CALC 2

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Números reais	 11
A solução final é a união de (-7, + o.) e (— 00, —35/4) ou seja (— oo , —35/4) u (-7, + co)
ou ainda x e [-35/4, —7].
Graficamente,
-35/4
(iv) (x + 5) (x — 3) > O.
A desigualdade será satisfeita quando ambos os fatores tiverem o mesmo sinal:
Caso 1. 	 (x + 5) > O e (x — 3) > O ou
x > — 5 	 e x> 3
ou
x >
Caso 2. 	 x + 5 < Oex-3<0
ou
x < —5 e x < 3
ou
x < — 5.
A solução final será a união entre (3, + 	 e (— co, —5) ou seja todos os x [-5, 3].
Geometricamente,
4	
-5
2. Resolva as equações:
(i) I5x — 31 = 7.
Esta equação é verdadeira quando 5x — 3 = 7 ou 5x — 3 = — 7, ou seja, x = 2
ou x = — 4/5.
12 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
Portanto, as duas soluções da equação dada são:
x = 2 e x = - 4/5.
(ii) I7x - 11 = I2x + 51.
Esta equação será satisfeita se:
Caso 1.	 7x-1 = 2x + 5
7x-2x = 5 +1
5x = 6
x = 6/5.
Caso 2.	 7x -1 = -(2x +5)
7x -1	 -2x-5
7x +2x = -5 +1
9x	 -4
x = - 4/9.
Portanto, a solução final é x = 6/5 e x = - 4/9.
(iii) 1 9x + 71 = -7.
Esta equação não tem solução pois o valor absoluto de um número nunca pode
ser negativo.
3. Encontre os números reais que satisfaçam as seguintes desigualdades:
(i) 17x- 21<4.
Aplicando a propriedade 1.3.3 (i),
-4 < 7x-2<4
-4+2 < 7x-2+2<4+2
Números reais 	 13
-2 < 7x < 6
2 	 6
7 	
x <	 .
Portanto, x E (-2/7, 6/7).
7 - 2x
4 + x
s 2, x o - 4. 
Aplicando a propriedade 1.3.3 (iv),
17 - 2x1 
14 + 	 ^
 2.
17 - 2x1 s 214 + xl.
Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, vem
49-28x+4x2 s4(16+8x:Fx2)
49-28x+ 4x2 s64+32x+4x2
49 -28x + 4x2 - 64 -32x - 4x2 s 0
- 60x - 15 s O
- 60x 5 15
60x - 15
- 15/60
x z - 1/4 ou x E [-1/4, +
(iii) 3 - 2x s 4, x -2.
2 + x
1 3 - 2x1 s 4 12 + xl
9 - 12x + 4x2 s 16(4+ 4x+x2)
9 - 12x + 4x2 s 64 + 64x + 16x2
-12x2 - 76x -55 s O
14 	 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
	12x2 +76x+55	 O
12(x + 5/6) (x + 11/2) .� O
(x + 5/6) (x + 11/2) � O.
Procedendo como no exemplo 1 (iv) concluímos que a solução final será a
união de (— 00 , —11/2] e [-5/6, + o.), ou seja, x (-11/2, —5/6).
4. Mostre que, se a,bERea<b, então
(i) (x — a) (x — b) > O	 x [a, b].
(ii) (x — a) (x — b) O 	 x (a, b).
(iii) (x — a) (x — b) <O 	 x E (a, b).
(iv) (x — a) (x — b) < O 	 x E [a, b].
	Prova de (i). ((x — a) (x — b) > O 	 x [a, b]).
Os dois fatores (x — a) e (x — b) devem ter o mesmo sinal. Temos dois casos:
Caso 1. x — a > O e x — b > O
ou
x > a 	 e	 x > b.
A solução deste caso será x > b ou (b, + 00).
Caso 2. x—a < O e x—b<0
ou
x < a 	 e	 x < b.
A solução deste caso será x < a ou (— 0 , a).
Portanto, a solução final é a união entre (— co, a) e (b, + 00) ou seja x g [a. b]
Números reais 	 15
De maneira análoga pode-se provar as demais relações.
1.6 EXERCÍCIOS
1. 	 Determinar todos os intervalos de números que
representação gráfica.
a) 	 3 —x < 5 + 3x 	 b)
c) 	 2 > — 3 — 3x � —7
satisfaçam as desigualdades abaixo. Fazer a
1 	 3x 	 —2x 	 5 1 	 x— < — + 	 +
3 	 4 	 3
5 	 3
x 
< —
4
e) x2 _̂ 9 1) x2 -3x+2>0
g) 1— x — 2x2 	O h) x + 1 	 x
2 — x 
	
3 + x
i) x3 +1>x2 +x (x2— 1) (x +4) 5_ O
k) 2 	 x + 2 1) x4 > x2< 1x — 2 — x — 2
x 4<4 n) 1/2 x —rn) x — 3 > 14 + x
o) 3 p) x3 — x2 — x —2>0<2x — 5
q) x3 -3x+ 2 50 r) 1 	 3
x + 1 	 x — 2
s) 8x3 — 4x2 — 2x + 1 < O t) 12x3 — 20x2 _� — 11x + 2.
2. Resolver as equações em R.
a) 15x — 3 I = 12
c) I 2x — 3 I = I 7x — 5 I
b) 	 I —4+12x1=7
d) x + 2
x — 2
=5 
16 Cálculo A — Funções, Limite, Derivação, Integração
3x + 8
e) — 4 f) 13x+2I=5—x2x — 3
g) I9x1-11 = x h) 2x-7=Ix1+1.
3. Resolver as inequações em R.
a) I x + 121<7 b) 13x-41.<2
c) 15-6x1 � 9 d) 12x-51>3
e) 16+2x1<14—xl f) lx+415.12x-61
• g) 13x1>15-2x1 h) 7 — 2x < 
5 + 3x — 2
i) lx-11+1x+21>4 j) _1<lx+21<4 
k)
2 +x
3 —x
> 4 1)
5 
2x— 1 
1 
x — 2 
m) lx1+1<x 	 n). 31x-11+1xl<1
o) 12x2 +3x+3I ^ 3 	 p)	 lx-11+1x-31<14x1
1 	1
lx+ 111x — 31 — 5 r)
x— 1/2
x + 1/2 <1 
s) 3 — 2x
1 +x
<4 
Números reais 	 17
4. Demonstrar:
a) Se a � Oeb � O, então a2 = b2 se e somente se a = b.
1b) Se x < y, então x < —
2
(x+ y)< y.
c) 1 xl > a se e somente se x > a ou x < — a, onde a> O.
d) Se O < a < b, então "■,/, < a ± 12
2
CAPÍTULO 2 EDITORA
DAMAKRONBooks
FUNÇÕES
Neste capítulo introduziremos um dos mais fundamentais conceitos da mate-
mática — o de função. O conceito de função refere-se essencialmente à correspondência
entre conjuntos. Uma função associa a elementos de um conjunto, elementos de outro
conjunto. Em nosso estudo os conjuntos envolvidos sempre serão subconjuntos de R.
As funções neles definidas são chamadas funções reais de variável real.
2.1 DEFINIÇÃO
Sejam A e B subconjuntos de 1?. Uma função f: A B é uma lei ou regra que
a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B. O conjunto A é
chamado domínio de f e é denotado por D(f). B é chamado contradomínio ou campo de
valores de f.
Escrevemos: 	 f:. A —> B
x —> f (x)
ou
f
A —> B
x — > y = f (x).
18
Funções	 19
2.2 EXEMPLOS
Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}.
(i) f: A —> B dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B.
(ii) g: A --> B
x --> x + 1
é uma função de A em B. Podemos representar g em diagrama.
2.3 CONTRA-EXEMPLOS
Sejam A = {3, 4, 5} e B = {1, 2}.
(i) f: A —> B dada pelo diagrama a seguir, não é uma função de A em B, pois
o elemento 4 E A tem dois correspondentes em B.
20 	 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração
(ii) g: A — B
x --> x - 3
não é uma função de A em B, pois o elemento 3 E A não tem correspondente em B.
Podemos ver isto facilmente representando g em diagrama.
2.4 DEFINIÇÃO
Seja f: A —> B.
i) Dado x E A, o elemento f (x) e B é chamado o valor da f-unçãof no ponto
x ou imagem de x por f.
ii) O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado
conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).