Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-073-075

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 Como o quadrilátero 𝐵𝐷𝑀𝐶 é inscritível, então, se 𝐵�̂�𝑀 = 𝛼, temos 𝐵�̂�𝑀 = 180° − 𝛼. 
 
 Note que no ponto 𝐷, se 𝐵�̂�𝑀 = 180° − 𝛼, devemos ter 𝑀�̂�𝐹 = 𝛼. Como 𝐹�̂�𝑀 enxerga 
o mesmo segmento 𝐹𝑀̅̅̅̅̅, temos 𝐹�̂�𝑀 = 𝑀�̂�𝐹 = 𝛼. 
 
 No ponto 𝐸, sabendo que 𝐹�̂�𝑀 = 𝛼, então, 𝐴�̂�𝑀 = 180° − 𝛼. 
 
 
 
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 Perceba que no quadrilátero 𝐴𝐸𝑀𝐶, temos 𝐴�̂�𝑀 +𝑀�̂�𝐴 = 180° − 𝛼 + 𝛼 = 180°. Assim, 
os ângulos opostos desse quadrilátero são suplementares, logo, ele é inscritível. Portanto, o ponto 
𝑀 pertence ao circuncírculo do Δ𝐴𝐸𝐶. 
 
 Analogamente, podemos provar que 𝑀 também pertence ao circuncírculo do Δ𝐴𝐵𝐹. 
 
 
 
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4.5. CIRCUNFERÊNCIA DE 9 PONTOS 
 Os pés das três alturas de um triângulo, os pontos médios dos três lados e os pontos médios 
dos segmentos que ligam os vértices ao ortocentro pertencem a uma mesma circunferência 
chamada Circunferência dos 9 pontos. 
 
 Elementos: 
• 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são os vértices do triângulo; 
• 𝐻𝐴, 𝐻𝐵 e 𝐻𝐶 são os pés das alturas; 
• 𝐻 é o ortocentro;