Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-076-078

Prévia do material em texto

76 
Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
• 𝑀𝐴,𝑀𝐵 e 𝑀𝐶 são os pontos médios dos lados 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 e 𝐴𝐵, respectivamente; 
• 𝑁𝐴, 𝑁𝐵 e 𝑁𝐶 são os pontos médios dos segmentos 𝐴𝐻, 𝐵𝐻 e 𝐶𝐻, respectivamente. 
 
 Demonstração: 
 Inicialmente, vamos considerar uma circunferência 𝜆 que passa pelos três pontos médios 
dos lados: 𝑀𝐴,𝑀𝐵 e 𝑀𝐶. Para provar que 𝜆 passa pelos pés das alturas e pelos pontos médios dos 
segmentos que unem os vértices ao ortocentro, basta demonstrar que ela passa por 𝐻𝐴 e por 𝑁𝐴, 
pois para os outros pontos a demonstração é análoga. Então, vamos provar que 𝐻𝐴 pertence a 𝜆: 
 
 Como 𝑀𝐴 e 𝑀𝐵 são pontos médios dos lados 𝐵𝐶 e 𝐴𝐶, respectivamente, temos que 𝑀𝐴𝑀𝐵 
é base média do triângulo 𝐴𝐵𝐶, ou seja, 𝑀𝐴𝑀𝐵 = 𝐴𝐵/2. Além disso, do triângulo retângulo 
𝐴𝐵𝐻𝐴, temos que 𝐴𝐵 é hipotenusa e 𝑀𝐶 é ponto médio dela, logo 𝑀𝐶𝐻𝐴 = 𝐴𝐵/2. Com isso, 
temos que o quadrilátero 𝐻𝐴𝑀𝐴𝑀𝐵𝑀𝐶 é um trapézio isósceles e, consequentemente, é inscritível. 
Portanto, podemos afirmar que 𝜆 passa por 𝑀𝐴,𝑀𝐵 , 𝑀𝐶 e 𝐻𝐴. Analogamente, prova-se que ela 
passa por 𝐻𝐵 e 𝐻𝐶. 
 Agora vamos provar que 𝜆 passa por 𝑁𝐴. 
 
 
 
77 
Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
 Analisando o triângulo 𝐴𝐵𝐻, vemos que 𝑀𝐶𝑁𝐴 é sua base média, logo o segmento 𝑀𝐶𝑁𝐴 
é paralelo ao lado 𝐵𝐻. Como 𝑀𝐴 e 𝑀𝐶 são pontos médios dos lados do triângulo 𝐴𝐵𝐶, temos que 
𝑀𝐴𝑀𝐶 é base média e paralelo ao lado 𝐴𝐶. Portanto, da relação de segmentos paralelos, temos 
que 𝑁𝐴𝑀�̂�𝑀𝐴 ≡ 𝐵𝐻�̂�𝐶 ≡ 90°. Com isso, vemos que os triângulos 𝑁𝐴𝑀𝐶𝑀𝐴 e 𝑁𝐴𝐻𝐴𝑀𝐴 são 
retângulos e compartilham da mesma hipotenusa 𝑀𝐴𝑁𝐴 e, portanto, o quadrilátero 𝑁𝐴𝑀𝐶𝐻𝐴𝑀𝐴 
é inscritível. Sendo assim, a circunferência 𝜆 passa por 𝑀𝐴, 𝐻𝐴, 𝑀𝐶 e 𝑁𝐴. Analogamente, prova-se 
para 𝑁𝐵 e 𝑁𝐶 . 
 
4.5.1. COROLÁRIOS 
➢ O segmento 𝑀𝐴𝑁𝐴 é diâmetro da Circunferência dos 9 pontos. 
➢ O centro da Circunferência dos 9 pontos é o ponto médio do segmento 𝐻𝑂, em que 𝐻 é o 
ortocentro e 𝑂 é o circuncentro do triângulo 𝐴𝐵𝐶. 
 Demonstração: 
 Como o triângulo 𝑀𝐴𝑀𝐶𝑁𝐴 é retângulo e está inscrito em 𝜆, temos que 𝑀𝐴𝑁𝐴 é o diâmetro 
de 𝜆. 
 Para demonstrar que o centro da circunferência é o ponto médio de 𝐻𝑂, podemos usar a 
seguinte figura: 
 
 
 
78 
Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
 Note que os trapézios 𝐻𝑂𝑀𝐶𝐻𝐶 e 𝐻𝑂𝑀𝐴𝐻𝐴 são retângulos. 𝑋𝑀 e 𝑌𝑀 são bases médias 
dos dois trapézios retângulos, sendo assim, 𝑋𝑀 é mediatriz de 𝑀𝐶𝐻𝐶 e 𝑌𝑀 é mediatriz de 𝐻𝐴𝑀𝐴. 
Como 𝑀 é interseção das mediatrizes das cordas 𝑀𝐶𝐻𝐶 e 𝐻𝐴𝑀𝐴 de 𝜆, temos que 𝑀 é o seu centro. 
 Sendo 𝑀 o centro do círculo e ponto médio do segmento 𝐻𝑂, temos que 𝑀𝑁𝐴 é base 
média do triângulo 𝐻𝑂𝐴, ou seja, 𝑀𝑁𝐴 = 𝐴𝑂/2. Como 𝐴𝑂 é o raio da circunferência circunscrita 
ao triângulo 𝐴𝐵𝐶, podemos afirmar que: 
𝑀𝑁𝐴 =
𝑅
2
 
 Com 𝑅 sendo o raio da circunferência circunscrita. 
 
4.6. RETA DE SIMSON-WALLACE 
 Se M, N e P são as interseções das perpendiculares traçadas de um ponto da circunferência 
circunscrita a um triângulo ABC aos seus lados, então M, N e P são colineares e pertencem à reta 
de Simson. 
 Demonstração: 
 Considere o triângulo ABC e Q um ponto do seu circuncírculo. Sejam M, N e P as 
perpendiculares aos lados AB, AC e BC, respectivamente.