Matemática - Livro 4-187-189

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reais correspondentes (dic. Michaelis). A escala que uso preferencialmente é 1:25. O que significa que a miniatura será 25
vezes menor que o objeto real usado como modelo. Então, basta dividir cada medida de uma peça ou do modelo inteiro
por 25 e obter-se-á a medida a ser usada na miniatura. Na escala 1:10 será dividido por 10 e assim por diante. Depois de
trabalhado o desenho no computador (muitas vezes uso o próprio Paint), a impressão deve ser feita, preferencialmente, com
uma impressora a laser, já que o resultado impresso tem de ser o mais fiel possível ao desenho apresentado na tela do com-
putador. Uma impressora a jato de tinta bem calibrada também produz bons resultados. O ponto mais crítico da impressão
do modelo em escala é exatamente a obtenção das medidas correspondentes, ou seja, uma coisa é o que aparece na tela,
outra coisa é o que sai da impressora. […]
GOUVEIA, Ivan. “Fazendo miniatura de caminhão para trazer uma carga de boas recordações!”. Ocina Aberta.
Disponível em: <www.ocinaaberta.com.br/modelismo/montagem/como.asp>. Acesso em: 26 abr. 2019.
Sólidos semelhantes
• Razão entre comprimentos: =k
h
h
1
2
• Razão entre as áreas: =k
A
B
2
• Razão entre volumes: =k
V
V
3 1
2
h
2
h
1
V
Cone 2
Tronco
α
h
2
h
• Volume do tronco de pirâmide: ( )= + + ⋅V h
3
A B A B • Volume do tronco de cone: =
π
+ + ⋅V
h
3
(R r R r)
2 2
Resumindo
Quer saber mais?
• Maquetes de edifícios conhecidos
<https://www.youtube.com/watch?v=bJ-PJdNqRV0>.
• Bastidores Cinemark – Projeção do cinema
<https://www.youtube.com/watch?v=Sp5jPj5vz2k>.
• Como funcionam os projetores de cinema – parte 1
<https://www.youtube.com/watch?v=qcP4a3d9UXA>.
Vídeos
• IAE conta com o maior túnel de vento da América Latina
<https://www.youtube.com/watch?v=bnHL3paz7GE>.
• SCBR “Making of” do modelo de túnel de vento do Embraer KC 390
<https://www.youtube.com/watch?v=fve4Sozt5-s>.
MATEMÁTICA Capítulo 16 Troncos188
1 UFF Considere um cone equilátero de raio r e volume V.
Seccionou-se esse cone a uma distância h do seu
vértice por um plano paralelo à sua base; obteve-se,
assim, um novo cone de volume V
2
.
Expresse h em termos de r.
2 Fuvest As bases de um tronco de cone circular reto
são círculos de raio 6 cm e 3 cm. Sabendo-se que a
área lateral do tronco é igual à soma das áreas das
bases, calcule:
a) a altura do tronco de cone.
) o volume do tronco de cone.
3 UFMG Uma pirâmide regular tem altura 6 e lado da
base quadrada igual a 4. Ela deve ser cortada por um
plano paralelo à base, a uma distância d dessa base,
de forma que determine dois sólidos de mesmo volu-
me. A distância d deve ser:
A −6 3 23
b −



3 3
4
2
3
C −6 3 43
D −6 2 23
4 UEPG 2017 Numa pirâmide quadrangular regular P1,
uma diagonal da base mede 12 cm e uma aresta la-
teral vale 10 cm. Essa pirâmide é seccionada por um
plano paralelo a sua base, originando um tronco T
e uma nova pirâmide P2, de aresta da base igual a
3 2
2
 cm. Nesse contexto, assinale o que for correto.
01 A aresta lateral de P2 é menor que 3 cm.
02 A razão entre a altura de P1 e a altura de T é 2.
04 O volume de T é igual a 189 cm3.
08 A razão entre o volume de P1 e o volume de P2 é 64.
16 O volume de P2 vale 3 cm
3.
Soma:
5 Unesp 2017 Um cone circular reto de geratriz medindo
12 cm e raio da base medindo 4 cm foi seccionado por
um plano paralelo à sua base, gerando um tronco de
cone, como mostra a figura 1. A figura 2 mostra a pla-
nificação da superfície lateral S desse tronco de cone,
obtido após a secção.
Calcule a área e o perímetro da superfície S. Calcule o
volume do tronco de cone indicado na gura 1.
6 Uema 2016 Os copos de refrigerante de uma determi
nada cadeia de fast food têm capacidades de 300, 500
e 700 mL, respectivamente. Esses são confeccionados
em material plástico no formato de tronco de cone.
a) Supondo que todos os copos tenham as mesmas
dimensões de base, quais seriam as relações en
tre as suas alturas?
) Suponha que se quisesse substituir um desses co
pos por outro, em formato cilíndrico e de mesmo
volume. Esse copo teria a mesma altura e o seu
diâmetro seria o dobro da base menor do copo ori
ginal. Nessas condições, qual a proporção entre os
raios da base menor e da base maior do copo atual?
7 Unesp 2014 A imagem mostra uma taça e um copo.
A forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro
de altura e raio medindo R e de um tronco de cone de
altura R e raios das bases medindo R e r. A forma
do copo é, aproximadamente, de um tronco de
cone de altura 3R e raios das bases medindo R e 2r.
Sabendo que o volume de um tronco de cone de altu-
ra h e o raio das bases B e b é ⋅ π ⋅ ⋅ + ⋅ +
1
3
h (B B b b )
2 2
e dado que ≅65 8, determine o raio aproximado da
base do copo, em função de R, para que a capacidade
da taça seja 2
3
 da capacidade do copo.
8 Fuvest Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D,
E, F, G, H tem lado l. Os pontos M e N são pontos mé-
dios das arestas AB e BC, respectivamente. Calcule a
área da superfície do tronco de pirâmide de vértices
M, B, N, E, F, G.
Exercícios complementares
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N
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 3
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9 Unicamp Uma caixa-d’água tem o formato de um tron-
co de pirâmide de bases quadradas e paralelas, como
mostra a figura, na qual são apresentadas as medidas
referentes ao interior da caixa.
a) Qual o volume total da caixa-d’água?
) Se a caixa contém




13
6
 m3 de água, a que altura
de sua base está o nível d’água?
10 ITA 2018 A aresta lateral de uma pirâmide reta de base
quadrada mede 13 cm e a área do círculo inscrito na
base mede
π25
2
 cm
2. Dois planos, p1 e p2, paralelos à
base, decompõem a pirâmide em três sólidos de mes
mo volume. Determine a altura de cada um desses
sólidos.
11 UFMG 2012 Um funil é formado por um tronco de cone
e um cilindro circular retos, como representado na fi-
gura abaixo.
Sabe-se que g = 8 cm, R = 5 cm, r = 1 cm e =h 4 3 cm.
Considerando essas informações,
a) Calcule o volume do tronco de cone, ou seja, do
corpo do funil.
) Calcule o volume total do funil.
c) Suponha que o funil, inicialmente vazio, começa a
receber água a 127 ml/s. Sabendo que a vazão do
funil é de 42 ml/s, calcule quantos segundos são
necessários para que o funil fique cheio.
12 ITA 2019 Os volumes de um tronco de cone, de uma
esfera de raio 5 cm e de um cilindro de altura 11 cm
formam nessa ordem uma progressão aritmética. O
tronco de cone é obtido por rotação de um trapézio
retângulo, de altura 4 cm e bases medindo 5 cm e
9 cm, em torno de uma reta passando pelo lado de
menor medida. Então, o raio da base do cilindro é,
em cm, igual a
A 2 2.
b 2 3 .
C 4.
D 2 5.
E 2 6.
13 ITA 2014 Considere o sólido de revolução obtido
pela rotação de um triângulo isósceles ABC em torno
de uma reta paralela à base BC que dista 0,25 cm do
vértice A e 0,75 cm da base BC. Se o lado AB mede
π +
π
1
2
2
 cm, o volume desse sólido, em cm3, é igual a
A 9
16
.
b 13
96
.
C 7
24
.
D 9
24
.
E 11
96
.
14 ITA 2012 Um cone circular reto de altura 1 cm e gera-
triz 2 3
3
 cm é interceptado por um plano paralelo à sua
base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para
que este novo cone tenha o mesmo volume de um cubo
de aresta
π


243
1
3
 cm, é necessário que a distância do
plano à base do cone original seja, em cm, igual a
A 1
4
.
b 1
3
.
C 1
2
.
D 2
3
.
E 3
4
.
15 Unicamp Uma pirâmide regular, de base quadrada,
tem altura igual a 20 cm. Sobre a base dessa pirâmide
constrói-se um cubo de modo que a face oposta à
base do cubo corte a pirâmide em um quadrado de
lado igual a 5 cm. Faça uma figura representativa des-
sa situação e calcule o volume do cubo.
16 ITA Considere uma pirâmide regular de base hexago-
nal, cujo apótema da base mede 3 cm. Secciona-se
a pirâmide por um plano paralelo à base, obtendo-se
um tronco de volume igual a 1 cm3 e uma nova pirâmi-
de. Dado que a razão entre as alturas das pirâmides é
1
2
, a altura do tronco, em centímetros, é igual a
A
−6 2
4
.
b
−6 3
3
.
C
−33 6
21
.
D
−3 2 2 3
6
.
E
2 6 2
22
.