Aula_03_-_Geometria_Plana_IV_-_CN_2024-058-060

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 03 – GEOMETRIA PLANA IV 
 
 
 Vamos calcular as áreas dos triângulos: 
{
Δ𝐴𝐵𝑀 ⇒
𝑥 ⋅ ℎ𝐴
2
= 84 + 𝑆1 + 40
Δ𝐴𝑀𝐶 ⇒
𝑦 ⋅ ℎ𝐴
2
= 𝑆2 + 35 + 30
 
 Dividindo as duas equações: 
𝑥
𝑦
=
𝑆1 + 124
𝑆2 + 65
 
{
Δ𝐵𝑃𝑀 ⇒
𝑥 ⋅ ℎ𝑝
2
= 40
Δ𝑀𝑃𝐶 ⇒
𝑦 ⋅ ℎ𝑃
2
= 30
⇒
𝑥
𝑦
=
40
30
 
 Igualando as equações: 
𝑆1 + 124
𝑆2 + 65
=
40
30
⇒
𝑆1 + 124
𝑆2 + 65
=
4
3
⇒ 3𝑆1 + 372 = 4𝑆2 + 260 ⇒ 4𝑆2 − 3𝑆1 = 112 (𝐼) 
 Analogamente, os triângulos 𝐴𝐵𝑁 e 𝐵𝑁𝐶 possuem mesma altura em relação ao lado 𝐴𝐶, 
então, temos: 
𝑆1 + 84 + 𝑆2
40 + 30 + 35
=
𝑆2
35
⇒ 35𝑆1 + 84 ⋅ 35 + 35𝑆2 = 105𝑆2 
𝑆1 + 84 + 𝑆2 = 3𝑆2 ⇒ 2𝑆2 − 𝑆1 = 84 (𝐼𝐼) 
 Fazendo 2(𝐼𝐼) − (𝐼): 
4𝑆2 − 2𝑆1 − (4𝑆2 − 3𝑆1) = 168 − 112 ⇒ 𝑆1 = 56 
 Substituindo o valor de 𝑆1 em (𝐼𝐼): 
 
 
 
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2𝑆2 = 84 + 𝑆1 ⇒ 𝑆2 =
84 + 56
2
= 70 
 Portanto, a área total é dada por: 
𝑆𝐴𝐵𝐶 = 84 + 56 + 40 + 70 + 35 + 30 = 315 
Gabarito: 𝑺 = 𝟑𝟏𝟓 
 
3. ORTOEDRO 
 Um ortoedro é um paralelepípedo reto-retângulo. Ele é uma figura geométrica 
tridimensional que lembra uma caixa. Vamos estudar os elementos geométricos dele. 
 
 Os pontos A, B, C, D, ..., D' são chamados de vértices. 
 Os segmentos de retas AA', BB', ..., AB, BC, ..., etc... são chamados de arestas. 
 ABCD, A'B'C'D', ..., BB'C'C são chamados de faces. Essas faces são retângulos. Note que no 
ortoedro temos pares de faces congruentes: 𝐴𝐵𝐶𝐷 ≡ 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′, 𝐴𝐵𝐵′𝐴′ ≡ 𝐷𝐶𝐶′𝐷′, 𝐵𝐵′𝐶′𝐶 ≡
𝐴𝐴′𝐷′𝐷. 
 No ortoedro temos 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. 
 Chamamos de ângulo diédrico o ângulo formado entre cada face. No caso do ortoedro, 
esse ângulo é sempre um ângulo reto. 
 Podemos calcular a diagonal do ortoedro usando a diagonal de uma face desse sólido. Para 
isso, basta usar o teorema de Pitágoras. Veja a figura: 
 
 
 
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 Analisando a face ABCD, temos o seguinte triângulo retângulo: 
 
𝑒 é chamado de diagonal de base. Pela figura, podemos ver que: 
Δ𝐴𝐵𝐷 ⇒ 𝑒2 = 𝑎2 + 𝑏2 
 Como as faces são perpendiculares entre si, temos que o triângulo DBD' é retângulo, logo: 
 
 
 
Δ𝐷𝐵𝐷′ ⇒ 𝑑2 = 𝑐2 + 𝑒2 = 𝑐2 + 𝑎2 + 𝑏2 
⇒ 𝑑 = √𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 
 𝑑 é a medida da diagonal do ortoedro.