Matemática para Ensino Superior (6)

Prévia do material em texto

MA-14 - Aula 01
Semana 05/08 a 11/08
Unidade 1
Divisibilidade
1.2 Divisibilidade: Problemas
Exercício 1.2.1.
Sejam a, b, c ∈ Z e c ̸= 0. Mostre que: ac|bc ⇔ a|b.
Demonstração.
(⇒) Condição necessária.
Seja ac|bc então existe m ∈ N tal que bc = m · ac, logo bc − m · ac = 0 assim,
c(b−ma) = 0.
Se c = 0 nada a concluir. Suponhamos que b−ma = 0 então b = ma e portanto a|b.
(⇐) Condição suficiente.
Suponhamos que a|b então existe β ∈ Z tal que b = βa. Para c ∈ Z temos que bc = βca
de onde ac|bc.
Portanto, ac|bc ⇔ a|b.
Exercício 1.2.2.
(ENC-98)1 A soma de todos os múltiplos de 6 que se escrevem (no sistema decimal)
com dois algarismos é:
(a) 612 (b) 648 (c) 756 (d) 810 (e) 864
Solução.
Os múltiplos de 6 com dois algarismos são: 12, 18, . . . , 96. A soma pedida é
12 + 18 + . . .+ 96 = 6(1 + 2 + 3 + 4 + . . .+ 16− 1) =
1Exame Nacional de Cursos, MEC/INEP.
1
2
= 6
[
16× 17
2
− 1
]
= 810
Resposta d) 810.
Exercício 1.2.3.
Com quanto zeros termina o número 100!?
Solução.
Da definição de fatorial temos:
100! = 1× 2× 3× 4× . . .× 98× 99× 100
100! = 250[1× 3× 5× 7× . . . 97× 99][1× 2× 3× 4× . . .× 50]
100! = 250[1×3×5×7× . . . 97×99][225(1×2×3×4× . . .×25)(1×3×5×7× . . .×47×49)]
100! = 275[5× 15× 25× 35× . . .× 85× 95× α1][(25!)(5× 15× 25× 35× 45× β1]
100! = 275[510(1× 3× 5× 7× . . . 17× 19)α2][(25!)][55(1× 3× 5× 7× 9)β2]
100! = 275 · 515[(1× 3× 5× 7× . . . 17× 19)α2][(25!)][(1× 3× 5× 7× 9)β2]
100! = 275 · 515[(5× 15α3][(25!)][(5× β3] = 275 · 518γ1 × 25! (1.1)
Por outro lado:
25! = 1×2×3×4× . . .×24×25 = [1×3×5×7× . . . 23×25][212(1×2×3×4× . . .×12)]
25! = 212[5× 15× 25× α3][(2× 4× 5× 6× 8× 10× 12)β3]
25! = 212[54 × α4][(210 × 52)β4] = 222 × 56 × γ2
En (1.1)
100! = 275 · 515[(5× 15α3][(25!)][(5× β3] = 275 · 518γ1 × (222 × 56 × γ2)]
Portanto 100! = 297 × 522 × γ, termina em 24 zeros.
Recomendo o site http : //2000clicks.com/MathHelp/BasicFactorialTable.aspx
Exercício 1.2.4.
a) Mostre que o produto de i números naturais consecutivos é divisível por i!.
b) Mostre que 6|n(n+ 1)(2n+ 1), para todo n ∈ N.
Demonstração.
3
a) Seja n ∈ N tal que n > i e os números consecutivos n, n − 1, n − 2, · · · , n − i + 1
na forma decrescente. Seu produto é dado por
N = n(n− 1)(n− 2) · · · (n− i+ 1) =
Sabemos que
C in =
n!
i!(n− i)!
=
n(n− 1)(n− 2) · · · (n− i+ 1)
i!
=
N
i!
= α ∈ N
logo N = αi!
Portanto, o produto de i números naturais consecutivos é divisível por i!
b) Aplicando indução sobre n
Se n = 1, temos (1)(2)(3) = 6 é imediato que 6|n(n+ 1)(2n+ 1).
Suponhamos que para algum h ∈ N onde h ≤ n cumpra que 6|h(h+1)(2h+1), isto
é existe α ∈ N tal que h(h+ 1)(2h+ 1) = 6α.
Para h+ 1 temos
(h+ 1)[(h+ 1) + 1][2(h+ 1) + 1] = (h+ 1)(h+ 2)[(2h+ 1) + 2] ⇔
h(h+1)(2h+3)+2(h+1)(2h+3) = h(h+1)(2h+1)+2h(h+1)+2(h+1)(2h+3)
aplicando a hipótese auxiliar
= 6α + 2(h+ 1)[h+ (2h+ 3)] = 6α + 6(h+ 1)2 = 6β
onde β ∈ N.
Portanto, 6|n(n+ 1)(2n+ 1), para todo n ∈ N.
Exercício 1.2.5.
Mostre, por indução matemática, que, para todo n ∈ N,
a) 8|32n + 7 b) 9|10n + 3× 4n+2 + 5
c) 9|n4n+1 − (n+ 1)4n + 1 d) 169|33n+3 − 26n− 27
Demonstração.
a) Aplicar indução matemática.
4
b) Aplicar indução matemática.
Para n = 0 e n = 1 é imediato, a propriedade é verdadeira.
Suponhamos que, para n ≤ h seja verdade que 9|10h + 3 × 4h+2 + 5, logo existe
α ∈ N tal que 10h + 3× 4h+2 + 5 = 9α
Para h+ 1 temos 10h+1 + 3× 4h+3 + 5 = 10h(9 + 1) + 3× 4× 4h+2 + 5 =
= 9× 10h + [10h + 3× 4h+2 + 5] + 3× 3× 4h+2 = 9β
para algum β ∈ N
Portanto, 9|10n + 3× 4n+2 + 5 para todo n ∈ N
c) Aplicando indução sobre n
d) Aplicando indução sobre n
Exercício 1.2.6.
Mostre que 13|270 + 370.
Demonstração.
Temos: 24 = 13 + 3, 25 = m(13) + 7, 26 = m(13) + 4 = m(13)− 1. Logo,
270 = 24 × (26)11 = 24[m(13)− 1]11 = m(13)− 24 = m(13)− 3
Por outro lado, 32 = 13− 4, 33 = m(13) + 1. então
370 = 3 · (33)23 = 3 · (m(13) + 1)23 = 3(m(13) + 123) = m(13) + 3
Assim, 270 + 370 = [m(13)− 3] +m(13) + 3 = m(13).
Portanto, 13|270 + 370.
Exercício 1.2.7.
5
Mostre que, para todo n ∈ N:
a) 9|10n − 1 d) 3|10n − 7n g) 19|32n+1 + 44n+2
b) 8|32n − 1 e) 13|92n − 24n h) 17|102n+1 + 72n+1
c) 53|74n − 24n f) 6|52n+1 + 1 i) 14|34n+2 + 52n+1
Solução.
a) Temos para todo n ∈ N
10n − 1 = (m(9) + 1)n − 1 = m(9) + 110 − 1 = m(9)
b) Temos para todo n ∈ N
c) Temos para todo n ∈ N que
74n = 492n = (m(53)− 4)2n = m(53) + (−4)2n = m(53) + 24n
Logo 74n − 24n = m(53). Portanto, 53|74n − 24n
d) Temos para todo n ∈ N que
10n − 7n = (m(3) + 1)n − (m(3) + 1)n = m(3) + (1)n − (1)n = m(3)
Portanto, 53|74n − 24n.
e)
f)
g)
h)
1)
x
Exercício 1.2.8.
Sejam a, b ∈ Z.
6
a) se a ̸= b, mostre que, para todo n ∈ N, n ≥ 2,
an − bn
a− b
= an−1 + an−2b+ an−3b2 + · · ·+ abn−2 + bn−1
b) Se a+ b ̸= 0, mostre que, para todo n ∈ N∗,
a2n+1 + b2n+1
a+ b
= a2n − a2n−1b+ a2n−2b2 + · · · − ab2n−1 + b2n
c) Mostre que, para todo n ∈ N,
a2n − b2n
a+ b
= a2n−1 − a2n−2b+ a2n−3b2 + · · ·+ ab2n−2 − b2n−1
Demonstração. a)
Por indução sobre n ≥ 2 quando b ̸= a
Se n = 2 temos a2 − b2 = (a− b)(a+ b) ⇒ a
2 − b2
a− b
= a+ b é verdadeira
Suponhamos para h ∈ N seja verdade que
ah − bh
a− b
= ah−1 + ah−2b+ ah−3b2 + · · ·+ abh−2 + bh−1
Para h+ 1 e aplicando a hipótese auxiliar
ah+1 − bh+1 = a(ah − bh) + bh(a− b) =
ah+1 − bh+1 = a[(a− b)(ah−1 + ah−2b+ ah−3b2 + · · ·+ abh−2 + bh−1)] + bh(a− b) =
ah+1 − bh+1 = (a− b)[a(ah−1 + ah−2b+ ah−3b2 + · · ·+ abh−2 + bh−1) + bh] =
ah+1 − bh+1
a− b
= ah + ah−1 + ah−2b+ ah−3b2 + · · ·+ abh−2 + bh−1 + bh
Portanto, a igualdade é verdadeira para todo n ∈ N, n ≥ 2
Exercício 1.2.9.
Para quais valores de a ∈ N:
a) (a− 2)|a3 + 4 ? b) (a+ 3)|a3 − 3 ?
c) (a+ 2)|a4 + 2 ? d) (a+ 2)|a4 + 2a3 + a2 + 1 ?
Demonstração.
a) Suponhamos que (a− 2)|a3 + 4 então existe β ∈ N tal que a3 + 4 = β(a− 2) isto é
7
a3 − 8 + 12 = β(a− 2), assim
(a− 2)[β − (a2 + 2a+ 4)] = 12 ⇒ β − (a2 + 2a+ 4) = 12
a− 2
Como, β − (a2 + 2a+ 4) ∈ N, temos a = 8, 6, 5, 4, 3
Portanto, a ∈ N que satisfaz (a+2)|a4+2a3+a2+1 são os números a = 8, 6, 5, 4, 3.
b)
c)
d) Suponhamos que (a+2)|a4+2a3+a2+1 então existe β ∈ N tal que a4+2a3+a2+1 =
β(a+ 2) isto é a3(a+ 2) + (a2 − 4) + 5 = β(a+ 2), assim
(a+ 2)[β − (a3 + a− 2)] = 5 ⇒ β − (a3 + a− 2) = 5
a+ 2
Como, β − (a3 + a− 2) ∈ N, temos a = 3, −1, −3, −7
Portanto, o único a ∈ N que satisfaz (a+ 2)|a4 + 2a3 + a2 + 1 é a = 3.
Exercício 1.2.10.
Mostre que, para todos a,m, n ∈ N, m > n > 0 ⇒ (a2n + 1)|(a2m − 1)
Demonstração.
Se m > n, então existe p ∈ N tal que m = n+ p, assim a2m = a2n+p observe que 2n+p
é par
a2
m − 1 = a2n+p − 12n+p = (a2n+p−1 + 12n+p−1)(a2n+p−1 − 12n+p−1)
a2
m − 1 = β1 × (a2
n+p−1 − 12n+p−1) = β1 × (a2
n+p−2
+ 12
n+p−2
)(a2
n+p−2 − 12n+p−2)
a2
m − 1 = β2 × (a2
n+p−2 − 12n+p−2) = β2 × (a2
n+p−3
+ 12
n+p−3
)(a2
n+p−3 − 12n+p−3)
...
...
...
a2
m − 1 = βp−2 × (a2
n+2 − 12n+2) = βp−2 × (a2
n+1
+ 12
n+1
)(a2
n+1 − 12n+1)
a2
m − 1 = βp−1 × (a2
n+1 − 12n+1) = βp−1 × (a2
n
+ 12
n
)(a2
n − 12n)
Logo, a2m − 1 = βp−1 × (a2
n+1 − 12n+1) = K × (a2n + 1) para algum K ∈ N.
Portanto, para todos a,m, n ∈ N, m > n ⇒ (a2n + 1)|(a2m − 1.
Exercício 1.2.11.
Mostre, para todo n ∈ N, que n2|(n+ 1)n − 1.
Demonstração.
8
Para todo n ∈ N sabemos pelo binômio de Newton que
(n+ 1)n =
n∑
k=0
Cn−kn n
n−k × 1k = nn + n× nn−1 +
n−1∑
k=2
Cn−kn n
n−k × 1k + 1
= n2[nn−2 + nn−2 + n2
n−1∑
k=2
Cn−kn n
n−k−2] + 1 = m(n2) + 1
Portanto, para todo n ∈ N, temos que n2|(n+ 1)n − 1.
Exercício 1.2.12.
Mostre, para todo a ∈ N, que:
a) 2|a2 − a b) 3|a3 − a c) 5|a5 − a d) 7|a7 − a
Demonstração.
a) Seja N = a2 − a = a(a− 1), Se a ∈ N é par, logo a = 2k, então N = (2k)(2k − 1) =
2(2k2 − k), assim, 2|a2 − a.
Se a = 2α + 1, então N = (2α+ 1)[(2α + 1)− 1] = 2α(2α+ 1), logo 2|a2 − a
b)
c) Suponhamos que a - 5 e seja o conjunto M = {a, 2a, 3a 4a} então cada um dos
elementos de M , diferença con elementos do conjunto P = {1, 2, 3, 4} em alguma
ordem, são divisíveis por 5.
Suponhamos a − 1 = m(5) ⇒ a = 1 + m(5), 2a − 2 = m(5) ⇒ 2a =
2+m(5), 3a−3 = m(5) ⇒ 3a = 3+m(5), 4a−4 = m(5) ⇒ 4a = 4+m(5)
de onde 4!a = 4!+m(5). Logo, como 4! não é múltiplo de 5 segue
4!a4 − 4! = m(5) ⇒ a(a4 − 1) = a×m(5) ⇒ a5 − a = m(5)
Portanto, 5|a5 − a
d) Suponhamos que a - 7 e seja o conjunto M = {a, 2a, 3a 4a, 5a, 6a} então cada um
dos elementos de M , diferença con elementos do conjunto P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} em
alguma ordem, são divisíveis por 7. Logo
6!a6 − 6! = m(7) ⇒ a7 − a = m(7)
Portanto, 7|a7 − a
Exercício 1.2.13.
9
Mostre que existem infinitos valores de n em N para os quais 8n2 + 5 é divisível por 7
e por 11.
Demonstração.
Se o número 8n2 + 5 é divisível por 7 e por 11, logo ele é divisível por 77 (7 e 11 são
coprimos). Suponhamos que 8n2 + 5 é divisível por 77, logo existe β ∈ N tal que
8n2 + 5 = 77β ⇒ 8n2 + 5− 77 = 77(β − 1) ⇒ 8(n2 − 9) = 77(β − 1)
Como 8 - 77, segue que 8|(β − 1) e 77|(n2 − 9).
Assim, para todo α ∈ N temos β − 1 = 8α e n2 − 9 = 77α, α ∈ N, logo
β = 1 + 8α.
Portanto, 8n2 + 5 = 77(1 + 8α) para todo α ∈ N, assim existem infinitos valores de
n em N para os quais 8n2 + 5 é divisível por 7 e por 11
10
Unidade 2
Divisão Euclidiana
2.2 Divisão Euclidiana: Problemas
Exercício 2.2.1.
Ache o quociente e o resto da divisão a) de 27 por 5. b) de 38 por 7.
Solução.
a) 27 = 5(5) + 2 quociente q = 5 e o resto r = 2.
b) 38 = 5(7) + 3 quociente q = 5 e o resto r = 3.
Exercício 2.2.2.
Mostre como, usando uma calculadora que só realiza as quatro operações, pode-se
efetuar a divisão euclidiana de dois números naturais em apenas três passos. Aplique o
seu método para calcular o quociente e o resto da divisão de 3721056 por 18735.
Demonstração.
Exercício 2.2.3.
Discuta a paridade a) da soma de dois números. b) da diferença de dois números.
c) do produto de dois números. d) da potência de um número. e) da soma de n números
ímpares.
Demonstração.
Exercício 2.2.4.
a) Mostre que um número natural a é par se, e somente se, an é par, qualquer que
seja n ∈ N∗. b) Mostre que an ± am é sempre par, quaisquer que sejam n,m ∈ N∗. c)
Mostre que, se a e b são ímpares, então a2 + b2 é divisível por 2 mas não divisível por 4.
Demonstração.
11
Exercício 2.2.5.
Quais são os números que, quando divididos por 5, deixam resto igual a) à metade do
quociente? b) ao quociente? c) ao dobro do quociente? d) ao triplo do quociente?
Demonstração.
a) Seja D o número procurado, das condições do problema temos
D = 5q +
q
2
⇒ 2D = 11q ⇒ D = 11β, q = 2β β ∈ N
Os números são: 11, 22, 33, 44
b) Em geral temos D = 5q + r, 0 ≤ r < q
Supor r = q está errado pela definição do algoritmo da divisão. Quando r = 0
temos 0 = 5× 0 + 0.
Portanto, o zero é o único número.
c)
Exercício 2.2.6.
Seja n um número natural. Mostre que um, e apenas um, número de cada terna abaixo
é divisível por 3. a) n, n + 1, n + 2 b) n, n + 2, n + 4 c) n, n + 10, n + 23 d)
n, n+ 1, 2n+ 1.
Demonstração.
O conjunto de todos números naturais podemos representar mediante o conjunto
A = { 3k, 3k + 1, 3k + 2, k ∈ N }. Se n = 3k então para todos os 4 exercícios
um, e apenas um, número de cada terna é divisível por 3
a) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 2, 3k + 3
logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Se n = 3k+2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k+2, 3k+3, 3k+4
logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisível
por 3.
12
b) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 3, 3k + 5
logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Se n = 3k+2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k+2, 3k+4, 3k+7
logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisível
por 3.
c) Se n = 3k+1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k+1, 3k+11, 3k+24
logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Se n = 3k+2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k+2, 3k+12, 3k+25
logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisível
por 3.
d) Se n = 3k + 1 então a terna dada podemos escrever na forma 3k + 1, 3k + 2, 6k + 3
logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Se n = 3k+2 então a terna dada podemos escrever na forma 3k+2, 3k+3, 6k+5
logo um, e apenas um, número da terna é divisível por 3.
Com qualquer das três hipóteses na terna um, e apenas um, número da é divisível
por 3.
Exercício 2.2.7.
Mostre que a) se n é ímpar, então n2− 1 é divisível por 8. b) se n não é divisível por
2, nem por 3, então n2 − 1 é divisível por 24. c) ∀ n ∈ N, 4 - n2 + 2.
Demonstração.
a) Se n é ímpar, então é da forma 2k+1, k ∈ N. Logo, como o produto de dois números
naturais consecutivos sempre é par, temos
n2 − 1 = (2k + 1)2 − 1 = 4k2 + 4k = 4k(k + 1) = 8β, β ∈ N
Portanto, n2 − 1 é divisível por 8
b)
c) Todo natural n ∈ N podemos escrever em alguma das formas dos elementos do conjunto
{ 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4 } onde k ∈ N. Logo
• Se n = 5k, então n2 = (5k)2 = m(5)
• Se n = 5k + 1, então n2 = (5k + 1)2 = m(5) + 1
13
• Se n = 5k + 2, então n2 = (5k + 2)2 = m(5) + 4
• Se n = 5k + 3, então n2 = (5k + 3)2 = m(5) + 32 = m(5) + 4
• Se n = 5k + 4, então n2 = (5k + 4)2 = m(5) + 42 = m(5) + 1
Assim o quadrado de qualquer número natural é da forma 5k ou 5k + 1 ou 5k + 4
De onde n2+4 = 5h+4 ou n2+4 = (5k+1)+4 = 5(k+1) ou n2+4 = (5k+4)+4 =
5(k + 1) + 3
Portanto, ∀ n ∈ N, 4 - n2 + 2
Exercício 2.2.8.
Sejam dados os números naturais a,m e n tais que 1 < a < m < n. a) Quantos
múltiplos de a existem entre m e n? b) Quantos múltiplos de 7 existem entre 123 e
2551? c) Quantos múltiplos de 7 existem entre 343 e 2551?
Demonstração.
Exercício 2.2.9.
(ENC-2000) Mostre que, se um inteiro é, ao mesmo tempo, um cubo e um quadrado,
então ele é da forma 5n, 5n+ 1, ou 5n+ 4.
Demonstração.
Seja n ∈ N, consideremos os números n2 e n3, pelos dados do problema temos N =
(n2)3 = (n3)2 = n6, isto é o número procurado é potência sexta de n.
Pela parte c) do exercício (1.2.12) sabemos que 5|n5 − n ⇒ n5 − n = m(5), de
onde n(n5 − n) = m(5) ⇒ n6 = n2 +m(5)
Mostramos na parte c) do exercicio (2.2.7) que o quadrado de qualquer número natural
é da forma 5k ou 5k + 1 ou 5k + 4.
Assim temos que n6 = n2 +m(5), logo N = n6 = 5k +m(5) = m(5) ou
N = n6 = 5k + 1 +m(5) = m(5) + 1, ou N = n6 = (5k + 4) +m(5) = m(5) + 4
Portanto, se um inteiro é, ao mesmo tempo, um cubo e um quadrado, então ele é da
forma 5n, 5n+ 1, ou 5n+ 4.
Exercício 2.2.10.
(ENC-2000) a) Mostre que, se um número a não é divisível por 3, então a2 deixa resto
1 na divisão por 3. b) A partir desse fato, prove que, se a e b são inteiros tais que 3
14
divide a2 + b2, então a e b são divisíveis por 3.
Demonstração.
Exercício 2.2.11.
(ENC-2001) Seja N um número natural; prove que a divisão de N2 por 6 nunca deixa
resto 2.
Demonstração.
Seja N ∈ N, então N = 2k ou N = 2k + 1. Também N = 3α ou N = 3β + 1 ou
N = 3γ + 2. Assim,
• N2 = (2k)(3α) = 6kα + 0
• N2 = (2k)(3β + 1)
• N2 = (2k)(3γ + 2)
• N2 = (2k + 1)(3α) = 6kα+ 3α
• N2 = (2k + 1)(3β + 1) = 6kβ
• N2 = (2k + 1)(3γ + 2)
Exercício 2.2.12.
(ENC-2002) O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8. Qual é o resto da divisão de
N por 5?
Solução.
Temos N = 20q + 8, isto é N = 5(4q) + 5 + 3 = 5(4q + 1) + 3.
O resto, é 3.
Exercício 2.2.13.
Mostre que, se n é ímpar, então a soma de n termos consecutivos de uma PA é sempre
divisível por n.
Solução.
15
Exercício 2.2.14.
Ache o menor múltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4.
Demonstração.
Seja x o número pedido, então x = 3a + 2 ou x = 4b + 2 para algum a, b ∈ N∗, logo
3a+ 2 = 4b+ 2 de onde 3a = 4b assim, a = 4 + 4t e b = 3 + 3t para todo t ∈ N∗
t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
b 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
x 14 26 38 50 62 74 86 98 110 122
Logo, o menor número é 50.
16
Problemas Suplementares
Exercício 2.2.15.
a) 6|n3 + 11n b) 9|4n + 15n− 1 c) 3n+2|103n − 1
d) 7|23n − 1 e) 8|32n + 7 f) 7|32n+1+ 2n+2
g) a2 − a+ 1|a2n+1 + (a− 1)n+2 ∀ a ∈ N
Solução.
Exercício 2.2.16.
(a) Mostre que um quadrado perfeito ímpar é da forma 4n+ 1.
(b) Mostre que nenhum elemento da sequência 11; 111; 1111; . . . :: é um quadrado
perfeito.
Solução.
Exercício 2.2.17.
O resto
Solução.
Exercício 2.2.18.
(a) Mostre que todo quadrado perfeito é da forma 5k ou 5k ± 1.
(b) Com que algarismo pode terminar um quadrado perfeito?
(c) Se três inteiros positivos verificam a2 = b2 + c2, então entre eles há um múltiplo
de 2 e um múltiplo de 5.
17
(d) A soma dos quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito.
Solução.
Exercício 2.2.19.
Mostre que, de n inteiros consecutivos, um, e apenas um, deles é divisível por n.
Solução.
Exercício 2.2.20.
Um número é dito livre de quadrados se não for divisível pelo quadrado de nenhum
número diferente de 1.
(a) Determine qual é o maior número de números naturais consecutivos livres de
quadrados.
(b) Defina números livres de cubos e resolva o problema correspondente.
Solução.
Exercício 2.2.21.
Seja m ∈ N. Pode o número m(m+ 1) ser a sétima potência de um número natural?
(generalize).
Solução.
18
Exercício 2.2.22.
Dados a; b ∈ N, quantos números naturais divisíveis por b existem na sequência
a; 2a; . . . ba?
Solução.
Exercício 2.2.23.
Sejam a; d ∈ N. Mostre que, na sequência a+0d; a+d; a+2d; a+3d; . . . ou não existe
nenhum quadrado ou existem infinitos quadrados.
Solução.