Vetor e espaço vetorial

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Vetor e espaço vetorial
Força é um exemplo típico de grandeza que 
será representada por um vetor (velocidade e 
deslocamento, também)
Exemplo de vetor: deslocamento em um 
mapa
Vetor
 Um vetor em E3 é um conjunto de segmentos orientados 
equivalentes (ou equipolentes), ou seja, com mesmo módulo, 
direção e sentido.
 Ԧ𝑣 = 𝑋𝑌/𝑋𝑌~𝐴𝐵
 Ԧ𝑣 = 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴
 Espaço dos vetores: V3
A
B
Ԧ𝑣
X
Y
 Módulo é o tamanho do vetor (seu comprimento) e será denotado por Ԧ𝑣 = 𝑑 𝐴, 𝐵
 Direção: é dada pela reta suporte que sustenta o vetor.
 Sentido: é indicado pela seta do vetor.
Vetores no plano
Considerando o plano cartesiano. Dados dois pontos P e Q do plano, podemos considerar o segmento 
de reta orientado 𝑃𝑄, com ponto inicial P e ponto final Q. Note que embora os segmentos 
𝑃𝑄 e 𝑄𝑃 são iguais enquanto conjunto de pontos, mas como segmentos orientados são opostos.
P
Q
K
L
W
Z
R TX
Y
 Em geral vamos considerar apenas os segmentos orientados com ponto inicial na origem, 
denominados vetores no plano – o mesmo vale para vetores no espaço.
 Vetores no plano são determinados exclusivamente pelo seu ponto final P(a,b), pois o ponto 
inicial é fixo na origem.
• A correspondência 
entre pontos do plano 
e vetores é biunívoca.
P
Q
O
A
a
b
Site soma de vetores
 Ver o site https://phet.colorado.edu/en/simulation/vector-addition
Vetor representado por uma matriz
 Usamos a notação da matriz-coluna Ԧ𝑣 = 𝑎𝑏
 Ou a identificaçãoԦ𝑣 = 𝑎, 𝑏 . 
 Exemplo: Ԧ𝑣 = 13 ou Ԧ𝑣 = 1,3
 A origem do plano, que é um só ponto, fica associada ao vetor nulo, 
representado por 0,0 .
Exemplo de soma de vetor e 
multiplicação por escalar 
 Dados 𝑢 = 1−2 e 𝑣 =
2
−5 , calcule 4u, (−3)𝑣 e 4u + (−3)𝑣
Operações com vetores no plano
Ache a soma dos vetores indicados em cada figura (i) e (ii):
A
B C
D
F E
soma
A
B C
D
F E
Definição de espaço vetorial
 Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma e 
multiplicação por escalar, tais que, para quaisquer 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ ℝ , as propriedades de i 
a viii sejam satisfeitas:
i. 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤
ii. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
iii. Existe 0 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + 0 = 0 (0 é o vetor nulo)
iv. Existe −𝑢 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + −𝑢 = 0
v. 𝑎 𝑢 + 𝑣 = 𝑎𝑢 + 𝑎𝑣
vi. 𝑎 + 𝑏 𝑣 = 𝑎𝑣 + 𝑏𝑣
vii. 𝑎𝑏 𝑣 = 𝑎 𝑏𝑣
viii. 1𝑢 = 𝑢
Exemplos de espaços vetoriais
 O conjunto dos vetores do espaço (ou conjunto das coordenadas no espaço)
ℝ 3 = 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 /𝑥 𝑖 ∈ ℝ
 O conjunto de vetores com n-uplas de números reais (ou conjunto das 
coordenadas em espaços com n dimensões)
ℝ 𝑛 = 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 /𝑥 𝑖 ∈ ℝ
 𝑉 = 𝑀(𝑚, 𝑛) , o conjunto das matrizes reais mxn com a soma e produto por 
escalar usuais.
Referências
 Vídeo-aula https://www.youtube.com/watch?v=-JcQJFNVjaA
 Boldrini, J. L. [et al] Álgebra Linear. 3 ed. São Paulo: Harbra, 1986.
 Lay, D. C.; Lay, J. J., McDonald J. Álgebra linear e suas aplicações. 5 ed, Rio 
de Janeiro: LTC, 2018.
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