Matemática para Ensino Superior (41)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
MA14- ARITMÉTICA – UNID. 16 
 
PROFESSORES: 
ROGER MOURA 
CARLOS HUMBERTO SOARES JÚNIOR 
 
GRUPO DE ESTUDO: 
 
ALBERTO CUNHA ALVES 
ALIPRECÍDIO JOSÉ DE SIQUEIRA FILHO 
DANIEL RIBEIRO DA FONSECA 
FÁBIO BARBOSA DE OLIVEIRA 
FRANJOSSAN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teresina – Outubro – 2011 
 
1) Ache a decomposição em fatores primos de 100! e determine com quantos zeros termina a representação decimal 
desse número. 
Tomaremos primeiro as potências de 2 na decomposição de 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] ( ) [
 
 
] 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 
Desta maneira, podemos escrever que a decomposição de 100! Será dado por: 
 
Já com relação a quantidade de zeros de 100! Está vinculado ao às potências de 5. Desta forma teremos que a quantidade de 
zeros será determinado pelo expoente de 5 e neste caso será de 24 zeros. 
 
2) 
a) Ache as maiores potências de 2 e de 5 que dividem 10000! . 
Achar as maiores potências de 2 e 5 que dividem 10000! É encontrar ( ) quando p for igual a 2 ou a 5. 
Assim, 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
]
 [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) 
 ( ) 
 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
b) Determine com quanto zeros termina a representação decimal de 10000! . 
Basta observar as potências de 5. Como tem-se que a quantidade de zeros em 10000! Será de 2499 zeros. 
c) Ache a maior potência de 104 que divide 10000! . 
Primeiro: observemos que 
Segundo: Como já encontramos ( ) , procuremos o resultado de ( ). 
Assim, 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) 
 ( ) 
Assim, o maior expoente de 2 é 9995 e o de 13 é 832 e sabemos ainda que ( ) 
Logo, existem menos fatores de 13 do que de , portanto a maior potência de 104 que divide 10000! É 
3) Ache o menor valor de n, de modo que a maior potência de 5 que divide n! seja . Quais são os outros números 
que gozam dessa propriedade? 
Primeiro vamos calcular as potências de 5 com relação a n!. 
Pelo Teorema 8.3.2 temos que ( ) 
 ( )
 
 
Desta forma, 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( ) 
Tomando veremos que a potência de de será , pois 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Observamos que para acrescentar mais uma unidade nas potências de 5 precisamos de mais um múltiplo de 5, desta forma 
como precisamos de mais 2 unidades tomaremos 345. 
Assim, 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Veremos para termos expoente 84, o maior valor de n deverá ser 349, pois 350 acrescentariam mais uma unidade. 
Logo, os outros valores deverão ser: 346, 347, 348 e 349. 
 
4) Mostre que não há nenhum número natural n tal que seja a maior potência de 3 que divida n!. 
Temos que: 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) 
 ( ) 
Faremos agora alguns testes: 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
 ( ) [
 
 
] [
 
 
] 
Observamos que as potências de 3 entre 15 e 18 (múltiplos de 3) é 6 e 8, mostrando que não aparecerá nenhuma potência de 3 
com expoente 7. 
Logo, podemos afirmar que não divide nenhum n!. 
5) Dados e , mostre que 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Prova de [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Tomando , ..., . Como temos que [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] . 
Agora se somarmos membro a membro as igualdades, obteremos 
[
 
 
] [
 
 
] ( ) ( ) 
Desta forma, se ( ) , o que nos dá 
[
 
 
] [
 
 
] ( ) (I) 
No entanto, se ( ) , com temos que[
 
 
] , e assim 
com . Desta forma, 
[
 
 
] [
 
 
] ( ), a qual poderemos afirmar que: 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] (II) 
Portanto , tomando (I) e (II) vamos obter que: 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 
(solução Franjossan) Prova de [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Tomando com , com ..., com . Como temos 
que [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] . 
Agora se somarmos membro a membro as igualdades os restos obteremos: 
( ) ( ) 
Logo, ao tomarmos: 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )< ( ) . 
Portanto 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
6) (Solução Pablo) Mostre que, se são tais que ( ) , então 
( ) 
 
 
Pelo corolário pág. 106, temos que 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( )( ) 
 
 
 
 
 
(( ) ) 
( ) 
 
 
Como ( ) , segue que . 
Mas 
( ) 
 
 , logo , ou ainda: 
(( ) ) 
 ( ) 
 
 
(( ) ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
Segue que 
( ) 
 
 
7) (solução Helder) Sejam com . Mostre que 
a) [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Sejam 
 
 
 [
 
 
] e 
 
 
 [
 
 
] , com e . Assim sendo, temos os seguintes casos 
1º Caso: ⁄ e 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 [
 
 
] [
 
 
] , temos então [
 
 
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Observamos também que: 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] e 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] 
Então, 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
2º Caso: ⁄ e 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 [
 
 
] [
 
 
] , temos então [
 
 
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Observamos também que: 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] e 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] 
Então, 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 
3º Caso: ⁄ e 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 [
 
 
] [
 
 
] , temos então {
[
 
 
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] ⁄
[
 
 
 
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] ⁄ 
 
Observamos também que: 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] e 
 
 
 [
 
 
] e que: [
 
 
] [
 
 
] 
Então, 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 
4º Caso: ⁄ e 
 
 ⁄ . Análogo ao 3º caso. 
Portanto, 
 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
b) 
( ) ( ) 
 ( ) 
 é um número natural. 
 
 
Pelo corolário pág. 106, 
Temos que os números abaixo são naturais 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
( ) 
 
( ) ( ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
 
Como 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
( ) 
 É natural, tem se então que 
( ) ( ) 
 ( ) 
 
( ) 
 
 também é naturale sabemos ainda que 
( ) 
 
 é natural. 
Portanto, tem-se que 
( ) ( ) 
 ( ) 
 É natural.