Equação_do_2_Grau_-_Resolução_de_Equações_da_Forma_Completa_apliando_soma_e_produto

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SUMÁRIO 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU ...................................................................................................................................... 2 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DA FORMA COMPLETA APLICANDO SOMA E PRODUTO .................................. 2 
 
 
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EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DA FORMA COMPLETA APLICANDO 
SOMA E PRODUTO 
 Relação entre Raízes e Coeficientes de uma Equação do Segundo Grau (ou relações 
de Girard) 
• Soma das raízes (S) 
A Soma das raízes de uma equação do segundo grau é igual ao quociente entre 
o simétrico do coeficiente de 1º grau e o coeficiente do termo de 2º grau. 
 
Soma = x' + x” = - 
𝒃
𝒂
 
 
• Produto das raízes (P) 
O Produto das raízes de uma equação do segundo grau é igual ao quociente 
entre o termo independente e o coeficiente do termo de 2º grau. 
 
Produto = x’. x” = 
𝒄
𝒂
 
 Soma dos inversos das raízes de uma equação do 2º grau 
 
𝟏
𝒙′
 + 
𝟏
𝒙"
 = 
𝒙′+𝒙"
𝒙′. 𝒙"
 = 
𝑺𝒐𝒎𝒂 𝒅𝒂𝒔 𝒓𝒂í𝒛𝒆𝒔
𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒕𝒐 𝒅𝒂𝒔 𝒓𝒂í𝒛𝒆𝒔
 = 
𝑺
𝑷
 
Exemplos: 
 
1) Encontre as raízes das seguintes equações aplicando as relações de Soma e Produto: 
 
a) x2 - 7x + 12 = 0 
Solução: 
Nessa questão temos: 
Produto = 
𝑐
𝑎
 = 
12
1
 = 12 
Soma = - 
𝑏
𝑎
 = 
− (−7)
1
 = 7 
Assim, temos que encontrar dois números cujo produto é igual a 12. Sabemos 
que: 
1 x 12 = 12 
2 x 6 = 12 
3 x 4 = 12 
Agora, precisamos verificar os dois números cuja soma é igual a 7. Assim, 
identificamos que as raízes são 3 e 4, pois 3 + 4 = 7. 
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b) x2 + 11x + 24 = 0 
Solução: 
Nessa questão temos: 
Produto = 
𝑐
𝑎
 = 
24
1
 = 24 
Soma = - 
𝑏
𝑎
 = 
− 11
1
 = -11 
Procurando o produto igual a 24, temos: 
 
1 x 24 = 24 
2 x 12 = 24 
3 x 8 = 24 
4 x 6 = 24 
Como o sinal do produto é positivo e a soma é negativo (-11), as raízes 
apresentam sinais iguais e negativos. Sendo assim, as raízes são -3 e -8, pois -3 + 
(-8) = -11. 
c) x2 – 9x + 20 = 0 
Solução: 
Nessa questão temos: 
Produto = 
𝑐
𝑎
 = 
20
1
 = 20 
Soma = - 
𝑏
𝑎
 = 
− (−9)
1
 = 9 
Procurando o produto igual a 20, temos: 
 
1 x 20 = 20 
2 x 10 = 20 
4 x 5 = 20 
Agora, precisamos verificar os dois números cuja soma é igual a 9. Assim, 
identificamos que as raízes são 4 e 5, pois 4 + 5 = 9. 
 
d) 3x2 - 21x - 24 = 0 
Solução: 
Nessa questão temos: 
Produto = 
𝑐
𝑎
 = 
−24
3
 = -8 
Soma = - 
𝑏
𝑎
 = 
− (−21)
3
 = 7 
Procurando o produto igual a -8, temos: 
1 x 8 = 8 
2 x 4 = 8 
Sendo o sinal do produto negativo e da soma positivo (+7), concluímos que as 
raízes possuem sinais diferentes e que o maior valor possui sinal positivo. Assim, as 
raízes possuem sinais diferentes e que o maior valor possui sinal positivo. Assim, as 
raízes procuradas são 8 e -1, pois 8 + (-1) = 7. 
 
 
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2) Determine a soma e o produto das raízes das seguintes equações: 
 
a) x2 – 20x + 36 = 0 
Solução: 
Nessa questão temos: 
Soma = - 
𝑏
𝑎
 = 
− (−20)
1
 = 20 
Produto = 
𝑐
𝑎
 = 
36
1
 = 36 
 
b) 6x2 – 4x – 3 = 0 
Solução: 
Nessa questão temos: 
Soma = - 
𝑏
𝑎
 = 
− (−4)
6
 = 
2
3
 
Produto = 
𝑐
𝑎
 = 
−3
6
 = - 
1
2
 
 
3) Determine, sem resolver a equação x2 – 3x - 12 = 0, a soma dos inversos de suas raízes. 
Solução: 
Soma dos inversos = 
1
𝑥′
 + 
1
𝑥"
 = 
𝑥" + 𝑥′
𝑥′. 𝑥"
 = 
𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠
 = 
− 
𝑏
𝑎
𝑐
𝑎
 = - 
𝑏
𝑐
 = - 
(−3)
−12
 = - 
1
4
 
 
 
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