Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-280-282

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
Determine o valor de k para que a soma das áreas do triângulo AMN e do círculo seja mínima, em 
cm. (Utilize 𝝅 = 𝟑) 
a) 𝟒√𝟑/(𝟗 + 𝟒√𝟑) 
b) 𝟗√𝟑/(𝟏𝟖 + 𝟖√𝟑) 
c) 𝟓√𝟑/(𝟗 + 𝟒√𝟑) 
d) 𝟏𝟏√𝟑/(𝟏𝟖 + 𝟖√𝟑) 
e) 𝟔√𝟑/(𝟗 + 𝟒√𝟑) 
Comentários 
 
 Como MN é paralelo à base BC, temos que AMN é triângulo equilátero de lado 𝑙. O 
diâmetro do círculo mede 2𝑘√3. Da altura do triângulo ABC: 
𝐻 =
𝐿√3
2
=
6√3
2
= 3√3 
 Do triângulo AMN: 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
ℎ =
𝑙√3
2
= 3√3 − 2𝑘√3 
𝑙 = 6 − 4𝑘 
 A área pedida é: 
𝐴 =
𝑙2√3
4
+ 𝜋𝑟2 =
(6 − 4𝑘)2√3
4
+ 3(𝑘√3)
2
 
𝐴 =
(36 − 48𝑘 + 16𝑘2)√3
4
+ 9𝑘2 
𝐴 = (9 + 4√3)𝑘2 − 12√3𝑘 + 9√3 
 O mínimo é dado pelo vértice da parábola: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
−12√3
2(9 + 4√3)
=
6√3
9 + 4√3
 
Gabarito: E 
131. (CN/2023) 
Seja o quadrado ABCD de área igual a 1 unidade de área (1 u.a.), e os pontos E, F e G sobre os lados 
AD, DC e AB, respectivamente, conforme figura abaixo. 
 
Considere a área do pentágono interior igual a 1/15. O valor da área hachurada, em u.a., é igual a: 
a) 11/30 
b) 13/30 
c) 7/15 
d) 1/2 
e) 8/15 
Comentários 
 
 
 
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AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 O quadrado tem lado 1. 
 Da figura, temos: 
 
 Analisando as áreas da figura, temos: 
[𝐹𝐺𝐵] = [𝐶𝐺𝐵] 
𝑎 + 𝑑 + 𝑔 + 𝑒 +
1
15
= 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 
∴ 𝑐 = 𝑎 + 𝑔 +
1
15
 
[𝐵𝐸𝐶] = 1 ⋅
1
2
=
1
2
= 𝑓 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 +
1
15
 
 Substituindo c na última equação: 
𝑓 + 𝑏 + (𝑎 + 𝑔 +
1
15
) + 𝑑 +
1
15
=
1
2
 
𝑆 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑑 + 𝑔 + 𝑓 =
1
2
−
2
15
=
15 − 4
30
=
11
30
 
Gabarito: A 
132. (CN/2023) 
Observe o símbolo abaixo: