
x
1− x
)
= cos
(
lim
x→1
1−
√
x
1− x
)
= cos
(
1
2
)
.
(b) Note que h(x) =
√
x2 − 1
x− 1
= g(f(x)), em que
g(u) =
√
u e f(x) =
x2 − 1
x− 1
.
Note também que
lim
x→1
x2 − 1
x− 1
= lim
x→1
���
�(x− 1)(x+ 1)
���x− 1
= lim
x→1
(x+ 1)
= 2.
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Como a função g(u) =
√
u é contínua em 2, então segue do teorema 2 que
lim
x→1
√
x2 − 1
x− 1
=
√
lim
x→1
x2 − 1
x− 1
=
√
2.
(c) Observe que não podemos enxergar nitidamente que a função
h(x) =
(3− x3)4 − 16
x3 − 1
pode ser representada como a composta de duas outras funções. Para isso, fazemos o seguinte
método, chamado mudança de variável no limite. Como o nome diz, devemos mudar a variável x
para uma variável u de tal forma que o limite possa ser facilmente resolvido. Dessa forma, façamos
u = 3− x3.
Observe que, desta equação, podemos concluir que
x3 = 3− u
(que utilizaremos para fazer a substituição no denominador da fração).
Portanto, a função h(x) será escrita, em termos da variável u, como
q(u) =
u4 − 16
2− u
.
Agora, devemos determinar a �nova tendência� de u:
lim
x→1
u = lim
x→1
(3− x3) = 2.
Logo, se x→ 1, então u→ 2. E assim, calculamos:
lim
x→1
(3− x3)4 − 16
x3 − 1
= lim
u→2
u4 − 16
2− u
= lim
u→2
u4 − 16
−(u− 2)
= − lim
u→2
(u2 − 4)(u2 + 4)
u− 2
= − lim
u→2
��
��(u− 2)(u+ 2)(u2 + 4)
���u− 2
= − lim
u→2
((u+ 2)(u2 + 4)) = −4 . 8 = −32.
(d) Assim como no exemplo anterior, vamos aplicar a mudança de variável no cálculo do limite
lim
x→−1
3
√
x+ 2− 1
x+ 1
.
Fazendo
u = 3
√
x+ 2,
observe que
x = u3 − 2
e que, como
lim
x→−1
u = lim
x→−1
3
√
x+ 2 = 1,
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temos que se x→ −1 então u→ 1. Logo,
lim
x→−1
3
√
x+ 2− 1
x+ 1
= lim
u→1
u− 1
u3 − 1
= lim
u→1
���u− 1
���
�(u− 1)(u2 + u+ 1)
= lim
u→1
1
u2 + u+ 1
=
1
3
.
�
O próximo teorema é uma consequência imediata do teorema anterior e a�rma propriedade extremamente
útil para a determinação de limites, pois garante que a composta de duas funções contínuas também é
contínua:
Teorema 3. Sejam f, g funções tais que Imf ⊆ Dg. Se f for contínua em a e g for contínua em f(a)
então a função composta (g ◦ f)(x) = g(f(x)) é contínua em a.
A utilidade desse último resultado é mostrado nos seguintes exemplos:
Exemplo 5. Determine o maior subconjunto A de R em que a função h(x) = cos(x2) é contínua.
Solução: Note que a função h(x) pode ser reescrita como (g ◦ f)(x) em que f(x) = x2 e g(u) = cosu.
Note que f é contínua em R e g é contínua em R. Logo, pelo teorema 3, temos que a composta g ◦ f é
contínua em A = R.
�
Exemplo 6. Determine o maior subconjunto A de R em que a função h(x) = ln(1 + senx) é contínua.
Solução: Note que a função f(x) = 1 + senx é contínua em R. Mas, a função g(u) = lnu é contínua
em seu domínio, que é o conjunto (0,+∞). Sendo assim, devemos tomar os valores de x ∈ Df tais que
f(x) > 0, ou seja senx > −1. Desse modo, a composta não estará de�nida para os valores de x em que
senx = −1, isto é, para x = ±3π
2
,±7π
2
, ..., sendo a mesma contínua nos outros valores. Portanto,
A = R−
{
3π
2
+ 2kπ
}
, k ∈ Z.
�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 2.2 e 2.3 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das seções 2.2 e 2.3 do livro texto.
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