Entre_Jovens_Matematica_1_ano_Vol 2 - Guia_Tutor

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Entre Jovens
Tutor
1o ano do Ensino Médio
GUIA DO TUTOR
Volume II
Matemática
1o ano do Ensino Médio
Entre Jovens 1o ano do Ensino Médio: Guia do Tutor Matemática.
– São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2016.
146 p.; Vol. II.
ELABORAÇÃO DO MATERIAL
Coordenação
Roberta de Oliveira 
Pesquisa e conteúdo
CAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação 
da Educação
Revisão de conteúdo
Grupo Mathema
Produção editorial
Elisa Swartele 
Maria Clara Wasserman 
Renata Buset
 
Pesquisa iconográfica
Tempo Composto
ASSESSORIA DE COMUNICAÇÃO
Coordenação
Marina Rosenfeld
Revisão de texto
Ofício do Texto Projetos Editoriais
Editoração eletrônica
Formato Comunicação
Realização
Instituto Unibanco
CONSELHO DE ADMINISTRAÇÃO
Presidência
Pedro Moreira Salles
Vice-Presidência
Pedro Sampaio Malan
Conselho
Antonio Matias
Cláudio de Moura Castro
Cláudio Luiz da Silva Haddad
Marcos de Barros Lisboa
Ricardo Paes de Barros
Rodolfo Villela Marino
Thomaz Souto Corrêa Netto
Tomas Tomislav Antonin Zinner
Diretoria Executiva
Claudio José C. Arromatte
Cristina Cestari
Fernando Marsella Chacon Ruiz
Gabriel Amado de Moura
Jânio Gomes
Leila Cristiane B. B. de Melo
Marcelo Luis Orticelli
Superintendência Executiva
Ricardo Henriques
Implementação de Projetos
Maria Julia Azevedo Gouveia
Desenvolvimento e Conteúdos
Lucia Helena Couto
Gestão do Conhecimento
Mirela de Carvalho
Planejamento e Articulação Institucional
Tiago Borba
Administração, Finanças e Tecnologia 
da Informação
Fábio Santiago
UMáRIOS
Introdução
Oficina 1 – Noções de Geometria
Oficina 2 – Teorema de Tales e os triângulos
Oficina 3 – Circunferência e círculo
Oficina 4 – Representações no plano
Oficina 5 – Sequências numéricas e expressões algébricas
Oficina 6 – Equação do 2o grau 
Oficina 7 – Tratamento da Informação
Oficina 8 – Revisitação
Referências Bibliográficas
Matriz de Referência
Anexos
9
11
45
64
74
87
96
112
127
137
138
140
9GUIA DO TUTOR
Prezado tutor/professor,
Este guia dá continuidade ao primeiro guia e também se estrutura em oficinas, cujos temas foram 
propostos de acordo com sua relevância e centralidade no currículo de Matemática do Ensino 
Fundamental. Ao elaborar este material, levamos em conta temas que são centrais que os alunos 
aprendam antes do 1o ano do Ensino Médio, em cada uma das duas áreas, e as habilidades descritas 
na Matriz de Referência do Saeb – 9o ano do Ensino Fundamental.
Ressaltamos que essas oficinas não esgotam os temas abordados. Foram selecionados focos de 
revisão que permitirão que os alunos relembrem ou aprendam noções, conceitos e habilidades 
importantes para que tenham uma aprendizagem adequada no Ensino Médio.
Cada oficina deve ser conduzida por você, tutor/professor de forma a estimular a participação do 
aluno, procurando desafiá-lo permanentemente, provocando-o com perguntas, visando a incenti-
vá-lo a tentar, ele próprio, resolver as atividades propostas.
Quando oportuno, revisite brevemente os aspectos teóricos e conceituais relacionados às ferramentas 
necessárias à resolução de uma atividade. Estimule soluções por raciocínios diversos e, ao resolver um 
problema, procure apontar, sempre que possível, a diversidade de resoluções.
Em vários pontos do guia, interrompemos a apresentação com o objetivo de chamar a atenção 
para procedimentos a serem adotados ou para erros frequentes cometidos pelos alunos, a fim de 
que você dê ênfase àquelas passagens.
Em cada oficina, são apresentados problemas diversos que você deverá resolver com os alunos, e 
não para os alunos. Ao final de cada oficina, são propostas atividades que os alunos devem ser 
encorajados a tentar resolver. Somente depois de os alunos terem trabalhado nessas atividades 
você deverá resolver com eles.
Cada oficina foi dimensionada para ser cumprida em duas semanas de atividades. Obviamente, o 
andamento das oficinas dependerá do rendimento do grupo de alunos, mas, dentro do possível, 
tente executá-la em uma semana.
Esperamos que este Guia seja útil para seu trabalho em sala de aula.
Bom trabalho!
NTRODUÇÃOI
11GUIA DO tUtOr
NOÇÕES DE GEOMETRIA1
Esta oficina trabalha as seguintes habilidades da matriz:
D5 – Identificar as propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e 
ângulos. 
D6 – Identificar a relação entre quadriláteros por meio de suas propriedades.
D4 – Reconhecer ângulos como mudanças de direção ou giros, identificando ângulos 
retos e não retos.
D8 – Resolver problemas utilizando propriedades dos polígonos (soma de seus ângulos 
internos, números de diagonais, cálculo da medida de cada ângulo interno nos polígo-
nos regulares).
O descritor D5 deve verificar a habilidade do aluno para explorar as classificações dos triângulos, 
segundo seus ângulos e lados, bem como as definições e as propriedades das retas especiais que 
definem a altura, a bissetriz, a mediatriz e a mediana.
A relação angular de Tales, de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, deve ser 
conhecida, mas é preciso evitar manipulações excessivamente algébricas.
Essa habilidade pode ser avaliada por meio de situações-problema contextualizadas que permitam 
identificar se o aluno aprendeu determinado conceito.
O descritor D6 deve verificar a habilidade do aluno para identificar todos os tipos de quadriláteros 
(trapézios, paralelogramos e retângulos) e as inclusões entre eles, bem como as propriedades de 
suas diagonais.
O descritor D4 deve verificar a habilidade do aluno para identificar ângulos que se movimentam.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, nas quais o aluno deve 
observar as mudanças de direção, como o movimento dos ponteiros de um relógio. Às 9 horas, os 
ponteiros formam um ângulo de 90°, e às 9h 15min, os ponteiros formam um ângulo de 180°. 
As mudanças de direção dos navios e dos aviões fornecem bons exemplos a serem explorados.
O descritor D8 deve verificar a habilidade do aluno para determinar a soma dos ângulos internos, o 
número de diagonais de um polígono e a medida de cada ângulo interno de um polígono regular, 
por meio de situações-problema contextualizadas que explicitem esse conhecimento específico.
Todos os tópicos contemplados nesse descritor devem ser verificados em problemas que identifiquem 
a habilidade do aluno, ou seja, se ele sabe calcular a medida de cada ângulo interno, ou calcular a 
soma de todos os ângulos internos, ou calcular o número de diagonais dos polígonos regulares.
12 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Esta oficina traz os conceitos primitivos e iniciais da Geometria, que podem ser usados como um 
excelente instrumento para estimular o raciocínio e a interpretação de problemas. No geral, os 
alunos conseguem identificar os conceitos e as formas quando confrontados com as observações 
cotidianas, por isso, é importante que o tutor faça, sempre que possível, uma alusão a objetos 
e situações reais para dar sentido a tais conceitos. Trabalhamos, inicialmente, com os conceitos 
primitivos: ponto, reta e plano, fazendo referências aos conhecimentos prévios dos alunos e às 
relações entre esses conhecimentos e as observações do nosso entorno. Destacamos, também, a 
importância das construções geométricas feitas pelos alunos como instrumento de percepção dos 
conceitos da Geometria, como semirreta, segmento de reta e ângulo. Faz-se também a utilização 
de um mapa, como representação espacial, para trabalhar as definições de retas paralelas e 
perpendiculares. Propõe-se uma atividade prática baseada na antiga brincadeira “morto-vivo”, 
usando os conceitos de ângulos como comandos.
Ampliamos a compreensão das propriedades dos ângulos e as características dos polígonos. Para 
isso, trabalhamos com retas paralelas cortadas por uma transversal; ressaltamos as características 
dos triângulos e quadriláteros, oferecemos uma atividade prática de soma dos ângulos internos de 
um triângulo; definimos as propriedades de ângulos por meio de retas paralelas cortadas por umatransversal. Em seguida, demonstramos o cálculo de ângulo externo de um triângulo e elaboramos 
uma atividade do cálculo do número de diagonais de um polígono, e terminamos com a generali-
zação da soma dos ângulos internos de um polígono de n lados.
1a atividade: Os objetos da Geometria podem ser observados na natureza, na Arquitetura, na arte 
e em muitos outros contextos. Por exemplo: ponto, reta e plano são elementos geométricos primi-
tivos que podem estar associados a diferentes formas à nossa volta.
Você saberia identificar algumas formas que se parecem com estes elementos?
Ponto – Ponta do lápis, estrelas, cabeça de agulha, pingo da letra “i”, ponto-final etc. 
Reta – Fio esticado, barbante esticado, linha do caderno, faixa contínua da rodovia etc.
Plano – Tampo da mesa, lousa da escola, porta, parede, espelho, capa do livro, folha de sulfite etc.
Vamos explicar cada um deles a seguir: 
• Ponto: a marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a ideia do que é um ponto.
Toda figura geométrica é considerada um conjunto de pontos.
•  P
Costuma-se nomear pontos por letras maiúsculas do nosso alfabeto.
13GUIA DO tUtOr
• Reta: uma linha traçada com régua dá a ideia de uma reta. Imagine, agora, uma linha esti-
cada sem começo, sem fim, sem espessura. É assim que se concebe uma reta em Matemática.
r
As retas são nomeadas por letras minúsculas do nosso alfabeto.
• Plano: a superfície de uma mesa é plana. Imagine que tal superfície, conservando-se plana, 
estenda-se infinitamente em todas as direções. A nova superfície, assim obtida, é um plano.
α
Os planos são nomeados por letras gregas minúsculas. Por exemplo: a, b e .
Ao selecionarmos um ponto A em uma reta, esse ponto divide a reta em duas semirretas:
A
A
H
H
A
G
G
As duas semirretas originadas pelo ponto A na figura anterior são: wAyG% e AyH%.
14 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
O que é um ângulo?
É a região compreendida entre duas semirretas de mesma origem.
A
B
V
Vértice: V
lado
lado
Lados: VA% e VB%
Vamos classificar os ângulos segundo suas medidas:
C
A
G
R
S
O
E F
B
V
M
N
Ângulo reto
= 90o Ângulo raso
= 180o
Ângulo agudo
medida < 90o
Ângulo obtuso
medida > 90o
15GUIA DO tUtOr
2a atividade: Examine o mapa seguinte:
Ru
a 
Jo
ão
Ru
a 
Lu
ís
Ru
a 
O
to
Rua Ana
B
Rua Clara
Rua Maria
Ru
a 
Ru
i
A
Miguel precisa indicar a seu amigo o caminho que deve ser seguido para sair do ponto A e chegar 
ao ponto B. Veja as instruções de Miguel:
“Siga por uma rua perpendicular à Rua João, passe por duas paralelas a essa mesma rua e vire 
à esquerda na terceira paralela. Ande por essa rua, que é paralela à Rua João, até encontrar a 
próxima perpendicular a ela. Chegou!”
Vamos ajudar o amigo de Miguel a compreender essas instruções, revendo os conceitos de retas 
paralelas e perpendiculares:
a) Dê um exemplo de duas ruas paralelas presentes no mapa anterior.
 Rua Luís e Rua Oto (existem outras possibilidades de respostas). 
b) Defina o que são retas paralelas.
 Dizemos que duas ou mais retas (ou segmentos) são paralelas quando não possuem pontos 
comuns ou quando possuem todos os pontos em comum.
r
s
Diz-se que r//s (r é paralela à s).
c) Dê um exemplo de duas ruas perpendiculares presentes no mapa anterior.
 Rua Luís e Rua Clara (existem outras possibilidades de respostas).
16 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
d) Defina o que são retas perpendiculares.
 Dizemos que duas retas são perpendiculares quando são concorrentes (se cruzam em um ponto) 
e o ângulo formado entre elas mede 90°.
s
r
Em termos de notação, representamos r ⊥ s (r é perpendicular a s).
e) Faça o percurso, no mapa, indicado por Miguel para sair do ponto A e chegar ao ponto B.
f) Descreva outra possibilidade de percurso para sair do ponto A e chegar ao ponto B.
 Siga pela Rua João (em direção à Rua Ana) até encontrar a próxima perpendicular. Vá por essa 
perpendicular, passando por duas paralelas à Rua João e, quando encontrar a terceira paralela 
à Rua João, você chegará ao ponto B (existem outras possibilidades de respostas). 
FIGURAS PLANAS
São figuras que têm todos os seus pontos localizados em um único plano.
triângulo
retângulo
pentágono
círculo dodecágono
17GUIA DO tUtOr
FIGURAS NÃO PLANAS 
São regiões do espaço limitadas por uma superfície fechada.
cone
cilindro pirâmide
esfera paralelepípedo
IMPORTANTE: Uma figura não plana pode ter diferentes representações planas, dependendo da 
maneira pela qual é observada. Por exemplo, observe as diferentes vistas de um sólido:
vista superior vista lateral vista frontal
18 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
POLÍGONOS E NÃO POLÍGONOS 
As figuras planas podem ser classificadas quanto à natureza de seus lados. Uma figura fechada que 
possui todos os seus contornos retos, sem cruzamentos entre eles, é chamada de polígono. Uma 
figura que tem alguma linha de contorno curva é chamada de não polígono.
polígonos não polígonos
 
Podemos classificar os polígonos quanto ao número de lados, conforme o quadro a seguir:
Número de lados Polígono Número de lados Polígono
1 não existe 11 undecágono
2 não existe 12 dodecágono
3 triângulo 13 tridecágono
4 quadrilátero 14 tetradecágono
5 pentágono 15 pentadecágono
6 hexágono 16 hexadecágono
7 heptágono 17 heptadecágono
8 octógono 18 octadecágono
9 eneágono 19 eneadecágono
10 decágono 20 icoságono
Vamos relembrar os elementos que encontramos nos polígonos. Veja a figura a seguir:
vértice
ângulo
interno
ângulo
externo
lado
19GUIA DO tUtOr
3a atividade: Agora, resolva o seguinte problema. 
Rosângela ficou curiosa ao perceber como as pétalas da flor desenhada a seguir encaixavam-se.
x
Perceba que essas pétalas têm uma forma plana que já conhecemos na Matemática.
a) O x na figura representa qual elemento do polígono?
 Ângulo interno.
b) Determine o valor de x, na figura inicial.
 120°.
4a atividade: Vamos exercitar nossas habilidades em desenhos.
Construção I:
1o Construa uma reta r.
2o Marque, sobre a reta r, os pontos A, B e C (com A entre B e C ).
3o Marque um ponto D que não pertença a r.
4o Trace o segmento wAD. 
5o Assinale os ângulos D BAB e D BAC.
A
C r
DB
�
a) Qual é a medida de cada um desses ângulos? (Use o transferidor.)
 Múltiplas possibilidades de respostas.
b) Calcule a soma das medidas desses ângulos que você acabou de medir.
 180°. Discuta com os alunos que, apesar de os valores serem diferentes, a soma dos ângulos é 
constante.
Dois ângulos cuja soma é 180° são chamados de ângulos suplementares.
20 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Construção II: 
1o Marque um ponto D na região limitada pelo ângulo reto da figura a seguir.
2o Trace o segmento wAD.
3o Assinale os ângulos D BAB e D BAC. 
A
B
C
D
a) Qual é a medida de cada um desses ângulos? (Use o transferidor) 
 Múltiplas possibilidades de respostas.
b) Calcule a soma das medidas desses ângulos que você acabou de medir.
 90°. Discuta com os alunos que, apesar de os valores serem diferentes, a soma dos ângulos é 
constante.
Dois ângulos cuja soma é 90° são chamados de ângulos complementares.
ATIVIDADE PRÁTICA
Com base na brincadeira “morto e vivo”, a turma deve ser dividida em grupos. Um grupo de cada 
vez deve ficar à frente da sala. Com os alunos enfileirados, você, aleatoriamente, dá os comandos 
que deverão ser seguidos por eles. Aquele que errar será excluído do jogo. Quando sobrar apenas 
um aluno, este aguardará os demais vencedores dos outros grupos. Com estes, faz-se a rodada 
final para determinar um único vencedor.
Os comandos para o jogo são:
• 90° para a direita; 
• 90° para a esquerda; 
• 180° para a direita; 
• 180° para a esquerda; 
• 360° para a direita, e 
• 360° para a esquerda. 
21GUIA DO tUtOr
ÂNGULOS E POLÍGONOS
As formas geométricas estão presentes em nossas vidas. As propriedades dos ângulos e as caracte-
rísticas dos polígonos nos ajudam a resolver problemas cotidianos.O objetivo desta oficina é tratar 
esses assuntos de maneira mais prática. Para tanto, proporcionamos aos alunos a oportunidade de 
descobrir ou visualizar essas propriedades, seja por meio da regularidade ou da dedução.
1. Propriedades dos ângulos
1a atividade: Você já reparou no funcionamento de uma tesoura? Toda vez que fechamos os cabos 
de uma tesoura, fechamos também suas lâminas. Discuta com seus colegas por que isso acontece.
D4
Observe que ainda não foi apresentada a propriedade de ângulos opostos pelo vértice. Para resolver 
esse problema, indicamos que você trabalhe com dedução. Trace as retas s e t, conforme indicado 
na figura a seguir: 
TESOURA
 
TESOURA
s
t
Em seguida, você deve indicar os ângulos que correspondem à abertura e ao fechamento da tesoura. 
Na figura a seguir, estes ângulos são representados por a e b.
TESOURA
s
t
��
Por meio de desenhos, mostre a seus alunos que, ao fecharmos os cabos, o ângulo b vai diminuindo, 
assim como o ângulo a, fazendo com que as lâminas se fechem também.
22 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
t
s
� �
 
t
s
� �
t
s
� �
Queremos que os alunos sejam orientados a perceber o conhecimento geométrico usado no 
funcionamento da tesoura: duas retas que se cruzam formam ângulos opostos de mesma medida. 
Em outras palavras, fechando de um lado, fechamos também do outro.
2a atividade: Prove que a = b.
D4
�
�
Com esse problema, generalizamos o que foi visto na 1a atividade.
Mais uma vez, utilize a dedução para convencer seus alunos. Mostre que os ângulos a e  são 
suplementares, ou seja, formam um ângulo raso.
�
�
23GUIA DO tUtOr
Da mesma maneira que  e b são também suplementares.
�
�
Portanto, por transitividade, a  b.
É aconselhável que você realize esta prova algebricamente:
a +  = 180°
  + b = 180°
Em seguida, apresente a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice:
Ângulos formados por duas retas que se cruzam são chamados ângulos opostos 
pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes.
3a atividade: As retas r e s são paralelas. A reta t corta r e s. Esse cruzamento forma vários ângulos. 
Na figura a seguir, assinalamos dois deles. Quanto mede a?
D4
�
r
s
41o
t
Com esse problema, abordamos mais uma propriedade dos ângulos. Ajude os alunos a recordar o 
que são retas paralelas antes de dar prosseguimento ao exercício. Peça a eles que imaginem que 
a reta r faça a seguinte translação: vá deslocando-se e mantendo-se paralela à posição inicial (é 
recomendável que você tenha em mãos régua e esquadro para realizar o deslocamento da reta no 
quadro, facilitando, assim, a compreensão).
⇒ a +  =  + b ⇒ a = b
24 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
t
s
r
41o
�
t
r = s = 41o�
Durante a execução do deslocamento, chame a atenção do aluno para o fato de que o ângulo a 
não se altera. É importante que ele perceba essa situação para compreender que esses dois ângulos 
são congruentes.
Ângulos correspondentes formados por retas paralelas sempre serão congruentes.
25GUIA DO tUtOr
4a atividade: A avaliação bimestral de desenho geométrico da escola de Joana começava com a 
seguinte questão:
D4
“No desenho a seguir, as retas r e s são paralelas. Sabendo disso, podemos afirmar que os ângulos 
a e b são congruentes? Por quê?”
r
s
�
�
Joana respondeu: “Não, pois eles não são ângulos correspondentes”. Joana acertou essa questão? 
Justifique sua resposta.
Com esse problema, queremos que o aluno relacione o que foi visto até o momento sobre as pro-
priedades de ângulos. Estimule a discussão e incentive seus alunos a justificar as respostas dadas.
Para começar, o aluno deve perceber que a e γ são ângulos opostos pelo vértice, logo a  γ 
r
s
�
�
γ
Em seguida, deve perceber que b e γ são ângulos correspondentes, logo b  γ. Portanto, por 
transitividade, a  b.
Para concluir, apresente os ângulos a e b como ângulos alternos externos. É muito importante que 
você explique que o termo alterno vem de alternar, ou seja, eles estão de lados alternados em 
relação à reta transversal. Já o termo externo está relacionado ao fato de que ambos os ângulos 
não estão entre as retas paralelas, e sim “do lado de fora” dessas retas. Mais uma vez, ressaltamos 
a importância de dar significado aos conceitos matemáticos.
26 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
5a atividade: A segunda questão da avaliação de Joana dizia:
D4
“As retas m e n são paralelas. Qual a relação entre os ângulos γ e ?” 
m
n
�
�
Joana respondeu: “Eles são congruentes, pois são alternos externos.”
A resposta de Joana está correta? Justifique sua resposta.
Mais uma vez, utilizamos o que foi visto até agora para chegar a uma nova propriedade dos ângulos.
m
n
�
�
�
Para começar, eles devem identificar que, na verdade, a e γ são ângulos alternos externos, logo são 
congruentes. Em seguida, devem perceber que a e  são suplementares. Portanto, por transitividade, 
 e γ também são suplementares.
Ao apresentar esses ângulos como colaterais externos, lembre-se de explicar que o termo colate-
rais está relacionado ao fato de que os ângulos em questão estão do mesmo lado em relação à 
transversal, e o termo externo continua com o mesmo significado em relação às retas paralelas.
27GUIA DO tUtOr
6a atividade: Na figura a seguir, as retas a e b são paralelas. Identifique os:
D4
a) ângulos correspondentes: m e t, n e q, o e r, p e s.
b) ângulos alternos internos: n e s, o e t. 
c) ângulos alternos externos: p e q, m e r.
d) ângulos colaterais internos: n e t, o e s. 
e) ângulos colaterais externos: m e q, r e p.
m
t
p
o
n
q
r
a b
s
Repare que utilizamos duas retas paralelas verticais. Em geral, ângulos correspondentes, colaterais 
e alternos são apresentados aos alunos em retas horizontais, e quando a configuração é alterada, 
as dúvidas aparecem.
2. Classificação de polígonos
2.1. Triângulos
7a atividade: Na figura a seguir, vemos a representação de um parque que será construído em 
uma cidade.
D5/D15
40 m
30 m
28 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
A parte triangular representa um canteiro que será utilizado para a construção de um jardim. O 
responsável pela obra calculou que serão necessários 86,2 m de arame para cercar todo o jardim. 
Sabendo que os ângulos indicados têm mesma medida, quanto mede cada lado desse canteiro?
Antes de resolver este exercício, indicamos uma revisão das classificações dos triângulos 
quanto aos lados e aos ângulos, além de reconhecer algumas propriedades: 
Classificação Nome Característica Imagem
Quanto aos lados
Escaleno Três lados distintos
Equilátero Três lados iguais
Isósceles
Dois lados de 
mesma medida
Quanto aos 
ângulos
Retângulo Um ângulo reto
Obtusângulo Um ângulo obtuso
Acutângulo
Três ângulos 
agudos
 Propriedade: “Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.”
Agora, seu aluno tem as ferramentas necessárias para a resolução desse problema. 
Como os ângulos indicados são congruentes, podemos afirmar que esse triângulo é isósceles. 
Logo, as medidas dos lados que procuramos são congruentes também. A base tem 40 m de com-
primento. Assim, tomando a medida que ainda falta do canteiro como x, temos:
40 + x + x = 86,2
40 + 2x = 6,2
2x = 6,2 
x = 23,1
Portanto, as medidas procuradas são 23,1 m e 40 m.
29GUIA DO tUtOr
2.2. Quadriláteros
8a atividade: A professora Marta desenhou no quadro os quadriláteros seguintes:
D6
retângulo quadradolosango
Cite uma propriedade comum aos três.
Indicamos que você realize agora uma revisitação da classificação dos quadriláteros. 
Classificação Nome Característica Imagem
Paralelogramos
Paralelogramo
– Lados opostos paralelos
– Ângulos opostos congruentes
Retângulo
– Lados opostos paralelos e 
congruentes
– Todos os ângulos retos
Quadrado
– Lados opostos paralelos
– Todos os lados congruentes
– Todos os ângulos retos
Losango
– Lados opostos paralelos
– Todos os lados congruentes
– Ângulos opostos congruentes30 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Classificação Nome Característica Imagem
Trapézio
Trapézio
– Apenas um par de lados 
paralelos
Trapézio isósceles
– Apenas um par de lados 
paralelos
– Lados não paralelos 
congruentes
– Ângulos da base congruentes
Trapézio retângulo
– Apenas um par de lados 
paralelos
– Dois ângulos retos
– Um dos lados não paralelos é 
perpendicular à base e 
coincide com a altura
Observando o quadro anterior, o aluno pode perceber que os lados opostos dos quadriláteros 
mencionados no problema têm lados opostos paralelos e congruentes.
31GUIA DO tUtOr
3. Soma dos ângulos internos de um triângulo
Atividade prática
Objetivo 
Dar condições ao aluno para que se certifique de que a soma das medidas dos ângulos internos de 
um triângulo é 180°.
Material necessário 
Folha A4, régua e tesoura.
Como fazer
1o Passo: Em uma folha de papel, desenhe um triângulo qualquer (Estimule-os a fazer triângulos 
de várias formas e tamanhos).
2o Passo: Peça aos alunos que marquem os três ângulos de forma diferente.
3o Passo: Com a tesoura, recorte o triângulo e separe cada um dos três ângulos internos.
4o Passo: Encaixe lado a lado os três ângulos recortados. (Você pode pedir aos alunos que utilizem 
a beirada da carteira como base). 
5o Passo: Questione: “O que você consegue perceber?”.
6o Passo: Formalize a ideia. Lembre-se de ressaltar que o resultado obtido independe do triângulo 
desenhado.
A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.
32 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
9a atividade: Para realizar um trabalho da escola, Ana precisa determinar o valor do ângulo iden-
tificado na figura a seguir, mas não sabe como. Vamos ajudá-la?
D8
b
B
x
C
a A
Nosso objetivo aqui é instigar os alunos a perceber que podemos determinar o valor desse ângulo 
utilizando a propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo.
 Ba + Bb + Bc= 180°
 Bx + Bc = 180°
Explique aos seus alunos que acabamos de realizar uma demonstração, ou seja, a relação encon-
trada aqui é válida para qualquer triângulo, pois utilizamos um triângulo sem qualquer caracte-
rística especial.
Agora, apresente a propriedade da medida do ângulo externo de um triângulo.
A medida de todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos 
internos não adjacentes a esse ângulo externo.
4. Diagonais
10a atividade: Trace as diagonais de cada um dos polígonos a seguir e preencha a tabela. Observe 
a regularidade entre os resultados obtidos.
D8
⇒ Bx + Bc = Ba + Bb + Bc ⇒ Bx = Ba + Bb
33GUIA DO tUtOr
ATENÇÃO!
n: número de lados do polígono.
dv: número de diagonais por vértice.
d: número de diagonais do polígono.
n 4 5 6 7 8 9 x
dV 1 2 3 4 5 6 (x – 3)
d 2 5 9 14 20 27
x(x – 3)
2
Com esse problema, queremos que os alunos percebam como é feito o cálculo do número de diago-
nais de cada vértice e do número de diagonais de um polígono. Discuta com seus alunos por que 
não é suficiente multiplicar o número de diagonais por vértice pelo número de vértices do polígono 
para calcular o número de diagonais do polígono.
5. Ângulos internos de um polígono
11a atividade: Descreva uma maneira de calcular a soma dos ângulos internos do pentágono a 
seguir:
D8
Relacionando todas as propriedades estudadas até agora, podemos chegar a uma nova conclusão 
sobre a medida dos ângulos internos de um pentágono.
Traçando as diagonais a partir de um vértice, podemos dividir esse pentágono em três triângulos. 
Logo, a soma dos ângulos internos do pentágono é 180° + 180° + 180° = 540°.
34 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
12a atividade: Divida os polígonos a seguir em triângulos e preencha a tabela. Observe a regula-
ridade entre os resultados obtidos.
D8
ATENÇÃO!
n: número de lados do polígono.
t: número de triângulos em que o polígono foi dividido.
Si: soma das medidas dos ângulos internos.
n 3 4 5 6 7 8 9 x
t 1 2 3 4 5 6 7 (x – 2)
Si 180° 360° 540° 720° 900° 1 080° 1 260° (x – 2) ? 180°
Certifique-se de que seus alunos percebam que a diferença entre o número de triângulos formados 
e o número de lados dos polígonos é sempre 2, ou seja, para saber quantos triângulos serão 
formados, basta subtrair 2 do número de lados do polígono:
n = 3 ⇒ Si = (3 – 2) ? 180° = 1 ? 180° = 180°
n = 4 ⇒ Si = (4 – 2) ? 180° = 2 ? 180° = 360°
n = 5 ⇒ Si = (5 – 2) ? 180° = 3 ? 180° = 540°

n = 9 ⇒ Si = (9 – 2) ? 180° = 7 ? 180° = 1 260°
Agora, é possível generalizar o resultado. Portanto, a soma dos ângulos internos de um polígono 
de n lados é dada por:
Si = (n − 2) ? 180°
35GUIA DO tUtOr
13a atividade: A figura a seguir é um octógono regular, o que quer dizer que todos os seus ângulos 
internos são congruentes, assim como seus lados. Qual é o valor do ângulo interno desta figura?
D8
Esperamos que o aluno perceba que o lado desse octógono tem a mesma direção da diagonal do 
quadrado da malha, logo o ângulo a é reto e o ângulo b tem a metade de sua medida. Portanto, 
o ângulo interno do octógono regular mede 135°.
� �
E se a figura não estivesse desenhada em uma malha quadriculada?
Bom, nesse caso, explique aos alunos que basta calcular a soma dos ângulos internos do octógono 
e dividir pelo seu número de ângulos, pois todos eles são congruentes. 
ai = 
Si
8
 = (8 – 2) ? 180°
8
 = 1 080°
8
 = 135°
Generalizando, para calcular a medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados, temos:
ai = 
Si
n
36 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Resolva as seguintes atividades: 
Atividade 1. Observe os ponteiros neste relógio:
D4
Decorridas três horas, qual é o ângulo formado pelos ponteiros? 
Solução: 
90°.
Atividade 2. Determine o valor de x, na figura a seguir:
D4
40o
85o
13x + 5o
5x
5x
Solução: 
23x + 130° = 360°
23x = 230°
x = 10°
37GUIA DO tUtOr
Atividade 3. Em um cubo, estão desenhadas, em suas seis faces, formas planas circular, quadrada, 
triangular, pentagonal, hexagonal e estrela.
D2
Veja o desenho deste cubo em três posições diferentes:
Descubra quais formas planas estão nas faces opostas.
Solução:
Hexágono ↔ quadrado
Triângulo ↔ pentágono
Círculo ↔ estrela
Atividade 4. Cada um dos círculos foi dividido em 8 partes iguais. Os ângulos estão indicados 
pelas regiões coloridas.
D4
Bb
Ba
Bc
Bd
Classifique as sentenças em verdadeiras ou falsas, segundo a figura anterior: 
( V ) Ba = Bd
( V ) Bc . Ba
( F ) Bb , Bc
( V ) Bc . Bd
( F ) Bb = Bd
( V ) Ba , Bc
38 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 5. Observe a disposição dos cubos no sólido:
D2
Na malha pontilhada, represente as vistas:
frontal lateral
superior
Solução:
frontal lateral superior
39GUIA DO tUtOr
Atividade 6. Os ângulos x e 4x − 20 são complementares. Determine o valor de x.
D4
Solução:
x + 4x − 20° = 90°
5x = 110°
x = 20°
Atividade 7. Identifique qual é a relação entre os ângulos assinalados: 
D4
x y
a
b
m
n
Solução:
1a figura: OPV
2a figura: suplementares
3a figura: OPV
40 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 8. Considerando r // s // t, determine as medidas dos ângulos indicados:
D4
a) 
3x + 20o
5x – 40o
s
r b) 
120o
130o
s
r
z
y
x
c) 
110o
50o
s
r
x
 d) 
65o 70
o
s
r
x
y
t
w
z
Solução: 
a) 5x − 40° = 3x + 20°
 2x = 60°
 x = 30°
b) x + y + z = 180°
 y + z = 120°
 x + y = 130°
 z = 120° − y
 x = 130° − y
  130° − y + y + 120° − y = 180°
  −y = 180° − 250°
 y = 70°
 x = 60°
 z = 50°
c) x = 120°
d) x = 45°; y = 45°; z = 70°; w = 115°
41GUIA DO tUtOr
Atividade 9. Em um ladrilhamento, as formas geométricas planas, cujos contornos são polígonos, 
devem se encaixar sem espaço entre elas e sem sobreposição. Dessa maneira, elas podem ocupar 
todo o plano, preenchendo-o. Usando apenas um tipo de polígono regular, há somente três 
regiões poligonais regulares com as quais é possível obter um ladrilhamento: com formas qua-
dradas, triangulares equiláteras e hexagonais regulares. A seguir, apresentamosexemplos formados 
por essas três regiões e mostramos a impossibilidade de se obter um ladrilhamento com formas 
pentagonais regulares.
D8/D6
A
B
C
D
De acordo com as figuras anteriores, faça o que se pede:
a) Determine a soma das medidas de todos os ângulos com vértice em A, em B e em C.
b) Existe alguma relação entre a medida do ângulo interno do quadrado, do triângulo equilátero 
e do hexágono regular com a medida de um giro completo?
c) Por que não é possível um ladrilhamento só com polígonos pentagonais regulares?
Solução: 
a) Todos somam 360°.
b) Os ângulos internos de cada um desses polígonos são divisores de 360 (90° = 360 ÷ 4; 
60° = 360 ÷ 6, e 120° = 360 ÷ 3).
c) Porque o ângulo interno de um pentágono mede 108º, que não é divisor de 360°.
42 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 10. Determine as medidas indicadas por x e y nas figuras a seguir:
D8
a) 
18ºx
2x
b) 
y x
1010
Solução:
a) 3x = 162 é x = 54°
b) x = y = 45° (triângulo isósceles)
Atividade 11. Das figuras a seguir, indique as que representam polígonos:
D3
a)
d)
c)
f)
b)
e)
Solução: 
b), c) e f).
43GUIA DO tUtOr
Atividade 12. Quais tipos de polígonos aparecem no contorno das faces de cada poliedro? 
Há quantos de cada tipo?
D3
a) 
b) 
c) 
Solução: 
a) retângulos: 6; hexágonos: 2.
b) triângulos: 6; hexágonos: 1.
c) Triângulos: 4.
44 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 13. (Saresp) Dentre os mosaicos a seguir, aquele que é formado apenas por quadriláteros é:
D3
a) b) 
c) d) 
Solução: 
Letra c).
Atividade 14: Na figura seguinte, tem-se r // s e t e u são transversais. Qual o valor de a + b?
D4
20o 70
o
r
s
t
u
�
�
Solução: 
130°.
45GUIA DO tUtOr
Esta oficina trabalha as seguintes habilidades da matriz:
D5 – Identificar propriedades de triângulos pela comparação de medidas de lados e 
ângulos.
D10 – Resolver problemas utilizando as propriedades e os casos de semelhança de 
triângulos.
D12 – Utilizar relações métricas do triângulo retângulo para resolver problemas signi-
ficativos.
O descritor D5 é verificado por meio de problemas que envolvem razões entre comprimentos e 
semelhanças de triângulos, nos quais proporcionamos uma diversidade de situações, para que o 
aluno estabeleça a proporcionalidade, escolha o caso e a forma mais adequada de solucionar os 
problemas. 
O descritor D12 deve verificar a habilidade de o aluno manipular as relações métricas do triângulo 
retângulo. Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas que exijam 
que o aluno selecione as relações necessárias para resolver o problema, especialmente em se 
tratando do Teorema de Pitágoras.
Dentre as diversas relações métricas possíveis em um triângulo retângulo, a mais importante é o 
Teorema de Pitágoras. Existem diversas demonstrações para esse teorema. Aqui, apresentaremos 
uma demonstração simples, comum nos livros didáticos, cuja argumentação se vale de semelhança 
de triângulos.
Em geral, o aluno tende a aplicar, a qualquer triângulo que pareça retângulo, o Teorema de 
Pitágoras, sem se preocupar se o triângulo dado é, de fato, um triângulo retângulo. Para desfazer 
esse equívoco, é importante convencer o aluno de que o Teorema de Pitágoras é um resultado 
somente sobre triângulos retângulos.
O descritor D10 verifica a habilidade de o aluno selecionar e analisar por meio da semelhança de 
triângulos. Estes são apresentados em situações-problema, em diversas posições diferentes para 
que o aluno consiga solucionar os possíveis casos de semelhanças entre eles. Por meio deste 
mesmo descritor, o aluno deve ser capaz de realizar o cálculo de comprimentos, com o uso do 
Teorema de Tales. 
TEOREMA DE TALES E 
OS TRIÂNGULOS2
46 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
1. Teorema de Tales
Quando duas retas são transversais a um conjunto de retas paralelas, estas determinam sobre as 
transversais vários segmentos.
Teorema (Tales): “A razão entre os comprimentos de dois quaisquer desses segmentos sobre 
uma das transversais é igual à razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes 
na outra transversal.”
t1 t2
A1 A2 r1
B1 B2 r2
C1 C2 r3
r1 // r2 // r3 ⇒ 
A1B1
B1C1
 = 
A2B2
B2C2
, 
A1B1
A1C1
 = 
A2B2
A2C2
 e 
B1C1
A1C1
 = 
B2C2
A2C2
.
Exemplo 1: Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. 
Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas no mapa (em 
km), mas as outras precisam ser calculadas. Quais são os valores de x, y e z?
20
15
15
12
18
y
z
x
47GUIA DO tUtOr
Solução: 
Esse exemplo é uma aplicação direta do Teorema de Tales. Temos que:
15
z
 = 12
18
 ⇒ z = 45
2
 = 22,5 km
y
z
 = 20
15
 ⇒ y = 20 ? z
15
 = 450
15
 = 30 km
x
15
 = 12
18
 ⇒ x = 12 ? 15
18
 = 10 km
2. Semelhança
Semelhança é um tema difícil para os alunos. Em geral, eles só conseguem visualizar a semelhança 
entre dois triângulos quando a posição relativa entre eles é bastante favorável. Por isso, devem-se 
explorar exercícios nos quais os triângulos sejam apresentados em posições diferenciadas. Mesmo 
quando a semelhança é percebida, é comum cometerem erros ao estabelecer a proporcionalidade 
entre os lados. Para resolver esse problema, propomos um procedimento que ajudará os alunos a 
lidar com a semelhança de forma correta.
Cenário 1
O professor apresenta aos alunos dois problemas com o seguinte enunciado: 
Calcule o valor de x em cada uma das figuras a seguir:
a) 
2 cm
4 cm
40o
40o
110o 110oA
B
E
x
F
D
C
3 cm
b) 
3 cm
6 cm
4 cm
50o
50o
J
Kx
L
G
a) Nas diversas soluções encontradas, observou-se que:
 x
3
 = 4
2
 ⇒ x = 12
2
 ⇒ x = 6 cm
 2
3
 = 4
x
 ⇒ 2x = 12 ⇒ x = 12
2
 ⇒ x = 6 cm
 2
3
 = x
4
 ⇒ x = 8
3
 cm
48 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
b) A maioria dos alunos não conseguiu resolver essa questão. Os poucos que tentaram, apresen-
taram o seguinte raciocínio:
 x
3
 = 6
4
 ⇒ x = 18
4
 ⇒ x = 4,5 cm
 4
6
 = x
3
 ⇒ 12
2
 = x ⇒ x = 2 cm
 x
6
 = 4
3
 ⇒ x = 24
3
 ⇒ x = 8 cm
Uma pergunta natural é:
“Por que, invariavelmente, os alunos tendem a acertar o item (a) e errar o item (b)?”
É claro que uma resposta a essa pergunta seria:
“Porque o item (b) é mais difícil do que o item (a)!”
Será que essa explicação é suficiente para esclarecer o que está ocorrendo?
De fato, o item (b) apresenta mais dificuldade para os alunos. Mas a questão a ser compreendida 
é a razão pela qual isso ocorre.
Para lançar luz sobre essa polêmica, vamos revisitar o conceito de semelhança entre triângulos.
Definição: “Dois triângulos são ditos semelhantes se existir correspondência entre seus 
vértices, de modo que os ângulos correspondentes sejam congruentes e os lados em corres-
pondência sejam proporcionais.”
Dados dois triângulos ABC e DEF, há seis correspondências possíveis entre seus vértices. Listemos 
todas elas:
A ↔ D A ↔ D A ↔ F A ↔ F A ↔ E A ↔ E
B ↔ E B ↔ F B ↔ E B ↔ D B ↔ F B ↔ D
C ↔ F C ↔ E C ↔ D C ↔ E C ↔ D C ↔ F
A questão, então, é verificar se alguma dessas seis correspondências tem as propriedades apresen-
tadas na definição, que são:
• possuir os ângulos em correspondência congruentes;
• possuir os lados em correspondência proporcionais.
49GUIA DO tUtOr
Consideremos que uma dessas seis correspondências entre seus vértices, 
•	A ↔ D
•	B ↔ E
•	C ↔ F,
seja tal que os ângulos em correspondência sejam congruentes, ou seja:
•	 BA  BD
•	 BB  BE
•	 BC  BF
Nesse caso, os triângulos ABC e DEF têm a chance de serem semelhantes. Por definição, eles serão 
semelhantes se os lados em correspondência forem proporcionais, isto é, se
AB
DE
 = 
BC
EF
 = 
CA
FD
.
Quando dois triângulos são semelhantes, eles não são necessariamente “iguaizinhos”. Eles têm, 
sim, a mesma forma (já que possuem os ângulos correspondentes congruentes), mas não possuem 
necessariamente o mesmo tamanho (pois, nesse caso, exige-se somenteque os lados correspon-
dentes sejam proporcionais). Assim, triângulos semelhantes são iguais na forma, mas não necessa-
riamente no tamanho.
Intuitivamente: “Dois triângulos podem ser completamente diferentes na forma e no tamanho. 
Porém, se forem iguais na forma (são as medidas dos ângulos que caracterizam a forma do triân-
gulo), eles serão triângulos semelhantes. Se, além de iguais na forma, forem também iguais no 
tamanho, eles serão congruentes.”
Portanto, dados dois triângulos, deveríamos verificar, dentre as seis possíveis correspondências 
entre seus vértices, se alguma delas permite concluir a semelhança entre esses triângulos. Para tal, 
deveríamos verificar a ocorrência de três congruências, entre os três pares de ângulos e, também, 
a proporcionalidade entre os pares de lados dos dois triângulos. Assim, verificar a semelhança 
entre dois triângulos pela definição é bastante trabalhoso. Nesse momento, os casos de semelhan-
ça podem nos socorrer.
50 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
2.1. Casos de semelhança entre triângulos 
Caso (AA): Se dois triângulos ABC e DEF são tais que BA  BD e BB  BE, então ABC  DEF.
(Aqui é necessário e suficiente que se tenha dois pares de ângulos congruentes).
Caso (LAL): Se dois triângulos ABC e DEF são tais que BB  BE e AB
DE
 = 
BC
EF
, então ABC  DEF.
(Aqui é necessário e suficiente que se tenha um par de ângulos congruentes e os dois pares 
de lados, adjacentes a esse par de ângulos congruentes, proporcionais).
Caso (LLL): Se dois triângulos ABC e DEF são tais que 
AB
DE
 = 
BC
EF
 = 
CA
FD
, então ABC  DEF.
(Aqui é necessário e suficiente que se tenha os três pares de lados proporcionais).
Perceba que utilizar os casos de semelhança entre triângulos é bem mais simples e mais rápido do 
que aplicar a definição de semelhança. Assim, os casos de semelhança servem para facilitar nosso 
trabalho. Em qualquer um dos casos, basta verificarmos uma quantidade menor de condições do 
que as descritas na definição de semelhança. É bem mais econômico, não acha?
Voltemos, agora, aos problemas originalmente propostos no cenário 1: 
Em geral, quando os dois triângulos são apresentados na mesma posição, facilita bastante o reco-
nhecimento da semelhança, bem como a montagem da proporção entre os lados. É o caso da letra 
(a), em que, facilmente, se percebe que os triângulos ABC e DEF possuem dois pares de ângulos 
congruentes, medindo 40° e 110°, o que, pelo 1o caso de semelhança (AA), garante a semelhança 
entre esses triângulos. Pelos ângulos congruentes, é possível saber quais são os vértices em corres-
pondência:
A ↔ D (pois ambos medem 110°)
B ↔ E (pois ambos medem 40°)
C ↔ F (que são os que restaram)
Daí, fica fácil estabelecer quais lados se encontram em correspondência: 
wAB ↔ wDE
wAC ↔ wDF
wBC ↔ wEF
51GUIA DO tUtOr
Para, em seguida, estabelecer a proporção correta entre as medidas dos lados:
AB
DE
 = 
AC
DF
 = 
BC
EF
Pelos dados do problema, é fácil observar que basta utilizarmos a proporção 
AB
DE
 = 
AC
DF
, pois ela 
relaciona os dados conhecidos e a medida a ser calculada:
AB
DE
 = 
AC
DF
 ⇔ 2
4
 = 
3
x
 ⇔ x = 4 ? 3
2
 ⇔ x = 6 cm.
E no caso (b)?
Bem, aí é importante conseguir identificar quais triângulos são semelhantes. Para isso, vale dese-
nhar separadamente os triângulos envolvidos na figura, que, neste caso, são três, e marcar nesses 
triângulos todas as informações que se sabe sobre cada um deles.
3 cm
6 cm
4 cm
50o
50o
J
Kx
L
G
 
3 cm
6 cm
50o
J
K
L 
3 cm50o
J
K
x
G
 
6 cm4 cm
50o
K
x
L
G
Note que no triângulo JGK só há informação sobre um de seus ângulos. Já nos triângulos JKL e GKL 
é possível identificar dois pares de ângulos congruentes, pois há um par de ângulos medindo 50° e 
outro par de ângulos congruentes, por se tratar de um ângulo comum aos dois triângulos. Portanto, 
pelo caso de semelhança (AA), podemos afirmar que os triângulos JKL e GKL são semelhantes.
A correspondência entre os vértices é a seguinte:
J ↔ K (pois ambos medem 50°)
L ↔ L (pois se trata de um ângulo comum aos dois triangulos)
K ↔ G (que são os que restaram)
Então, pode-se montar a proporcionalidade entre os lados do triângulo da seguinte forma: 
JL
KL
 = 
JK
KG
 = 
LK
LG
52 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Como conhecemos JK = 3 cm, LK = 6 cm, LG = 4 cm e queremos achar KG = x, devemos utilizar 
a última igualdade da proporção anterior:
JK
KG
 = 
LK
LG
 ⇔ 3
x
 = 
6
4
 ⇔ x = 3 ? 4
6
 ⇔ x = 2 cm.
2.2. Razão de semelhança
No caso de os triângulos ABC e DEF serem semelhantes e a correspondência entre os vértices ser 
A ↔ D, B ↔ E e C ↔ F, teremos, consequentemente, AB
DE
 = 
AC
DF
 = 
BC
EF
. Neste caso, seja k o valor 
comum dessas três razões, ou seja,
AB
DE
 = 
BC
EF
 = 
CA
FD
 = k.
Dizemos que k é a razão de semelhança do triângulo ABC para o triângulo DEF. Perceba, por con-
sequência, que 
1
k
 será a razão de semelhança do triângulo DEF para o triângulo ABC, pois
DE
AB
 = 
EF
BC
 = 
AD
DF
 = 
1
k
.
Se os triângulos ABC e DEF forem semelhantes e a razão de semelhança entre eles for k, então:
AB
DE
 = 
BC
EF
 = 
CA
FD
 = k ⇒ AB + BC + CA
DE + EF + FD
 = 
AB
DE
 = 
BC
EF
 = 
CA
FD
 = k, ou seja, 
AB + BC + CA
DE + EF + FD
 = k.
Logo, a razão entre os perímetros desses triângulos também é k.
Quaisquer dois segmentos correspondentes nesses triângulos são tais que a medida de um é k 
vezes a medida do outro.
No caso das áreas desses triângulos, temos:
SABC
SDEF
 = = 
baseABC ? alturaABC
2
 ? 
2
baseDEF ? alturaDEF
SABC
SDEF
 = 
baseABC ? alturaABC
baseDEF ? alturaDEF
 ? 
k ? baseDEF ? k ? alturaDEF
baseDEF ? alturaDEF
 = k2
Logo, se a razão de semelhança entre dois triângulos é k, então a razão entre suas áreas é k2.
baseDEF ? alturaDEF
2
baseABC ? alturaABC
2
53GUIA DO tUtOr
2.3. Relações métricas no triângulo retângulo
1a atividade: Cenário.
D12
Um aluno vê o seguinte problema em uma lista de exercícios:
Calcule o valor de x na figura a seguir:
A
B 4 cm
3 cm
C
x
Em seguida, resolve esse problema da seguinte maneira:
x2 = 32 + 42
x2 = 25
x = 5 cm
Qual é a condução a ser dada diante dessa situação?
Pode-se observar, pela resposta apresentada pelo aluno, que ele empregou o Teorema de Pitágoras 
a esse triângulo, considerando o lado wAC como hipotenusa e os lados wAB e wBC como catetos. 
Entretanto, é importante observar que nem o enunciado, nem a figura do problema informam que 
o triângulo ABC é retângulo. Sem esse dado, não é possível considerar o triângulo ABC como 
retângulo. Com isso, não se pode aplicar o Teorema de Pitágoras a esse triângulo. 
É muito comum um aluno considerar como ângulo reto aquele que aparenta ser reto, sem que essa 
informação seja de alguma forma apresentada.
54 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
O valor de x no problema anterior não pode ser obtido, pois faltam informações necessárias para 
resolver o problema. É fácil perceber que há uma infinidade de triângulos que admitem dois lados 
com medidas 3 cm e 4 cm.
A E H K
4 cm 4 cm 4 cm 4 cm
3 cm 3 cm 3 cm 3 cm
5,79 cm4,04 cm5 cm4,87 cm
B C D F G I J L
86,95o 68,73o 110,81o90o
O triângulo ilustrado na questão resolvida pelo aluno tem o lado wAC medindo cerca de 4,87 cm, 
pois o ângulo oposto a esse lado mede 86,95º (e não 90º, conforme considerado pelo aluno).
É importante, nesse ponto, pedir aos alunos que desenhem triângulos diversos, com dois dos lados 
medindo 3 cm e 4 cm. Dessa forma, o aluno perceberá que o problema proposto não pode ser 
resolvido, pois, dependendo do triângulo que desenhe, a medida do 3o lado terá um valor diferen-
te. Comente com os alunos que todos os triângulos que eles desenharam atendem às informações 
do enunciado, que é possuir dois lados medindo 3 cm e 4 cm. A medida do 3o lado só será igual a 
5 cm se o ângulo oposto a esse lado for um ângulo reto. Caso contrário, a medida do 3o lado será 
diferente de 5 cm.
O Teorema de Pitágoras é um resultado importantee central na Geometria. Há outras relações 
métricas possíveis em um triângulo retângulo, embora sejam pouco conhecidas dos alunos, por 
serem pouco exploradas.
Para estabelecermos o Teorema de Pitágoras, utilizaremos um resultado básico de semelhança de 
triângulos.
Teorema: “Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-o em dois triân-
gulos que são semelhantes um ao outro e também semelhantes ao triângulo original”.
Demonstração: Considere um triângulo ABC, retângulo em A. Seja wAH a altura desse triângulo, 
relativa à hipotenusa. Mostraremos que ABC  HBA  HAC.
55GUIA DO tUtOr
�
�
�l�
�l
�
B
A
CH
Como o ângulo em A é reto, tem-se que a + b‘ = 90° 
Como  é reto, tem-se que a + b = 90°
Das duas igualdades anteriores, segue b‘ = b
Como b é um ângulo comum aos triângulos ABC e HBA, segue que ABC  HBA, pois possuem 
um par de ângulos congruentes.
De maneira análoga, demonstra-se que a = a‘ e, consequentemente, concluiu-se que 
ABC  HAC.
São muito frequentes exercícios envolvendo triângulos retângulos. Portanto, é útil que o aluno 
tenha a consciência de que, ao traçar a altura relativa à hipotenusa, em um triângulo retângulo, 
este fica dividido em dois triângulos retângulos menores, semelhantes entre si, e ambos semelhantes 
ao triângulo original.
Sugerimos, neste ponto, recortar um grande triângulo retângulo em uma folha de jornal (aberta), 
traçar a altura relativa à hipotenusa e recortar o triângulo original em dois menores. Em seguida, com 
um transferidor, medir os ângulos dos triângulos resultantes. Constate as semelhanças existentes.
B
A
CH B
A
H
A
CH
56 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Corolário: Em um triângulo retângulo:
(i) o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos 
segmentos determinados pelo pé da altura sobre a hipotenusa (sinteticamente: a altura rela-
tiva à hipotenusa é a média geométrica entre os segmentos determinados pelo pé da altura 
sobre a hipotenusa);
(ii) o quadrado da medida de cada cateto é igual ao produto da medida da altura relativa à 
hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa (sinteticamente: cada 
cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e o segmento da hipotenusa, que é a projeção 
desse cateto sobre ela).
Demonstração: Seja ABC um triângulo retângulo em A, e H o pé da altura relativa à hipote-
nusa. Verifique na figura a seguir as especificações das medidas desse triângulo.
B
A
C
c
b
h
a
m n
H
(i) Pelo teorema anterior, tem-se que HBA  HAC. Portanto, pela proporcionalidade entre seus 
lados, conclui-se que: 
BH
AH
 = 
AH
HC
, ou seja, 
m
h
 = 
h
n
, o que equivale a 
h2 = m ? n.
(iI) Também pelo teorema anterior, tem-se que ABC  HBA. Portanto, pela proporcionalidade 
entre seus lados, conclui-se que: 
BH
AB
 = 
AB
BC
, ou seja, 
m
c
 = 
c
a
, o que equivale a 
c2 = a ? m.
Analogamente, utilizando do teorema anterior o fato de que ABC  HAC, conclui-se que 
b2 = a ? n.
57GUIA DO tUtOr
Teorema de Pitágoras: “Em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipo-
tenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”
Demonstração: Seja ABC um triângulo retângulo em A, e H o pé da altura relativa à hipotenusa. 
Verifique na figura a seguir as especificações das medidas deste triângulo.
B
A
C
c
b
h
a
m n
H
Do corolário anterior, tem-se que c2 5 a ? m e b2 5 a ? n. Somando membro a membro essas duas 
igualdade:
b2 1 c2 5 (a ? n) 1 (a ? m)
b2 1 c2 5 a ? [n 1 m]
b2 1 c2 5 a ? a
b2 1 c2 5 a2
É importante chamar a atenção dos alunos para a necessidade de haver uma hipótese para a vali-
dade do Teorema de Pitágoras. Esse teorema só tem validade para triângulos retângulos. Portanto, 
antes de aplicá-lo, é necessário se certificar de que o triângulo em questão é, de fato, um triângulo 
retângulo. É muito comum os alunos saírem aplicando o “Teorema de Pitágoras” a qualquer triân-
gulo que encontram pela frente.
É comum encontrar em livros didáticos exercícios nos quais é preciso decidir se um triângulo, cujas 
medidas dos três lados são fornecidas, é retângulo ou não. Para resolver esse tipo de exercício, 
toma-se o quadrado da medida do maior dos lados desse triângulo e compara-se com a soma dos 
quadrados das medidas dos outros dois lados. Quando esses resultados são iguais, conclui-se que 
o triângulo é retângulo.
A pergunta é: O que legitima esse procedimento? Seria o Teorema de Pitágoras?
Uma leitura cuidadosa do teorema revela que este é tão somente uma implicação, ou seja, afirma 
que se um triângulo é retângulo, então o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma 
5 a
58 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Note que o Teorema de Pitágoras, da forma como 
é anunciado, não representa uma equivalência, isto é, não estabelece que “ser um triângulo retân-
gulo” seja equivalente a “ter o quadrado do comprimento de maior lado igual à soma dos quadrados 
dos comprimentos dos outros dois”.
A essa altura, então, uma pergunta pertinente seria:
“Vale a recíproca do Teorema de Pitágoras?”
A resposta a essa pergunta é: sim, vale a recíproca!
Teorema (Recíproca do Teorema de Pitágoras): “Se o quadrado da medida do maior 
lado de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois 
lados, então o triângulo é retângulo, tendo o ângulo reto oposto ao maior lado.”
Demonstração: Seja ABC um triângulo no qual a2 = b2 + c2, sendo a, b e c as medidas de seus 
lados, conforme indicado na figura 1.
B
A
C
c b
a B’
A’
C’
c b
d
Construa um triângulo retângulo A’B’C’, com catetos medindo b e c, e hipotenusa medindo d. 
Pelo Teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo A’B’C’, concluímos que d2 = b2 + c2. Compa-
rando essa igualdade com a2 = b2 + c2, resulta que d2 = a2, o que quer dizer que d = a. Com 
isso, estamos diante de dois triângulos que apresentam os três pares de lados congruentes, logo, 
esse é o caso LLL de congruência de triângulos. Dessa maneira, os três pares de ângulos são 
também congruentes e, particularmente, o ângulo BA do triângulo ABC é reto. Portanto, o triân-
gulo ABC é retângulo.
59GUIA DO tUtOr
Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. Um terreno, em forma de triângulo, está repartido em dois lotes, por meio de um 
muro paralelo a um dos lados do terreno, conforme indicado na figura a seguir. Qual a extensão 
deste muro?
D5
50 m
25 m
muro
30 m
Solução:
1) 
25
x
 = 
50
30
 
 50x = 750
 x = 15 m
Atividade 2. Na figura a seguir, o quadrado está inscrito no triângulo ABC. Qual a medida do lado 
desse quadrado?
D5
2 cm8 cm
A
B C
Solução:
x
8 = 
2
x 
x2 = 16
x = 4
60 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 3. Determine o valor de x no triângulo a seguir:
D5
6
8
10 7
4
x
Solução:
x
7
 = 
12
6
x = 14
Atividade 4. O triângulo retângulo ABC é retângulo em B. Qual a medida h da altura relativa à 
hipotenusa?
D12
B
CA
4 cm
h
5 cm
Solução:
52 = 42 + a2
a = 3
a ? h = b ? c
h = 2,4 cm
61GUIA DO tUtOr
Atividade 5. No trapézio dado na figura a seguir, qual é a medida da base maior?
D12
20cm
15 cm
13 cm
5 cm
Solução:
132 = 52 + x2
x = 12
202 = 122 + y2
y = 16
base maior: 36 cm
Atividade 6. Três lotes quadrados delimitam um lago em forma de um triângulo retângulo, con-
forme indicado na figura a seguir: 
D12
Lote 2
Lote 1
Lote 3
Lago
Sabe-se que as medidas das áreas desses três lotes somam 800 m². Qual a medida do maior lado 
do lago?
Solução:
x2 = y2 + z2
x2 + y2+ z2 = 800
y2+ z2 = 800 – x2
x2 = 800 – x2
2x2 = 800
x = 20 m
62 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 7. Um motorista, partindo de um ponto A, corre 10 km em direção ao sul. Depois, 
6 km em direção a leste e, finalmente, 2 km em direção ao norte, parando em um ponto B. 
Em cada etapa, ele sempre corre em linha reta. 
D12
Qual é a distância do ponto B ao ponto A?
10
 km10 km
6 km
8 
km
2 
km
B
A
Solução:
A distância do ponto A ao B é 10 km.
Atividade 8. A partir dos dados da figura a seguir, determine:
D12
160 m
120 m
a) a distância da árvore ao poço. 
b) a distância da árvore à casa.
c) a distância da casa ao poço.
Solução:
a) 160 + 90 = 250 m
b) 2502 = a2 + 2002
 a = 150 m
c) 200 m
63GUIA DO tUtOr
Atividade 9. De um ponto A exterior a uma circunferência de raio 6 cm, conduz-se uma tangente 
AT a essa circunferência, medindo 8 cm. Calcule a distância de A ao centro da circunferência.
D12
Solução: 
d2 = 36 + 64
d = 10 cm
Atividade 10. Considere a figura a seguir como uma caixa em forma de um bloco retangular. 
O segmento AB representa a vareta mais longa que pode caber dentro da caixa. Quanto mede a 
vareta?
D12
A
24 cm
B
8 cm
6 cm
Solução:
d = a2 + b2 + c2
d = 62 + 82 + 242
d = 676
d = 26 cm
64 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Esta oficina trabalha as seguintes habilidades da matriz:
D13 – Reconhecer círculo/circunferência, seus elementos e algumas de suas relações.
D14 – Resolver problemas envolvendo área, perímetro, ângulo interno, ângulo central e 
propriedades do círculo.
O descritor D13 deve verificar a habilidade de o aluno reconhecer os elementos de uma circunfe-
rência e de um círculo: raio, diâmetro, corda, arco, ângulo central, ângulo inscrito, ângulo exterior, 
secante, tangente.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, nas quais o aluno reco-
nheça, por exemplo, que o diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio, sendo sempre maior 
do que qualquer corda, e que os ângulos centrais congruentes correspondem a arcos congruentes.
Inicialmente, é importante ressaltar que há diferença entre os conceitos de circunferência e círculo. 
Entretanto, vale registrar que alguns autores não fazem distinção entre esses conceitos.
Além dos elementos de circunferência e círculo, serão revisados ângulos e arcos em circunferências, 
posição relativa entre reta e circunferência e entre circunferências. Para esta oficina, é proposto um 
jogo da memória que ajudará a fixar os conceitos e as propriedades estudados.
1. Os principais elementos de uma circunferência
Dados um ponto O no plano e um número real positivo r, a circunferência de centro O e raio r é o 
conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto O é igual a r. Denotaremos a circunferência 
de centro O e raio r por C (O, r).
r
O
C (O, r)
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO3
65GUIA DO tUtOr
R O
U
Q
P
=r
=r
=r <r
VS
=r
>r
 
dist (P, O) = r ⇔ P  C(O, r)
dist (Q, O) = r ⇔ Q  C(O, r)
dist (R, O) = r ⇔ R  C(O, r)
dist (S, O) = r ⇔ S  C(O, r)
dist (U, O) . r ⇔ U  C(O, r)
dist (V, O) , r ⇔ V  C(O, r)
Note que um ponto do plano só pertencerá à circunferência de centro O e raio r quando a distância 
entre esse ponto e o ponto O for exatamente igual a r. Assim, se a distância de um ponto do plano 
ao ponto O for diferente de r, esse ponto não pertencerá à C (O, r).
Se um ponto do plano não pertence à C (O, r) é porque d (P, O)  r. Nesse caso, há duas possibilidades:
• d (P, O) < r, o que implica que o ponto P está situado na região do plano delimitada por 
C (O, r) , ou seja, P pertence à região interior à circunferência de centro O e raio r;
• d (P, O) > r, o que implica que o ponto P está situado na região do plano exterior à circun-
ferência de centro O e raio r;
P
P
O
Região interna
Região externa
O
dist(P, O) < r dist(P, O) < r
A circunferência de centro O e raio r é o “lugar geométrico” dos pontos do plano que distam do 
ponto O uma distância r.
1.1. Elementos de uma circunferência
• Corda: é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência.
• Diâmetro: é uma corda que passa pelo centro.
• Raio: é um segmento de reta que une o centro a um ponto da circunferência.
66 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
 
OG
C
F E
H
D
B BC, DE e GH são cordas
 GH é um diâmetro
 OG, OH e OF são raios
Note que, como um diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência, o centro divide 
o diâmetro em dois segmentos que unem o centro a um dos pontos da circunferência, logo, são 
raios. É o caso do diâmetro GH na figura anterior, que é dividido pelo centro O em dois segmentos 
OG e OH, que são raios dessa circunferência. Portanto, o comprimento d de um diâmetro corres-
ponde ao dobro do comprimento r de um raio, ou seja:
d = 2r.
2. Ângulos e arcos em uma circunferência
Ao selecionarmos dois pontos distintos sobre uma circunferência, ficam determinados dois arcos 
de circunferência, conforme ilustrado na figura a seguir: 
O
C
A
D
B
Os pontos selecionados nessa figura foram A e B. Os pontos C e D foram utilizados simplesmente 
para diferenciar, por notação, os dois arcos gerados pelos pontos A e B, pois, dessa forma, podemos 
fazer referência aos arcos: (ADB e (ACB sem gerar qualquer confusão. Ambos os arcos têm como 
extremidades os pontos A e B, entretanto, o arco (ADB passa pelo ponto D, enquanto o arco (ACB 
passa pelo ponto C.
Note que esses dois arcos completam a circunferência.
67GUIA DO tUtOr
Há dois tipos principais de ângulos relacionados a circunferências:
• Ângulo central: é o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.
• Ângulo inscrito: é o ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência e cujos lados são 
retas secantes à circunferência.
 
A
O
B
 
O
N
M
V
Ângulo central A BOB Ângulo central M BVN
Definimos a medida de um arco de circunferência como a medida do ângulo central que subentende. 
Na figura anterior, definimos a medida do arco menor )AB como igual à medida do ângulo A BOB.
Atividade prática
Proponha que cada aluno desenhe, em uma mesma circunferência, um ângulo central e um ângulo 
inscrito que subentendam um mesmo arco dessa circunferência. Em seguida, peça-lhes que meçam 
tanto o ângulo inscrito quanto o ângulo central com um transferidor. Conclua com o seguinte:
A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central.
68 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
3. Posição relativa entre duas circunferências
Considere duas circunferências, uma de centro O e raio R e outra de centro C e raio r. Indicaremos 
por d (O, C) a distância entre os centros dessas duas circunferências. As posições relativas entre 
essas duas circunferências podem ser:
Concêntricas
d (O, C) = 0
Tangentes internas
d (O, C) = R – r
Tangentes externas
d (O, C) = R + r
Externas
d (O, C) > R + r
Internas
0 < d (O, C) < R – r
Secantes
R – r < d (O, C) < R + r
O � C O O
C
C
O
C
O
C
O
C
4. Posição relativa entre uma reta e uma circunferência
O O Od
d > R d < Rd = R
d d
reta r é externa
à circunferência
r t s
reta t é tangente
à circunferência
reta s é secante
à circunferência
Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçarmos os segmentos wPA e wPB, tangentes à circun-
ferência nos pontos A e B, então os segmentos wPA e wPB têm o mesmo tamanho (são congruentes).
A
O
B
P
PA = PB
69GUIA DO tUtOr
5. Círculo
Um círculo é a região do plano formada por uma circunferência e pelos pontos do seu interior.
O
O círculo, portanto, é uma superfície, enquanto a circunferência é uma linha.
Todo círculo tem uma circunferência como contorno, como fronteira. O raio de um círculo é o raio 
de sua circunferência.
Conforme já foi visto em oficina anterior, o comprimento C de uma circunferência de raio r é dado 
por: C = 2πr, e a área S de um círculo de raio r é dada por S = πr2
Resolva as atividades propostas a seguir:
Atividade 1. (Saresp) Na circunferência da figura, o segmento que representa o raio é:
D13
A
B
R
Q
P
T
a) wAB.
b) wRQ.
c) wPQ.
d) wTR.
Solução:
Letra c).
70 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 2. (Saresp) Na figura, cada um dos círculos dos raios r1, r2 e r3, com r1 , r2 , r3, 
tangencia os outros dois.D14
Assim:
a) r1 + r2 = r3
b) 2r1 + 2r2 = r3
c) 
r3
r1
 = r2
d) r1 ? r2 = r3
Solução: 
Letra a).
Atividade 3. (OBMEP) Na figura, O é o centro do círculo e AB = 5 cm. Qual é o diâmetro desse 
círculo? 
D14
A C
O 5
4
B
Solução: 
Observe que OC é um raio do círculo. Temos que OC = AB = 5 cm, por serem as diagonais do 
retângulo OACB. Logo, o diâmetro mede 10 cm.
71GUIA DO tUtOr
Atividade 4. Qual é o comprimento de uma circunferência que tem raio igual a 2,4 cm? Use 
π = 3,14.
D14
Solução: 
C = 2 ? 2,4 ? 3,14 = 15,072 cm.
Atividade 5. Calcule a área do círculo que tem diâmetro igual a 20 cm. Use π = 3,14.
D14
Solução: 
A = 3,14 ? 102 = 314 cm2.
Atividade 6. O triângulo ABC da figura a seguir tem 13,5 cm de perímetro. Qual é o comprimento 
do diâmetro desta circunferência?
D14
AC
60o
B
Solução: 
P = 13,5 cm é d = 9 cm.
72 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 7. (Cefet-MG) A medida do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio 
que está marcando 9h30 min, em graus, é:
D14
a) 90. 
b) 105. 
c) 110. 
d) 120. 
e) 150.
Solução: 
Em qualquer relógio analógico, o ponteiro das horas percorre um ângulo de 30° em exatamente 
1 hora. Dessa forma, em 30 minutos, percorre 15°. Então:
3 ? 30° + 15° = 90° + 15° = 105°.
Resposta: letra b).
Atividade 8. Calcule o valor de x na figura a seguir:
D14
B
x
A
C
O
42o
Solução: 
84°.
73GUIA DO tUtOr
Atividade 9. Uma circunferência tem diâmetro medindo 80 cm.
D13
a) Um ponto P pertence a essa circunferência e sua distância ao centro é expressa por (2x + 20) cm. 
Determine o valor de x.
b) Um ponto Q é interno a essa circunferência e sua distância ao centro é expressa por (3x + 11) cm. 
Qual é o maior valor inteiro que x pode assumir?
c) Um ponto R é externo a essa circunferência e sua distância ao centro é expressa por (4x + 16) cm. 
Qual é o menor valor inteiro que x pode assumir?
Solução: 
a) d (P, O) = r
 2x + 20 = 40 → x = 10 cm.
b) d (P, O) , r
 3x + 11 , 40 , 9,66
 Maior inteiro: 9 cm.
c) d (P, O) . r
 4x + 16 . 40
 x . 6
Menor valor: 7 cm.
Atividade 10. Determine a medida do ângulo x na figura a seguir:
D14
Vx
86o O
Solução: 
43°.
74 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Esta oficina trabalha as seguintes habilidades da matriz:
Descritor 1 – Identificar a localização/movimentação de objeto em mapas, croquis e 
outras representações gráficas.
Descritor 11 – Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas.
O descritor 1 refere-se à habilidade de o aluno localizar-se ou movimentar-se a partir de um ponto 
referencial em mapas, croquis ou outras representações gráficas, utilizando um comando ou uma 
combinação de comandos: esquerda, direita, giro, acima, abaixo, na frente, atrás etc.
Devem ser incentivadas atividades práticas em sala de aula que permitam explorar as noções de 
localização e movimentação de objetos no plano. O próprio plano do piso da sala de aula pode 
servir como plano cartesiano em exercícios nos quais os alunos se movimentem de um ponto a 
outro. É possível, também, expor mapas e croquis na parede, a fim de que os alunos experimentem 
a localização de pontos e a movimentação de objetos. Além disso, o tutor deve estimular os alunos 
a construir mapas e outras representações gráficas, localizando pontos e traçando rotas com base 
em comandos de posicionamento.
1a atividade: Isabela participa de um coral e vai fazer uma apresentação na igreja de seu bairro. 
Veja, no mapa a seguir, onde ela está.
Ru
a 
Pr
of
es
so
r 
H
ilá
rio
Ru
a 
Bo
m
 J
es
us
Ru
a 
N
ot
re
 D
am
e
Rua Lafaiete da Mata
Rua Madalena Ferreira
Praça
Praça
Rua Padre Odorico
D1
REPRESENTAÇÕES NO PLANO4
75GUIA DO tUtOr
O caminho mais curto para Isabela chegar à igreja é:
a) passando pela Rua Madalena Ferreira e subindo a Rua Professor Hilário.
b) indo pela Rua Madalena Ferreira, subindo a Rua Bom Jesus e entrando na Rua Lafaiete da Mata. 
c) indo pela Rua Notre Dame, seguindo pela Rua Lafaiete da Mata e descendo a Rua Bom Jesus.
d) pegando o caminho entre as praças e seguindo pela Rua Padre Odorico.
2a atividade: O objetivo desta atividade é mostrar aos alunos como as coordenadas podem facilitar 
a localização de objetos, pessoas, cidades, etc.
D9/D11
Inicialmente, providencie um mapa político grande e de preferência não muito conhecido pelos 
alunos. Pode ser um mapa de uma cidade ou de parte dela. Utilize o Google Maps para gerar esses 
mapas. Se for material eletrônico, você poderá projetá-lo no quadro e, se for impresso, basta 
colocá-lo em um local visível para toda a turma.
De acordo com o mapa escolhido, anote os nomes de alguns locais que serão utilizados na próxima 
etapa. Usaremos um mapa de parte da cidade de São Paulo como exemplo e escolheremos a Praça 
Benedito Calixto.
Divida a turma em duplas, entregue a um dos membros de cada dupla um papel com o nome do 
local e peça que ele o localize no mapa. Enquanto isso, os demais devem ficar assentados de costas 
para o mapa (ou fora da sala de aula, se isso não causar tumulto), de maneira que não haja comu-
nicação entre eles, no momento em que o primeiro estiver fazendo a localização.
Após o primeiro aluno já ter feito a localização solicitada, ele deverá assentar em sua carteira, 
repassar o papel com o nome do local para seu colega (com quem forma dupla) e, sentado, orien-
tá-lo para que este possa também localizar o mesmo ponto do mapa.
76 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Provavelmente, enquanto um aluno apontar uma cidade qualquer no mapa, o outro usará expressões 
como “Mais para lá“, “Mais para cima”, “Mais para cá”, “Para a direita”, “Ao sul”, auxiliando-o 
na localização. Cada atividade encerra-se no momento em que a dupla localizar a cidade. Você 
também poderá estabelecer um tempo máximo para a localização (5 minutos), evitando que se 
gaste muito tempo.
Ao final, quando alguns pontos tiverem sido localizados, discuta com os alunos se essas expressões 
são realmente eficazes ou se dão margem a muitos erros antes do acerto. Faça com que eles 
percebam que foi gasto muito tempo para localizar apenas um ponto.
Divida o mesmo mapa em retângulos menores e identifique as linhas e as colunas usando letras e 
números. Se você estiver usando a lousa como apoio para o mapa ou projeção, basta desenhá-los.
Caso você esteja usando uma parede branca, providencie tiras, letras e números em papel, para 
que possa mostrar as divisões no mapa.
Veja agora o mapa da Praça Benedito Calixto. 
Em seguida, pergunte aos alunos:
– Vocês acham que essas indicações podem ajudá-los a localizar os pontos solicitados?
– Em que coluna está a Praça Cordeiro de Farias?
– Em que linha está o Museu do Futebol?
Encerre esta atividade explicando que as linhas e as colunas citadas nada mais são do que coorde-
nadas cujo objetivo é facilitar a localização.
Aqui, usamos letras e números para identificar as coordenadas, porém, mais adiante, os alunos 
estudarão o plano cartesiano, no qual a identificação de “linhas” e “colunas” será feita somente 
usando números.
77GUIA DO tUtOr
O principal sistema que permite localizar pontos no plano é o chamado sistema cartesiano.
O descritor 9 (Interpretar informações apresentadas por meio de coordenadas cartesianas) deve 
verificar a habilidade de o aluno reconhecer pontos no sistema de coordenadas cartesianas.
Essa habilidade é avaliada por meio de situações-problema contextualizadas, nas quais é dado um 
conjunto de pares ordenados, por exemplo, e o aluno deve identificar o gráfico que contenha esses 
pontos (pares).
3a atividade: cenário.
D1/D11
O professor mostrou aos alunos a seguinte representação de um tabuleiro.
A
1
2
3
4
5
6
7
8
B C D E F G H
Questionados sobre como descreveriam a posição da casa cinza desse tabuleiro, em função dos 
referenciais disponíveis na figura, alguns alunos responderam que a posição era 2–G, e outros que 
a posição era G–2. Nesse caso, o professor afirmou que ambasas respostas estavam corretas.
Em seguida, o professor apresentou o mesmo tabuleiro, agora somente com referenciais numéricos.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4 5 6 7 8
Novamente, solicitou aos alunos que descrevessem a posição da casa cinza desse tabuleiro, em 
função dos referenciais disponíveis na figura. Alguns alunos responderam 7–2, e outros, 2–7. Nesse 
caso, qual a condução a ser dada?
78 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
O importante aqui é discutir a diferença entre os dois sistemas de referenciais. No primeiro caso, são 
utilizados símbolos de naturezas distintas: letras e números. As letras estão sendo empregadas para 
descrever as filas verticais (ou colunas) e os números, para descrever as filas horizontais (ou linhas). 
Logo, ao se responder 2–G ou G–2, não há dúvidas sobre qual casa está se referenciando:
• Ao se responder 2–G, aponta-se a casa localizada na linha 2 (pois os números descrevem 
as linhas) e na coluna G (pois as letras descrevem as colunas).
• Ao se responder G–2, aponta-se a casa localizada na coluna G (pois as letras descrevem as 
colunas) e na linha 2 (pois os números descrevem as linhas).
Nesse caso, não há ambiguidade ao se descrever 2–G ou G–2. 
Entretanto, no segundo caso, ao se responder 2–7 ou 7–2, não é possível saber a qual das duas 
casas do tabuleiro está se referindo:
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4 5 6 7 8 1
1
2
3
4
5
6
7
8
2 3 4 5 6 7 8
Nesse caso, como são utilizados símbolos de mesma natureza para a representação das linhas e 
das colunas do tabuleiro, esta fica ambígua, já que 2–7 pode designar a casa cinza tanto da figura 
1 quanto da figura 2.
Essa ambiguidade poderia ser evitada se convencionássemos uma ordem na descrição da linha e 
da coluna em que se encontra a casa. Por exemplo:
• Se convencionarmos que, na descrição da posição da casa, o primeiro número representará 
a linha (fila horizontal) e o segundo, a coluna (fila vertical) onde esta se localiza no tabuleiro, 
ao se responder 2–7, saberemos se tratar de uma casa que se localiza na linha 2 e na colu-
na 7, logo, estaremos nos referindo à casa cinza da figura 1.
• Por outro  lado,  se  convencionarmos que, na descrição da posição da  casa, o primeiro 
número representará a coluna (fila vertical) e o segundo, a linha (fila horizontal) onde esta 
se localiza no tabuleiro, ao se responder 2–7, saberemos se tratar de uma casa que se localiza 
na coluna 2 e na linha 7, logo, estaremos nos referindo à casa cinza da figura 2.
79GUIA DO tUtOr
Dessa forma, a ambiguidade desaparece.
Portanto, quando símbolos de mesma natureza são usados para representar as linhas e as colunas em 
uma malha quadriculada, torna-se necessário convencionar a ordem em que serão descritas as linhas e 
as colunas na especificação da posição de uma casa da malha, para evitar ambiguidades.
Um sistema cartesiano é um sistema de referencial empregado para a localização de pontos em um 
plano. Ele consiste em dois eixos (retas) perpendiculares, imaginados como retas reais, cujo ponto 
de interseção representa o 0 (zero) para ambas as retas reais. Em cada eixo, cada ponto representa 
um número real.
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
O eixo horizontal recebe o nome de eixo das abscissas e o eixo vertical é chamado de eixo das 
ordenadas. Com esse sistema, é possível estabelecer a localização de cada ponto do plano, descre-
vendo-o em função de sua posição em relação a esses dois eixos.
Considere o ponto P do plano, representado no plano cartesiano a seguir: 
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
P
80 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Note que, projetando perpendicularmente o ponto P sobre cada um dos eixos, podemos associar 
ao ponto P um valor do eixo das abscissas e um valor do eixo das ordenadas, que correspondem 
aos números reais que representam essas projeções nesse eixo x:
• Eixo das abscissas: o número real 2.
• Eixo das ordenadas: o número real 4.
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
P
Dessa forma, poderíamos nos referir ao ponto P como o ponto de abscissa 2 e ordenada 4. Para 
facilitar nossa representação do ponto P, convencionamos a abscissa e a ordenada do ponto P por 
meio de um par ordenado (no qual a ordem dos elementos é importante), no qual o primeiro 
elemento designa a abscissa do ponto e o segundo elemento, a ordenada do ponto.
Assim, o ponto P pode ser descrito simplesmente por (2, 4). A abscissa e a ordenada de um ponto 
são chamadas de coordenadas do ponto.
Note que o ponto de coordenadas (2, 4) é diferente do ponto de coordenadas (4, 2). Este último 
é um ponto de abscissa 4 e ordenada 2. As coordenadas (4, 2) correspondem a outro ponto, que 
chamaremos de Q, que difere do ponto P.
Veja a figura a seguir: 
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
P
Q
81GUIA DO tUtOr
É usual se referir ao eixo das abscissas como o eixo x e ao eixo das ordenadas como o eixo y. Assim, 
é comum utilizarmos as letras x e y para rotular os eixos no plano cartesiano, conforme a figura 
a seguir: 
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
y
x
Os eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8 9 10 11 12 13–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8–9–10–11–12–13
y
x
1o- quadrante2o- quadrante
4o- quadrante3
o- quadrante
Note que, em função do quadrante em que um ponto se localiza, o sinal de suas coordenadas fica 
previamente definido, pois os pontos pertencentes ao:
• 1o quadrante têm abscissa e ordenada positivas;
• 2o quadrante têm abscissa negativa e ordenada positiva;
• 3o quadrante têm abscissa e ordenada negativas;
• 4o quadrante têm abscissa positiva e ordenada negativa.
82 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
y
x
1o- quadrante
(+ , +)
2o- quadrante
(– , +)
4o- quadrante
(+ , –)
3o- quadrante
(– , –)
Já os pontos que se localizam sobre os eixos possuem as seguintes características:
• Sobre o eixo das abscissas: possuem a ordenada nula, portanto são da forma (x, 0);
• Sobre o eixo das ordenadas: possuem a abscissa nula, portanto são da forma (0, y);
Vale ainda observar que é fácil descrever pontos simétricos aos eixos coordenados em um sistema 
cartesiano:
10
0
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6 7 8–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7–8
y
simétrico de P em relação
ao eixo das ordenadas
P
„
P
‚‚‚
P
P
‚
x
simétrico de P em relação
à origem (0, 0)
simétrico de P em relação
ao eixo das abscissas
• P’ (simétrico de P em relação ao eixo das abscissas): mesma abscissa e ordenada simétrica;
• P’’ (simétrico de P em relação ao eixo das ordenadas): mesma ordenada e abscissa simétrica;
• P’’’ (simétrico de P em relação à origem): abscissa e ordenada simétricas.
83GUIA DO tUtOr
Resolva as atividades propostas a seguir: 
Atividade 1. Identifique o par ordenado que localiza cada casa destacada no tabuleiro, indicando 
como primeiro elemento do par a fila horizontal e como segundo elemento a fila vertical onde a casa 
se posiciona.
D1/D11
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
B
A
F
D
C
E
Solução: A (7, 2); B (2, 3); C (4, 6); D (5, 6); E (2, 8); F (8, 8).
Atividade 2. Dê as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano a seguir: 
D1/D11
10
0F E x
2 3 4 5 6–1–2–3–4
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
5
6
B
C
AD
y
Solução: A (3, 4); B (–3, –3); C (3, –4); D (– 3, 4); E (2, 0); F (–2, 0).
84 GUIA DE MATEMÁTICA ENTRE JOVENS | VOLUME II
Atividade 3. Considere o quadrilátero ABCD de perímetro 28 cm. A escala nos dois eixos encon-
tra-se em centímetros. Quais são as coordenadas dos vértices deste quadrilátero?