Circunferência trigonométrica

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Circunferência trigonométrica – Arcos, Ângulos, 
Graus 
Denomina-se circunferência trigonométrica a circunferência orientada, de centro O na 
origem do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo raio tem 1 unidade de 
comprimento e o sentido positivo é o anti-horário. 
 
À circunferência trigonométrica de centro O vamos associar um sistema de coordenadas 
cartesianas ortogonais, fixando o ponto A de coordenadas (1, 0) como origem dos arcos, 
como mostra a figura abaixo: 
 
Os eixos x e y dividem a circunferência trigonométrica em quatro partes congruentes, 
chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 e contadas a partir de A, no sentido positivo. 
https://www.gestaoeducacional.com.br/coordenadas-cartesianas-o-que-sao/
 
Podemos encontrar algumas observações: 
• Os pontos A, B, A’ e B’ são pontos dos eixos e por isso não são considerados 
pontos dos quadrantes; 
• Para todo ponto (x, y) pertencente à circunferência trigonométrica, temos -1 ≤ x 
≤ 1 e –1 ≤ y ≤ 1. Ou seja, não existirá nenhum ponto pertencente à circunferência 
trigonométrica de coordenadas que não estejam nesses intervalos, como (2,-2). 
Arcos e ângulos 
Vamos definir alguns importantes conceitos para se entender o funcionamento da 
circunferência trigonométrica. 
Arco geométrico é uma das partes da circunferência delimitada por dois 
pontos, incluindo-os. Se os dois pontos coincidirem, teremos arco nulo ou arco de uma 
volta. 
 
A medida e o comprimento de um arco são dados da seguinte maneira: considere um 
ponto A sobre uma circunferência de raio r e centro O. Deslocando-se o ponto A sobre a 
circunferência, ele percorre uma distância l ao mesmo tempo que gira um ângulo α em 
torno do centro O. Esse movimento do ponto A descreve um arco de circunferência de 
medida α e comprimento l. 
Como você já pode ter estudado em física, toda grandeza deve possuir uma unidade 
de medida, por exemplo, a velocidade é medida em metros por segundo (m/s) e a força 
F é medida em Newtons (N). Com relação à circunferência trigonométrica, para definir a 
medida α de um arco, usam-se geralmente unidades como o “grau” e o “radiano”. Para 
o comprimento l usam-se, em geral, unidades como “metro”, “centímetro”, 
“quilômetro”, etc. 
O arco é sempre relacionado ao seu ângulo central: todo arco de circunferência tem a 
mesma medida do ângulo central que o subtende. Por exemplo, o arco AB, abaixo, tem 
como medida o ângulo central AÔB de medida α. 
 
O comprimento da circunferência é dado por: 
 
Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos) 
As unidades mais usadas para medir arcos de circunferência e seus ângulos 
correspondentes são o grau e radiano. 
Podemos defini-los como: 
• Grau: quando dividimos uma circunferência em 360 partes iguais, cada uma 
dessas partes é um arco de um grau (1°); 
• Radiano: um arco de um radiano (1 rad) é um arco cujo comprimento é igual ao 
raio da circunferência. Ou seja, se temos um arco de medida 1 radiano, seu ângulo 
central irá também medir 1 radiano. 
Por exemplo, se temos um ângulo central de medida 2 radianos, então ele é o ângulo de 
um arco de medida 2 radianos e comprimento de 2 raios. Se temos um ângulo central de 
medida α radianos, então ele subtende um arco de medida α radianos e comprimento de 
α raios. 
Assim, se a medida α do arco for dada em radianos, teremos o comprimento l dado por: l 
= α.r. 
Esticando” o arco AB, a medida do segmento obtido será igual à do raio: 
 
Existem outras unidades para medir arcos, por exemplo, o grado, que é um arco obtido 
a partir da divisão da circunferência em 400 partes iguais. Porém, as unidades mais 
usadas são o grau e o radiano. 
Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360°. 
Relação entre arco e graus 
Sabendo que um arco de 180° mede π rad, podemos fazer a conversão de unidades 
usando uma regra de três simples. Porém, recomendamos que você se acostume a fazer 
as principais conversões entre grau e radiano mentalmente, sem recorrer à regra de três. 
Esse procedimento é muito simples se observarmos que: 
 
https://www.gestaoeducacional.com.br/regra-de-tres-simples-e-composta/
Arcos côngruos ou congruentes 
Toda vez que o ponto da circunferência, final do arco iniciado em (1, 0), é o mesmo para 
dois arcos diferentes (por exemplo, 0 e 2π), chamamos esses arcos de arcos côngruos ou 
congruentes. 
 
Observe que, no exemplo acima, os três arcos são delimitados pelos mesmos pontos A e 
B. 
Na primeira figura, o ponto deslocou-se π/3 ou 60° de A até B. Na segunda figura, o ponto 
deslocou-se uma volta inteira (2π ou 360°) e mais π/3 ou 60°; ou seja, deslocou-se 7π/3 p 
ou 420°. Na terceira figura, o ponto deslocou-se duas voltas inteiras (2 . 2π ou 2 . 360°) e 
mais π/3 ou 60°; ou seja, 13π/3 p ou 780°. 
Portanto, arcos côngruos diferem entre si 2π, que é o comprimento de cada volta. Para 
achar arcos côngruos basta somar ou subtrair 2π ou 360°, porém nunca subtraia até 
chegar a medidas negativas. 
Exercício resolvido 
1) Converta 30° em radianos. 
Resolução: 
 
Simetria na Primeira Volta do Círculo Trigonométrico 
Arcos simétricos são aqueles que possuem mesma abscissa ou mesma ordenada (do 
sistema de coordenadas) ou são diametralmente opostos. Assim, qualquer arco do círculo 
trigonométrico possui um simétrico nos outros quadrantes. Esses 4 arcos simétricos serão 
representados pelos vértices de um retângulo ou de um quadrado e, seus valores, são 
determinados a partir dos arcos de 0, 180°, 360° e seus arcos côngruos. Vamos verificar 
como se determina os arcos simétricos a partir de um arco do primeiro quadrante, na 
primeira determinação positiva. Os conceitos utilizados para a determinação desses arcos 
poderão ser utilizados para a determinação de outros simétricos, em qualquer quadrante 
e em qualquer volta. 
Considere um arco de medida α (alfa), em graus, no primeiro quadrante. Esse arco, possui 
simétricos no 2°, 3° e 4° quadrantes. O simétrico no 2° quadrante tem mesma ordenada 
que o arco α (alfa), o do 3° quadrante é diametralmente oposto e o simétrico no 4° 
quadrante tem mesma abscissa. 
 
 
Note que, a medida dos arcos (em verde) dos 3 simétricos de α (alfa), em relação aos 
arcos de 180° e 360°, também é α (alfa). Assim, podemos verificar que o simétrico de α 
(alfa) no 2° quadrante mede (180° - α), que o simétrico de α (alfa) no 3° quadrante mede 
(180° + α) e que o simétrico de α (alfa) no 4° quadrante mede (360° - α). 
 
Agora, vamos determinar as medidas dos simétricos dos arcos de 30°, 45° e 60°. 
Simétricos de 30°: 
 
Assim, os arcos de 30°, 150°, 210° e 330° são simétricos. 
Simétricos de 45°: 
 
Assim, os arcos de 45°, 135°, 225° e 315° são simétricos. 
Simétricos de 60°: 
 
Assim, os arcos de 60°, 120°, 240° e 300° são simétricos. 
Agora, considere um arco de medida β (beta), em radiano, no primeiro quadrante. Esse 
arco, possui simétricos no 2°, 3° e 4° quadrantes. O simétrico no 2° quadrante tem mesma 
ordenada que o arco β (beta), o do 3° quadrante é diametralmente oposto e o simétrico no 
4° quadrante tem mesma abscissa. 
 
Note que, a medida dos arcos (em verde) dos 3 simétricos de β (beta), em relação aos 
arcos de 180° e 360°, é β (beta). Assim, podemos verificar que o simétrico de β (beta) no 
2° quadrante mede (π - β ), que o simétrico de β (beta) no 3° quadrante mede (π + β ) e 
que o simétrico de α (alfa) no 4° quadrante mede (2π - β ). 
 
 
Agora, vamos determinar os simétricos de radiano. 
Simétricos de π/6 radiano: 
 
Assim, os arcos de radianos são simétricos. 
Simétricos de π/4 radiano: 
 
 
Assim, os arcos de radianos são simétricos. 
 
Simétricos de π/3 radiano: 
 
 
Assim, os arcos de radianos são simétricos.