Matemática - Livro 3-082-084

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MATEMÁTICA Capítulo 7 Noções de Estatística82
Mediana
A média aritmética pode ser interpretada de maneira
distorcida (influenciada), caso as variáveis se apresentem
muito distantes de seu valor. Nesse caso, a média aritmética
não é apropriada para a análise em questão.
Para melhor coerência da interpretação e consistência
das informações, usamos uma medida de posição mais
sólida às análises, a chamada mediana.
A mediana, representada por Md, corresponde ao valor
que se localiza exatamente no centro de todas as variáveis
quando organizadas em rol (crescente ou decrescente).
Se o rol possuir um número par de variáveis, a mediana
será então a média aritmética entre as duas variáveis centrais.
Vamos considerar novamente o exemplo da produção
leiteira das 11 vacas.
15 18 20 20 20 21 23 25 26 26 28
Como os valores já estão em ordem crescente, temos
que a mediana é a variável que ocupa a posição central
do rol, ou seja, Md = 21.
Pode-se formalizar os casos como:
Sejam a1, a2, ... , an os valores de n variáveis:
1
o
) Se n é ímpar, temos:
=




Md a
1 + n
2
2
o
) Se n é par, temos:
Md
a a
2
n
2
n
2
1
=
+




+




1
o
) Na sequência (9, 11, 12, 14, 19) temos que Md = 12.
2
o
) Na sequência (9, 11, 12, 14, 19, 20), Md
12 14
2
13=
+
=
Podemos observar que a mediana divide o conjunto de variáveis em
duas partes com o mesmo número de elementos. Uma parte onde
todos os elementos são menores (ou iguais) à mediana e uma outra
parte onde todos os elementos são maiores (ou iguais) a ela
Atenção
Moda
A moda (representada por Mo) é a variável que aparece
com maior frequência absoluta Novamente utilizando o
exemplo da produção leiteira das 11 vacas:
15 18 20 20 20 21 23 25 26 26 28
Temos que Mo = 20, pois é o valor que aparece o maior
número de vezes
1
o
) Na sequência (7, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 15) temos duas modas, 8 e 11 e,
nesse caso, a sequência é chamada bimodal.
2
o
) Na sequência (7, 8, 9, 10, 11, 15) não há moda, pois todas as variá-
veis aparecem com a mesma frequência e, nesse caso, a sequência
é chamada amodal.
Atenção
Exercício resolvido
9 Uma pesquisa mostrou as estaturas, em cm, dos golei-
ros dos 20 times da Série A do campeonato brasileiro
de futebol de 2019. Com base nas informações co-
lhidas e apresentadas na tabela a seguir, calcule a
moda, a média e a mediana dessa pesquisa.
Clube Jogador Altura (cm)
Atlético MG Cleiton 190
Athletico-PR Aderbar 188
Avaí Vladimir 190
Bahia Douglas Friedrich 194
Botafogo Gatito Fernandez 191
Ceará Diogo Silva 192
Chapecoense Tiepo 183
Corinthians Cássio 196
Cruzeiro Fabio 188
CSA Jordi 192
Flamengo Diego Alves 188
Fluminense Muriel 190
Fortaleza Felipe Alves 187
Goiás Tadeu 184
Grêmio Paulo Victor 187
Internacional Marcelo Lomba 188
Palmeiras Weverton 189
Santos Vanderlei 195
São Paulo Tiago Volpi 187
Vasco Fernando Miguel 191
(fonte ctícia)
Resolução:
Organizando o rol das alturas obtemos:
(183, 184, 187, 187, 187, 188, 188, 188, 188, 189, 190, 190,
190, 191, 191, 192, 192, 194, 195, 196)
F
R
E
N
T
E
 2
83
A moda é Mo = 188 cm, pois é o valor com a maior frequência da sequência (4 vezes)
A média aritmética é:
X =
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅1 183 1 184 3 187 4 188 1 189 3 190 2 191 2 192 1 194 1 1195 1 196
1 1 3 4 1 3 2 2 1 1 1
183 184 561 752 189 570 3
+ ⋅
+ + + + + + + + + +
=
+ + + + + +
X
882 384 194 195 196
20
3 790
20
189 5
+ + + +
= =X cm,
Como a sequência tem 20 valores, a mediana é a média entre o 10
o
 e o 11
o
, logo:
Md
189 190
2
379
2
189,5 cm=
+
= =
Observe que nessa pesquisa a média e a mediana são iguais
Por ser muito numerosa, a tabela do último exercício resolvido poderia ser apresentada com os valores distribuídos em classes, como mostra a
tabela a seguir:
Classes Frequência absoluta Frequência acumulada Frequência relativa Porcentagem
183 185 2 2
2
20
0,1= 10%
185 187 0 2
0
20
0= 0%
187 189 7 9
7
20
0,35= 35%
189 191 4 3
4
20
0,2= 20%
191 193 4 17
4
20
0,2= 20%
193 195 1 18
1
20
0,05= 5%
195 197 2 20
2
20
0,1= 10%
(fonte ctícia)
Observação: a frequência acumulada corresponde à soma da frequência de uma classe com todas as frequências que a antecedem na distribuição
Saiba mais
Exercícios resolvidos
10 Enem 2018 A Comissão Interna de Prevenção de Acidentes (CIPA) de uma empresa, observando os altos custos com
os frequentes acidentes de trabalho ocorridos, fez, a pedido da diretoria, uma pesquisa do número de acidentes so-
fridos por funcionários Essa pesquisa, realizada com uma amostra de 100 funcionários, norteará as ações da empresa
na política de segurança no trabalho
Os resultados obtidos estão no quadro.
Número de acidentes sofridos Número de trabalhadores
0 50
1 17
2 15
3 10
4 6
5 2
MATEMÁTICA Capítulo 7 Noções de Estatística84
A média do número de acidentes por funcionário na
amostra que a CIPA apresentará à diretoria da empre-
sa é
A 0,15
b 0,30.
C 0,50.
d 1,11
E 2,22
Resolução:
A média do número de acidentes por funcionário é
igual a:
X
50 0 17 1 15 2 10 3 6 4 2 5
50 17 15 10 6 2
0 17 30 30 24 10
100
111
100
1,11
=
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + + + +
=
=
+ + + + +
= =
Alternativa: D
11 Enem 2018 De acordo com um relatório recente da
Agência Internacional de Energia (AIE), o mercado de
veículos elétricos atingiu um novo marco em 2016,
quando foram vendidos mais de 750 mil automóveis
da categoria. Com isso, o total de carros elétricos ven
didos no mundo alcançou a marca de 2 milhões de
unidades desde que os primeiros modelos começa
ram a ser comercializados em 2011.
No Brasil, a expansão das vendas também se veri
ca. A marca A, por exemplo, expandiu suas vendas no
ano de 2016, superando em 360 unidades as vendas
de 2015, conforme representado no gráco.
 Nº de carros
2014
2016
2016
Ano
Disponível em: www.tecmundo.com.br. Acesso em: 5 dez. 2017.
A média anual do número de carros vendidos pela
marca A, nos anos representados no gráco, foi de
A 192
b 240.
C 252
d 320
E 420
Resolução:
No gráco apresentado há 3 ícones a mais de 2015
para 2016, logo cada um representa um total de
360
3
120= unidades vendidas. Calculando a média
dos três anos, temos:
=
⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ +
=
= =
X
5 120 2 120 1 120
3
600 240 120
3
960
3
320 unidades/ano
Alternativa: d
12 Enem 2017 O gráfico apresenta a taxa de desemprego
(em %) para o período de março de 2008 a abril de
2009, obtida com base nos dados observados nas
regiões metropolitanas de Recife, Salvador, Belo Hori-
zonte, Rio de Janeiro, São Paulo e Porto Alegre.
A mediana dessa taxa de desemprego, no período de
março de 2008 a abril de 2009, foi de
A 8,1%
b 8,0%
C 7,9%
d 7,7%
E 7,6%
Resolução:
Colocando em ordem crescente os 14 valores apre-
sentados obtemos o seguinte rol:
6,8 7,5 7,6 7,6 7,7 7,9 7,9 8,1 8,2 8,5
8,5 8,6 8,9 9,0
Como a quantidade de termos é par, então, para ob-
ter a mediana, basta fazer a média aritmética dos dois
termos centrais.
Logo, a mediana será: Md
7,9 8,1
2
16,0
2
8,0=
+
= = .
Alternativa: b
Medidas de dispersão
As medidas de posição vistas até aqui são de extrema
relevância para dados que envolvem objetos (ou fenôme-
nos físicos). Ao calcularmos a velocidade média de um
carro numa determinada viagem, podemos encontrar o
tempo exato de duração da viagem. Porém, a média pode
ser inadequada ao calcularmos o “peso” de um grupo de
pessoas, pois pode haver pessoas obesas, por exemplo,
jogando a média para cima.
Renda per capita é um exemplo de medida duvidosa.
Essa medida, que se usa para diferenciar países desen-
volvidos ou em desenvolvimento, aponta a produção
econômica do país por pessoa, porém mascara as dife-
renças sociais. Em 2020, por exemplo, a renda per capita
do Brasil foi R$ 1.380,00. No entanto, isso não significa que
todos os brasileiros tiveram um rendimento médio próximo
desse valor.
Surge então a necessidade de definir uma medida que
nosmostre um grau de variabilidade, de forma que a análise
não fique comprometida.