Matemática - Livro 4-136-138

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MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas136
Esferas
Os próximos corpos redondos que estudaremos com
maior profundidade são as esferas, que dão forma a inúme-
ros objetos manufaturados pelo homem, além de servirem
como modelo para estudos do comportamento físico dos
universos microscópico e macroscópico.
P
e
d
ro
_
T
u
rr
in
i/
iS
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
to
c
k
p
h
o
to
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o
m
S
la
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S
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S
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k
p
h
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m
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-u
k
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b
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S
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p
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M
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 K
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b
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S
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
B
la
c
k
J
a
c
k
3
D
/i
S
to
c
k
p
h
o
to
.c
o
m
Formalmente, podemos definir uma esfera da seguinte
maneira:
“Sejam O um ponto do espaço e R uma distância defi-
nida. Chamamos de esfera o conjunto formado por todos
os pontos do espaço cujas distâncias até o ponto O sejam
menores ou iguais a R.”
E
F
Na figura da esfera, os elementos em destaque são:
• o centro da esfera, que é o ponto O;
• três eixos da esfera, que são as retas
� 
OD,
� 
OE e
� 
OF,
perpendiculares duas a duas;
• três círculos máximos da esfera, situados em planos
perpendiculares dois a dois;
• um ponto D da região interior da esfera;
• um ponto E da superfície da esfera;
• um ponto F da região exterior à esfera.
É importante observar que R não é o representante
de determinado segmento de reta, mas de um valor nu-
mérico, que é o comprimento definido como distância ao
centro da esfera. Assim, em relação aos pontos destacados
na figura:
• Distância (D, O) < R
• Distância (E, O) = R
• Distância (F, O) > R
O comprimento R que define a esfera é denominado
raio da esfera. Assim, dizemos que a figura representa uma
esfera de centro O e raio R.
Os círculos máximos de uma esfera também recebem
o nome de meridianos da esfera.
Todo círculo máximo de uma esfera tem o mesmo cen-
tro que a esfera.
Chamamos de diâmetro da esfera qualquer segmento
de reta cujas extremidades são os pontos de interseção de
dois meridianos da esfera.
Os diâmetros da esfera medem 2R, e o centro da esfera
pertence a todos eles.
A descoberta de Arquimedes
Arquimedes de Siracusa foi um grande pensador da
Antiguidade, e seus experimentos contribuíram muito tanto
para os estudos da Matemática quanto para os da Física.
Uma das conclusões mais impressionantes que tirou des-
ses experimentos foi a relação entre volumes e áreas de
duas formas geométricas em particular: a esfera e o cilindro
equilátero.
Suas descobertas sobre a métrica desses corpos
redondos só foram demonstradas muito posteriormente,
quando o conhecimento matemático já incorporava o cál-
culo diferencial e integral, de modo que Arquimedes pode
ser considerado um precursor dessa ciência.
h = 2R
De acordo com os experimentos de Arquimedes, se
um cilindro equilátero e uma esfera têm o mesmo raio R,
então a área da superfície total do cilindro é 50% maior
que a área da superfície esférica. O mais impressionante
é que, nessas condições, o volume do cilindro também é
50% maior que o volume da esfera.
= =
Superfície do cilindro
Superfície da esfera
Volume do cilindro
Volume da esfera
1,5
Superfície esférica
Vamos usar a relação de Arquimedes com o objetivo de
deduzir uma expressão para a área da superfície esférica.
F
R
E
N
T
E
 3
137
A área total de um cilindro de revolução é composta das
áreas de sua superfície lateral e de suas duas bases circu-
lares. Assim, sendo R e h as medidas do raio e da altura do
cilindro, temos:
• Alateral = 2πRh
• Abase = πR
2
• Atotal = Alateral + 2 ⋅ Abase = 2πRh + 2πR
2 = 2πR(h + R)
Como se trata de um cilindro equilátero, h = 2R. Portanto:
• Atotal = 2πR(2R + R) = 2πR ⋅ 3R = 6πR
2
Então, da relação de Arquimedes para as áreas da su-
perfície esférica e do cilindro equilátero, obtemos:
=
π
=
⋅ = π
Área do cilindro equilátero
Área da superfície esférica
1,5
6 R
Área da superfície esférica
3
2
3 (Área da superfície esférica) 12 R
2
2
Área da superfície esférica = 4πR2
Exercício resolvido
8 Qual a área aproximada da superfície de uma esfera
com 80 cm de diâmetro?
A 1,8 m2.
b 1,9 m2.
C 2,0 m2.
d 2,1 m2.
E 2,2 m2.
Resolução:
Do diâmetro da esfera, obtemos 2R = 80 cm ⇔ R = 40 cm.
Assim, o valor exato de sua área é:
A = 4πR2 = 4π ⋅ 402 = 6 400π cm2
Convertendo a unidade, encontramos:
A = 6 400π ⋅ (10 2 m)2 = 6 400 ⋅ 10–4π m2 = 0,64π m2
Com π = 3,14, temos o valor aproximado A ≅ 0,64 ⋅ 3,14 ≅
≅ 2,0096 m2.
Alternativa: C
Volume da esfera
Também vamos utilizar a relação de Arquimedes a fim
de deduzir uma expressão para o volume da esfera.
O volume de um cilindro de revolução de raio R e altura
h é dado por:
• Vcilindro = πR
2h
Como se trata de um cilindro equilátero, h = 2R. Logo:
• Vcilindro = πR
2 ⋅ (2R) = 2πR3
Então, da relação de Arquimedes para os volumes da
esfera e do cilindro equilátero, temos que:
=
π
=
⋅ = π
Volume do cilindro equilátero
Volume da esfera
1,5
2 R
Volume da esfera
3
2
3 (Volume da esfera) 4 R
3
3
=
π
Volume da esfera
4 R
3
3
Exercícios resolvidos
9 Calcule o volume de uma esfera sabendo que sua su-
perfície tem uma área de 324π cm2.
A 243π cm3.
b 297π cm3.
C 423π cm3.
d 792π cm3.
E 972π cm3.
Resolução:
Da área da superfície, obtemos 4πR2 = 324π ⇔ R2 = 81.
Portanto, R = 9 e o volume dessa esfera, em cm3, é:
=
π
=
π ⋅
=
π ⋅
= π ⋅ = πV
4 R
3
4 9
3
4 729
3
4 243 972
3 3
Alternativa: E
10 Qual o número inteiro que mais se aproxima da medi-
da, em centímetros, do raio interno de um recipiente
esférico com capacidade de 1 litro? Utilize π ≅ 3.
A 2
b 3
C 4
d 5
E 6
Resolução:
Como 1 litro equivale a 1 000 cm
3, sendo R a medi-
da, em centímetros, do raio dessa esfera, obtemos
4 R
3
1000
3
π
= .
Com π ≅ 3, temos que, aproximadamente,
4R 1000 R 250 R 250
3 3 3
≅ ⇔ ≅ ⇔ ≅
Então, como < <216 250 3433 3 3 , temos que R satis-
faz 6 < R < 7, sendo 6 o inteiro que mais se aproxima
da medida do raio.
Alternativa: E
Seção meridiana da esfera
Qualquer reta que passe pelo centro de uma esfera é
também um eixo dela. Dessa forma, qualquer plano que pas-
se pelo centro da esfera promove nela uma seção meridiana.
A circunferência de uma seção meridiana da esfera é
chamada de meridiano da esfera.
E
R
O
A área da seção meridiana de uma esfera de raio R é
igual a πR2.
O comprimento dos meridianos de uma esfera de raio
R é igual a 2πR.
MATEMÁTICA Capítulo 15 Cones e esferas138
Hemisférios
Toda seção meridiana de uma esfera a divide em dois
sólidos congruentes, denominados hemisférios. Assim, o
volume de um hemisfério equivale à metade do volume de
uma esfera de mesmo raio R.
= ⋅
= ⋅
π
Volume do hemisfério
1
2
(volume da esfera)
Volume do hemisfério
1
2
4 R
3
3
=
π
Volume do hemisfério
2 R
3
3
E
RO
Os hemisférios são dotados de duas superfícies. Uma
delas é plana, tem o formato de um círculo e pode ser
considerada a base do hemisfério. A outra é curva e equi
valente à metade da superfície de uma esfera. Logo, em
um hemisfério de raio R, temos:
Aplana = πR
2
Acurva = 2πR
2
Atotal = 3πR
2
Exercício resolvido
11 Um pedaço maciço de isopor com a forma de uma
semiesfera tem volume igual a 2,25π dm3 e terá sua
superfície curva pintada para a decoração de uma fes-
ta infantil. Qual o valor da área a ser pintada nessa
peça?
A 2,25π dm2.
b 4,5π dm2.
C 6,75π dm2.
d 9π dm2.
E 11,25π dm2.
Resolução:
Como = =2,25
225
100
9
4
, temos:
=
π
=
π
⇔ = ⇔ =V
2 R
3
9
4
R
27
8
R
3
2
 dm
3
3
Portanto, a área que será pintada é igual a:
= π = π




= π = πA 2 R 2 3
2
9
2
4,5 dm
2
2
2
Alternativa: B
Calota esférica
Se uma seção plana de uma esfera não passa pelo
seu centro, então essa seção a divide em dois sólidos não
equivalentes, denominados calotas da esfera.
Sendo R o raio da esfera secionada, a base de uma
calota dessa esfera deve ser uma circunferência de raio r,
tal que r ≤ R.
O' r
P
R
O
d
Como a projeção ortogonal do centro O da esfera deve
coincidir com o centro O' da base da calota, esses centros
determinam, com qualquerponto P da circunferência da
base da calota, um triângulo retângulo POO', de hipotenu-
sa PO = R e cateto PO' = r. Dessa forma, sendo d = OO' a
distância entre os centros da esfera e da base da calota,
do teorema de Pitágoras, obtemos:
R2 = d2 + r2
O triângulo POO' não existe quando r = R, pois, nesse
caso, O = O' e as calotas são também hemisférios.
Exercício resolvido
12 Uma esfera de raio R cm é secionada por um plano
que está a 5 cm de distância do centro da esfera. Se a
área da base das calotas obtidas é de 144π cm2, então
R é igual a:
A 10
b 11
C 12
d 13
E 14
Resolução:
Da área da base da calota, obtemos πr2 = 144π ⇔
⇔ r = 12 cm.
Da relação R2 = d2 + r2, temos que R2 = 52 + 122 =
= 25 + 144 = 169 cm2.
Portanto, R = 13 cm.
Alternativa: D
Cunhas e fusos esféricos
Considere que duas seções meridianas de uma esfera
de raio R determinem um diedro de medida θ. Nesse caso,
a esfera ficará dividida em quatro sólidos geométricos de-
nominados cunhas esféricas. Duas delas terão ângulo de
medida θ; e as outras duas, o suplemento desse ângulo.