Matemática - Livro 3-106-108

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MATEMÁTICA Capítulo 7 Noções de Estatística106
12 FGV 2016 A lei de Benford, também chamada de “lei do primeiro dígito”, sugere que, em vários conjuntos de dados
numéricos, a ocorrência dos algarismos de 1 a 9 no início dos números (da esquerda para a direita em cada número)
do conjunto de dados não é igualmente provável. A lei se verifica em diversos conjuntos de dados reais como, por
exemplo, o conjunto das populações dos diversos municípios de um país, o conjunto dos dados numéricos contidos
nas contas de energia elétrica da população de um município, o conjunto dos comprimentos dos rios de um país etc.
Quando a lei de Benford se aplica aos dados analisados, a probabilidade P(n) de que o algarismo n seja o primeiro
algarismo em um dado numérico qualquer do conjunto de dados será P(n) log
n 1
n
.= +




Por exemplo, se a lei se aplica, a probabilidade de que o algarismo 1 (n = 1) seja o primeiro (da esquerda para a direita)
em um número sorteado ao acaso do conjunto de dados é igual a log 2, ou seja, aproximadamente 30%, já que
log2 ≅ 0,30.
Admita que os dados numéricos indicados na tabela 1 tenham sido retirados da declaração de imposto de renda de
um contribuinte. Também admita que a Receita Federal tenha a expectativa de que tais dados obedeçam, ainda que
aproximadamente, à lei de Benford.
Tabela 1
1 526 2 341 5 122 242 1444 788 4 029 333 426 1981
2589 503 1 276 5 477 229 579 1 987 719 1236 2 817
456 886 1 424 470 113 342 345 433 192 343
a) Complete a tabela, registrando a frequência do primeiro dígito (da esquerda para a direita) dos dados da tabela 1
para os casos em que n = 2, n = 3 e n = 4. Registre também a frequência relativa desses algarismos (ver exemplo pa-
ra o caso em que n = 1).
n 1 2 3 4
Frequência de n 9
Frequência relativa de n =
9
30
3
10
b) Admita que uma declaração de imposto de renda vai para a “malha fina” (análise mais detalhada da Receita Fede-
ral) se a diferença, em módulo, entre a frequência relativa do primeiro dígito, em porcentagem, e a probabilidade
dada pelo modelo da lei de Benford, também em porcentagem, seja maior do que quatro pontos percentuais
para algum n. Argumente, com dados numéricos, se a declaração analisada na tabela 1 deverá ou não ir para a
“malha fina”.
Adote nos cálculos log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
13 Fuvest 2015 Examine o gráfico.
F
R
E
N
T
E
 2
107
Com base nos dados do gráco, pode-se armar corretamente que a idade
A mediana das mães das crianças nascidas em 2009 foi maior que 27 anos.
 mediana das mães das crianças nascidas em 2009 foi menor que 23 anos.
C mediana das mães das crianças nascidas em 1999 foi maior que 25 anos
 média das mães das crianças nascidas em 2004 foi maior que 22 anos
E média das mães das crianças nascidas em 1999 foi menor que 21 anos
14 AFA 2015 No Atlas de Desenvolvimento Humano no Brasil 2013 constam valores do Índice de Desenvol-vimento Hu-
mano Municipal (IDHM) de todas as cidades dos estados brasileiros.
O IDHM é um número que varia entre 0 e 1 Quanto mais próximo de 1, maior o desenvolvimento humano de um mu-
nicípio, conforme escala a seguir
Abaixo estão relacionados o IDHM de duas cidades de Minas Gerais em condições extremas, Monte Formoso e
Uberlândia, e uma em situação intermediária, Barbacena
Analisando os dados acima, arma se que
I o município de maior crescimento do IDHM, nos períodos considerados, é Monte Formoso.
II na última década, Barbacena apresentou maior evolução do IDHM que Uberlândia
III uma tabela que relaciona cidade, época e faixa de IDHM pode ser representada corretamente como:
Monte Formoso Barbacena Uberlândia
1991 Muito baixo Baixo Baixo
2000 Muito baixo Alto Alto
2010 Baixo Alto Alto
São corretas
A apenas I e II
 apenas II e III
C apenas I e III
 I, II e III
MATEMÁTICA Capítulo 7 Noções de Estatística108
15 FGV-SP 2014 (Adapt.) Observe a notícia abaixo e utilize as informações que julgar necessárias.
a) Suponha que a partir de 2010 os índices de perdas no varejo, no Brasil e nos EUA, possam ser expressos por fun-
ções polinomiais do 1
o
 grau, y = ax + b, em que x = 0 representa o ano 2010, x = 1, o ano 2011, e assim por diante,
e y representa o índice de perdas expresso em porcentagem. Determine as duas funções.
b) Em que ano a diferença entre o índice de perdas no varejo, no Brasil, e o índice de perdas no varejo, nos EUA,
será de 1%, aproximadamente? Dê como solução os dois anos que mais se aproximam da resposta.
16 FGV-SP 2014 Um biólogo inicia o cultivo de três populações de bactérias (A, B e C) no mesmo dia. Os gráficos seguin-
tes mostram a evolução do número de bactérias ao longo dos dias.
População de bactérias A