Aula_05_-_Introdução_às_Funções_-_CN_2024-019-021

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 05 – INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES 
 
Lembre-se que domínio é sempre o primeiro elemento do par ordenado. Por sua vez, Imagem 
é sempre o segundo elemento do par ordenado. 
Destaco ainda: 
Domínio: Ligado ao eixo x. Ou seja, todo domínio estará sobre o eixo X. 
Imagem: Ligado ao eixo y. Ou seja, toda ordenada estará sobre o eixo Y. 
 
4.2 – Domínio e Imagem pelo Gráfico 
 Agora, que acha de emcontrarmos o DOMÍNIO e a IMAGEM de uma função pelo gráfio? Topa? 
Vamos nessa, então! Ainda que não temhamos entrado no que de FATO é uma função, podemos emtender 
que a identificação do domínio, imagem e, até mesmo, do comtradomínio, está diretamente ligado à 
"sombra" que a linha do gráfico faz com os eixos coordenados. 
 
 Para ilustrar o que acabei de falar, vamos aanalisar o gráfio abaixo de uma função real 𝑓: 𝐴 ⟶
𝐵 cuja lei de formação é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 2. 
 
Aqui já vai a primeira dica: na nomenclatura 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵, o conjunto 𝐴, por ser o primeiro, 
representa o DOMÍNIO da função dada. Por outro lado, o conjunto B, por ser o segundo 
na simbologia, representa o conjunto do CONTRADOMÍNIO. Ah! Já ia esquecendo: 
PRESTE, SEMPRE, MUITA ATENÇÃO NAS BOLINHAS ABERTAS DOS GRÁFICOS. 
Veja o gráfico: 
 
 
 
 
 
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Veja que a função está delimitada ao intervalo [-2;1[. 
Quando delimitamos os valores da variável independente, os valores da variável dependente, ou da 
função, apresentam a consequência que, neste caso, é a de ter seus valores limitados, no eixo 𝑦, a valores 
compreendidos no intervalo [1;5[. 
Explicitando para o gráfico apresentado temos: 
𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ: 1 ≤ 𝑦 < 5} 
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ:−2 ≤ 𝑥 < 1} 
Dizemos que essa função é válida apenas para o intervalo específico de seu domínio. 
 
Em outras palavras: 
o A "sombra" do gráfio no eixo 𝑥 sempre determinará o conjunto do DOMÍNIO, logo: 
𝐴 = ]−2; 1[ 
o Já a "sombra" do gráfico no eixo 𝑦 sempre determinará o conjunto da IMAGEM, logo: 
𝐵 = [1; 5[ 
o Com base nessa análise, podemos afirmar que nossa função é definida da forma: 
𝑓: ]−2; 2[ ⟶ [1; 5[ 
 
 Há diversas formas de combrança deste tema em prova, uma delas é pedir, de forma direta, o 
conjunto domínio de uma função dada. Basicamnete, nesses casos, a ssaída sera fazer a condição de 
existência da função que, geralemte, acaba caindo numa inquação. Veja um exemplo prático: 
 
6. (EsPCEx-2002) - Sejam f e g funções de A emℝ, definidas por 𝒇(𝒙) = √
𝒙−𝟏
𝒙+𝟏
 e 𝒈(𝒙) =
√𝒙−𝟏
√𝒙+𝟏
. Nessas 
condições pode-se afirmar que 𝒇 = 𝒈 se: 
a) 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < −𝟏 ou 𝒙 − 𝟏} 
b) 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 ≠ −𝟏} 
c) 𝑨 = ℝ 
d) 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 ≥ 𝟏} 
e) 𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < −𝟏} 
 
Comentário: 
Para que a raiz quadrada esteja definida no campo dos reais, é necessário que o número dentro da 
raiz (o radicando) seja não negativo. Dessa forma, para que 𝑓(𝑥) esteja definida, temos que 
 
 
 
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𝒙−𝟏
𝒙+𝟏
≥ 𝟎 ⇒ 𝒙 ≥ 𝟏 ou 𝒙 < −𝟏 
Perceba que o x não pode ser igual a −1 pois, nesse caso, o denominador seria nulo. 
Além disso, para que a função 𝑔(𝑥) esteja definida, é necessário que 
𝒙 − 𝟏 ≥ 𝟎 ⇒ 𝒙 ≥ 𝟏 e que 
𝒙 + 𝟏 > 𝟎 ⇒ 𝒙 > −𝟏 
Assim, a interseção das condições para existência de g(x) nos dá 
𝒙 ≥ 𝟏 
Para haver uma igualdade entre as funções, é necessário fazermos a interseção dos domínios. 
Desta forma, para que 𝑓 = 𝑔, como a condição de existência de 𝑔(𝑥) é mais restrita, basta que ela 
seja satisfeita. Portanto, 
𝑨 = {𝒙 ∈ ℝ | 𝒙 ≥ 𝟏} 
 
7. (EEAR-2002) Seja 𝒇(𝒙) =
𝒙+𝟓−
𝟏𝟐
𝒙+𝟏
𝒙+𝟗
𝒙+𝟏
−
𝟓
𝒙
. O domínio de 𝒇 é: 
a)ℝ − {𝟎,−𝟏} 
b)ℝ − {𝟏,−𝟓} 
c) ℝ∗ 
d) ℝ∗ − {𝟏,−𝟏,−𝟓} 
 
Comentário: 
Note que em uma primeira análise, devemos ter 𝑥 ≠ −1 e 𝑥 ≠ 0. Vamos organizar a função 𝑓(𝑥) 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 5 −
12
𝑥 + 1
𝑥 + 9
𝑥 + 1 −
5
𝑥
=
(𝑥 + 5) ∙ (𝑥 + 1) − 12
𝑥 + 1
∙
𝑥 ∙ (𝑥 + 1)
(𝑥 + 9) ∙ 𝑥 − 5 ∙ (𝑥 + 1)
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 6𝑥 − 7
𝑥2 + 4𝑥 − 5
=
(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 7)
(𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 5)
, 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ≠ 1 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 7
𝑥 + 5