Lista 9 A2023 - Classe Gabarito - slides corrigida

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MAE0116 – Noções de Estatística
Lista de exercícios 9 – Testes de hipóteses I - CLASSE 
G A B A R I T O
1
Exercício 1
Uma universidade pretende ampliar o número de pesquisadores que realizam intercâmbio no
exterior. Para tanto, foram implementadas algumas políticas de incentivo ao programa de
extensão no exterior. Antes das mudanças, havia a constatação de que 35% dos
pesquisadores, dessa universidade, haviam feito intercâmbio em países estrangeiros. Depois
de 3 anos das novas medidas serem adotadas, foram selecionados, aleatoriamente,
pesquisadores da universidade com o intuito de verificar se a proporção de intercâmbio no
exterior havia aumentado.
a) Formule o problema como um problema de teste de hipóteses.
p: proporção de pesquisadores que realizam intercâmbio no exterior três anos
após a adoção das novas medidas.
H0: p = 0,35
H1: p > 0,35
2
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
b) Suponha que 68 pesquisadores foram entrevistados após 3 anos das novas medidas, dos
quais 31 disseram que haviam realizado intercâmbio em países estrangeiros. Qual é a
estimativa pontual de p? Qual é a conclusão com base em um nível de significância  de 5%?
Exercício 1
b.1) Estimativa pontual de p:
b.2) Definamos a região crítica, isto é, 
Sob H0 (p = 0,35),
, aprox.
n = 68 4559,0
68
31
ˆ == obsp
?},ˆ{ == aapRC
3
H0: p = 0,35
H1: p > 0,35
05,0)35,0 ,ˆ( === papP sendo
mente.aproximada ,)
68
65,035,0
 ;35,0(~ˆ

Np
 = P(erro I) = P(rejeitar H0, sendo H0 verdadeira) RCpˆ= P( , sendo H0 verdadeira)
05,0)ˆ( = apPAssim, o valor a é tal que , sendo ).0,0578 ;35,0(~ˆ 2Np
grande é quando , n
n
pp
p,Np )
)1(
(~ˆ
−
TLC:
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
Exercício 1b) (continuação)
 H0 é rejeitada.
4
Assim, para  = 0,05, }.4451,0ˆ{ = pRC
a = 0,4451
RCpobs = 4559,0ˆ
Conclusão: Ao nível de significância de 5%, concluímos que há evidências de
que depois de 3 anos das novas medidas serem adotadas, a proporção de
pesquisadores, que realizam intercâmbio no exterior, aumentou.
Verifiquem!!
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
Exercício 1
c) Se a hipótese nula for rejeitada, estime p por meio de um intervalo de confiança com 
coeficiente de confiança de 90%. 
5
 
ˆ1ˆ
ˆ
ˆ1ˆ
ˆ 







 −
+
−
−=
n
pp
zp 
n
pp
zp p ; γIC
)()(
)( ;
 = 0, 90  z é tal que P(Z  z) = 0,95  z = 1,6449 (Z  N(0; 1)) 
Lembrando:
0,5552] ; [0,3566 
0,0993] 0,4559 ; 0,0993- [0,4559 ´ 
 
68
4559,014559,0
1,6449ˆ
68
4559,014559,0
1,64494559,0%90 
=
+=





 −
+
−
−=
)()(
);( p p IC ;
4559,0ˆ =obspn = 68 
com margem de erro  = 0,0993
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
Exercício 2
A depressão é um mal que assola nossos tempos. A doença ganha grande atenção de governos e
laboratórios, dadas suas repercussões sociais e econômicas. Um laboratório farmacêutico sabe
que 30% daqueles que realizam o tratamento para depressão com determinado medicamento
ganham peso como efeito colateral de seu uso, após 3 meses. Desenvolveu-se uma nova
fórmula para o referido remédio, com o objetivo de diminuir o mencionado efeito colateral
(aumento de peso). Para analisar se esta proporção diminuiu, 300 pacientes, tratados com o
novo medicamento, foram entrevistados.
a) Formule esse problema como um teste de hipóteses especificando quem é p. 
p: proporção de pessoas que realizam tratamento para depressão com o novo 
medicamento e ganham peso como efeito colateral de seu uso após 3 meses.
6
H0: p = 0,3
H1: p < 0,3
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
b) Quais são os significados dos erros tipo I e tipo II para o problema?
Exercício 2
Erro tipo II: não rejeitar 𝐻0 sendo 𝐻1 verdadeira. Dizer que a nova
fórmula do referido remédio não diminui o efeito colateral (aumento de
peso) nas pessoas que realizam o tratamento para depressão com ele,
quando na verdade diminui esse efeito colateral.
Erro tipo I: Rejeitar 𝐻0 sendo 𝐻0 verdadeira. Dizer que a nova fórmula do
referido remédio diminui o efeito colateral (aumento de peso) nas pessoas
que realizam o tratamento para depressão com ele, quando na verdade não
diminui esse efeito colateral.
7
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
c) Construa a região crítica do teste considerando um nível de significância de 1%.
8
H0: p = 0,3
H1: p < 0,3
8
)3,0 ,ˆ( == papP sendo
)ˆ( apP 
Assim, o valor a é tal que 
 = = 0,01, sendo ).0,0265 ;3,0(~ˆ
2Np
RCpˆ = P( , sendo H0 verdadeira)
}ˆ{ apRC =A região crítica é dada porn = 300
Sob H0 (p = 0,3), )300
7,03,0
 ;3,0(~ˆ

Np
> qnorm(0.01, 0.3, 0.0265)
[1] 0.238352
a = 0,2384 }2384,0ˆ{ = pRC
Exercício 2
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
Logo, concluímos ao nível de significância de 1% que não há evidências de que o 
novo medicamento diminua o efeito colateral (aumento de peso).
d) Se, dentre 300 pacientes tratados com o novo medicamento, 225 não apresentarem
aumento de peso, qual será a decisão a ser tomada? Justifique.
9
 = 0,01 }2384,0ˆ{ = pRC
n = 300 )2384,0( 25,0
300
75
300
225300
ˆ ==
−
= obsp
 H0 não é rejeitada.RCpobs = 25,0ˆ
Exercício 2
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
e) Qual seria a conclusão se aumentarmos α de 1% para 10 %?
10
}ˆ{ bpRC =A região crítica é dada por
)3,0 ,ˆ( == pbpP sendoRCpˆ = P( , sendo H0 verdadeira)
)ˆ( bpP Assim, o valor b é tal que  = = 0,10, sendo ).0,0265 ;3,0(~ˆ
2Np
b = 0,2660 }2660,0ˆ{ = pRC
RCpobs = 25,0ˆConsiderando  = 10%,  H0 é rejeitada.
Logo, concluímos que há evidências de que o novo medicamento diminui o efeito 
colateral (aumento de peso).
Note que quando aumentamos o nível de significância (probabilidade de cometer 
o erro I), a conclusão mudou e acabamos rejeitando H0.
H0: p = 0,3
H1: p < 0,3
Exercício 2
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
f) Se a amostra fosse de tamanho 580 e com a mesma proporção amostral encontrada no item
(d), qual seria a conclusão ao nível de significância de 1%?
11
)3,0 ,ˆ( == pcpP sendoRCpˆ = P( , sendo H0 verdadeira)
}ˆ{ cpRC =A região crítica é dada porn = 580
)ˆ( cpP Assim, o valor c é tal que  = = 0,01, sendo ).0,0190 ;3,0(~ˆ
2Np
c = 0,2558 }2558,0ˆ{ = pRC
)
580
7,03,0
 ;3,0(~ˆ

NpComo n = 580, sob H0
 H0 é rejeitada.RCpobs = 25,0ˆ
Logo, concluímos ao nível de significância de 1% que há evidências de que o novo 
medicamento diminui o efeito colateral (aumento de peso).
Exercício 2
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
Em certo município foi feita uma pesquisa em 2016 e constatou-se que 25% das crianças
participavam de atividades esportivas nos centros esportivos municipais. A prefeitura, em
2017, com o intuito de verificar se essa participação se alterou, realizou uma pesquisa
com 60 crianças e constatou que 24 participavam de atividades esportivas.
a) Formule esse problema como um problema de teste de hipóteses, especificando quem é 
o parâmetro a ser testado. 
p: proporção de crianças que participavam de atividades esportivas nos
centros esportivos em certo município em 2017.
12
H0: p = 0,25
H1: p 0,25
Exercício 3
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
b) Conclua o teste estatístico com base em um nível de significância de 4%.
b.1) Estimativa pontual de p:
b.2) Definamos a região crítica, isto é, 
13
n = 60 40,0
60
24
ˆ == obsp
H0: p = 0,25
H1: p 0,25
}ˆ ˆ{ bpapRC = ou
)25,0,ˆou ˆ( == pbpapP sendoRCpˆ = P( , sendo H0 verdadeira)
Uma vez que é maior que 0,25, então devemos encontrar o valor de b tal queobsp̂
02,0
2
)25,0 ,ˆ( ===

pbpP sendo
Temos que b = 0,364805
Assim,  = 0,04 }3648,0ˆ ˆ{ = papRC ou
)0,0559 ;25,0( )
60
75,025,0
 ;25,0(~ˆ ,02,0) ˆ( 2NNpbpP =

= que em b é tal que
Exercício 3
Lista de exercícios9 CLASSE – Testes de hipóteses I
Concluímos, ao nível de significância de 4%, que há evidências de que a
proporção de crianças, que participaram de atividades esportivas nos
centros esportivos municipais em 2017, aumentou em relação ao ano de
2016.
14
rejeitada. é então Como 0 ,40,0ˆ HRCpobs =
}3648,0ˆ ˆ{04,0 == papRC ou
Exercício 3b) (continuação)
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I
c) Estime a proporção de crianças p que participam de atividades esportivas em 2017, por 
meio de um intervalo de confiança com coeficiente de confiança de 96%.
15
 
ˆ1ˆ
ˆ
ˆ1ˆ
ˆ 







 −
+
−
−=
n
pp
zp 
n
pp
zp p ; γIC
)()(
)( ;
 = 0, 96  z é tal que P(Z  z) = 0,98  z = 2,0537 (Z  N(0; 1)) 
4,0ˆ =obspn = 60 
0,5299] ; [0,2701 
0,1299] 0,40 ; 0,1299- [0,40 ´ 
 
60
4,014,0
2,053740,0
60
4,014,0
2,053740,0%90 
=
+=





 −
+
−
−=
)()(
);( p IC ;
com margem de erro  = 0,1299.
Exercício 3
Lista de exercícios 9 CLASSE – Testes de hipóteses I