Aula_02_-_Geometria_Plana_III_-_CN_2024-142-144

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 02 – GEOMETRIA PLANA III 
 
 Sejam 𝛼, 𝛽, 𝛾 e 𝛿 os ângulos internos do quadrilátero. Se 𝑘 é a constante de 
proporcionalidade, temos: 
𝛼 =
𝑘
2
, 𝛽 =
𝑘
3
, 𝛾 =
𝑘
4
, 𝛿 =
𝑘
5
. 
 A soma dos ângulos internos de um quadrilátero deve ser 360°: 
𝑘
2
+
𝑘
3
+
𝑘
4
+
𝑘
5
= 360° ⇒
30𝑘 + 20𝑘 + 15𝑘 + 12𝑘
60
= 360° ⇒
77𝑘
60
= 360° ∴ 𝑘 = (
360 ⋅ 60
77
)
o
 
 O maior ângulo interno é 
𝛼 =
𝑘
2
= (
180 ⋅ 60
77
)
o
≈ 140° 
Gabarito: “e”. 
65. (ESA/2010) 
A medida do raio de uma circunferência inscrita em um trapézio isósceles de bases 𝟏𝟔 e 𝟑𝟔 é um 
número 
a) primo 
b) par 
c) irracional 
d) múltiplo de 𝟓 
e) múltiplo de 𝟗 
Comentário: 
 
 
 
 
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 A fim de descobrir a medida 𝑟 do raio, calcularemos a medida da altura ℎ = 𝑀𝑁 = 𝐸𝐷 =
2𝑟. 
 Como 𝐴𝑀 e 𝐴𝑃 são tangentes à circunferência por um mesmo ponto 𝐴, temos que 𝐴𝑃 =
𝐴𝑀. 
 Pelo mesmo motivo, no ponto 𝐷, temos que 𝐷𝑃 = 𝐷𝑁. Logo, 
𝐴𝐷 = 𝐴𝑃 + 𝐷𝑃 = 𝐴𝑀 + 𝐷𝑁 =
1
2
𝐴𝐵 +
1
2
𝐷𝐶 =
1
2
(𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) =
1
2
(36 + 16) ∴ 𝐴𝐷 = 26. 
 Por outro lado, 
𝐴𝐸 = 𝐴𝑀 − 𝐸𝑀 = 𝐴𝑀 − 𝐷𝑁 =
1
2
𝐴𝐵 −
1
2
𝐷𝐶 =
1
2
(𝐴𝐵 − 𝐶𝐷) =
1
2
(36 − 16) ∴ 𝐴𝐸 = 10. 
 Pelo teorema de Pitágoras no ∆𝐴𝐵𝐸, temos: 
𝐴𝐷2 = 𝐴𝐸2 + 𝐸𝐷2 ⇒ 𝐸𝐷2 = 𝐴𝐷2 − 𝐴𝐸2 = 262 − 102 ∴ 𝐸𝐷 = 24. 
 Logo, 𝐸𝐷 = 2𝑟 = 24 ∴ 𝑟 = 12. Portanto, 𝑟 é par. 
Gabarito: “b”. 
66. (ESA/2009) 
Um triângulo 𝑨𝑬𝑼 está inscrito em uma circunferência de centro 𝑶, cujo raio possui a mesma 
medida do lado 𝑬𝑼. Determine a medida do ângulo 𝑨�̂�𝑼 em graus, sabendo que o lado 𝑨𝑼 é o 
maior lado do triângulo e tem como medida o produto entre a medida do lado 𝑬𝑼 e √𝟑. 
a) 𝟔𝟎° 
b) 𝟏𝟐𝟎° 
c) 𝟗𝟎° 
d) 𝟏𝟓𝟎° 
e) 𝟑𝟎° 
Comentário: 
 
 
 
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Prof. Victor So 
 
 
 
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 A figura acima encapsula os dados do enunciado. Percebemos, de imediato, a formação de 
um triângulo equilátero de lado 𝑟, o raio da circunferência. Portanto, temos que o ângulo 𝑂�̂�𝐸 =
60°. 
 Além disso, aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ∆𝑂𝑈𝐴, obtemos: 
𝑂𝐴2 = 𝐴𝑈2 + 𝑂𝑈2 − 2 ⋅ 𝐴𝑈 ⋅ 𝑂𝑈 ⋅ cos 𝑂�̂�𝐴 ⇒ 𝑟2 = (𝑟√3)
2
+ 𝑟2 − 2 ⋅ (𝑟√3) ⋅ 𝑟 ⋅ cos 𝑂�̂�𝐴 
⇒ 𝑟2 = 4𝑟2 − 2√3𝑟2 ⋅ cos 𝑂�̂�𝐴 ⇒ cos 𝑂�̂�𝐴 =
3
2√3
=
√3
2
∴ 𝑂�̂�𝐴 = 30° 
 Logo, 
𝐴�̂�𝐸 = 𝑂�̂�𝐸 − 𝑂�̂�𝐴 = 60° − 30° = 30°. 
 Assim, temos que os triângulos ∆𝑂𝑈𝐴 e ∆𝐸𝑈𝐴 são semelhantes pelo caso 𝐿𝐴𝐿, donde se 
conclui que 𝐸𝐴 = 𝑂𝐴 = 𝑟. Dai, temos que o triângulo ∆𝑂𝐸𝐴 também é equilátero e, portanto, 
temos que o ângulo pedido mede 
𝐴𝐸𝑈 = 𝐴�̂�𝑂 + 𝑂�̂�𝑈 = 60° + 60° = 120°. 
Gabarito: “b”. 
67. (ESA/2004) 
A partir de um ponto exterior a uma circunferência, é traçado um segmento secante de 32cm, que 
determina, nesta circunferência, uma corda de 30cm. Quando mede, em centímetros, o segmento 
tangente traçado do mesmo ponto?