Aula_01_-_Geometria_Plana_II_-_CN_2024-070-072

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Prof. Victor So 
 
 
 
AULA 01 – GEOMETRIA PLANA II 
 
 
 𝑅 é ponto de concorrência do triângulo 𝐴𝐵𝐶, assim, podemos usar o teorema de Ceva: 
𝐴𝑄
𝑄𝐶
∙
𝐶𝑃
𝑃𝐵
∙
𝐵𝑆
𝑆𝐴
= 1 
6
2
∙
2
4
∙
𝑥
10−𝑥
= 1 
3
2
∙
𝑥
10−𝑥
= 1 
3𝑥 = 20 − 2𝑥 
5𝑥 = 20 
∴ 𝑥 = 4 
 Como 𝑇 é prolongamento de 𝑃𝑄, temos que 𝑄, 𝑃, 𝑇 são colineares, logo, podemos 
aplicar o teorema de Menelaus: 
𝑇𝐵
𝑇𝐴
∙
𝐴𝑄
𝑄𝐶
∙
𝐶𝑃
𝑃𝐵
= 1 
𝑦
10+𝑦
∙
6
2
∙
2
4
= 1 
 
 
 
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𝑦
10+𝑦
∙
3
2
= 1 
3𝑦 = 20 + 2𝑦 
∴ 𝑦 = 20 
 Portanto, 𝑇𝑆 é dado por: 
𝑇𝑆 = 𝑥 + 𝑦 = 4 + 20 = 24 
Gabarito: 𝑻𝑺 = 𝟐𝟒 
 
6. TRIÂNGULO RETÂNGULO 
6.1. PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
A hipotenusa de um triângulo retângulo inscrito em uma circunferência possui medida 
igual ao diâmetro da circunferência. 
 
Demonstração: 
Vimos no tópico de arco capaz que  = 𝐵�̂�/2. Desse modo: 
𝐵�̂� = 2Â 
𝐵�̂� = 180° 
Assim, o segmento 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ é a diagonal da circunferência. O centro dessa circunferência é o 
ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo: 
 
 
 
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⇒ 𝑎 = 2𝑅 
Para uma circunferência inscrita em um triângulo retângulo, temos: 
 
𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 são os pontos de tangência da circunferência inscrita. Vimos no tópico de incentro 
que esses pontos de tangência possuem a seguinte relação: 
𝐵𝑇1 = 𝐵𝑇3 
𝐴𝑇2 = 𝐴𝑇3 
𝐶𝑇1 = 𝐶𝑇2 
Observando a figura, podemos ver que: 
𝑎 = 𝑐 − 𝑟 + 𝑏 − 𝑟 
𝑎 + 2𝑟 = 𝑏 + 𝑐