Tópicos de Física 1 - Parte 1-190-192

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188 UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
 9. Dois ciclistas A e B percorrem determinada pis-
ta circular de raio R 5 100 m, no mesmo sentido, 
com velocidades escalares constantes, respec-
tivamente iguais a vA 5 8,0 m/s e vB 5 5,0 m/s. 
Num determinado instante, o ciclista A ultrapas-
sa o ciclista B diante de um marco M fixo na 
pista. Adotando-se π 5 3, pergunta-se:
a) De quanto em quanto tempo A acrescen-
tará uma volta a mais de vantagem em 
relação a B?
b) De quanto em quanto tempo A ultrapassará 
B diante do marco M?
Resolução: 
a) Recomendamos raciocinar-se em termos 
de velocidade escalar relativa:
 v
s
trel
rel5
D
D
 ⇒ v v
s
tA B
rel
1
2 5
D
D
 Nesse caso, tudo se passa como se o ci-
clista B permanecesse em repouso e só o 
ciclista A se movimentasse com a veloci-
dade escalar relativa.
 Dessa forma, A acrescentará uma volta a 
mais de vantagem em relação a B quando 
o deslocamento escalar relativo for 
Dsrel 5 2πR
Logo:
 2 5
D
π
v v
2 R
tA B
rel
1
 8,0 5,0
2 3 100
t1
2 5
? ?
D
 ⇒ 3,0
600
t1
5
D
E.R.
 Da qual:
Dt1 5 200 s 5 3 min 20 s
b) (I) Cálculo dos períodos TA e TB dos movi-
mentos circulares e uniformes dos ci-
clistas A e B:
v
s
t
5
D
D
 ⇒ 5
π
v
2 R
T
5
π
T
2 R
v
5
? ?
T
2 3 100
8,0A
 [ TA 5 75 s
5
? ?
T
2 3 100
5,0B
 [ TB 5 120 s
 (II) Para que A ultrapasse B diante do marco 
M, os dois ciclistas deverão dar números 
inteiros de voltas.
 Isso significa que o intervalo de tem-
po procurado, Dt2, será um múltiplo 
(inteiro) de TA e TB. O mínimo múltiplo 
comum (m.m.c.) entre TA 5 75 s e 
TB 5 120 s é:
Dt2 5 600 s 5 10 min
 Nesse caso, A dá oito voltas na pista, 
enquanto B dá apenas cinco voltas.
Admita que os ponteiros dos relógios da Elizabeth 
Tower trabalhem sincronizados, realizando rotação 
uniforme. Supondo-se que os ponteiros dos minu-
tos tenham o dobro do comprimento dos ponteiros 
das horas e que todos os ponteiros estejam per-
feitamente superpostos às 12 h, determine:
a) a razão entre os módulos das velocidades es-
calares lineares das extremidades dos ponteiros 
dos minutos e das horas;
b) os instantes t, em horas, nos quais os ponteiros 
dos minutos ficam perfeitamente superpostos com 
os ponteiros das horas no intervalo de t0 5 0 
a t1 5 12 h;
c) o horário (em horas, minutos e segundos) em 
que os ponteiros dos minutos se superpõem com 
os das horas pela terceira vez depois das 12 h.
 10. Dois atletas, A e B, estão correndo em uma 
mesma pista circular com velocidades escala-
res constantes, porém em sentidos opostos. 
Verifica-se que o atleta A dá seis voltas na pis-
ta em 24 min, enquanto o atleta B, nesse mes-
mo intervalo de tempo, realiza apenas quatro 
voltas.
Se num determinado instante t0 5 0, A passa por 
B em determinado ponto da pista, pergunta-se:
a) Em que instante t1 A e B estarão, pela primei-
ra vez, em posições diametralmente opostas 
na trajetória?
b) Em que instante t2 A cruzará pela primeira vez 
com B na mesma posição da pista em que es-
ses atletas se encontravam em t0 5 0?
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189TÓPICO 5 | MOVIMENTOS CIRCULARES
8. Associações de polias e engrenagens
Polias e engrenagens comparecem isoladas ou associadas 
em inúmeros mecanismos, desde os mais delicados até aqueles 
de grande porte. É o que se verifica em relógios mecânicos, 
molinetes e carretilhas de pesca, moendas, trituradores, bici-
cletas, motocicletas, motores de veículos automotivos, caixas 
de câmbio, etc.
 Essas rodas dentadas – engrenagens – transmitem umas às 
outras movimento de rotação. Nesta imagem, podem-se 
notar duas engrenagens ligadas a um mesmo eixo, 
acopladas a outras por contato direto.
Mesmo eixo
Na situação esquematizada ao lado, têm-se duas engrenagens – uma verde e 
uma azul – rigidamente fixadas a um mesmo eixo, que provoca rotação uniforme 
no sistema.
Nesse caso, é importante notar que cada giro do eixo também imprime um giro 
completo a cada uma das engrenagens. Isso significa que os intervalos de tempo 
gastos pelas engrenagens em uma revolução é o mesmo, o que implica o mesmo 
período de rotação:
Tverde 5 Tazul
Essa conclusão abrange também a frequência, f, e a velocidade 
escalar angular, v.
f 1
T
5 ⇒ fverde 5 fazul
v 5
π2
T
 ⇒ vverde 5 vazul
As velocidades escalares lineares dos pontos periféricos das engrenagens, v, 
no entanto, são diferentes. Sendo a velocidade escalar angular constante, os 
valores de v crescem na proporção direta dos respectivos raios das trajetórias, 
segundo a expressão:
v 5 vR
No caso, tem-se, do esquema, que Rverde . Razul, logo:
vverde . vazul
Contato direto ou conexão por correias ou correntes
Nas associações representadas a seguir, há duas polias (ou engrenagens) A e B, 
de raios RA e RB, que operam em rotação uniforme, sem escorregamento, com 
velocidades escalares lineares em seus pontos periféricos de módulos vA e vB, 
frequências fA e fB, períodos TA e TB e velocidades escalares angulares de módulos 
vA e vB, respectivamente.
v
v
azul
v
verde
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Bloco 2
J
a
v
ie
r 
L
a
rr
e
a
/G
ru
p
o
 K
e
y
s
to
n
e
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190 UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
 Figura 1: polias em contato direto.
Essas duas situações têm grande equivalência conceitual.
Veja que, em ambos os casos, durante um mesmo intervalo de tempo, um 
ponto periférico na polia A sofre um deslocamento escalar linear de mesmo mó-
dulo que o sofrido por um ponto periférico na polia B. Afinal, na figura 1, um 
ponto (ou dente) “empurra” o outro sem escorregamento e na figura 2, a correia 
imprime o mesmo módulo de variação de espaço linear a todos os pontos (ou 
dentes) periféricos com quem estabelece contato.
Isso significa que:
s
t
s
t
A BD
D
5
D
D
 ⇒ vA 5 vB
As velocidades escalares lineares dos pontos periféricos das polias têm o 
mesmo módulo.
 Figura 2: polias acopladas por correias
Ds
A
R
A
R
B
A
Ds
B
B
Ds
A
R
A
A RB
B
Ds
B
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
Depreende-se dessa conclusão que:
vA 5 vB ⇒ 2π RA fA 5 2π RB fB ⇒ 
f
f
R
R
A
B
B
A
5
Decorre também desse estudo que:
f
f
R
R
A
B
B
A
5 ⇒ 
1
T
1
T
R
R
A
B
B
A
5 ⇒ 
T
T
R
R
B
A
B
A
5
As frequências guardam proporção inversa em relação aos respectivos raios.
v
A
 5 vB ⇒ vA RA 5 vB RB ⇒ 
R
R
A
B
B
A
v
v
5
Os períodos guardam proporção direta em relação aos respectivos raios.
As velocidades escalares angulares guardam proporção inversa em relação 
aos respectivos raios.
Na figura 1, as polias giram em contato direto, apresentando rotações em 
sentidos opostos.
Já na figura 2, as polias giram no mesmo sentido, acionadas por uma correia 
devidamente tracionada.
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