Aula_06_-_Contagem_e_Sistema_de_Numeração_-_CN_2024-22-24

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 06 – CONTAGEM E BASES DE NUMERAÇÃO 
 
Terça ->4 
Quarta ->5 
Quinta ->6 
Sexta -> 7 
O mês de janeiro, obviamente começou em um dos 7 dias da semana, assim sendo, para sexta-
feira, podemos escrever: 
31 − (7 − 𝑘)⏟ 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 1ª 
𝑠𝑒𝑥𝑡𝑎−𝑓𝑒𝑖𝑟𝑎
= 7 ∗ 𝑝 + 𝑞 
Onde k é o número associado ao dia em que o mês começou. 
Como queremos que tenham exatamente 4 sextas-feiras, devemos ter p=4, o que nos dá: 
24 + 𝑘 = 28 + 𝑞 ⇨ 𝑘 − 𝑞 = 4 
O que nos fornece as seguintes possibilidades: 
𝑘 = {7,6,5,4} 
O que significa que o mês só pode ter começado na terça, na quarta, na quinta ou na sexta. 
Analogamente, se associarmos novos números aos dias da semana, temos: 
Terça ->1 
Quarta ->2 
Quinta ->3 
Sexta ->4 
Sábado ->5 
Domingo ->6 
Segunda -> 7 
O mês de outubro, obviamente começou em um dos 7 dias da semana, assim sendo, para segunda-
feira, podemos escrever: 
31 − (7 − 𝑡)⏟ 
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑎𝑠
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑟 𝑑𝑎 1ª
𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎
= 7 ∗ 𝑟 + 𝑠 
 
 
 
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Onde t é o número associado ao dia em que o mês começou. Como queremos que tenham 
exatamente 4 segundas-feiras, devemos ter r=4, o que nos dá: 
24 + 𝑡 = 28 + 𝑞 ⇨ 𝑡 − 𝑞 = 4 
O que nos fornece as seguintes possibilidades: 
𝑡 = {7,6,5,4} 
O que significa que o mês só pode ter começado na sexta, no sábado, no domingo ou na segunda. 
O único dia da semana que aparece nas duas restrições é sexta, portanto, o mês começou na 
sexta-feira, o que nos leva a concluir que o dia 20 de janeiro caiu na quarta-feira. 
 
Gabarito “c”. 
 Ordenando todos os números positivos que podem ser expressos como uma soma de 2005 inteiros 
consecutivos, não necessariamente positivos, aquele que ocupa a posição 2005 é: 
(A) 4016015 
(B) 4018020 
(C) 4020025 
(D) 4022030 
(E) 4024035 
 
Comentários 
Se queremos os valores de N>0 que são a soma de 2005 inteiros consecutivos, podemos escrever: 
𝑁 = 𝑎 + (𝑎 + 1) + ⋯+ (𝑎 + 2004) =
[𝑎 + (𝑎 + 2004)] ∗ 2005
2
=
(2 ∗ 𝑎 + 2004) ∗ 2005
2
= (𝑎 + 1002) ∗ 2005 
Quanto menor o valor de ‘𝑎’, menor será o valor de N, portanto, o primeiro N possível é aquele 
para o qual 𝑎 = −1001,que fornece 𝑁 = 2005. 
Portanto, aquele que ocupará a posição 2005 é aquele para o qual: 
𝑎 = −1001 + (2005 − 1) = 1003 
Logo, 
𝑁2005 = (1003 + 1002) ∗ 2005 = 2005
2 = 4020025 
 
 
 
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Gabarito “c”. 
 (ITA) Se colocarmos em ordem crescente, todos os números de 5 (cinco) algarismos distintos, obtidos 
com 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número 61473 será: 
a) 76° 
b) 78° 
c) 80° 
d) 82° 
e) n.d.a 
 
Comentários 
Observe que todos os números iniciados com 1, 3 e 4 já são menores que 614673, vamos, então, 
descobrir quantos são esses números. 
Independente de qual algarismo inicie o número ele será da forma: 
𝑁 = 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
No caso específico que estamos querendo calcular, ‘a’ tem 3 opções, ‘b’ tem 5-1 opções, ‘c’ tem 
5-2, ‘d’ tem 5-3 e ‘e’ 5-4 opções, logo, o total de números iniciados por 1,3 e 4 com 5 algarismos 
distintos são: 
3 ∗ (5 − 1) ∗ (5 − 2) ∗ (5 − 3) ∗ (5 − 4) = 3 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 12 ∗ 6 = 
= 72 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 
Além disso, temos os números 61347, 61374 e 61437, menores que 61473. Portanto, existem 
72 + 3 = 75 números menores que ele, assim sendo, ele ocupará a 76ª posição quando 
escrevermos esses números em ordem crescente. 
 
Gabarito “a”. 
 Seja 𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟖, 𝟏𝟑, 𝟐𝟏, 𝟑𝟒}. Sá Bido faz uma lista de números da seguinte forma: para cada 
subconjunto S com dois elementos, ele escreve em sua lista o maior dos elementos deste subconjunto. 
A soma dos elementos dessa lista é: 
a) 480 
b) 482