Matemática - Livro 2-148-150

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MATEMÁTICA Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear148
u1 → 0,5 36 6 2
u2 → 4 0 12 0
u3 → 0 24 0 0
u4 → 1,5 0 0 10
u5 → 0 6 48 1
u6 → 1 1 1 1
9,90
0,60
1,25
2,50
Abacaxi
Banana
Caqui
Damasco
ν =












u , v 0,5 9,90 36 0,60 6 1,25 2 2,50 4,95 21,60 7,50 5,00 39,05
u , v 4 9,90 0 0,60 12 1,25 0 2,50 39,60 0 15,00 0 54,60
u , v 0 9,90 24 0,60 0 1,25 0 2,50 0 14,40 0 0 14,40
u , v 1,5 9,90 0 0,60 0 1,25 10 2,50 14,85 0 0 25,00 39,85
u , v 0 9,90 6 0,60 48 1,25 1 2,50 0 3,60 60,00 2,50 66,10
u , v 1 9,90 1 0,60 1 1,25 1 2,50 9,90 0,60 1,25 2,50 14,25
1
2
3
4
5
6
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + =
Perceba que, para efetuar produtos internos, basta que sejam tomadas duas séries numéricas com a mesma quantidade de termos, não importando
se as séries estão dispostas como linhas ou colunas.
Atenção
Exercícios resolvidos
1 Dadas as séries u = (5, 2), v = (1, −3) e w = (−4, 10), calcule os seguintes produtos internos:
a) 〈u, v〉 b) 〈u, w〉 c) 〈w, v〉 d) 〈u, u〉
Resolução:
a) u v, ( )= ⋅ + ⋅ − = − = −5 1 2 3 5 6 1
b) u w, ( )= ⋅ − + ⋅ = − + =5 4 2 10 20 20 0
c) w v, ( ) ( )= − ⋅ + ⋅ − = − − = −4 1 10 3 4 30 34
d) u u, = ⋅ + ⋅ = + = −5 5 2 2 25 4 29
2 UFPR 2014 Um criador de cães observou que as rações das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades de
três nutrientes, medidos em miligramas por quilograma, como indicado na primeira matriz abaixo. O criador decidiu
misturar os quatro tipos de ração para proporcionar um alimento adequado para seus cães. A segunda matriz abaixo
dá os percentuais de cada tipo de ração nessa mistura.
 A B C D
nutriente 1
nutriente 2
nutriente 3
210 370 450 290
340 520 305 485
145 225 190 260








Percentuais de mistura
A
B
C
D
35%
25%
30%
10%












Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em um quilograma da mistura de rações?
A 389 mg.  330 mg. C 280 mg.  210 mg. E 190 mg.
Resolução:
Efetuando o produto interno da segunda linha da primeira tabela pela única coluna da segunda tabela, tem-se:
340 mg 35% = 119,0 mg
520 mg 25% = 130,0 mg
305 mg 30% = 91,5 mg
485 mg 10% = 48,5 mg
+
+
+
Nutriente 2, Percentuais = 389,0 mg
⋅
⋅
⋅
⋅
Alternativa: A.
F
R
E
N
T
E
 2
149
3 A nota final de uma matéria é a média ponderada das
notas de cada bimestre com os pesos propostos pelo
professor. As séries n e p, a seguir, apresentam as
notas de uma estudante nos 4 bimestres letivos e os
pesos propostos.
n = (5 6,5 7,5 8)
p = (0,2 0,2 0,3 0,3)
Calcule a nota final dessa estudante
Resolução:
A nota nal da estudante é o produto escalar das sé-
ries n e p:
〈n, p〉 = 5 ⋅ 0,2 + 6,5 ⋅ 0,2 + 7,5 ⋅ 0,3 + 8 ⋅ 0,3
〈n, p〉 = 1 + 1,3 + 2,25 + 2,4 = 6,95
Propriedades do produto interno
• O produto interno é uma operação comutativa:
a, b b,a=
• O produto interno de duas séries iguais de números reais nunca
é negativo:
a, a 0≥
• Se o produto interno de duas séries iguais é nulo, então as séries
são triviais.
a, a 0 a (0, 0, 0, 0, )= ⇔ =
Saiba mais
Equação linear
Sendo x = (x1, x2, x3, ..., xn) uma série de n variáveis
reais e a = (a1, a2, a3, ..., an) uma série de n constantes reais,
que não são todas nulas, define-se equação linear a partir
do produto interno dessas séries como sendo a igualdade
〈a, x〉 = b em que b é também uma constante real:
a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + a3 ⋅ x3 + ... + an ⋅ xn = b
com (a1)
2 + (a2)
2 + (a3)
2 + ... + (an)
2 ≠ 0
A série a = (a1, a2, a3, ..., an) é denominada série dos
coeficientes da equação.
A constante b é denominada termo independente da
equação.
Exemplos:
• (2, 3), (x, y) 4 2x 3y 4= ⇔ + = é uma equação
linear de duas variáveis em que (2, 3) é a série dos
coeficientes e 4 é o termo independente.
• ( ) (x, y, z) 55 2 1 10 2 10, , ,= ⇔+ = x y z é
uma equação linear de três variáveis em que (5, –2, 1) é
a série dos coeficientes e 10 é o termo independente
• (1, 1, 1, 2), (x, y, z, w) 8 x y z 2w 8= ⇔ + + + = é
uma equação linear de quatro variáveis em que (1, 1, 1, 2)
é a série dos coeficientes e 8 é o termo independente.
Toda equação linear com mais de uma variável (n > 1)
possui uma infinidade de soluções reais. Cada solu
ção de uma equação linear é formada por uma série
de n valores reais, que tornam verdadeira a sentença
da equação ao serem inseridos nos lugares de suas
variáveis.
São soluções da equação 2x + 3y = 4 as séries (2, 0),




1
2
, 1 e (8, −4), por exemplo, pois:
2 2 3 0 4 0 4
2
1
2
3 1 1 3 4
2 8 3 ( 4) 16 12 4
⋅ + ⋅ = + =
⋅ + ⋅ = + =
⋅ + ⋅ = =
Não são soluções da equação 2x + 3y = 4 as séries
(3, 1), ( 3, 2), por exemplo, pois:
( )
 ⋅ + ⋅ = + = ≠
 ⋅ + ⋅ = + = ≠
2 3 3 1 6 3 9 4
2 3 3 2 6 6 0 4
São soluções da equação 5x 2y + z = 10 as séries
(2, 0, 0) e (1, 2, 9), por exemplo, pois:
 ⋅ ⋅ + = + =
 ⋅ - ⋅ + = - + =
5 2 2 0 0 10 0 0 10
5 1 2 2 9 5 4 9 10
Não é solução da equação 5x 2y + z = 10 a série
(3, 4, 5), por exemplo, pois:
 ⋅ - ⋅ + = - + = ≠5 3 2 4 5 15 8 5 12 10
É solução da equação x + v + z + 2w = 8 a série
(3, 4, 5, –2), por exemplo, pois:
 + + + ⋅ - = + + - =3 4 5 2 ( 2) 3 4 5 4 8
Não são consideradas equações lineares de variáveis x, y, etc.:
• As equações do 2
o
 grau, ou qualquer grau maior.
 x
2
 + y = 7 2x + y
3
 = 3 3x + 4y
2
 + 5z
4
 = 6
• Equações em que há multiplicação entre duas ou mais variáveis.
 4x + 5yz = 6 7xy + z = 8 xyz = 1
• Equações com variáveis no denominador de alguma fração.
 + + =2
x
3y 4z 5 + + + =4x 3y 2
z
1
w
0 x + 3y-1 = 4
Atenção
Exercícios resolvidos
4 Qual das equações a seguir é linear?
A 2x - 7yz + 14z - 5 = 0
b + + + =x 3y 4z 5w 1
x
C x(2 y) + 2(z + x 5) + 7 = 3x 2
d + + = +2(x 1) 5y 3(x z) 7y 5 x
2
E x2 + 2y2 - 2x + 4y - 147 = 0
MATEMÁTICA Capítulo 6 Introdução à Álgebra Linear150
Resolução:
A equação da alternativa A não é linear, pois o termo
7yz apresenta produto entre variáveis.
A equação da alternativa B não é linear, pois o termo
1
x
 idêntico a x
−1
 não é de 1o grau
A equação da alternativa C não é linear, pois desenvol-
vendo x(2 y) encontramos o termo xy, que apresenta
produto entre variáveis.
A equação da alternativa D é linear e pode ser escrita
como − − = −9
2
x 12y 3z 7.
A equação da alternativa E não é linear, pois os ter-
mos x
2
 e 2y
2
 são do 2o grau.
Alternativa: D.
5 Escreva algumas soluções da equação linear 3x + 2y =
= 7 que estejam de acordo com as relações apresen-
tadas em cada item:
a) x > 0 e y > 0
b) x < 0
c) y < 0
d) x ⋅y = 0
Resolução:
a)   Há innitas soluções para esse caso, entre elas: (1, 2),




1
3
, 3 ,




2,
1
2
, etc.
b)   Também há innitas soluções para esse caso, en-
tre elas: ( 1, 5),




2,
13
2
, (−3, 8), etc.
c)   Novamente  há  innitas  soluções para  esse  caso, 
entre elas: (3, −1), −




11
3
, 2 , (5, −4), etc.
d) Nesse caso há apenas duas soluções:




0,
7
2
 e




7
3
, 0
Equação linear homogênea
As equações lineares a , x b= cujo termo independen-
te b é nulo (b = 0) são denominadas equações homogêneas:
a x a x a x a x a x
n n
, ...= ⇔ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =0 0
1 1 2 2 3 3
com: (a1)
2
+ (a2)
2
+ (a3)
2
+ ... + (an)
2
 ≠ 0
Exemplos:
2 3 0 2 3 0, , ,( ) ( ) = ⇔ + =x y x y é uma equação linear
homogênea de duas variáveis.
5 2 1 0 5 2 0, , , , ,( ) ( ) = ⇔ + =x y z x y z é uma equação
linear homogênea de três variáveis.
Toda equação linear homogênea possui alguma série
nula entre suas infinitas soluções. Essas séries numéricas
formadas por n zeros são denominadassoluções triviais da
equação homogênea.
A série (0, 0) é a solução trivial da equação 2x +
+ 3y = 0:
2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 = 0 + 0 = 0
As séries (–3, 2) e (9, 6), por exemplo, são soluções
não triviais da equação 2x + 3y = 0:
2 ⋅ (−3) + 3 · 2 = −6 + 6 = 0
2 ⋅ 9 + 3 ⋅ (–6) = 18 – 18 = 0
As séries (3, 1), (–1, 0), por exemplo, não são soluções
da equação 2x + 3y = 0:
2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 1 = 6 + 3 = 9 ≠ 0
2 ⋅ (−1) + 3 ⋅ 0 = –2 + 0 = −2 ≠ 0
A série (0, 0, 0) é a solução trivial de 5x 2y + z = 0:
5 ⋅ 0 – 2 ⋅ 0 + 0 = 0 0 + 0 = 0
A série (2, 5, 0), por exemplo, é solução não trivial da
equação 5x – 2y + z = 0:
5 ⋅ 2 − 2 ⋅ 5 + 0 = 10 − 10 + 0 = 0
A série (0, 0, 0, 0) é a solução trivial da equação x +
+ y + z + 2w = 0:
0 + 0 + 0 + 2 ⋅ 0 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
No plano cartesiano, a representação gráfica de uma equação linear
com até duas variáveis tem a forma de uma reta
10 2 3 4 5–1–2–3
1
2
–2
–1
3
y
x
2x + 3y = 4
As retas que representam os gráficos das equações homogêneas
sempre contêm a origem do plano cartesiano.
10 2 3 4 5–1–2–3
1
2
–2
–1
3
x
y
2x + 3y = 0
Saiba mais