Matemática - Livro 4-139-141

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F
R
E
N
T
E
 3
139
O volume de uma cunha esférica é diretamente pro-
porcional à medida θ de seu diedro.
Assim, com θ em graus, encontramos:
=
θ
=
θ
⋅
=
θ
⋅
π
V
V 360
V
360
V
V
360
4 R
3
cunha
esfera
o
cunha o esfera
cunha o
3
=
θπ
V
R
270
cunha
3
o
Com o ângulo, de medida θ, em radianos, temos:
=
θ
π
=
θ
π
⋅
=
θ
π
⋅
π
V
V 2
V
2
V
V
2
4 R
3
cunha
esfera
cunha esfera
cunha
3
= θV
2
3
R
cunha
3
O
R
R
θ
Cada cunha esférica é dotada de três superfícies:
duas delas planas e equivalentes a semicircunferências
de raio R, e uma curva, que é parte da superfície da
esfera secionada.
A superfície curva de uma cunha esférica é denominada
fuso esférico, e sua área é diretamente proporcional à me-
dida θ de seu diedro.
Assim, com θ em graus, temos:
=
θ
=
θ
⋅
=
θ
⋅ π
A
A 360
A
360
A
A
360
4 R
fuso
esfera
o
fuso o esfera
fuso o
2
=
θπ
A
R
90
fuso
2
o
Com o ângulo, de medida θ, em radianos, obtemos:
=
θ
π
=
θ
π
⋅
=
θ
π
⋅ π
A
A 2
A
2
A
A
2
4 R
fuso
esfera
fuso esfera
fuso
2
Afuso = 2θR
2
O
R
R
θ
A área de toda a superfície de uma cunha esférica
equivale à soma das áreas de suas duas faces planas e
semicirculares com a área de seu fuso esférico:
= ⋅
π ⋅
+ θ ⋅A 2
R
2
2 R
cunha
2
2
Acunha = (π + 2θ) ⋅ R
2
Exercícios resolvidos
13 Qual o volume aproximado de uma cunha com 80o de
uma esfera de raio 9 cm? Use π ≅ 3,14.
A 680 cm3.
b 710 cm3.
C 750 cm3.
d 780 cm3.
E 810 cm3.
Resolução:
Solução 1
O volume de toda a esfera é:
=
π
=
π ⋅
= πV
4 R
3
4 9
3
972 cm
esfera
3 3
3
Logo:
= ⇒ = ⋅ π = π ≅
V
V
80
360
V
2
9
972 216 678 cm
cunha
esfera
o
o cunha
3
MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas140
Solução 2
Determinando o valor de θ, em radianos, temos:




π
θ
⇒θ =
π
=
π180 rad
 80 rad
80
180
4
9
Da fórmula do volume da cunha, obtemos:
= θ = ⋅
π
⋅ = π ⋅ = π ≅V
2
3
R
2
3
4
9
9 8 27 216 678 cm
cunha
3 3 3
Alternativa: A
14 Qual o valor do raio de uma cunha esférica de 90o
cuja área total é igual a 32π?
A 1
b 2
C 3
d 4
E 5
Resolução:
Como 90o equivalem a
π
2
 radianos, da expressão para
a área da cunha, obtemos:
= π + θ ⋅ ⇒ π = π + ⋅ π




⋅ ⇔
⇔ π = π ⋅ ⇔ =
A ( 2 ) R 32 2
2
R
32 2 R R 16
cunha
2 2
2 2
Como R > 0, temos que R = 4.
Alternativa: D
Inscrições e circunscrições
Esferas e outros sólidos geométricos podem estabe-
lecer relações de inscrição e circunscrição de acordo com
algumas normas. Em todos os casos:
• se um sólido está inscrito em uma esfera, então a es-
fera está circunscrita ao sólido;
• se uma esfera está inscrita em um sólido, então o sóli-
do está circunscrito à esfera.
Um poliedro está inscrito em uma esfera se, e somente
se, todos os vértices do poliedro pertencerem à superfície
da esfera. Uma esfera está inscrita em um poliedro se, e
somente se, a superfície da esfera tangencia todas as faces
do poliedro.
Todos os poliedros regulares – tetraedros, hexaedros,
octaedros, dodecaedros e icosaedros – são inscritíveis e
circunscritíveis em/a esferas de mesmo centro.
Cilindros estão inscritos em esferas quando as circun-
ferências de suas bases estão contidas na superfície da
esfera. Esferas estão inscritas em cilindros quando a super-
fície da esfera tangencia as três superfícies do cilindro. Para
que isso ocorra, o cilindro deve ser equilátero.
Cones estão inscritos em esferas quando seu vértice
e todos os pontos da circunferência de sua base per-
tencem à superfície da esfera. Esferas estão inscritas em
cones quando a superfície da esfera tangencia as duas
superfícies do cone.
Paralelepípedos retangulares, prismas regulares e
cilindros de revolução são inscritíveis em esferas, mas
não necessariamente existem esferas às quais sejam cir
cunscritíveis.
Pirâmides regulares e cones de revolução são inscrití-
veis e circunscritíveis em/a esferas.
Nos exemplos a seguir, indicaremos por r a medida
do raio das esferas inscritas e por R a medida do raio das
esferas circunscritas aos demais sólidos.
Esfera inscrita no cubo
Quando uma esfera está inscrita em um cubo, o diâ-
metro da esfera tem a mesma medida que a aresta do
cubo, pois a sua superfície tangencia as seis faces qua-
dradas do cubo em seus respectivos centros, localizados
na interseção de suas diagonais.
2r
a
Sendo r a medida do raio da esfera e a medida da
aresta do cubo circunscrito, temos:
Diâmetro da esfera = Aresta do cubo
2r = a
=r
a
2
Esfera circunscrita ao cubo
Quando uma esfera circunscreve um cubo, o diâmetro
desta tem a mesma medida da diagonal do cubo, pois o
centro deste, que é o ponto de interseção de suas dia
gonais interiores, coincide com o centro da esfera. Assim,
o raio da esfera deve medir o mesmo que a distância do
centro do cubo a um de seus vértices.
R
R
a
F
R
E
N
T
E
 3
141
Sendo R a medida do raio da esfera e a a medida da
aresta do cubo inscrito, obtemos:
=
=
Diâmetro da esfera Diagonal do cubo
2R a 3
=R
a 3
2
Esfera circunscrita ao paralelepípedo
Quando uma esfera circunscreve um paralelepípedo
retangular e reto, o diâmetro da esfera tem a mesma me
dida que a diagonal do paralelepípedo.
Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo inscrito
em uma esfera de raio R, temos:
Diâmetro da esfera = Diagonal do paralelepípedo
= + +2R a b c
2 2 2
Esfera circunscrita ao cilindro
Quando uma esfera circunscreve um cilindro de revo-
lução, o diâmetro da esfera tem a mesma medida que a
diagonal de uma seção meridiana do cilindro, pois toda seção
meridiana do cilindro também será seção meridiana da esfera.
CD
B
h
A
Se um retângulo ABCD for seção meridiana do cilin-
dro, então sua diagonal AC, por exemplo, será diâmetro da
esfera. Assim, do teorema de Pitágoras no triângulo ABC,
temos que:
AC2 = AB2 + BC2
Desse modo, como AB é diâmetro da base e BC é
altura do cilindro:
(2R)2 = (2r)2 + h2
4R2 = 4r2 + h2
=
+
R
4r h
4
2
2 2
=
+
R
4r h
2
2 2
Esfera inscrita no cone
Quando uma esfera está inscrita em um cone de re-
volução, ela tangencia cada geratriz do cone, além de
tangenciar a base do cone exatamente no centro dessa
base, e a distância entre os centros mencionados mede o
mesmo que o raio da esfera.
Sendo O' o centro da base de um cone de vértice V
circunscrito a uma esfera de centro O, temos que o ponto
O pertence ao segmento VO', que é a altura do cone.
h
V
g
T
A
RO'
Então, considerando A um ponto da circunferência da
base do cone e T o ponto da geratriz VA onde ocorre a
tangência da superfície esférica com a superfície lateral
do cone, os triângulos VOT e VAO' são semelhantes, pois
possuem ângulos retos de vértices T e O', bem como o
ângulo interno de vértice V em comum.
Dessa semelhança, vem que:
= =
VO
VA
OT
AO'
VT
VO'
Não havendo interesse na medida do segmento VT,
descartamos a última fração dessa sentença, restando os
segmentos que medem:
• a diferença entre a altura do cone e o raio da esfera
inscrita: VO = h – r;
• um raio da esfera inscrita: OT = r;
• uma geratriz do cone: VA = g;
• um raio da base do cone: AO' = R.