Matemática Aula 06 - Cópia

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴ 
 Note, na figura acima, que o vértice dos ângulos A, B, C e D é o mesmo 
(simbolizado pelo ponto). Os ângulos A e C são denominados ângulos opostos pelo 
vértice, e tem o mesmo valor. Da mesma forma, os ângulos B e D tem o mesmo 
valor, pois também são opostos pelo vértice: 
A = C 
B = D 
 A soma dos ângulos A e B é de 180o (ou seja, são suplementares), assim 
como a soma dos ângulos B e C, C e D, e D e A. 
 Da mesma forma, quando uma reta transversal (simbolizada por “r” na figura 
abaixo) cruza duas retas paralelas (“x” e “y”), formam-se ângulos interessantes: 
 
 Note que os ângulos A e C são iguais (pois são opostos pelo vértice), assim 
como B = D, E = G e F = H. Observe ainda que A + B = 180o (isto é, são 
suplementares). O mesmo ocorre com B+C, C+D, E+F etc. 
 Os ângulos A e E possuem a mesma medida, sendo chamados de ângulos 
correspondentes. Veja que o mesmo ocorre entre C e G, B e F, D e H. 
 Os ângulos A e H somam 180o (são suplementares), sendo chamados de 
ângulos colaterais externos (estão do mesmo lado da reta r, e externamente às 
retas x e y). O mesmo ocorre entre B e G. 
 D+E = 180o também, assim como C+F. Estes são chamados de ângulos 
colaterais internos (estão do mesmo lado da reta r, e internamente às retas x e y). 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵ 
 E+F e D+C também são suplementares (somam 180o), sendo chamados de 
ângulos alternos internos (estão em lados alternados da reta r, e internamente às 
retas x e y). 
 Por fim, A+B e G+H somam também 180o e são chamados ângulos alternos 
externos. 
 Uma outra unidade de medida de ângulos é chamada de “radianos”. Dizemos 
que 180o correspondem a  (“pi”) radianos. Com esta informação em mãos, 
conseguimos converter qualquer outro ângulo de graus para radianos, ou vice-
versa, utilizando uma regra de três simples. Exemplificando, vamos converter 30o 
para radianos: 
180o ----------------------------------------  radianos 
30o---------------------------------------- X radianos 
 Efetuando a multiplicação cruzada, temos: 
180 30
30 3
180 18
 radianos
6
X
X
X

 

  
 
 

 
 Da mesma forma, você verá que 360 2 radianoso  . 
 
1.2 Medidas de comprimento, área e volume 
 Uma unidade de medida é uma quantidade de uma grandeza física que é 
usada como um “padrão” para a medida de outras quantidades da mesma 
grandeza. Por exemplo, o “metro” é uma quantidade específica da grandeza física 
“comprimento”, sendo utilizado para medir o comprimento de outros corpos. Para 
cada grandeza física, o Sistema Internacional de Unidades define uma unidade 
padrão de medida. 
 Para efetuar os cálculos de comprimentos, áreas e volumes que faremos ao 
longo desta aula, você precisa conhecer: 
- qual a unidade padrão de medida daquela grandeza no Sistema Internacional de 
Unidades; 
- quais os principais múltiplos e submúltiplos da unidade padrão de medida; 
- como converter uma medida de um múltiplo para outro. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γ 
1.3 Geometria plana 
 A geometria plana é aquela que trabalha figuras em duas dimensões, isto é, 
em um plano. Veremos alguns conceitos básicos e, a seguir, as principais figuras 
geométricas planas que podem cair em sua prova. 
 Chamamos de Polígono qualquer figura geométrica fechada formada por 
uma série de segmentos de reta. Veja abaixo um exemplo de polígono: 
 
Note que uma figura como esta abaixo, apesar de formada por uma série de 
segmentos de reta, não é um polígono, pois não é fechada: 
 
Um polígono qualquer possui os seguintes elementos: 
- lados: são os segmentos de reta que formam o polígono (a figura abaixo, um 
pentágono, possui 5 segmentos de reta, isto é, 5 lados). 
- vértices: são os pontos de junção de dois segmentos de reta consecutivos. Estão 
marcados com letras maiúsculas na figura abaixo. 
- diagonais: são os segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos, 
isto é, não devemos considerar que os lados do polígono são também diagonais. Na 
figura abaixo, estão pontilhados: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰ 
 Além disso, ainda temos: 
- ângulos internos: são os ângulos formados nos vértices, entre dois lados 
consecutivos, na região interna ao polígono. Veja-os no triângulo abaixo: 
 
 
- ângulos externos: são os ângulos formados nos vértices, entre um lado e o 
prolongamento do outro lado, na região externa ao polígono. Veja um exemplo de 
ângulo externo: 
 
É bom você saber que: 
- o número de lados de um polígono é sempre igual ao número de vértices. Veja que 
o triângulo possui 3 lados e 3 vértices, bem como o pentágono possui 5 lados e 5 
vértices (o mesmo acontecendo com aquele polígono de 5 lados que fizemos no 
início deste tópico). 
- se um polígono possui n vértices (ou lados), então o número de diagonais é dado 
pela fórmula abaixo: 
( 3)
2
n nD   
 Exemplificando, veja que o triângulo (n = 3) não tem nenhuma diagonal, e o 
pentágono (n = 5) possui 5 diagonais. 
 
- a soma do ângulo interno e do ângulo externo de um mesmo vértice é igual a 180º 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヱ 
- a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é: 
( 2) 180oS n   
 Usando a fórmula acima, você pode ver que no triângulo (n = 3) a soma dos 
ângulos internos é 180º, e nos quadriláteros (polígonos de 4 lados) esta soma é 
360º. 
 Os polígonos podem ser classificados em côncavos ou convexos. Abaixo 
temos, da esquerda para a direita, um polígono convexo e outro côncavo, ambos 
com 5 lados: 
 
 Veja que o polígono convexo possui todos os ângulos internos inferiores a 
180º. Já o polígono côncavo possui pelo menos um ângulo interno maior que 180º 
(marquei-o na figura). Em outras palavras, o polígono côncavo possui uma ponta 
“para dentro”, o que não ocorre nos polígonos convexos. 
 
Chamamos de polígono regular aquele que possui todos os lados iguais e 
todos os ângulos internos iguais (isto é, congruentes). O polígono abaixo é chamado 
de Hexágono regular. Ele possui 6 lados iguais e 6 ângulos internos também iguais: 
 
 Em um polígono regular como este, é fácil calcular o valor de um ângulo 
interno. Basta lembrar que a soma dos ângulos internos é ( 2) 180oS n   . Como 
neste caso n = 6, então S = 720º. Como temos 6 ângulos internos iguais, basta 
dividir 720º por 6 e veremos que cada ângulo interno mede 120º. Além disso, é fácil 
calcular o valor de cada ângulo externo. Como a soma do ângulo interno com o 
ângulo externo é 180º, então cada ângulo externo deve medir 60º. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヲ 
 Finalizando essa parte introdutória, é válido você conhecer os nomes dos 
principais polígonos, bem como o número de lados de cada um deles: 
Nº de lados Nome Nº de lados Nome 
3 Triângulo 9 Eneágono 
4 Quadrilátero 10 Decágono 
5 Pentágono 11 Undecágono 
6 Hexágono 12 Dodecágono 
7 Heptágono ... ... 
8 Octógono 20 Icoságono 
 
 Agora vamos conheceras principais figuras geométricas que podem cair em 
sua prova. Veremos também como calcular a área das mesmas. A área de uma 
figura nada mais é que o espaço na superfície por ela ocupado. 
Quanto ao perímetro, basta você saber o conceito: trata-se da soma dos 
comprimentos dos lados da figura. Faremos uma ressalva quando estivermos 
trabalhando com as circunferências. 
 
a) Retângulo: chamamos de paralelogramo qualquer quadrilátero (polígono de 4 
lados) que possua os lados opostos paralelos*. O retângulo é um paralelogramo 
especial, onde, além dos lados opostos serem paralelos, todos os ângulos internos 
são iguais a 90º, isto é, são ângulos retos (de onde vem o nome retângulo). 
Chamamos o lado maior de base, e o lado menor de altura. Veja-o abaixo: 
 
*Obs.: você lembra que dois segmentos de reta são paralelos quando nunca se 
cruzam, isto é, seguem lado a lado “até o infinito”? 
 
A área do retângulo é dada pela multiplicação de sua base (b) pela sua altura 
(h), conforme a fórmula abaixo: 
A = b x h 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヴ 
c) Trapézio: trata-se de outro polígono com 4 lados, sendo 2 deles paralelos entre 
si, e chamados de base maior (B) e base menor (b). Identifique-os na figura abaixo: 
 
 Para calcular a área de um trapézio, é preciso saber também a sua altura (h), 
que é a distância entre a base menor e a base maior. Veja-a pontilhada na figura 
abaixo: 
 
 Conhecendo b, B e h, podemos calcular a área do trapézio através da 
fórmula abaixo: 
 
2
b B h
A
 
 
 Vamos calcular a área do trapézio deste trapézio (m representa a unidade de 
comprimento metro): 
 
 Veja que b = 3m, B = 4m e h = 2m. Utilizando a fórmula, temos: 
  23 4 2 14 7
2 2
A m
 
   
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヵ 
d) Losango: Trata-se de um polígono com 4 lados de mesmo comprimento. Veja 
abaixo: 
 
 
 O quadrado é um caso particular de losango, onde todos os ângulos internos 
são iguais a 90º. 
 Para calcular a área de um losango, precisamos conhecer as suas duas 
diagonais: maior (D) e menor (d). Veja-as na figura a seguir: 
 
 Assim, a área do losango é dada pela fórmula abaixo: 
2
D dA  
 
e) Paralelogramo: como já disse acima, o paralelogramo é um quadrilátero com os 
lados opostos paralelos entre si. Esses lados opostos possuem o mesmo tamanho. 
Veja um exemplo: 
 
 A área do paralelogramo também é dada pela multiplicação da base pela 
altura: 
A = b x h 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヶ 
 Repare que a altura não é igual ao lado menor (ela só será igual no 
retângulo, que é um caso especial de paralelogramo). Ela é o tamanho do segmento 
que une os dois lados opostos (b), sendo perpendicular* a eles. 
*Obs.: aqui vale a pena lembrar que dois segmentos de reta são perpendiculares 
quando se cruzam formando ângulos de 90º. 
 
f) Triângulo: Trata-se de uma figura geométrica com 3 lados. Veja-a abaixo: 
 
 Para calcular a área do triângulo, é preciso conhecer a sua altura (h): 
 
 O lado “b”, em relação ao qual a altura foi dada, é chamado de base. Assim, 
calcula-se a área do triângulo utilizando a seguinte fórmula: 
2
b hA  
 Temos mais algumas considerações a fazer em relação ao triângulo. 
Primeiramente, lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o: 
 
 Assim, A + B + C = 180o. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΒ 
- Triângulo isósceles: é o triângulo que tem dois lados iguais. Consequentemente, 
os 2 ângulos internos da base são iguais (simbolizados na figura pela letra A): 
 
- Triângulo escaleno: é o triângulo que possui os três lados com medidas diferentes, 
tendo também os três ângulos internos distintos entre si: 
 
 Você precisa conhecer um tipo particular de triângulo, que é aquele que 
possui um ângulo de 90º, isto é, um ângulo reto. Este é o triângulo retângulo. Veja-o 
no desenho abaixo: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΓ 
 O ângulo marcado com um ponto é o ângulo reto (90º). Oposto a ele temos o 
lado “c” do triângulo, que chamaremos de hipotenusa. Já os lados “a” e “b”, que são 
adjacentes ao ângulo reto, são chamados de catetos. O Teorema de Pitágoras nos 
dá uma relação entre a hipotenusa e os catetos, dizendo que a soma dos quadrados 
dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa: 
2 2 2a b c  
 Para finalizar, vejamos o que é conhecido como “semelhança de triângulos”. 
Triângulos semelhantes são aqueles que possuem os mesmos ângulos internos (A, 
B e C). Podem ser de qualquer tipo: retângulos ou não; equiláteros, isósceles ou 
escalenos. Se temos 2 triângulos semelhantes, podemos afirmar que os seus lados 
são proporcionais. Veja os dois triângulos abaixo: 
 
 Esses triângulos são semelhantes se os ângulos internos forem iguais, isto é, 
se A = D, B = E e C = F. Se isso ocorrer, podemos montar proporções entre os 
lados correspondentes dos dois triângulos. Veja: 
a b c
d e f
  
 O lado “a” do primeiro triângulo pode também ser chamado de BC , pois os 
ângulos B e C estão nas extremidades do lado “a”. Da mesma forma, o lado “d” do 
segundo triângulo pode ser chamado de EF . Portanto, a proporção acima também 
pode ser escrita na forma abaixo: 
BC AC AB
EF DF DE
  
 Antes de passar para a próxima figura geométrica, vamos conhecer algumas 
relações métricas presentes no triângulo retângulo: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヰ 
 
 
 Observe no triângulo acima que h é a altura do triângulo ABC, e que o lado a 
foi dividido em duas partes (m e n) pela altura h. Neste triângulo, acima, você deve 
saber as seguintes fórmulas, que podem auxiliar na resolução de algum exercício: 
2
2
2
h m n
b m a
c n a
b c a h
 
 
 
  
 
 Não vou demonstrar essas fórmulas aqui para não estender a aula 
demasiadamente. Entretanto, todas essas fórmulas podem ser obtidas através da 
comparação de 2 triângulos semelhantes: ACH e ABH. 
 Para finalizar o estudo de triângulos, é bom voce saber a condição de 
existência de um triângulo. Se um triângulo tem lados de comprimento A, B e C, o 
comprimento do lado maior deve ser inferior à soma dos lados menores. Ex.: se 
alguém nos perguntasse se existe um triângulo com lados 5cm, 10cm e 22cm, 
diríamos que não, pois 22cm é maior que 5cm + 15cm. 
 Voltaremos a falar de triângulos retângulos no estudo da Trigonometria, mais 
adiante. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヱ 
g) Círculo: em um círculo (ou circunferência), todos os pontos se encontram à 
mesma distância do centro. Essa distância é chamada de raio, e na figura abaixo 
está simbolizada pela letra r: 
 
 A área de uma circunferência é dada pela fórmula abaixo: 
2A r  
 Nesta fórmula, a letra  (“pi”) representa um número irracional que é, 
aproximadamente, igual a 3,14. Exemplificando, vamos calcular a área de um 
círculocom 10 centímetros de raio: 
2
2
2
(10 )
100
A r
A cm
A cm



 
 
 
 
 Substituindo  por 3,14, temos: 
2
2
3,14 100
314
A cm
A cm
 

 
 Já o perímetro de uma circunferência, isto é, o comprimento da 
circunferência, é dado por: 
2P r   
 Portanto, vamos calcular o perímetro daquela circunferência com 10cm de 
raio: 
2
2 (3,14) (10 )
6,28 10
62,8
P r
P cm
P cm
P cm
  
  
 

 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヲ 
 O diâmetro (D) de uma circunferência é um segmento de reta que liga um 
lado ao outro da circunferência, passando pelo centro. Veja que o diâmetro mede o 
dobro do raio: 
 
 As fórmulas da área e do comprimento da circunferência podem ser escritas 
em função do diâmetro, ao invés do raio. Como r = D/2, temos: 
2
4
DA   
P D  
 Imagine dois pontos quaisquer de uma circunferência, como A e B da figura 
abaixo. Veja que liguei-os ao centro da circunferência através dos segmentos de 
reta pontilhados, formando um ângulo entre estes segmentos: 
 
 Repare que delimitamos uma certa região do círculo, compreendida entre as 
linhas pontilhadas. Uma região como esta é chamada de setor circular. Veja que 
destaquei o ângulo ACB (que simbolizei com a letra minúscula “a”). Ele é o ângulo 
central deste setor circular. Com base neste ângulo, conseguimos determinar a área 
do setor circular e o comprimento do segmento de círculo compreendido entre os 
pontos A e B. Para isso, vamos dizer que o raio deste círculo é “r”. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲン 
 Sabemos que o ângulo central de uma volta completa no círculo é 360º. E 
também sabemos a área desta volta completa, que é a própria área do 
círculo( 2r  ). A proporção abaixo nos permite calcular a área do setor circular, em 
função do ângulo central “a”: 
360º -------------------- 2r  
 a ------------------------- Área do setor circular 
 Portanto: 
2Área do setor circular
360o
a r  
 Assim, se temos um setor circular com ângulo central igual a 180º, a área 
deste setor será: 
2
2180Área do setor circular
360 2
o
o
rr    
 Isto é, a área do setor circular com ângulo central igual a 180º é exatamente 
a metade da área do círculo inteiro. 
 De forma análoga, sabemos que o comprimento da circunferência inteira é 
2 r . Portanto, o comprimento do segmento circular entre os pontos A e B, cujo 
ângulo central é “a”, é obtido pela proporção abaixo: 
360º -------------------- 2 r 
 a ------------------------- Comprimento do setor circular 
 Logo, 
Comprimento do setor circular 2
360o
a r  
 Portanto, se a = 90º, então o comprimento do setor circular será igual a 
2
r , 
que é exatamente um quarto do comprimento total da circunferência. 
 Sobre circunferências, saiba ainda que denominamos Corda o segmento de 
reta qualquer ligando dois pontos da circunferência. O segmento AB da figura 
abaixo é um exemplo de corda: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヴ 
h) Posições relativas entre figuras planas: 
 
 Reta secante e tangente: 
Quando temos uma reta e um círculo, pode ser que esta reta passe pelo 
círculo dividindo-o em duas partes, e definindo uma corda. Trata-se de uma reta 
secante. Podemos ainda ter uma reta que passa por um círculo tocando-o em um 
único ponto. Neste caso, temos uma reta tangente ao círculo. Veja uma reta secante 
e outra tangente no desenho abaixo: 
 
 Note que a reta tangente forma ângulos de 90º com o raio R da 
circunferência no ponto de encontro: 
 
 Circunferências concêntricas: 
 Dizemos que duas circunferências são concêntricas quando compartilham o 
mesmo ponto central. Veja isso na figura abaixo: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲヵ 
 Figuras inscritas e circunscritas: 
 
 Observe a figura abaixo: 
 
 
Note que este é o maior quadrado que podemos ter dentro deste círculo, 
afinal ele toca as bordas do círculo. Neste caso, dizemos que o quadrado está 
inscrito no círculo. Também podemos dizer que o círculo está circunscrito ao 
quadrado, uma vez que este é o menor círculo capaz de envolver completamente o 
quadrado. 
Assim, dizemos que um polígono está inscrito em outro quando encontra-se 
completamente na região interna deste outro polígono, com os seus vértices 
tocando no polígono que o circunscreve. Quando temos polígonos 
inscritos/circunscritos, é fácil encontrar alguma relação entre as dimensões dos dois. 
Repare que neste caso, o diâmetro do círculo é exatamente igual à diagonal do 
quadrado: 
 
 
Portanto, se soubermos que o diâmetro do círculo é igual a D, podemos 
calcular o valor do lado L do quadrado. A diagonal do quadrado forma, junto de 
outros dois lados, um triângulo retângulo: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΑ 
 Chamamos de faces deste paralelepípedo a região compreendida entre 
quatro arestas, formando um plano. Repare que este paralelepípedo possui, ao 
todo, 6 faces. Existe uma relação, chamada relação de Euler, que diz que, para 
qualquer poliedro convexo: 
Vértices + Faces = Arestas + 2 
 Neste paralelepípedo, temos: 
8 + 6 = 12 + 2 
 Chamamos de volume a quantidade de espaço ocupada por uma figura 
tridimensional como esta. O volume de um paralelepípedo, e de várias outras 
figuras que analisaremos, é dado pela multiplicação entre a área da base (Ab) e a 
altura (H): 
Volume = Ab x H 
 A base deste paralelepípedo é aquela face perpendicular à altura. Neste 
caso, tanto a face superior quanto a face inferior poderiam ser consideradas 
“bases”. Repare que esta base é um retângulo com dimensões C e L. Portanto, a 
área da base é simplesmente a área do retângulo: Ab = C x L 
 Assim, o volume do paralelepípedo é simplesmente a multiplicação das suas 
três dimensões: 
V = C x L x H 
 No cálculo do volume, lembre-se sempre que todas as dimensões devem 
estar na mesma unidade de comprimento. Isto é, se temos C = 1m, L = 10cm e H = 
0,2m, devemos converter a largura para L = 0,1m para depois efetuar a 
multiplicação. O resultado terá a unidade m3 (metro cúbico). 
 Veja ainda que podemos calcular facilmente a área da superfície deste 
paralelepípedo. Ela nada mais é que a soma das áreas das faces. Todas as faces 
são retangulares, entretanto as duas faces das extremidades possuem área igual a 
L x H, outras duas faces possuem área igual a C x H, e outras duas possuem área 
igual a C x L. Se um exercício pedisse “qual a área de papel de presente que 
precisamos para embrulhar uma caixa de sapatos com dimensões C, H e L”, 
bastaria calcular esta área superficial. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΒ 
b) Cubo: o cubo nada mais é que um paralelepípedo onde todas as arestas tem a 
mesma medida. Isto é, C = L = H. Veja o cubo abaixo, cujas arestas medem A: 
 
 Repare que este cubo possui 12 arestas, 8 vértices e 6 faces, assim como o 
paralelepípedo. O seu volume também é dado pela multiplicaçãoda área da base 
pela altura, de modo que teremos: 
Volume = Ab x H = (A x A) x A = A3 
c) Cilindro: veja na figura abaixo um cilindro: 
 
 Repare que o cilindro possui uma base circular de raio R, e uma altura H. 
Portanto, a área da base do cilindro é: 
2Ab R 
 O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base pela altura: 
V Ab H  
 A área total do cilindro é formado pela soma da área da base (que deve ser 
contada duas vezes, afinal temos esta área em cima e em baixo do cilindro) e a 
área lateral. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΓ 
 Repare que se “desenrolarmos” a área lateral e “abrimos” todo o cilindro, 
temos o seguinte: 
 
 O comprimento C do retângulo formado nada mais é que o comprimento da 
circunferência da base, isto é, 2C R . 
 Assim, a área lateral do cilindro é: 
2lateralA HxC Hx R  
 A área total do cilindro será simplesmente: 
Área total = 2 x Abase + Alateral 
 
d) Cone: O cone é uma figura com uma base circular, assim como o cilindro, porém 
com uma ponta na outra extremidade. Veja um exemplo: 
 
 Neste cone, a área da base é simplesmente a área do círculo de raio R: 
2Ab R 
 Dado que a altura do cilindro é H, então o seu volume é: 
3
Ab HV  
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヰ 
 Repare para esse detalhe: aqui o volume não foi obtido pela simples 
multiplicação da área da base pela altura – foi preciso dividir esse produto por 3. 
Isso ocorre nas duas figuras geométricas com “pontas”: o cone e o prisma (que 
veremos a seguir). 
 No cone, chamamos de geratriz o segmento de reta que liga a ponta até a 
extremidade da base. Veja-a marcada pela letra “G” na figura acima. 
 Perceba que o raio da base R, a altura H e a geratriz G formam um triângulo 
retângulo. Portanto, fica fácil calcular a geratriz com auxílio do teorema de 
Pitágoras: 
G2 = R2 + H2 
 Quando “abrimos” um cone, temos a figura a seguir: 
 
 Veja que a área lateral do cone é um setor circular de raio igual à geratriz G. 
O comprimento deste setor circular (marcado em vermelho na figura acima) é igual 
ao comprimento da circunferência da base, isto é, 2C R . Assim, podemos 
calcular a área deste setor circular a partir da seguinte proporção: 
 
Área do círculo de raio G --------------------------- Comprimento do círculo de raio G 
Área do setor circular --------------------------------- Comprimento do setor circular 
 
Isto é, 
 
  G2 ---------------------------- 2 G 
Área lateral do cone --------------------------2 R 
 
 Portanto, podemos dizer que: 
Área lateral do cone =  xGxR 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヱ 
e) Pirâmide: 
 Veja abaixo uma pirâmide de base triangular e outra de base retangular: 
 
 Em ambos os casos, o volume da pirâmide é dado por: 
3
Ab HV  
 Como você já sabe calcular a área dessas duas bases, não entrarei em 
detalhes aqui. 
 Saiba ainda que chamamos de apótema a altura de cada uma das faces 
laterais, que são triângulos. 
Por fim, a área superficial é obtida pela soma da área da base e das áreas 
das faces laterais. 
 
f) Prisma: 
 Veja abaixo dois exemplos de prisma: um com base triangular e outro com 
base retangular: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヲ 
 Observe que as faces laterais de ambos são retângulos, cuja área é 
facilmente calculada. Além disso, você já sabe calcular a área da base de cada um 
deles. Assim, você consegue calcular facilmente a área total de um prisma – mas 
não se esqueça de somar a área da base duas vezes, afinal temos essa área na 
extremidade inferior e superior das figuras. 
 O volume do prisma é dado pela multiplicação da área da base pela altura: 
V = Ab x H 
g) Esfera: a esfera é uma figura espacial formada por todos os pontos que se 
encontram à distância R de um ponto central C: 
 
 O volume de uma esfera de raio igual a R é: 
V = 4 R3/3 
 A área da superfície da esfera é: 
A = 4 R2 
 
1.5 Trigonometria 
 A trigonometria trata das relações entre comprimentos de dois lados de um 
triângulo retângulo. Como você pode perceber, nos tópicos anteriores nós já 
tratamos sobre algumas dessas relações, ao explorar a semelhança de triângulos e 
o teorema de Pitágoras. 
 Veja o triângulo retângulo abaixo: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンン 
 
 Além do ângulo reto temos os ângulos a e b. Além disso, temos os lados A, B 
e C, onde C é a hipotenusa e A e B são os catetos. Assim, podemos definir: 
- Seno de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto a este ângulo e a 
hipotenusa: 
 ( ) Cateto OpostoSen Ângulo
Hipotenusa
 
Isto é, o seno do ângulo a é a razão entre A e C: sen(a) = A / C. De maneira 
análoga, podemos dizer que sen(b) = B / C. 
 
- Cosseno de um ângulo: é a razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a 
hipotenusa. 
 ( ) Cateto AdjacenteCos Ângulo
Hipotenusa
 
Repare que o cateto B é adjacente ao ângulo a. Portanto, cos(a) = B / C, e 
cos (b) = A / C, uma vez que o cateto A é adjacente ao ângulo b. 
 
- Tangente de um ângulo: é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente 
a um determinado ângulo. 
 ( )( )
 ( )
Cateto Oposto Sen ÂnguloTan Ângulo
Cateto Adjacente Cos Ângulo
  
Assim, como A é oposto ao ângulo a e B é adjacente a este mesmo ângulo, 
então tan(a) = A / B. Já tan(b) = B / A. Perceba ainda que tan(a) = sen(a) / cos(a), e 
tan(b) = sen(b) / cos(b). 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヴ 
Definimos ainda proporções derivadas dessas, que são: 
- cossecante: inverso do seno. Isto é, cossec(a) = 1 / sen(a) 
- secante: inverso do cosseno. Assim, sec(a) = 1 / cos(a) 
- cotangente: inverso da tangente, ou seja, cot(a) = 1 / tan(a) 
Pelo que vimos acima, repare que, se a e b são ângulos agudos de um 
mesmo triângulo retângulo: 
sen(a) = cos(b) 
sen(b) = cos(a) 
tan(a) = 1 / tan(b) 
Como sabemos que os ângulos a, b e 90º somam 180º (por serem os 
ângulos internos de um triângulo), então b = 90º - a. Isto nos permite perceber que: 
sen(a) = cos(90º - a) 
tan(a) = 1 / tan(90º - a) 
 
 Visto isso, podemos definir uma relação fundamental da trigonometria. Sendo 
sen2(a) o valor do quadrado do seno de a, e cos2(a) o valor do quadrado do cosseno 
de a, então: 
sen2(a) + cos2(a) = 1 
 
 Isto vale para qualquer ângulo! Não demonstraremos essa propriedade para 
não perdermos tempo. Mas grave-a, pois ela será bastante utilizada. Antes de 
avançarmos, vejamos um exemplo numérico: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヵ 
 A hipotenusa é lado de medida 5. O cateto de medida 3 é oposto ao ângulo a 
e adjacente ao ângulo b. Já o cateto de medida 4 é oposto ao ângulo b e adjacente 
ao ângulo a. Portanto, 
sen(a) = 3 / 5 = 0,6 
cos(a) = 4 / 5 = 0,8 
tan(a) = 3 / 4 = 0,75 
sen(b) = 4 / 5 = 0,8 
cos(b) = 3 / 5 = 0,6 
tan(b) = 4 / 3 = 1,333…cossec(a) = 1 / sen(a) = 5 / 3 = 1,666… 
sec(a) = 1 / cos(a) = 5 / 4 = 1,25 
cot(a) = 1 / tan(a) = 4 / 3 = 1,333... 
 
 Como você pode ver: 
sen(a) = cos(b) = cos (90º - a) = 0,6 
cos(a) = sen(b) = sen(90º - a) = 0,8 
tan(a) = 1 / tan(b) = 1 / tan(90º - a) = 0,75 
 
Observe ainda que a nossa propriedade fundamental é respeitada: 
sen2(a) + cos2(a) = 0,62 + 0,82 = 0,36 + 0,64 = 1 
 
 O círculo trigonométrico é uma ferramenta didática utilizada para estender os 
conceitos vistos até aqui para todos os ângulos (e não apenas entre 0 e 90º, como 
temos em um triângulo retângulo). Veja abaixo um desenho deste círculo: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヶ 
 Como você pode ver, trata-se de um círculo de raio unitário (r = 1). O ângulo 
a, formado entre o eixo horizontal e o segmento de reta em vermelho, no sentido 
anti-horário, tem o seu cosseno marcado no eixo horizontal e o seu seno marcado 
no eixo vertical. Podemos ainda incluir um terceiro eixo neste desenho, para 
representar o valor da tangente do ângulo a. Veja: 
 
 Repare que o cos(a) encontra-se entre a origem dos eixos (0) e 1. Isto é, este 
cosseno tem valor positivo, entre 0 e 1. O mesmo ocorre com sen(a). Entretanto, 
observe o que ocorreria se estivéssemos trabalhando com o ângulo a = 135º: 
 
 Neste caso, o seno continua tendo sinal positivo, porém o cosseno toca na 
parte negativa (entre 0 e –1) do eixo horizontal, tendo por isso valor negativo. 
Repare ainda que o ângulo a = 225º teria seno e cosseno negativos: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンΒ 
Muitos exercícios fornecerão os senos, cossenos e/ou tangentes de dois 
ângulos a e b, e solicitarão o seno, cosseno ou tangente da soma ou subtração 
destes ângulos. Para isto, você precisa conhecer as fórmulas a seguir (que também 
não iremos demonstrar): 
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) 
sen(a - b) = sen(a)cos(b) - sen(b)cos(a) 
 
cos (a + b) = cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b) 
cos (a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) 
 
tan( ) tan( )tan( )
1 tan( ). tan( )
a ba b
a b

 

 
tan( ) tan( )tan( )
1 tan( ).tan( )
a ba b
a b

 

 
 
 Sabendo as fórmulas acima, você não precisa decorar as fórmulas para obter 
o seno do dobro do ângulo a, isto é, sen(2a), o cosseno do dobro do ângulo a, 
cos(2a), ou da tangente tan(2a).Veja como obtê-los rapidamente: 
sen(2a) = sen(a + a) = sen(a)cos(a) + sen(a)cos(a) 
Portanto, 
sen(2a) = 2 sen(a)cos(a) + sen(a)cos(a) 
 
cos(2a) = cos (a + a) = cos(a)cos(a) – sen(a)sen(a) 
Portanto, 
cos(2a) = cos2(a) – sen2(a) 
 
tan( ) tan( )tan(2 ) tan( )
1 tan( ). tan( )
a aa a a
a a

  

 
Portanto, 
2
2 tan( )tan(2 )
1 tan ( )
aa
a


 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヲ 
 
1. IDECAN – COREN/MA – 2013) Os quadrados na figura apresentada têm 
perímetros iguais a 72 cm e 20 cm. 
A área em negrito no interior da figura mede 
 
A) 235 cm2. 
B) 241 cm2. 
C) 253 cm2. 
D) 259 cm2. 
E) 267 cm2. 
RESOLUÇÃO: 
 Como o quadrado maior tem 72cm de perímetro, então seu lado mede 72 / 4 
= 18cm. E o quadrado menor tem 20cm de perímetro, então seu lado mede 20 / 4 = 
5cm. Portanto, os triângulos brancos têm base medindo 5cm. 
 E repare que a altura de cada triângulo é de 9cm – 2,5cm = 6,5cm: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴン 
 Portanto, a área de cada triângulo é 6,5 x 5 / 2 = 16,25cm2. A área do 
quadrado maior é igual a 182 = 324cm2. Retirando-se os 4 triângulos, temos: 
Área preta = 324 – 4 x 16,25 = 259cm2 
Resposta: D 
2. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) A tabela apresenta os 
valores dos lados de três triângulos: A, B e C. 
 
O maior valor possível para a soma X + Y + Z, considerando que todos os lados 
tabelados têm como medidas números inteiros, é 
A) 22. 
B) 23. 
C) 25. 
D) 26. 
E) 27. 
RESOLUÇÃO: 
 Lembre-se que o maior lado de um triângulo deve ser menor do que a soma 
dos outros dois. Esta é a condição de existência de um triângulo. Portanto, o maior 
valor possível para X é 8 (pois 3 + 6 = 9). Da mesma forma, o maior valor possível 
para Z é 6, e para Y é 12. Assim, a maior soma possível para X + Y + Z é: 
8 + 12 + 6 = 26 
Resposta: D 
 
3. IDECAN – CREFITO/PR – 2013) As circunferências na figura têm raios iguais a 2 
cm e 5 cm. 
 
A região em negrito no interior dessa figura tem área igual a 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヶ 
5. IDECAN – COREN/MA – 2013) Observe os triângulos abaixo. 
 
Esses dois triângulos são semelhantes. Sendo assim, a soma dos valores de x e y é 
A) 32. 
B) 34. 
C) 36. 
D) 38. 
E) 40. 
RESOLUÇÃO: 
 Se os triângulos são semelhantes, seus lados são proporcionais: 
 
 
 Portanto, 
30 / 20 = x / 12 
x = 18cm 
 
30 / 20 = 24 / y 
y = 16cm 
 
 Portanto, x + y = 34cm. 
Resposta: B 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΑ 
6. IDECAN – COREN/MA – 2013) No triângulo a seguir, o lado KL é paralelo ao 
segmento DE. 
 
A soma dos valores dos ângulos “x” e “a” é 
A) 170°. 
B) 180°. 
C) 185°. 
D) 190°. 
E) 195°. 
RESOLUÇÃO: 
 Como os segmentos KL e DE são paralelos, então: 
 
 Assim, 
a + 115 = 180 
a = 65º 
 
 E 
x + 55 = 180 
x = 125º 
 
 Logo, x + a = 190º. 
Resposta: D 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΒ 
7. IDECAN – PREF. SANTO ANTÔNIO DE PÁDUA/RJ – 2013) A figura a seguir é 
composta por losangos cujas diagonais medem 6 cm e 4 cm. A área da figura mede 
 
A) 48 cm2. 
B) 50 cm2. 
C) 52 cm2. 
D) 60 cm2. 
E) 64 cm2. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo D e d as diagonais de um losango, sua área é dada por: 
Área = D x d / 2 = 6 x 4 / 2 = 12cm2 
 
 Como ao todo temos 5 losangos, a área total é: 
5 x 12 = 60cm2 
Resposta: D 
 
8. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Observe a planificação 
dos cilindros A e B nas figuras, com medidas dadas em centímetros. 
 
A razão entre o volume do cilindro B e o volume do cilindro A é 
A) 1/10. 
B) 1/2. 
C) 2. 
D) 5. 
E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΓ 
 O volume do cilindro é dado pela multiplicação da área da base e sua altura. 
Assim, 
3
2 5 5( . ).
3 3
X XVa X   
2 3 35 25 50. .6 .6
3 9 3
X X XVb X      
 
 
 
 Repare que: 
3510 10
3
XVb Va
 
  
 
 
10Vb
Va
 
Resposta: E 
 
9. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Sobre a figura 
apresentada, é correto afirmar que, EXCETO: 
 
A) As retas r e ¨H G

 são paralelas coincidentes. 
B) As retas r e s são perpendiculares entre si. 
C) O plano pl(EFGH) é perpendicular ao plano g. 
D) Os segmentos de reta ÄB e EF são paralelos. 
E) O ponto H é a projeção ortogonal do ponto C sobre a reta r.RESOLUÇÃO: 
A) As retas r e ¨H G

 são paralelas coincidentes. 
 CORRETO. As duas retas estão sobrepostas. 
 
B) As retas r e s são perpendiculares entre si. 
 ERRADO. As retas r e s são paralelas. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヰ 
C) O plano pl(EFGH) é perpendicular ao plano g. 
 CORRETO. Como vemos na figura, esses dois planos se cruzam formando 
ângulos de 90º. 
 
D) Os segmentos de reta ÄB e EF são paralelos. 
 CORRETO. Veja os ângulos retos marcados na figura. 
 
E) O ponto H é a projeção ortogonal do ponto C sobre a reta r. 
 CORRETO. O segmento CH é perpendicular (90º) à reta r. 
Resposta: B 
 
10. IDECAN – PREF. LAGOA DA CONFUSÃO/TO – 2013) Observe o retângulo. 
 
As medidas dos lados a, b e c, em cm, são expressas por x2 + 2x – 1, x + 1 e 3x + 1, 
nessa ordem. Sabendo-se que a medida do lado a é igual à soma das medidas dos 
lados b e c, então, o volume do retângulo, em cm3, é 
A) 60. 
B) 72. 
C) 180. 
D) 420. 
E) 560. 
RESOLUÇÃO: 
 Como a = b + c, então: 
x2 + 2x – 1 = x + 1 + 3x + 1 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵン 
 
Qual é o perímetro deste triângulo? 
 a) 6 cm. 
 b) 9 cm. 
 c) 12 cm. 
 d) 15 cm. 
RESOLUÇÃO: 
 Queremos calcular o perímetro deste triângulo, que é a soma das medidas 
dos lados: 
Perímetro = x + (x+1) + (x-1) 
Perímetro = 3x 
 
 Note que precisamos encontrar o valor de x para então saber o perímetro. 
Para isso, podemos lembrar do teorema de Pitágoras: 
Hipotenusa2 = (cateto1)2 + (cateto2)2 
(x+1)2 = x2 + (x-1)2 
(x+1)(x+1) = x2 + (x-1)(x-1) 
x2 + x + x + 1 = x2 + x2 – x – x + 1 
x2 + 2x + 1 = 2x2 – 2x + 1 
x2 + 2x = 2x2 – 2x 
0 = 2x2 – x2 – 2x – 2x 
0 = x2 – 4x 
0 = x.(x – 4) 
 
 Para a equação acima ser obedecida, podemos ter x = 0 ou então x – 4 = 0, o 
que leva a x = 4. Dentre as duas opções possíveis de valor para x (0 ou 4), devemos 
escolher o valor 4, afinal x é a medida de um lado do triângulo, não podendo ser 0. 
 Deste modo, o perímetro do triângulo é: 
Perímetro = 3x = 3.4 = 12cm 
Resposta: C 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヴ 
14. IDECAN – PREF. MARILÂNDIA – 2016) Uma pista de corrida foi construída 
com o formato de um setor circular, conforme apresentado a seguir. 
 
 
PodeǦse afirmar que o valor do ângulo x é igual a 
 
(Considere: ヾ = 3,14.) 
 a) 30°. 
 b) 36°. 
 c) 42°. 
 d) 45°. 
RESOLUÇÃO: 
 Imagine que tivéssemos um círculo completo de raio R = 15m. Neste caso, o 
ângulo x seria uma volta completa, ou seja, 360 graus. E o comprimento da 
circunferência não seria apenas 9,42m, e sim: 
Comprimento = 2.ヾ.R 
Comprimento = 2 . 3,14 . 15 
Comprimento = 30 . 3,14 
Comprimento = 3 . 31,4 
Comprimento = 94,2 metros 
 
 Portanto, repare o seguinte: se tivéssemos uma volta completa (ângulo de 
360 graus), teríamos o comprimento de 94,2 metros. Como temos o comprimento de 
apenas 9,42 metros nessa “fatia” de círculo (ou setor circular), podemos montar a 
seguinte regra de três: 
360 graus ------------ 94,2 metros 
x graus ------------- 9,42 metros 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヵ 
 Efetuando a “multiplicação cruzada” das diagonais desta regra de três, 
temos: 
360 . 9,42 = x . 94,2 
360 . 9,42 / 94,2 = x 
360 . 1 / 10 = x 
x = 36º 
Resposta: B 
 
15. FGV – TJ/AM – 2013) Abel, Bruno, Carlos, Diogo, Elias e Fernando estão, 
respectivamente, sobre os vértices A, B, C, D, E e F de um hexágono regular, 
dispostos nessa ordem e no sentido horário. Sejam a, b, c, d e e as distâncias de 
Fernando, respectivamente, a Abel, Bruno, Carlos, Diogo e Elias, então é correto 
afirmar que 
(A) a = b = c = d =e 
(B) a < b < c < d < e = 2a 
(C) a = e < b= d < c = 2a 
(D) a = b < d= e < c = 2a 
(E) a = c < b= d < e = 2a 
RESOLUÇÃO: 
 Veja na figura abaixo o hexágono, e as distâncias de Fernando a cada um 
dos colegas. Repare que “a” e “e” são lados do hexágono, e “b”, “c” e “d” são 
diagonais do hexágono. A maior delas é “c”, e “b” e “d” são iguais: 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヶ 
 Portanto, temos a ordem a = e < b = d < c. Isso já nos permitiria marcar a 
alternativa C. Mas veja que ela termina afirmando que c = 2a. Para comprovarmos 
isso, basta observar que um hexágono regular é formado por 6 triângulos 
equiláteros: 
 
 
 Na figura acima fica fácil ver que o segmento “c” é formado por 2 segmentos 
de medida igual a “a”. 
Resposta: C 
 
16. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) A razão entre a área e o perímetro de uma 
circunferência de 
raio R vale: 
A) R/ 
B)  /2 
C)  R/2 
D) 2R 
E) R/2 
RESOLUÇÃO: 
 A área de uma circunferência é  R2, enquanto o seu comprimento 
(perímetro) é de 2 R. 
 Assim, a razão entre a área e o perímetro é: 
Área/Perímetro = ( R2) / (2 R) = R/2 
Resposta: E 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΑ 
17. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Um programa de computador foi executado 
durante 2 horas, 20 minutos e 40 segundos. O tempo total, em segundos, dessa 
execução correspondeu a: 
A) 5840 
B) 6420 
C) 7280 
D) 8440 
E) 9260 
RESOLUÇÃO: 
 Sabemos que 2 horas correspondem a 2 x 60 minutos = 120 minutos que, por 
sua vez, correspondem a 120 x 60 segundos = 7200 segundos. 
 Já 20 minutos correspondem a 20 x 60 = 1200 segundos. 
 Assim, 2horas, 20 minutos e 40 segundos correspondem a: 
7200 + 1200 + 40 = 8440 segundos 
Resposta: D 
 
18. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Observe o triângulo a seguir: 
 
O ângulo g vale: 
A) 30o 
B) 35o 
C) 40o 
D) 45o 
E) 50o 
RESOLUÇÃO: 
 Aqui basta lembrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual 
a 180 graus. Isto é, 
180 = 60 + 75 + g 
g = 180 – 60 – 75 = 45º 
Resposta: D 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵΒ 
19. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Uma piscina com 5 metros de comprimento, 
2 metros de largura e 1 metro de altura possui uma capacidade total de 
armazenamento de água, em litros, equivalente a: 
A) 500 
B) 1.000 
C) 2.000 
D) 5.000 
E) 10.000 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que esta piscina corresponde a um paralelepípedo, cujo volume é 
dado pela multiplicação de suas dimensões: 
V = 5 x 2 x 1 = 10m3 
 
 Para converter para litros, basta lembrar que 1 litro = 1 dm3. Portanto, 
10m3 = 10.000dm3 = 10.000 litros 
Resposta: E 
 
20. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) A área de uma circunferência com diâmetro 
de 20cm vale, em cm2: 
A) 40ヾ 
B) 800ヾ 
C) 100ヾ 
D) 200ヾ 
E) 400ヾ 
RESOLUÇÃO: 
 Se o diâmetro é 20cm, então o raio é R = 20/2 = 10cm. A área é: 
Área = ヾR2 = ヾ x 102 = 100 ヾcm2 
Resposta: C 
 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヱ 
24. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Uma garrafa de vidrotem a forma de 
dois cilindros sobrepostos, ambos com 8 cm de altura e bases com raios R e r, 
conforme mostra a figura. 
 
O volume de água, quando seu nível atinge 6 cm de altura, é igual a 96  cm3. 
Quando totalmente cheio, o volume da água é igual a 178  cm3. Desse modo, é 
correto afirmar que R e r medem, em centímetros, respectivamente, 
a) 4,0 e 2,0. 
b) 4,0 e 2,5. 
c) 5,0 e 3,0. 
d) 6,25 e 4,0. 
e) 6,25 e 4,5. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe o cilindro com raio da base igual a R e altura igual a 6cm. O seu 
volume é de 96  cm3, ou seja, 
2 6Volume R  
296 6R   
296 6R  
216 R 
4R cm 
 
 O volume total é a soma do volume dos dois cilindros, ou seja, 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヴ 
 Para obter os tempos em minutos, basta multiplicarmos por 60 (pois temos 
60 minutos em 1 hora). Logo, 
TA = 0,282 x 60 = 16,92 minutos 
TB = 0,24 x 60 = 14,4 minutos 
 
 A diferença de tempos foi de 16,92 – 14,4 = 2,52 minutos (aproximadamente 
2,6). 
Resposta: E 
 
26. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Dois carros partem no mesmo instante, 
das cidades Campo Verde e Porto Grande, com destino a Vitória do Sul, pelo 
caminho mais curto. 
 
Considerando que eles mentêm a mesma velocidade, é correto afirmar que chegará 
primeiro e a distância que o outro carro estará nesse momento da cidade de destino 
são, respectivamente, 
a) carro 2 e 24 km. 
b) carro 2 e 22 km. 
c) carro 1 e 20 km. 
d) carro 1 e 22 km. 
e) carro 2 e 20 km. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos usar o teorema de pitágoras para encontrar as distâncias: 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヵ 
Carro 1: 
Hipotenusa2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2 
distância2 = (60)2 + (25)2 
distância2 = 3600 + 625 
distância = 65km 
 
Carro 2: 
Hipotenusa2 = (cateto 1)2 + (cateto 2)2 
distância2 = (27)2 + (36)2 
distância2 = 729 + 1296 
distância = 45km 
 
 O carro 2 chegará primeiro, pois vai percorrer uma distância 20km menor (65 
– 45 = 20). 
Resposta: E 
 
27. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Renata estava organizando um evento e 
calculou que seriam necessários 150 copos, de 200 mL, de suco. No mercado, 
havia duas marcas diferentes do mesmo suco, sendo que uma era vendida, em lata 
de 350 mL, por R$ 3,85 e outra, em garrafa de 2 L, por R$ 21,00. Renata comprou o 
suco da marca mais barata e gastou 
(A) R$ 307,00. 
(B) R$ 330,00. 
(C) R$ 326,00. 
(D) R$ 315,00. 
(E) R$ 300,00. 
RESOLUÇÃO: 
 Podemos calcular o preço de um litro de cada suco usando regras de três 
simples: 
- suco em lata: 
0,350 litro -------------- 3,85 reais 
1 litro --------------------- P 
 
P x 0,350 = 1 x 3,85 
P = 11 reais 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶヶ 
- suco em garrafa: 
2 litros -------------- 21 reais 
 1 litro ---------------- P 
 
P x 2 = 1 x 21 
P = 10,50 reais 
 
 Portanto, o suco mais barato é aquele em garrafa. O volume necessário é de 
150 copos de 200mL, ou seja, de 0,2 litros, totalizando: 
Volume = 150 x 0,2 = 30 litros 
 
 Como 1 litro custa 10,50 reais, então 30 litros custam 30 x 10,50 = 315 reais. 
Resposta: D 
 
28. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Para elaborar um desenho gráfico, Hélio 
utiliza uma escala em que 0,5 cm do desenho corresponde a 0,1 km no 
comprimento real. Se a figura real a ser representada nesse desenho é de um 
quadrado com a área de 1 600 m2, é correto afirmar que, no desenho, essa figura 
terá os lados cuja medida, em centímetro, é igual a 
(A) 0,5. 
(B) 0,2. 
(C) 0,4. 
(D) 0,3. 
(E) 0,1. 
RESOLUÇÃO: 
 Se o quadrado tem lados medindo L, podemos dizer que: 
Área do quadrado = L2 
1600m2 = L2 
L = 40m 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶΑ 
 Sabendo que 0,1km (100m) reais correspondem a 0,5cm no desenho, então: 
100m reais ----------- 0,5cm no desenho 
 40m reais ----------- D 
 
100 x D = 40 x 0,5 
D = 0,2cm no desenho 
Resposta: B 
 
29. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Considerando que as medidas dos lados 
de um triângulo retângulo são diretamente proporcionais a 5, 7 e 4 e que sua área é 
igual a 40 cm2, o perímetro dessa figura, em centímetros, será 
(A) 64. 
(B) 32. 
(C) 48. 
(D) 20. 
(E) 16. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo k uma constante de proporcionalidade, e sabendo que os lados são 
proporcionais a 5, 7 e 4, podemos dizer que os lados medem 5k, 7k e 4k 
respectivamente. 
 O maior lado é 7k, portanto ele é a hipotenusa. Os dois catetos podem ser 
chamados de base e altura do triângulo, de modo que: 
Área = (base x altura) / 2 
40 = (4k x 5k) / 2 
80 = 20k2 
4 = k2 
k = 2 
 
 Logo, os lados são 7 x 2 = 14cm, 5 x 2 = 10cm e 4 x 2 = 8cm. O perímetro é: 
P = 14 + 10 + 8 = 32cm 
Resposta: B 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶΒ 
30. CONSULPLAN – POLÍCIA MILITAR/TO – 2013) A área em negrito da figura 
corresponde a 1/3 da área do retângulo ABCD, cujo perímetro mede 40 cm. 
Considerando ainda que o perímetro da região em negrito equivale a 3/5 do 
perímetro do retângulo ABCD, então a área desse retângulo mede 
 
(A) 84 cm² 
(B) 90 cm² 
(C) 92 cm² 
(D) 96 cm² 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de L o comprimento do lado maior do retângulo ABCD, e de 
M o comprimento do lado menor. Marcando isso na figura, temos: 
 
 O perímetro é igual à soma dos lados, ou seja, 
Perímetro = L + M + L + M 
40 = 2 x L + 2 x M 
40 = 2 x (L + M) 
40 / 2 = L + M 
L + M = 20 
M = 20 – L 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヶΓ 
 Veja agora o retângulo em negrito. O seu lado maior também mede L. Vamos 
chamar o seu lado menor de N: 
 
 Foi dito que o perímetro da região em negrito equivale a 3/5 do perímetro do 
retângulo ABCD, ou seja, 
Perímetro da região em negrito = (3/5) x 40 = 3 x 40 / 5 = 24cm 
 
 Por outro lado, 
 
Perímetro da região em negrito = L + N + L + N 
24 = 2 x (L + N) 
24 / 2 = L + N 
12 = L + N 
N = 12 – L 
 
 A área de um retângulo é dada pela multiplicação do lado maior 
(comprimento) pelo lado menor (largura). Assim, 
Área do retângulo ABCD = L x M = L x (20 – L) 
Área do retângulo em negrito = L x N = L x (12 – L) 
 
 Foi dito que a área em negrito da figura corresponde a 1/3 da área do 
retângulo ABCD, ou seja, 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヰ 
L x (12 – L) = (1/3) x L x (20 – L) 
(12 – L) = (1/3) x (20 – L) 
12 – L = 20/3 – L/3 
12 – 20/3 = L – L/3 
36/3 – 20/3 = 3L/3 – L/3 
16/3 = 2L/3 
16 = 2L 
L = 16/2 = 8cm 
 
 Portanto, 
Área do retângulo ABCD = L x (20 – L) 
Área do retângulo ABCD = 8 x (20 – 8) 
Área do retângulo ABCD = 8 x 12 
Área do retângulo ABCD = 96cm2 
Resposta: D 
31. CONSULPLAN – AVAPE – ARAÇATUBA/SP – 2013) O número de arestas 
dos poliedros convexos A, com 4 vértices e 4 faces; B, com 8 vértices e 6 faces; e 
C, com 12 vértices e 8 faces, formam, nesta ordem, umaprogressão aritmética de 
razão r. O valor de r, tal que r א R, é 
A) 2. 
B) 4. 
C) 6. 
D) 8. 
E) 10. 
RESOLUÇÃO: 
 O número de arestas pode ser obtido pela relação abaixo: 
V + F = A + 2 
 
O poliedro convexo A tem 4 vértices e 4 faces, logo: 
4 + 4 = A + 2 
A = 6 arestas 
 
B tem 8 vértices e 6 faces, logo: 
8 + 6 = A + 2 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヱ 
A = 12 arestas 
 
C tem 12 vértices e 8 faces, portanto: 
12 + 8 = A + 2 
A = 18 arestas 
 
Os números 6, 12, 18 formam uma PA de razão r = 6. 
Resposta: C 
 
32. CONSULPLAN – BANESTES – 2013) Na figura a seguir EA = AB = AC = CI = 
BD = DC; FB = BJ = JI e DJ = JC. 
 
Se o quadrado ABDC tem perímetro igual a 144 cm, então a área referente à parte 
hachurada da figura mede 
(A) 2556 cm² 
(B) 2623 cm² 
(C) 2886 cm² 
(D) 2916 cm² 
(E) 2941 cm² 
RESOLUÇÃO: 
 Como o perímetro do quadrado é 144cm, seu lado mede 144 / 4 = 36cm. 
Portanto, AC = AB = BD = CD = 36cm. Como foi dito que EA = AB = AC = CI = BD = 
DC, então todos esses segmentos medem 36cm. 
 Como DJ = JC, podemos ver que o ponto J divide o lado CD em duas 
metades de 36 / 2 = 18cm cada. Assim, o triângulo CJI tem base CJ = 18cm e altura 
CI = 36cm. 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヵ 
36. UFG – CELG-GT – 2014) A figura a seguir representa um bloco retangular com 
320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75 cm de altura. Será retirado desse 
bloco um bloco menor, também retangular, com 80 cm de comprimento, 30 cm de 
largura e 15 cm de altura. 
 
Tendo em vista as informações apresentadas, a razão entre o volume retirado e o 
volume total do bloco é igual a 
(A) 1/5 
(B) 1/10 
(C) 1/15 
(D) 1/20 
(E) 1/40 
RESOLUÇÃO: 
 O volume total é: 
Vtotal = 320x60x75 cm3 
 
 O volume retirado é: 
Vretirado = 80x30x15 cm3 
 
 A razão é: 
Vretirado / Vtotal = (80x30x15)/(320x60x75) 
Vretirado / Vtotal = (1x30x15)/(4x60x75) 
Vretirado / Vtotal = (1x30x1)/(4x60x5) 
Vretirado / Vtotal = (1x1x1)/(4x2x5) 
Vretirado / Vtotal = 1/40 
Resposta: E 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Αヶ 
37. UFG – CELG-GT – 2014) A figura a seguir mostra um cubo de aresta a = 3 cm, 
no qual foram colocados, no centro de todas as faces, novos cubos com arestas 
medindo 1 cm. Este processo pode ser continuado, ou seja, em uma segunda 
iteração, pode-se colocar, no centro das faces dos novos cubos, outros cubinhos 
com aresta igual a 1/3 da aresta anterior, e assim sucessivamente. 
 
De acordo com o raciocínio apresentado, o volume do sólido, em cm3, obtido após a 
segunda iteração é igual a: 
(A) 299/9 
(B) 301/9 
(C) 307/9 
(D) 309/9 
(E) 316/9 
RESOLUÇÃO: 
 O volume do primeiro cubo é V = 33 = 27cm3. O volume de cada um dos 6 
cubos menores obtidos na primeira iteração V = 13 = 1 cm3, totalizando 6x1 = 6cm3. 
O volume de cada um dos cubos com aresta medindo 1/3 é igual a: 
V = (1/3)3 = 1/27 cm3 
 
 Veja que teremos um total de 30 cubinhos com aresta 1/3, pois em cada um 
dos cubos com aresta igual a 1 nós conseguimos fixar 5 desses cubinhos menores 
(um no centro de cada face exposta). Ao todo temos o volume 30 x (1/27)cm3. 
 
 Somando todos os volumes: 
27 + 6 + 30x(1/27) = 
33 + 30/27 = 
33 + 10/9 = 
297/9 + 10/9 = 
307/9 cm3 
Resposta: C 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΑΒ 
 A área do octógono é 8 x 17,15 = 137,2. Multiplicando essa área da base do 
prisma pela sua altura (13), temos o volume: 
V = 13 x 137,2 = 1783,6 cm³ 
Resposta: C 
 
39. UFG – UEAP – 2014) A embalagem das amostras grátis de certo medicamento 
tem o formato de um paralelepípedo reto retângulo. A embalagem desse mesmo 
medicamento vendida ao público mantém o mesmo formato e a mesma altura da 
amostra grátis, mas cada uma das dimensões da base são 10% maiores. Nessas 
condições, o volume da caixa do medicamento vendido ao público excede, em 
porcentagem, o volume das caixas das amostras grátis em 
(A) 0,21 
(B) 1,21 
(C) 12,1 
(D) 21,0 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de C, L, A o comprimento, largura e altura da caixa de 
amostra grátis. Assim, seu volume é: 
Vamostra = C x L x A 
 
 Para aumentar cada medida em 10%, basta multiplicar por (1+10%), ou seja, 
por 1,10. Deste modo, a caixa normal tem comprimento 1,10C e largura 1,10L. 
Somente a altura permanece sendo A. O seu volume é: 
Vvenda = 1,10C x 1,10L x A 
Vvenda = 1,21 x C x L x A 
Vvenda = 1,21 x Vamostra 
Vvenda = (1 + 0,21) x Vamostra 
Vvenda = (1 + 21%) x Vamostra 
 
 Portanto, veja que o volume vendido é 21% maior que o volume da amostra. 
Resposta: D 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΑΓ 
40. UFG – UEAP – 2014) Para determinar a distância entre dois pontos, utiliza-se 
uma roda. Para percorrer uma distância de 141,3 m, a roda deu 150 voltas 
completas. Nessas condições, a medida do diâmetro, em centímetros, dessa roda é 
Dado: ヾ = 3,14 
(A) 15,0 
(B) 30,0 
(C) 45,3 
(D) 94,2 
RESOLUÇÃO: 
 Uma volta completa de uma roda com raio R mede o comprimento: 
C = 2 ヾ R 
C = 2 x 3,14 x R 
C = 6,28 x R 
 
 Assim, 150 voltas medem 150xC, ou seja, 150x6,28xR, que por sua vez 
correspondem aos 141,3 metros: 
141,3 metros = 150x6,28xR 
141,3 metros = 942xR 
R = 141,3 / 942 
R = 0,15 metros 
R = 15 centímetros 
 
 Logo, o diâmetro da roda é 2 x R = 2 x 15 = 30cm. 
Resposta: B 
 
41. UFG – UEAP – 2014) A figura a seguir foi construída empilhando-se cubos com 
2 cm de lado. 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヰ 
Nestas condições, o volume da figura, em cm³, é igual a 
(A) 96 
(B) 72 
(C) 48 
(D) 24 
RESOLUÇÃO: 
 Tente reproduzir mentalmente a montagem da figura acima, empilhando 
cubinhos de 2cm de lado cada. Note que, no sentido da altura, temos uma altura 
máxima de 4 cubinhos (repare nos pontinhos usados para fazer a marcação). Esta é 
a pilha mais alta. Temos outra pilha com 3 cubinhos (a segunda mais alta), 2 pilhas 
com 2 cubinhos cada, e mais 1 cubinho isolado à esquerda. Ao todo são 4 + 3 + 2x2 
+ 1 = 12 cubinhos. Como o volume de cada um deles é V = 23 = 8cm3, o volume 
total é 12x8 = 96cm3. 
Resposta: A 
 
42. UFG – IF/GO – 2014) Um aluno corta um pedaço de papelão na forma de um 
setor circular em que o raio e o ângulo central medem, respectivamente, 120 cm e 
60º. Em seguida, ele une, sem sobreposição, as laterais desse setor para formar um 
cone. O raio da base desse cone, em centímetros, será: 
(A) 20 
(B) 48 
(C) 60 
(D) 72 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que o comprimento da base do cone montado como descrito no 
enunciado será igual ao comprimento do setor circular. 
 Uma circunferência de raio 120cm tem comprimento total de: 
C = 2 x ヾ x R = 2 x ヾ x 120 = 240 ヾ cm 
 
 Como o setor tem 60º, que é 1/6 de 360º, podemos dizer que o seu 
comprimento será 1/6 do total. Ou seja, 
Comprimento do setor = 240 ヾ / 6 = 40 ヾ cm 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴΒヱ 
 Portanto, a base do cone será uma circunferência com comprimento de 
40ヾcm. Para obter o seu raio, podemos escrever: 
Comprimento do setor = 2 ヾ r 
40 ヾ = 2 ヾ r 
40 = 2r 
r = 20cm 
Resposta: A 
 
43. UFG – IF/GO – 2014) Um sabonete tem a forma de um paralelepípedo reto 
retângulo com dimensões 10 cm x 5 cm x 4 cm. Considere que esse sabonete perca 
2% do seu volume cada vez que é usado para banho. Nessas condições, a 
quantidade de banhos necessários para reduzir o sabonete à metade do seu volume 
inicial é: 
(A) 20 
(B) 25 
(C) 40 
(D) 50 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo V o volume inicial do sabonete, ao chegar a metade de seu volume 
teremos apenas 50%xV. Sabemos que o sabonete perde 2%xV a cada banho. 
Portanto, chamando de “n” o número de banhos necessários para reduzir o 
sabonete à sua metade, temos: 
Metade do volume = Volume inicial – n x Volume perdido a cada banho 
50%V = V – nx2%V 
0,5 = 1 – n x 0,02 
n x 0,02 = 1 – 0,5 
n = 0,5 / 0,02 
n = 25 
Resposta: B 
 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヲ 
44. VUNESP – TJ/SP – 2014) Para efeito decorativo, um arquiteto dividiu o piso de 
um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo é igual a 24 m², então a 
área total desse piso é, em m², igual a 
(A) 324. 
(B) 400. 
(C) 225. 
(D) 256. 
(E) 196. 
RESOLUÇÃO: 
 Observe que cada trapézio tem altura x, base maior medindo 2x e base 
menor medindo x: 
 
 Portanto, a área de cada um deles é dada por: 
Área do trapézio = (base maior + base menor) . altura / 2 
Área do trapézio = (2x + x).x / 2 
24 = (2x + x).x / 2 
48 = (3x).x 
16 = x2 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βン 
x = 4 m 
 
 Veja que o salão é um quadrado com lados medindo x+x+x+x = 4x = 4.4 = 16 
metros. Portanto, sua área é: 
Área do salão = lado2 = 162 = 256 m2 
Resposta: D 
 
45. VUNESP – TJ/SP – 2014) Em uma folha quadrada ABCD, foi desenhado um 
quadrado Z, de área igual a 169 cm², conforme mostra a figura: 
 
Nessas condições, é correto afirmar que o perímetro da folha ABCD, em 
centímetros, é igual a 
(A) 56. 
(B) 72. 
(C) 60. 
(D) 64. 
(E) 68. 
RESOLUÇÃO: 
 Se o quadrado Z tem área 169, podemos calcular a medida de seus lados 
assim: 
Área do quadrado = lado2 
169 = lado2 
lado = 13 
 
 Podemos calcular a medida x observando que temos triângulos retângulos 
com catetos medindo x e 12, e hipotenusa medindo 13: 
Hipotenusa2 = (cateto1)2 + (cateto2)2 
132 = 122 + x2 
169 = 144 + x2 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヴ 
169 – 144 = x2 
25 = x2 
5 = x 
 
 Portanto, cada lado da folha mede 12 + x = 12 + 5 = 17cm. O seu perímetro é 
17+17+17+17 = 4x17 = 68cm. 
Resposta: E 
 
46. VUNESP – TJ/SP – 2014) Considere um reservatório com o formato de um 
paralelepípedo reto retângulo, com 2m de comprimento e 1,5m de largura, 
inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por certo 
período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, 
preenchendo 40% da sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a 
medida da altura desse reservatório, em metros, é igual a 
(A) 1,75. 
(B) 1,25. 
(C) 1,65. 
(D) 1,50. 
(E) 1,35. 
RESOLUÇÃO: 
 Note que 50cm de altura corresponde a 40% da capacidade do reservatório, 
que também corresponde a 40% da altura total do reservatório. Assim, a altura total 
(100%) é obtida em uma regra de três simples: 
50cm --------------- 40% da altura 
A --------------------- 100% da altura 
 
50x100% = Ax40% 
50 x 100 / 40 = A 
5 x 100 / 4 = A 
5 x 25 = A 
125 cm = A 
1,25m = A 
Resposta: B 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヵ 
47. VUNESP – TCE/SP – 2015) Procurando encontrar o tom exato da cor solicitada 
pelo cliente, um pintor preparou uma mistura de três tintas, A, B e C. Usou certa lata 
como medida e misturou, em um balde, 3
5
 de lata de tinta A, 2
3
 de lata de tinta B e 
4
3
 de lata de tinta C. Da mistura preparada, reservou uma quantidade equivalente a 
duas latas (medida) completamente cheias e usou totalmente o restante para pintar 
uma área de 6,3 m², como teste. Desse modo, é correto afirmar que, aplicada de 
forma idêntica à aplicada na área teste, cada lata (medida) dessa mistura permite 
pintar uma área igual, em m², a 
(A) 12,5. 
(B) 11,8. 
(C) 11,4. 
(D) 10,8. 
(E) 10,5. 
RESOLUÇÃO: 
 Sendo L a capacidade da lata usada como medida, podemos dizer que a 
mistura total teve volume: 
Volume total = 3L/5 + 2L/3 + 4L/3 
Volume total = 3L/5 + 6L/3 
Volume total = 3L/5 + 2L 
Volume total = 3L/5 + 10L/5 
Volume total = 13L/5 
 
 Tirando 2 latas, ou seja, 2L, sobra: 
13L/5 – 2L = 
13L/5 – 10L/5 = 
3L/5 
 Essa sobra foi capaz de pintar 6,3 metros quadrados. Assim, podemos obter 
a área pintada com 1 lata (ou 1L) em uma regra de três simples: 
3L/5 ————— 6,3 metros quadrados 
L —————— A metros quadrados 
(3L/5) x A = L x 6,3 
(3/5) x A = 1 x 6,3 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Βヶ 
(3/5) x A = 6,3 
A = 6,3 x 5 / 3 
A = 10,5 metros quadrados 
Resposta: E 
 
48. VUNESP – TCE/SP – 2015) Em um terreno retangular, cuja medida do 
perímetro é igual a P, a razão entre as medidas de comprimento (C) e largura (L), 
nessa ordem, é 5
2
. Desse modo, é correto afirmar que 
(A) P = 2 C. 
(B) P = 5 L. 
(C) P = 3 C. 
(D) P = 7 L. 
(E) P = 5 C. 
RESOLUÇÃO: 
 A razão entre comprimento e largura é: 
C / L = 5 / 2 
C = 5L / 2 
 O perímetro P é: 
P = 2xlargura + 2xcomprimento 
P = 2L + 2C 
P = 2L + 2x5L/2 
P = 2L + 5L 
P = 7L 
Resposta: D 
 
49. FUNIVERSA – POLÍCIA CIENTÍFICA/GO – 2015) Considerando as notações: 
dm = decímetro, mm = milímetro, km = quilômetro, m = metro; h = hora, min = 
minuto, L = litro, mL = mililitro, kg = quilograma, mg = miligrama, assinale a 
alternativa correta. 
a) 35,6 dm = 35.600 mm 
b) 5,75 km = 57.500 m 
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 6 h e 12 min 
d) 450 mL = 4,5 L 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΒΑ 
e) 3.750 mg = 3,75 g 
RESOLUÇÃO: 
 Façamos as conversões: 
a) 35,6 dm = 356cm = 3560mm (e não 35.600 mm) 
b) 5,75 km = 57,5hm = 575dam = 5750m (e não 57.500 m) 
c) 2 h e 35 min + 3 h e 47 min = 5h e 82min = 6h e 22 min (e não 6 h e 12 min) 
d) 450 mL = 45cL = 4,5dL = 0,45L (e não 4,5 L) 
e) 3.750 mg = 375cg = 37,5dg = 3,75 g (CORRETO) 
Resposta: E 
 
50. CESGRANRIO – IBG – 2014) Três herdeiros, Arnaldo, Bruno e Paulo, dividiram 
um terreno quadrado de 42 metros de lado em três terrenos retangulares de áreas 
iguais. A figura abaixo mostra a divisão e a parte que coube a cada um. 
 
O perímetro, em metros, do terreno retangular destinado a Bruno é 
a) 588 
b) 105 
c) 147 
d) 112 
e) 126 
RESOLUÇÃO: 
 Veja a figura abaixo, onde marquei algumas dimensões: 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴLｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΒΒ 
 Como as áreas são iguais, então: 
Área de Bruno = Área de Paulo 
42 x L = (42 – L) x 21 
2 x L = (42 – L) 
2 x L + L = 42 
3L = 42 
L = 14m 
 
 O perímetro da área de Bruno é: 
P = 42 + 14 + 42 + 14 = 112 metros 
Resposta: D 
 
51. CESGRANRIO – IBG – 2014) Uma peça de madeira de formato retangular de 
dimensões 20 cm x 45 cm será repartida em duas peças pelas linha tracejadas, 
conforme a figura a seguir. 
 
Com as peças obtidas, pode-se montar um quadrado. Para isso, considerando x e y 
assinalados na figura, o valor x + y é de 
a) 30 
b) 10 
c) 25 
d) 15 
e) 20 
RESOLUÇÃO: 
 Temos a seguinte figura: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΒΓ 
 
 Veja que x + x = 20, portanto x = 10cm. Para montar um quadrado com as 
peças resultantes da separação é preciso posicioná-las da seguinte maneira: 
 
 Para que esta figura seja um quadrado, precisamos que: 
L = 10 + 20 
L = 30 
 Também é preciso que: 
L – y = y 
30 – y = y 
30 = 2y 
y = 15cm 
 Logo, 
x + y = 10 + 15 = 25cm 
Resposta: C 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヰ 
52. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) Observe os triângulos retângulos ACB e 
ECD. Os ângulos  e Ê, assinalados na Figura abaixo, têm medidas iguais e 
maiores do que 45°. 
 
Se AB = DE = 30 cm e BE = 42 cm, qual é a medida, em cm, do segmento DA? 
(A) 2 
(B) 6 
(C) 12 
(D) 14 
(E) 18 
RESOLUÇÃO: 
 Os dois triângulos (ABC e DCE) são semelhantes, pois todos os seus 
ângulos internos são iguais. Repare que os dois triângulos são retangulos, tendo as 
hipotenusas AB = DE = 30cm. Portanto, podemos dizer que esses dois triângulos 
não são somente semelhantes, eles são idênticos. Observe que: 
BE = BC + CE 
42 = BC + CE 
 
 Como os triângulos são idênticos, podemos escrever: 
BC = DC 
AC = CE 
 
 Assim, 
42 = BC + CE 
42 = DC + CE 
42 – DC = CE 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヲ 
(E) 1 mês 
RESOLUÇÃO: 
 Em um dia, uma pessoa com 65kg deve consumir 65 x 0,8 = 52 gramas de 
proteína animal. Para consumir 1000 gramas (ou seja, 1kg), o tempo necessário é: 
Dias = 1000g / 52g por dia = 19,23 dias 
 Portanto, são necessários 20 dias. 
Resposta: D 
 
54. CESGRANRIO – LIQUIGAS – 2013) Sabe-se que a base circular de um tanque 
cilíndrico possui raio igual a 3 metros. Esse tanque foi colocado dentro de um 
tanque esférico, cujo raio é igual a 5 metros. O volume máximo, em metros cúbicos, 
que o tanque cilíndrico pode ter é 
(A) 90  
(B) 72  
(C) 54  
(D) 45  
(E) 36  
RESOLUÇÃO: 
 Observe a figura abaixo. Ela mostra um corte lateral da esfera com um 
cilindro dentro, sendo o cilindro maior possível, tanto que ele toca as paredes da 
esfera: 
 
 O segmento CA tem o mesmo comprimento do raio da base do cilindro, ou 
seja, CA = 3m. Já o segmento CB tem o mesmo comprimento do raio da esfera, 
pois ele vai do centro da esfera até a sua parede. Assim, CB = 5m. Portanto, pelo 
teorema de pitágoras: 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ Γヶ 
 Nesta última equação podemos escrever: 
2P = G 
 
 Substituindo na primeira equação podemos encontrar uma relação entre P e 
M: 
M = (4/5) x G 
M = (4/5) x 2P 
M = (8/5) x P 
M x (5/8) = P 
 
 Portanto o reservatório pequeno corresponde a 5/8 do reservatório médio. 
Resposta: C 
 
57. CESGRANRIO – CEFET/RJ – 2014) A densidade volumétrica de um objeto é 
definida pela razão entre a sua massa e o seu volume. Sabe-se que dois cubos 
sólidos possuem a mesma densidade volumétrica, sendo que um deles tem as 
arestas medindo 10 cm, o outro tem as arestas medindo 20 cm, e a massa do cubo 
menor é igual a 750 gramas. 
 
A massa do cubo maior, em quilogramas, é igual a 
(A) 8,0 
(B) 7,5 
(C) 6,0 
(D) 3,0 
(E) 1,5 
RESOLUÇÃO: 
 O volume de um cubo cujo lado mede L é: 
V = L3 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΓΑ 
 O volume de cada cubo é: 
Volume menor = 103 = 1000cm3 
Volume maior = 203 = 8000cm3 
 
 Repare que o volume do cubo maior é 8 vezes maior do que o volume do 
cubo menor. Portanto, a massa do cubo maior será oito vezes superior, ou seja, 
Massa do cubo maior = 8 x 750 = 6000g = 6kg 
Resposta: C 
 
58. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) O retângulo ABCD foi dividido em 12 
retângulos menores, todos iguais. Em cada um desses retângulos foi traçada uma 
de suas diagonais, como mostra a Figura abaixo. 
 
A razão entre as áreas do triângulo PQR e do retângulo ABCD é igual a 
(A) 1/12 
(B) 1/6 
(C) 1/5 
(D) 1/4 
(E) 1/3 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de R a área de cada um dos 12 retângulos menores. A área 
do retângulo ABCD é igual a 12xR, afinal ele é formado por 12 retângulos menores. 
 Já o triângulo PQR é formado por um retângulo menor (de área R) e mais 
duas metades de retângulo menor (delimitadas pelas diagonais, e tendo área igual a 
R/2 cada uma). Portanto, a área de PQR é dada por R + 2 x R/2 = R + R = 2R. 
 A razão entre as áreas é: 
Área PQR / Área ABCD = 2R / 12R = 2 / 12 = 1 / 6 
Resposta: B 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΓΒ 
59. CESGRANRIO – PETROBRÁS – 2014) Seja  um arco do primeiro quadrante, 
tal que tg  = 3. Sabendo-se que sec = 1 / cos, desde que cos   0, quanto vale 
sec(2)? 
(A) – 0,8 
(B) –1,25 
(C) 0,8 
(D) 1,25 
(E) 101/2 
RESOLUÇÃO: 
 Note que: 
cos(2X) = cos2X – sen2X 
cos(2X) = cos2X – (1 – cos2X) 
cos(2X) = 2cos2X – 1 
 
 Veja ainda que: 
tg(X) = sen(X) / cos(X) 
3 = sen(X) / cos(X) 
9 = sen2(X) / cos2(X) 
9.cos2(X) = sen2(X) 
9.cos2(X) = 1 – cos2(X) 
10.cos2(X) = 1 
cos2(X) = 1/10 
 Logo, 
cos(2X) = 2cos2X – 1 
cos(2X) = 2.(1/10) – 1 
cos(2X) = 1/5 – 1 
cos(2X) = -4/5 
 
 Assim, 
sec(2X) = 1 / cos(2X) = 1 / (-4/5) = -5/4 = -1,25 
Resposta: B 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ΓΓ 
60. FUNCAB – CODATA – 2013) Uma obra de aterro consumiu 14 mil metros 
cúbicos de brita que foram transportadas em caminhões basculantes com volume 
interno de 8 metros cúbicos. O número mínimo de caminhões basculantes utilizados 
foi: 
A) 1 250 
B) 1 480 
C) 1 550 
D) 1 675 
E) 1 750 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
8 metros cúbicos -------------- 1 caminhão 
14.000 metros cúbicos --- N caminhões 
 
8N = 14.000 x 1 
N = 14.000 / 8 
N = 1.750 caminhões 
Resposta: E 
ゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅゅ 
Fim de aula. Até o nosso próximo encontro! 
Saudações, 
Prof. Arthur Lima – www.facebook.com/ProfArthurLima 
Periscope: @ARTHURRRL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA Pっ POLÍCIA MILITAR DO PIAUÍ 
TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヶ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヰヰ 
 
1. IDECAN – COREN/MA – 2013) Os quadrados na figura apresentada têm 
perímetros iguais a 72 cm e 20 cm. 
A área em negrito