Matemática - Livro 3-181-183

Prévia do material em texto

F
R
E
N
T
E
 3
181
Da figura, x = c + r(x) ⋅ cosq. Como r(x) = a ex, temos:
r(x) = a - e ⋅ (c + r(x) ⋅ cosq) ⇔
⇔ r(x) = a e ⋅ c e ⋅ r(x) ⋅ cosq ⇔
⇔ r(x) + e ⋅ r(x) ⋅ cosq = a - ec ⇔
(1 e cos ) r(x) a
c
a
c
a c
a
b
a
r(x)
b
a
1
1 e cos
2 2 2
2
⇔ + ⋅ θ ⋅ = − ⋅ =
−
= ⇔
⇔ = ⋅
+ ⋅ θ
A equação = ⋅
+ ⋅ θ
r(x)
b
a
1
1 e cos
2
 é chamada equação
polar da elipse.
A área da elipse
A área da elipse de semieixos a e b é igual a:
Aelipse = p ⋅ a ⋅ b
Exercícios resolvidos
1 Determine a equação reduzida da elipse com centro
na origem e eixo focal paralelo ao eixo Ox, a = 5 e
b = 3. Determine também as coordenadas dos focos
e a excentricidade da elipse.
Resolução:
Sendo o centro da elipse o ponto O(0, 0), temos:
+ = ⇔ + = ⇔ + =
x
a
y
b
1
x
5
y
3
1
x
25
y
9
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
Ainda:
a2 = b2 + c2 ⇔ 52 = 32 + c2 ⇔ c = 4
Os focos são dados por F1(-c, 0) = F1(-4, 0) e F2(c, 0) =
= F2(4, 0).
A excentricidade é dada por = = =e
c
a
4
5
0,8.
2 Determine a equação reduzida e os focos da elipse
tangente ao eixo Ox, com centro em (3, 4) e excentri
cidade e
2
2
= .
Resolução:
Como a elipse é tangente ao eixo Ox e tem centro em
(3, 4), temos a = 4 Assim:
= ⇔ = ⇔ =e
c
a
2
2
c
4
c 2 2
( )= + ⇔ = + ⇔ == ⇔ =a b c 4 b 2 2 b 16 8 8 b 2 22 2 2 2 2
2
2
O eixo focal é paralelo ao eixo Oy. Então, a equação
reduzida da elipse é dada por:
( )
+ = ⇔
−
+
−
= ⇔
⇔ + =
(y y )
a
(x x )
b
1
(y 4)
4
(x 3)
2 2
1
(y 4)
16
(x 3)
8
1
0
2
2
0
2
2
2
2
2
2
2 2
Os focos da elipse são dados por =F (x , y c)
1 0 0
( )= −F 3, 4 2 2
1
 e ( )+ = +F (x , y c) F 3, 4 2 2
2 0 0 2
.
3 Determine o centro e os focos da elipse dada por
4x2 + 9y2 + 24x 36y + 36 = 0.
Resolução:
Rearranjando os termos e completando os quadra-
dos, temos:
4x2 + 9y2 + 24x 36y + 36 = 0 ⇔
⇔ 4x2 + 24x + 9y2 36y = 36 ⇔
⇔ 4(x2 + 6x) + 9(y2 - 4y) = -36 ⇔
⇔ 4(x2 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 9) + 9(y2 2 ⋅ 2 ⋅ y + 4) =
= 36 + 4 ⋅ 9 + 9 ⋅ 4 ⇔ 4(x + 3)2 + 9(y 2)2 = 36
Dividindo os dois lados por 36:
+
+
−
= ⇔
+
+
−
=
4(x 3)
36
9(y 2)
36
36
36
(x 3)
9
(y 2)
4
1
2 2 2 2
Essa equação caracteriza a elipse com centro em (–3, 2),
a = 3, b = 2 e = − = − =c a b 9 4 52 2 .
Os focos são dados por ( )− = − −F (x c, y ) F 3 5, 2
1 0 0 1
 e
( )+ = − +F (x c, y ) F 3 5, 2
2 0 0 2
.
4 Determine as equações das retas que passam por
P(8, 0) e são tangentes à elipse 16x2 + 25 y2 = 400.
Resolução:
Sejam as retas que passam por (8, 0) e têm coeciente
angular m com equações gerais dadas por:
y 0 = m(x 8) ⇔ mx y 8m = 0
As interseções entre a elipse e as retas são soluções
do sistema
+ =
=



16x 25y 400 (I)
y mx 8m (II)
2 2
Substituindo (II) em (I):
16x2 + 25(mx 8m)2 = 400 ⇔
⇔ (25m2 + 16)x2 400m2x + 1  600m2 400 = 0
Uma reta é tangente a uma elipse quando tem apenas
um ponto de interseção com ela. Logo:
D = 0 ⇒
⇒ (-400m2)2 - 4 ⋅ (25m2 + 16) ⋅ (1 600m2 - 400) = 0 ⇔
⇔ 160  000m4 - 160  000m4 + 62  400m2 - 25  600 = 0 ⇔
⇔ = ⇔ = = ⇔62400m 25600 m
25600
62400
16
39
2 2
⇔ = ± = ±m
16
39
4 39
39
Assim, as retas que passam por P(8, 0) e são tangen-
tes à elipse têm equações dadas por:
=y
4 39
39
(x 8) e =y
4 39
39
(x 8)
MATEMÁTICA Capítulo 10 Cônicas182
A hipérbole
Seja p um plano que intercepta uma superfície cônica
reta de dois ramos (clepsidra ou ampulheta). Sejam a o ân-
gulo formado pelo eixo do cone e uma geratriz e b o ângulo
formado pelo plano de corte e o eixo do cone. Se b < a, a
interseção do plano p com a superfície cônica representa
uma curva aberta de dois ramos chamada hipérbole, como
mostra a figura.
Eixo
α
Para b < a, temos uma hipérbole.
Observe agora a figura a seguir, que representa o pla-
no p, secante ao cone e a duas esferas inscritas no cone,
chamadas de esferas de Dandelin. Sejam F1 e F2 os pontos
de tangência de p com as esferas.
P
O'
B'
C
S
C'
B
F
1
A
1
A
2
F
2
A hipérbole e as esferas de Dandelin
Se tomarmos um plano passando pelo eixo do cone e
perpendicular ao plano p, veremos que esses dois planos
cortam-se segundo a reta A1A2 As esferas estão inscritas no
cone e são tangentes ao plano secante nos pontos F1 e F2.
Escolhendo um ponto P qualquer sobre a hipérbole,
podemos traçar os segmentos PF1 e PF2, tangentes às es-
feras. Da figura, temos que PF2 PF1 = PG' PG = GG' =
= BB' = constante, pois são tangentes às mesmas esferas
por um mesmo ponto.
De maneira análoga ao que foi feito para a elipse, pro-
vamos que A1F1 = A2F2. Além disso, A1B' = A1F2 e A1B = A1F1,
pois são pares de segmentos tangentes às mesmas esferas.
Dessa maneira:
BB' = A1B' - A1B = A1F2 - A1F1 = (A1A2 + A2F2) - A1F1 = A1A2
Portanto, se P é um ponto do ramo de cima da hipér
bole da figura, temos:
PF2 - PF1 = A1A2
Analogamente, se P é um ponto do ramo de baixo da
hipérbole, temos:
PF1 PF2 = A1A2
Resumindo as duas condições, se P é um ponto qual-
quer da hipérbole, então:
|PF2 PF1| = A1A2
Da mesma maneira que fizemos para a elipse, vamos
estudar a hipérbole como uma curva plana, identificando
e nomeando seus elementos.
Considere dois pontos F1 e F2 no plano cartesiano cuja dis
tância entre eles seja 2c. Uma hipérbole é o lugar geométrico
dos pontos P(x, y) cuja diferença (em módulo) das distâncias
a esses pontos fixos é constante e vale 2a (com 2a 2c< ).
Em símbolos:
PF PF 2a
2 1
=
A figura a seguir representa uma hipérbole cujos focos
são F1(c, 0) e F2(-c, 0). O centro da hipérbole é ponto médio
do segmento F1F2, que, na figura, é o ponto O(0, 0).
y
b
c
OA
2
A
1
xaF
2
(−c, 0) F
1
(c, 0)
B
1
(b, 0)
B
2
(−b, 0)
A hipérbole
A reta F1F2 intersecta a hipérbole nos pontos A1 e A2
O segmento A1A2 é denominado eixo real da hipérbole.
Das propriedades da hipérbole, resulta que A1A2 = 2a, pois,
como A1 pertence à hipérbole, temos:
A1F2 A1F1 = 2a ⇔ (A1A2 + A2F2) A1F1 = 2a ⇔ A1A2 = 2a
Considere agora uma reta perpendicular ao eixo maior
pelo centro da hipérbole Sobre essa reta, sejam B1 e B2 os
F
R
E
N
T
E
 3
183
pontos cujas distâncias a A1 e A2 sejam iguais a c O seg
mento B1B2 é denominado eixo imaginário da hipérbole.
A medida do eixo imaginário é B1B2 = 2b.
Os pontos O, B1 e A1 formam um triângulo retângulo
com catetos de medidas a e b e hipotenusa de medida c.
Assim:
c2 = a2 + b2
Essa equação é denominada relação fundamental da
hipérbole.
Chamamos de excentricidade a razão e
c
a
= . Para a hi
pérbole, temos sempre e > 1. Assim, quanto mais próximo
de 1 for o valor da excentricidade, menor será a abertura
dos ramos da hipérbole (a hipérbole fica mais “fechada”)
Por outro lado, quanto maior for o valor da excentricidade,
maior será a abertura dos ramos da hipérbole (a hipérbole
fica mais “aberta”).
O retângulo cujos pontos médios dos lados são A1,
B1, A2 e B2 está relacionado à geometria da hipérbole As
retas que contêm as diagonais do retângulo têm com
portamento assintótico em relação à hipérbole, sendo,
por isso, denominadas assíntotas. Quando tomamos pon-
tos mais afastados da hipérbole, a distância entre esses
pontos e as assíntotas diminui. No entanto, é importante
perceber que essa distância nunca será zero.
B
1
B
2
c
C
2c
2a
2b
b
a
θ
F
2 A
2
A
1
F
1
A hipérbole e seus elementos
Definição: |PF2 PF1| = 2a Distância focal: F1F2 = 2c
Eixo real: A1A2 = 2a Propriedade: c
2 = a2 + b2
Eixo imaginário: B1B2 = 2b Excentricidade: = >e
c
a
, e 1
Atenção
As equações cartesianas da hipérbole
Considere uma hipérbole com centro O na origem
e F1 e F2 no eixo Ox, cujas coordenadas são F1(c, 0) e
F2(-c, 0). Assim, tomando um ponto genérico pertencente
à hipérbole, podemos usar a definição:
|PF2 PF1| = 2a
PF2 PF1 = ±2a ⇔ PF2 = PF1 ± 2a
Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
(PF2)
2 = (PF1)
2 ± 4 ⋅ a ⋅ (PF1) + 4a
2
(x + c)2 + (y 0)2 = (x c)2 + (y 0)2 ± 4 ⋅ a ⋅ (PF1) + 4a
2
x2 + 2cx + c2 = x2 2cx + c2 ± 4 ⋅ a ⋅ (PF1) + 4a
2
±4 ⋅ a ⋅ (PF1) = 4a
2 4cx
=
± ±
= ± ±
PF
4a
4a
4cx
4a
PF a
c
a
x
1
2
1
Elevando de novo ao quadrado, e lembrandoque
b2 = c2 a2, temos:
= ⋅ ⋅ +
+ = +
− + + = − +
=




− = −




−
= −
− =
(PF ) a 2 a
c
a
x
c
a
x
(x c) (y 0) a 2cx
c
a
x
x 2cx c y a 2cx
c
a
x
c a
c
a
1 x y
c a
c a
a
x y
b
b
a
x y
x
a
y
b
1
1
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2 2 2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
A equação x
a
y
b
1
2
2
2
2
= é chamada de equação redu-
zida da hipérbole
Para obter as equações da hipérbole com centro na
origem e focos no eixo y, basta trocar x por y e y por –x,
como fizemos para a elipse.
y
O
A
1
A
2
F
2
F
1
x
Assim, obtemos a equação:
y
a
x
b
1
2
2
2
2
=