Lista 6 - Tópicos de Cálculo Vetorial Área 2 Cálculo 2 UFRGS

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Cálculo e Geometria Anaĺıtica II
Lista 6 - Tópicos de Cálculo Vetorial
Integrais de linha, Campos conservativos; Teorema de Green
1. Confirme que a função φ(x, y) = y3 + 2xy2 − x2y3 + 10x, definida em todo plano xy, é função
potencial do campo vetorial
F(x, y) =
〈
2y2 − 2xy3 + 10, 3y2 + 4xy − 3x2y2
〉
.
2. Calcule a integral de linha ∫
C
(2x3 + 3y) dx+ xdy,
onde C é o arco cúbico y = x3 de (1,1) até (2,8).
3. Calcule a integral de linha ∫
C
y dx+ z dy − xdz
ao longo da curva C de equações paramétricas x = et, y = e2t, z = e−2t, 0 ≤ t ≤ 1.
4. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F(x, y, z) = 〈x+ y, x+ z, y + z〉 ao longo de
C, onde C é o segmento de reta de (2,3,1) até (3,1,2).
5. Considere o campo vetorial F(x, y) = 〈2y,−2x〉.
(a) O campo F, definido em todo plano R2, é conservativo? Justifique sua resposta.
Se sim, encontre uma função φ tal que F = ∇φ.
(b) Calcule o trabalho que o campo de forças F realiza em uma part́ıcula que se desloca uma
volta no ćırculo x2 + y2 = 1 no sentido anti-horário começando e terminando no ponto (1, 0).
6. Considere o campo vetorial F(x, y) = 〈3y2 + 2xy, 6xy + x2 + 1〉.
(a) O campo F, definido em todo plano R2, é conservativo? Justifique sua resposta.
Se sim, encontre uma função φ tal que F = ∇φ.
(b) Calcule o trabalho que o campo de forças F realiza em uma part́ıcula que se desloca desde
(1, 0) até (0, 1) ao longo do arco do ćırculo x2 + y2 = 1 no sentido anti-horário.
7. Considere o campo vetorial F(x, y) = 〈ey, xey + 2y〉
(a) Confirme que o campo F é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial φ
para F.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo campo F em uma part́ıcula que se move de P (0, 3) até
Q(2, 1) ao longo de uma curva lisa arbitrária de P até Q.
8. Considere o campo vetorial F(x, y) = 〈2xy3, 3x2y2〉
(a) Confirme que o campo F é conservativo em todo plano e encontre uma função potencial φ
para F.
(b) Calcule o trabalho realizado pelo campo F em uma part́ıcula que se move de P (−3, 0) até
Q(4, 1) ao longo de uma curva lisa arbitrária de P até Q.
1
9. Use o Teorema de Green para calcular a integral∮
C
(xy) dx+ (x2y3) dy,
onde C é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 2) e C está orientada no sentido anti-horário.
10. Use o Teorema de Green para calcular a integral∮
C
(cos(x) + y2) dx+ (ln(y) + x2) dy,
onde C é a fronteira da região compreendida por y = x2 e y = x, e C está orientada no sentido
anti-horário.
11. Usando o Teorema de Green, calcule a integral de linha∮
C
(x3 + 2xy) dx+ (3x2 + cos 3y) dy,
onde C é o contorno poligonal fechado, percorrido no sentido anti-horário, formado pelas retas de
equações y = −x+ 6, y = x e x = 0.
12. Encontre uma curva fechada simples C com orientação anti-horária que minimize o valor de∮
C
−y
3
3
dx+
(x3
3
− 4x
)
dy.
Sugestão: use o Teorema de Green.
13. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
F(x, y) = (3 + 2xy)~i+ (x2 − 3y2)~j
em uma part́ıcula que se desloca ao longo do arco da parábola y = 2x2 do ponto (−1, 2) até o
ponto (1, 2).
14. Considere o campo vetorial F(x, y) =
〈
y2, 3xy
〉
. Calcule∮
C
F · dr,
onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante situada entre os ćırculos x2 + y2 = 1 e
x2 + y2 = 4, percorrida no sentido anti-horário.
15. Calcule o trabalho que o campo de forças
F(x, y) =
〈
6y2 + ex sen y, 12xy + ex cos y
〉
realiza em uma part́ıcula que se desloca ao londo do segmento de reta do ponto (1, 0) até o ponto
(0, π/2).
16. Considere o campo vetorial F(x, y) =
〈
x2y − x3, y2 − xy2
〉
. Calcule∮
C
F · dr,
onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo ćırculo de equação x2+y2 = 16
e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.
17. Utilize o Teorema de Green para calcular a área delimitada pela elipse 5x2 + 7y2 = 35.
2
18. A curva que delimita a região hachurada na figura abaixo é conhecida como astroide. Um
astroide pode ser obtido fazendo um ćırculo rodar sem deslizar sobre outro ćırculo, como pode ser
visto nessa animação aqui.
Posśıveis equações paramétricas para o astroide são{
x = 2 cos3 t
y = 2 sen3 t
,
onde o parâmetro t varia no intervalo 0 ≤ t ≤ 2π. Determine a área da região hachurada.
Dica: Utilize o Teorema de Green. Podem ser úteis as identidades trigonométricas
cos2 t =
1 + cos(2t)
2
e sen2 t =
1− cos(2t)
2
.
19. Considere a curva C do plano xy que pode ser descrita
pelas equações paramétricas{
x = sen(2t)
y = 2 sen t
,
onde o parâmetro t varia no intervalo 0 ≤ t ≤ π. Essa
curva C delimita uma região R do plano cujo formato é
parecido com o de uma palheta de violão (ver figura ao
lado). Determine a área desta região R.
Dica: Podem ser úteis as identidades trigonométricas
sen(2t) = 2(sen t)(cos t);
cos(2t) = cos2 t− sen2 t.
Além disso, lembre que a integral da função sen3 t pode ser
calculada observando que
sen3 t = sen t · sen2 t = sen t(1− cos2 t)
e fazendo a substituição u = cos t.
3
https://www.geogebra.org/m/m2rbzzws
Soluções
1. Basta verificar que vale a igualdade ∇φ = F.
2. A curva C pode ser parametrizada por x(t) = t, y(t) = t3, 1 ≤ t ≤ 2. Dáı x′(t) = 1, y′(t) = 3t2 e então∫
C
(2x3 + 3y)dx+ xdy =
∫ 2
1
[(2t3 + 3t3) · 1 + t · 3t2]dt =
∫ 2
1
8t3dt = 30.
3.
e3
3
− 2
e
+
11
3
.
4. O segmento de reta pode ser parametrizado por r(t) = 〈2 + t, 3 − 2t, 1 + t〉, 0 ≤ t ≤ 1, de modo que
r′(t) = 〈1,−2, 1〉, F(r(t)) = 〈5− t, 3 + 2t, 4− t〉. Assim∫
C
F · dr =
∫ 1
0
F(r(t)) · r′(t)dt =
∫ 1
0
(3− 6t)dt = 0.
5. (a) F = 〈f, g〉 onde f(x, y) = 2y e g(x, y) = −2x. O campo não é conservativo pois
∂f
∂y
= 2 6= ∂g
∂x
= −2.
(b) Podemos resolver o problema parametrizando a curva ou usando o Teorema de Green.
Parametrizando a curva :
Podemos tomar
r(t) = 〈cos t, sen t〉,
com 0 ≤ t ≤ 2π. Desse modo
r′(t) = 〈− sen t, cos t〉.
Agora
Trabalho =
∮
C
F · dr =
∫ 2π
0
F(r(t)) · r′(t) dt =
∫ 2π
0
−2(sen2(t) + cos2(t)) dt = −4π.
Usando o Teorema de Green: Seja R a região englobada pelo ćırculo unitário x2 + y2 = 1.∮
C
F · dr =
∮
C
fdx+ g dy =
∫∫
R
∂g
∂x
− ∂f
∂y
dA =
∫∫
R
−4 dA = −4 Area(R) = −4π.
6. (a) F = 〈f, g〉 onde f(x, y) = 3y2 + 2xy e g(x, y) = 6xy + x2 + 1. O campo é conservativo pois
∂f
∂y
= 6y + 2x =
∂g
∂x
.
Uma função φ que satisfaz ∇φ = F é φ(x, y) = 3xy2 + x2y + y.
(b) Pelo Teorema Fundamental para Integrais de Linha temos que∫
C
F · dr = φ(0, 1)− φ(1, 0) = 1.
7. a) O campo tem como função potencial a função φ = xey + y2. b) O trabalho vale 2e− 8.
8. a) O campo tem como função potencial a função φ = x2y3. b) O trabalho vale 16.
9. 2
3
.
10. 1
30
.
11. Sejam f(x, y) = x3 + 2xy, g(x, y) = 3x2 + cos(3y), temos pelo Teorema de Green que∮
C
f dx+ g dy =
∫∫
R
∂g
∂x
− ∂f
∂y
dA =
∫∫
R
4x dA =
∫ 3
0
∫ −x+6
x
4xdy dx = 36
4
Figura 1: região do exerćıcio 11
12. Resposta: a curva que minimiza a integral de linha é a curva C : x2 + y2 = 4.
A resposta é essa porque usando o Teorema de Green podemos trocar a integral de linha pela integral
dupla a seguir: ∮
C
−y
3
3
dx+
(x3
3
− 4x
)
dy =
∫∫
R
(x2 + y2 − 4) dA,
onde R é a região delimitada pela curva C, no plano xy. Considerando a função h(x, y) = x2 + y2 − 4,
note que a integral dupla está calculando o volume ĺıquido com sinal entre a região R e a superf́ıcie
z = x2 +y2−4. Observe as três figuras a seguir, em cada uma delas a curva em preto no plano xy delimita
a região R, em qual delas o volume ĺıquido, da parte em vermelho, é mais negativo? Ainda, por que esta
dá o volume ĺıquido mais negativo posśıvel?
Figura 2: Gráfico da função f(x, y) = x2 + y2 − 4, produzido no GeoGebra 3D. Clique aqui para
visualizar o gráfico no seu navegador.
13. 6 (Dica: verifique que o campo é conservativo)
14. 7/3 (Dica: observe que a curva é fechada e a região é apropriada para descrever em polares)
15. 1 (Dica: verifique que o campo é conservativo)
16. −32π (Dica: observe que a curva é fechada e a região é
apropriada para descrever em polares)
Nos exerćıcios 17, 18 e 19, a ideia é utilizar integrais de linha para o cálculo de áreas, pois, pelo Teorema
de Green, tem-se
Área de R =
∫∫
R
dA =
1
2
∮
C
−y dx+ xdy,
onde C é a curva fechada que delimita a região R.
17. π
√
35 ' 18, 59
18. 3π
2
' 4, 71
19. 8
3
' 2, 6667
5
https://www.geogebra.org/m/vadc4rve