Matemática - Livro 2-151-153

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N
T
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 2
151
No espaço cartesiano, a representação gráfica de uma equação linear com até três variáveis tem a forma de um plano.
4
z
y
x
3
2
1
0 1
5
4
3
2
1
–1
2
3
–4
–5
2 3 4 5
–5 –4 –3 2 1
2x + 3y + 4z = 5
Os planos que representam os gráficos das equações homogêneas sempre contêm a origem do espaço cartesiano.
1
1
1
–2
–3
4
–5
1
––2–3–4–5
2 3
4 5
2
3
4
5
–1
2
3
z
y
x
0
2x + 3y + 4z = 0
Sistemas lineares
São denominados sistemas lineares todos os sistemas de equações formados apenas por equações lineares. Basta que
uma das equações do sistema não seja linear para desautorizar a maioria dos métodos que serão estudados neste capítulo.
As primeiras características que devem ser observadas em um sistema linear são: o número de equações (m) e o
número de variáveis (n). Veja alguns exemplos:
m = 2 m = 3
n = 2
+ =
 − =



x 3y 5
2x y 3
 + =
 − =
 + =




x 3y 5
2x y 3
3x 2y 7
n = 3
+ − =
 + =



x y z 8
2x 3y 2z 0
 + =
 − + =
 − − =




x y z 8
2x 3y 2z 0
3x 2y 4z 3
n = 4
+ + + =
 + =



2x 3y 4z 5w 6
2x 3z 2w 0
 + + + =
 + =
 − − + =




2x 3y 4z 5w 6
2x 3z 2w 0
x y 4z w 7
Observe duas particularidades do padrão em que esses sistemas lineares foram apresentados:
• as equações de cada sistema apresentam suas variáveis sempre na mesma ordem;
• o termo independente de cada equação fica sempre no segundo membro.
MATEMÁTICA Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear152
Levando em consideração esta forma padronizada de apresentação dos sistemas lineares, surge a possibilidade de
representação do sistema como uma simples tabela em que são escritos apenas os coeficientes das variáveis e os termos
independentes Exemplo:
 + =
 =




⇔






x 3y 5
2x y 3
1
2
3
1
5
3
Observe na tabela deste exemplo que:
• as linhas são formadas pelas séries dos coeficientes das equações seguidas de seus respectivos termos independentes;
• a primeira coluna contém apenas os coeficientes da variável x;
• a segunda coluna contém apenas os coeficientes da variável y;
• a última coluna contém apenas os termos independentes.
Uma tabela desse tipo é denominada matriz completa do sistema. É costume colocar uma linha pontilhada separando
a última coluna da matriz evidenciando os termos independentes das equações. Assim:
1 3
2 1
5
3






Veja as matrizes completas associadas aos outros exemplos de sistemas lineares:
x 3y 5
2x y 3
3x 2y 7
1 3
2 1
3 2
5
3
7



+ =
− =
+ =




⇔ −








x y z 8
2x 3y 2z 0
1 1 1
2 3 2
8
0


+ =
− + =



⇔
−




x y z 8
2x 3y 2z 0
3x 2y 4z 3
1 1 1
2 3 2
3 2 4
8
0
3



+ =
− + =
− − =




⇔








2x 3y 4z 5w 6
2x 3z 2w 0
2 3 4 5
2 0 3 2
6
0


+ + + =
+ =



⇔




2x 3y 4z 5w 6
2x 3z 2w 0
x y 4z w 7
2 3 4 5
2 0 3 2
1 1 4 1
6
0
7



+ + + =
− + =
+ =




⇔
− −








As soluções de um sistema linear são as séries de n números reais que satisfazem todas as m equações do sistema.
A série (2, 1) é a única solução do sistema
 + =
 − =



x 3y 5
2x y 3
, pois, com x = 2 e y = 1, tem-se:
 + = + ⋅ =
 = ⋅ =



→
→
x 3y 2 3 1 5
2x y 2 2 1 3
Equação I satisfeita.
Equação II satisfeita.
A série (−4, 3) não é solução do sistema + =
 − =



x 3y 5
2x y 3
, pois, com x = −4 e y = 3, tem-se:
x 3y 4 3 3 = 4 9 5
2x y 2 4 3 = 8 3 = 11 3
+ = + ⋅ + =
= ( ) ≠




→
→
− −
−
Equação II satisfeita
Equação II não satisfeita
.
.
Assim, mesmo que uma série numérica satisfaça uma ou mais equações de um sistema, ela não será solução do
sistema se houver alguma equação em que isso não ocorra. O fato de esse sistema possuir solução única será discutido
posteriormente.
A série (4, 0, −4) é uma das infinitas soluções do sistema
 + =
 − + =



x y z 8
2x 3y 2z 0
, pois, com x = 4, y = 0 e z = −4, tem-se:
( )
( )
 + − = + − − =
 + = ⋅ ⋅ + ⋅ = =




→
→
x y z 4 0 4 8
2x 3y 2z 2 4 3 0 2 4 8 0 8 0
Equação I satisfeita.
Equação II satisfeita.
A série (5, 4, 1) é outra das infinitas soluções do sistema + − =
 + =



x y z 8
2x 3y 2z 0
, pois, com x = 2, y = 8 e z = 2, tem-se:
 + − = + − =
 − + = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =



→
→
x y z 5 4 1 8
2x 3y 2z 2 5 3 4 2 1 10 12 2 0
Equação I satisfeita.
Equação II satisfeita.
A série (–9, –7, 0, 9) é uma das infinitas soluções do sistema
 + + + =
 − + =
 + =




2x 3y 4z 5w 6
2x 3z 2w 0
x y 4z w 7
, pois, com x = −9, y = −7, z = 0 e
w = 9, tem-se:
F
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N
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E
 2
153
2 4 5 2 9 3 7 4 0 5 9 18 21 0 45 6
2 3 2 2
x y z w
x z w
+ + + = ⋅ − + ⋅ − + ⋅ + ⋅ = − − + + =
− + = ⋅
( ) ( )
( −− + ⋅ − + ⋅ + ⋅ = − + + + =
+ = ⋅ + = +
9 0 7 2 0 2 9 18 0 0 18 0
4 9 7 4 0 9 9
) ( )
( )x y z w 77 0 9 7+ =
→
→
→
Equação I satisfeita
Equação I satisfeita
Equa
 I
.
.
çção I satisfeita II 





O fato de cada um dos dois últimos sistemas possuírem infinitas soluções também será discutido posteriormente, bem
como a existência de sistemas lineares que não possuem solução alguma, como o sistema a seguir:
 + =
 + =



2x 3y 5
4x 6y 7
Usam-se numerais romanos para fazer referência às equações de um sistema linear Assim, no sistema anterior,
2x + 3y = 5 é a equação I e 4x + 6y = 7 é a equação II.
Neste momento vamos nos concentrar em revisar os métodos básicos para a resolução dos sistemas formados por
apenas duas equações com duas incógnitas.
Resolução de sistemas lineares 2 × 2
Há muitas técnicas eficientes de se resolver os sistemas desse tipo, sendo que três delas costumam ser estudadas
no Ensino Fundamental Para revisá las, considere o sistema:
 − =
− + =



 5x 2y 1
4x 3y 9
⇔
5
4
2
3
1
9

−






Método da substituição
Escolher uma das equações do sistema. Por exemplo: 5x − 2y = 1.
Escolher uma das variáveis da equação. Por exemplo: y.
Isolar a variável escolhida escrevendo-a como uma função da outra:
 − =
 = +
 = 
 =
 −
5x 2y 1
 2y 5x 1
 2y 5x 1
 y
5x 1
2
Substituir a função obtida no lugar da variável escolhida presente na outra equação:
− + =
↓
− + ⋅




 =
 4x 3y 9
4x 3
5x 1
2
9
Resolver a equação de primeiro grau obtida:
 + ⋅ 



 =
 + − =
− + − =
 = +
 =
 =
4x 3
5x 1
2
9
 4x
15x 3
2
9
8x 15x 3
2
18
2
 7x 18 3
 x
21
7
 x 3
Substituir o valor encontrado em =
 −
y
5x 1
2
: =
 ⋅ 
 =
 
 = =y
5 3 1
2
15 1
2
14
2
7 .
Como as equações de primeiro grau possuem soluções únicas, o par ordenado (3, 7) é a única série (x, y) que satisfaz
ambas as equações do sistema e, portanto, o conjunto solução é:
S = {(3, 7)}