cba2004-1

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Humanas / Sociais

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25/03/2023
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SÍNTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS H2/H∞ POR REALIMENTAÇÃO
DINÂMICA DA SAÍDA PARA SISTEMAS COM INCERTEZAS POLITÓPICAS
Eduardo N. Goncalves∗, Reinaldo M. Palhares†, Ricardo H. C. Takahashi‡
∗Departamento de Engenharia Elétrica
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais
Av. Amazonas 7675, 31510-470, Belo Horizonte - MG - Brasil
†Departamento de Engenharia Eletrônica
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antônio Carlos 6627 - 31270-010, Belo Horizonte - MG - Brasil
‡Departamento de Matemática
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antônio Carlos 6627 - 31270-010, Belo Horizonte - MG - Brasil
Emails: eduardong@des.cefetmg.br, palhares@cpdee.ufmg.br, rtakahashi@ufmg.br
Abstract— This paper presents a strategy for robust H2/H∞ dynamic output-feedback control synthesis,
with regional pole placement, based on a multiobjective optimization algorithm applied directly in the space
of controller parameters. The H2 and H∞ norms, computed in all polytope vertices and in “worst case” inte-
rior points are taken as the optimization objectives. An a posteriori LMI-based guaranteed cost computation
algorithm is applied for worst-case performance assessment.
Keywords— Robust H2/H∞ control, dynamic output feedback, regional pole placement, multiobjective op-
timization, non-differentiable optimization.
Resumo— Este artigo apresenta uma estratégia para śıntese de controladores robustos H2/H∞ por realimen-
tação dinâmica da sáıda, com alocação regional de pólos, baseada em um algoritmo de otimização multi-objetivo
aplicado diretamente no espaço de parâmetros do controlador. As normas H2 e H∞, calculadas em todos os
vértices do politopo e, em certos casos, em pontos interiores com “pior caso”, são consideradas como objetivos
de otimização. Um algoritmo de cálculo do custo garantido baseado em LMI é utilizado para a determinação do
desempenho.
Keywords— Controle robusto H2/H∞, realimentação dinâmica de sáıda, alocação regional de pólos, otimiza-
ção multi-objetivo, otimização de funções não diferenciáveis.
1 Introdução
Considere o sistema LIT descrito por



ẋ(t) = Ax(t) + Buu(t) + Bww(t)
z∞(t) = Cz1x(t) + Dzu1u(t) + Dzw1w(t)
z2(t) = Cz2x(t) + Dzu2u(t)
y(t) = Cyx(t) + Dyww(t)
(1)
onde x ∈ Rn é o vetor de variáveis de estado,
u ∈ Rpu é o vetor de entrada de controle, w ∈ Rpw
é o vetor de entradas exógenas (tais como sinais de
distúrbios, rúıdo de medições ou sinais de referên-
cia), z∞ ∈ R
mz∞ é o vetor de variáveis controladas
relacionadas com o desempenho H∞, z2 ∈ R
mz2 é
o vetor de variáveis controladas relacionadas com
o desempenho H2 e y ∈ R
my é o vetor de sáı-
das medidas. As matrizes A, Bu, Bw, Cz1, Dzu1,
Dzw1, Cz2 e Dzu2 em (1) variam no politopo de
matrizes, i.e.,
T (α) =





A Bu Bw
Cz1 Dzu1 Dzw1
Cz2 Dzu2 0

 =
N∑
i=1
αi


Ai Bu i Bw i
Cz1 i Dzu1 i Dzw1 i
Cz2 i Dzu2 i 0

 , α ∈ Ω



(2)
com
Ω ,
{
α : αi ≥ 0 ,
N∑
i=1
αi = 1
}
(3)
onde N é o número de vértices do politopo, sendo
α =
[
α1 . . . αN
]′
o vetor que parametriza
o politopo.
Será utilizado o controlador por realimentação
dinâmica da sáıda, K:
K :
{
ẋc = Acxc + Bcy
u = Ccxc + Dcy
(4)
Com este controlador, o sistema em malha-
fechada será:
[
ẋ
ẋc
]
=
[
A + BuDcCy BuCc
BcCy Ac
]
︸ ︷︷ ︸
Acl
[
x
xc
]
+
[
Bw + BuDcDyw
BcDyw
]
w
(5)
z∞ =
[
Cz1 + Dzu1DcCy Dzu1Cc
]
[
x
xc
]
+
[
Dzw1 + Dzu1DcDyw
]
w
(6)
z2 =
[
Cz2 + Dzu2DcCy Dzu2Cc
]
[
x
xc
]
+
[
Dzu2DcDyw
]
w
(7)
Seja T∞(α,K) a matriz de transferência de
malha-fechada de w para z∞ e T2(α,K) a matriz
de transferência de malha-fechada de w para z2,
ambas para um determinado sistema T (α) e um
controlador K. Considere o vetor de objetivos de
controle:
J(K) =
[
max
α
||T∞(α,K)||∞
max
α
||T2(α,K)||2
]
(8)
onde ||·||∞ e ||·||2 são, respectivamente, as normas
H∞ e H2 do argumento. Seja Γ o conjunto de
todos os controladores que satisfazem as restrições
de alocação de pólos para o sistema de malha-
fechada:
Γ , {K : σ(Acl(α,K)) ⊂ D ∀ α ∈ Ω} (9)
sendo D ⊂ C− e σ(·) o espectro do argumento.
O problema conceitual sendo tratado neste
trabalho é descrito por:
Problema do Custo Garantido H2/H∞
Multi-objetivo: Encontre os controladores K∗
que pertençam ao conjunto Pareto-ótimo Γ∗:
Γ∗ , {K∗ ∈ Γ : 6 ∃ K ∈ Γ |
J(K) ≤ J(K∗) e J(K) 6= J(K∗)}
(10)
Os operadores de comparação de vetores possuem
os seguintes significados: x ≤ y ⇒ xi ≤ yi,∀i
e x 6= y ⇒ ∃i | xi 6= yi. O conjunto Pareto-
ótimo também pode ser denominado conjunto de
soluções eficientes ou conjunto de soluções não
dominadas (Chankong and Haimes, 1983).
Vários artigos tem tratado de versões aproxi-
madas deste problema através de caracterizações
por LMI (Scherer et al., 1997; Takahashi et al.,
2004; Shimomura and Fujii, 2000). Os métodos
por LMI usualmente empregados para tratar dos
problemas H2/H∞ resultam em soluções conser-
vadoras devido ao uso de uma única “matriz de
Lyapunov” para lidar tanto com a desigualdade
da norma H2 como a da norma H∞ (Scherer
et al., 1997). Além disso, todos os artigos apresen-
tam soluções que são adequadas apenas para sis-
temas sem incertezas (ou sistema com incertezas
limitadas em norma se o canal H∞ é empregado
para acomodar as incertezas do modelo, usando
o teorema do ganho pequeno). Até o presente
momento, não existe uma caracterização por LMI
para tratar do caso de sistemas de controle por
realimentação dinâmica da sáıda com incertezas
politópicas. Isto significa que não existe um algo-
ritmo “globalmente convergente”, nem mesmo um
conservador, para resolver esta classe de proble-
mas.
Existem também alguns poucos artigos que
tratam de versões simplificadas dos problemas
multi-objetivo dos custos garantidos H2/H∞
definindo problemas de otimização diretamente
no espaço de variáveis do controlador (Chen
et al., 1995; Takahashi et al., 1997; Takahashi
et al., 2004). Desde que a formulação do prob-
lema neste espaço se torna não convexa, não existe
meios de garantir que soluções globais são encon-
tradas com tais métodos. Uma dificuldade partic-
ular que tais métodos enfrentam é a natureza não
suave das funções objetivo e das restrições, que
conduzem a maioria dos algoritmos de otimiza-
ção ao fracasso na busca do ótimo (Polak and
Salcudean, 1989). Outros algoritmos, que não
são baseados no cálculo do gradiente, freqüente-
mente sofrem de alto custo computacional que tor-
nam proibitivo os seus usos em problemas com
um número elevado de parâmetros de otimiza-
ção (Takahashi et al., 2004; Chen et al., 1995),
ficando restritos para aplicações em projetos de
controladores de baixa ordem. A maioria dos al-
goritmos desta classe (com exceção de (Takahashi
et al., 1997)) também são restritos para o caso de
sistemas sem incertezas.
Este trabalho apresenta uma estratégia al-
ternativa, baseada no esquema de otimização
multi-objetivo formulado no espaço de parâmet-
ros do controlador, para tratar do problema multi-
objetivo dos custos garantidos H2/H∞. As carac-
teŕısticas do método proposto são:
• Diferentemente das formulações LMI, as
soluções do conjunto Pareto-ótimo podem ser
obtidas uma vez que que não existe nenhum
conservadorismo intŕınseco na parametriza-
ção do problema. Entretanto, como ocorre
com os outros métodos no espaço de parâmet-
ros, não existe garantia de convergência para
o ótimo global.
• Apesar da falta de garantia de convergên-
cia, o método proposto normalmente encon-
tra “boas soluções”. O algoritmo de otimiza-
ção empregado aqui, adaptado de Takahashi,
Saldanha, Dias-Filho and Ramı́rez (2003), é
robusto e adequado para tratar de problemas
não suáveis com restrições não lineares. Este
algoritmo pode tratar eficientemente de prob-
lemas com várias dezenas de variáveis.
• Um passo intermediário para encontrar os
“piores casos” de normas no interior do poli-
topo permite aotimização eficiente dos lim-
ites inferiores do vetor de objetivos.
• Um passo final calcula um limite superior
baseado em um método por LMI para o vetor
de objetivos em todo o politopo, empregando
os resultados de Palhares et al. (1997), ade-
quando o projeto resultante aos propósitos de
controle robusto.
2 Procedimento de Projeto
Considere o conjunto de pontos do politopo ini-
cializado como o conjunto de seus vértices Ω̃:
Ω̃ ,
{
α : αi = 1 , αj = 0 ∀ j 6= i,
i = 1, . . . , N
}
(11)
Considere os pontos de “pior caso” no interior do
politopo, dado um controlador K:
α(2) = arg max
α
||T2(α,K)||2
α(∞) = arg max
α
||T∞(α,K)||∞
(12)
Defina agora o conjunto:
Γ̃ ,
{
K : σ(Acl(α,K)) ⊂ D ∀ α ∈ Ω̃
}
(13)
Será utilizado o seguinte problema auxiliar
definido por:
Problema Auxiliar: Dado um γ > 0, encontre
o controlador K̃∗ tal que:
K̃∗ = arg min
K
max
α
||T2(α,K)||2
sujeito a:



α ∈ Ω̃
K ∈ Γ̃
||T∞(α,K)||∞ ≤ γ
(14)
O procedimento de projeto proposto aqui é
descrito a seguir:
Procedimento de Projeto
Passo 1 Dado um γ > 0, resolva o Problema
Auxiliar, encontrando Ki ← K̃.
Passo 2 Encontre α(2) e α(∞) para Ki.
Passo 3 Se ||T∞(α(∞),Ki)||∞ > γ vá para o
Passo 4, senão vá para o Passo 6.
Passo 4 Ω̃← Ω̃ ∪
{
α(2), α(∞)
}
.
Passo 5 Retorne ao Passo 1.
Passo 6 Calcule os custos garantidos para as nor-
mas H2 e H∞.
Estes passos são descritos em detalhes nas
próximas subseções.
2.1 O Algoritmo Cone Elipsoidal
O problema de otimização escalar associado ao
problema auxiliar pode ser resolvido pelo algo-
ritmo elipsoidal descrito pelas seguintes equações
recursivas (Takahashi, Saldanha, Dias-Filho and
Ramı́rez, 2003),(Kanev et al., 2003):
xk+1 = xk − β1
Qkmk
(mTk Qkmk)
1
2
(15)
Qk+1 = β2
(
Qk −
β3(Qkmk)(Qkmk)
T
mTk Qkmk
)
(16)
com
β1 =
1
n+1 β2 =
n2
n2−1 β3 = 2β1 (17)
onde x ∈ Rd é o vetor de parâmetros de otimiza-
ção. Seja f(x) : Rd → R a função objetivo e
g(x) : Rd → Rr o vetor de restrições. No método
elipsoidal convencional, o vetor mk é calculado
como o gradiente (ou sub-gradiente) da restrição
mais violada quando xk não é uma solução fac-
t́ıvel, ou como o gradiente (ou sub-gradiente) da
função objetivo quando xk é uma solução fac-
t́ıvel. Neste trabalho, o vetor mk será calculado
baseado no algoritmo cone elipsoidal (CEA) pro-
posto por Takahashi, Saldanha, Dias-Filho and
Ramı́rez (2003). Neste método, quando xk não
é fact́ıvel, o vetor mk será o vetor normalizado
mk = m/‖m‖ calculado como a soma dos gradi-
entes (ou sub-gradientes) das restrições ativas:
m =



∇f(x) se gj(x) < 0, ∀j = 1, . . . , r
r∑
j=1
sj(x) se ∃j | gj(x) ≥ 0
(18)
com
sj(x) =
{
0 se gj(x) < 0
∇gj(x) se gj(x) ≥ 0
(19)
onde ∇(.) significa a função gradiente (ou sub-
gradiente).
O algoritmo de otimização é finalizado quando
(fmax − fmin)/fmin ≤ ǫ, onde fmax e fmin são
os valores máximo e mı́nimo da função objetivo
nas últimas Nε iterações e ǫ é a precisão relativa
requerida.
2.2 Cálculo do Pior Caso da Norma
De modo a encontrar o pior caso das normas H2
e H∞ para as funções de transferência em malha-
fechada para todo o politopo, para um dado con-
trolador K, pode-se usar um algoritmo genético
para resolver os seguintes problemas de otimiza-
ção scalar:
{
δw.c. = max
α
‖T2(α,K)‖2
sujeito a: α ∈ Ω
(20)
{
γw.c. = max
α
‖T∞(α,K)‖∞
sujeito a: α ∈ Ω
(21)
O algoritmo genético com operador de cruzamento
polarizado-real, descrito em Takahashi, Vascon-
celos, Ramı́rez and Ktahenbuhl (2003), é usado
neste trabalho para resolver (20) e (21).
2.3 Cálculo dos Custos Garantidos e Restrições
de Alocação de Pólos
Não existe nenhuma garantia que os valores obti-
dos de δw.c. e γw.c. são o mı́nimo global dos prob-
lemas (20) e (21) respectivamente. De fato, este
valores constituem“limites inferiores”para as nor-
mas de malha-fechada no interior do politopo. Os
limites superiores para estas normas são obtidas
por meio de cálculo dos custos garantidos H2 e
H∞ por caracterizações LMI. O custo garantido
H2, δc, e o custo garantido H∞, γc, proposto por
Palhares et al. (1997), são usados neste trabalho.
O conjunto de restrições de locação de pólos
é definido aqui do mesmo modo que o apresen-
tado em Chilali and Gahinet (1999), usando uma
caracterização LMI.
3 Exemplo Ilustrativo - Satélite
Considere um satélite composto de dois corpos
ŕıgidos (corpo principal e módulo de sensores)
conectados por um eixo elástico (Gahinet et al.,
1995) com a seguinte descrição no espaço de esta-
dos:




θ̇1
θ̇2
θ̈1
θ̈2




=




0 0 1 0
0 0 0 1
−
k
J1
k
J1
−
f
J1
f
J1
k
J2
−
k
J2
f
J2
−
f
J2








θ1
θ2
θ̇1
θ̇2




+




0
0
1
J1
0




u +




0
0
1
J1
0




w
(22)
z∞ =
[
0 1 0 0
]




θ1
θ2
θ̇1
θ̇2




(23)
z2 =


1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0






θ1
θ2
θ̇1
θ̇2




+


0
0
1

 u (24)
y =
[
1 0 0 0
0 1 0 0
]




θ1
θ2
θ̇1
θ̇2




(25)
onde θ1 e θ2 são os ângulos de giro do corpo prin-
cipal e do módulo de sensores, u é o conjugado
de controle e w é conjugado de distúrbio no corpo
principal. É considerado J1 = 1, J2 = 1 com k e
f variando nas seguintes faixas de incerteza:
0, 09 ≤ k ≤ 0, 4 e 0, 0038 ≤ f ≤ 0, 04
O problema é projetar um controlador ro-
busto por realimentação dinâmica da sáıda que es-
tabeleça um compromisso entre as normas ||T2||2
e ||T∞||∞, com ||T∞||∞ ≤ 1, e aloca os pólos
em malha-fechada λ(Acl) na intersecção do semi-
plano Real(λ(Acl)) ≤ −0.1, a região do disco
|λ(Acl)| ≤ 20, e o setor cônico com vértice na
origem ∠λ(Acl) ≥ 2π/3, para todos os valores pos-
śıveis dos parâmetros incertos k e f .
Para este exemplo, as matrizes do controlador
são relacionadas com o vetor de parâmetros de
otimização x como:
Ac =




x1 x2 x3 x4
x5 x6 x7 x8
x9 x10 x11 x12
x13 x14 x15 x16




Bc =




x17 x18
x19 x20
x21 x22
x23 x24




Cc =
[
x25 x26 x27 x28
]
Dc =
[
x29 x30
]
Com as condições iniciais x0 = [-1 0 0 0 0 -1
0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0]T
e Q0 = 10
4I30, os critérios de parada Nǫ = 10
e ǫ = 0, 001, e γ = 0, 1, o processo de otimização
levou 64, 4min (processador de 2,2GHz, 256MB
de RAM), finalizando com 2522 iterações, gerando
640 soluções fact́ıveis. A Fig. 1 mostra a con-
vergência da função objetivo, sendo que algumas
iterações não possuem valor devido ao sistema
de malha-fechada resultante não ser estável, não
sendo posśıvel calcular as normas ‖T2‖2.
Para aumentar o conjunto de soluções, e mel-
hor caracterizar o conjunto Pareto-ótimo, basta
realizar novas otimizações com diferentes valores
de γ. O critério de seleção do “melhor” contro-
lador é baseado no compromisso entre os custos
garantidos H2 e H∞. A Fig. 2 mostra os val-
ores do custo garantido H2, δc, versus o custo
garantido H∞, γc, para as soluções não domi-
nadas obtidas em três processos de otimização
com γ ∈ {0, 1; 0, 25; 0, 4}, representadas por
’*’. Com base na Fig. 2, foi selecionado o con-
trolador denominado K1(s), com δc = 1, 9062 e
γc = 0, 4321, cujas matrizes são:
Ac =




−18, 5313 −8, 5919 21, 7420 −4, 4578
−2, 1781 −9, 1078 7, 0388 3, 6340
−12, 9268 −1, 9539 0, 5368 −2, 2413
0, 6983 3, 5432 8, 5287 −15, 6943




Bc =




22, 3136 −13, 2609
4, 0559 −1, 5631
16, 5405 37, 1733
6, 3635 −3, 0155




Cc =
[
37, 4210 17, 8947 −38, 4568 20, 5697
]
Dc =
[
−63, 4840 −35, 9976
]
1 500 1000 1500 2000 2500 2938
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Número de iterações k
f
(x
k
)
Figura 1: Evolução da função objetivo em função
do número de iterações
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
K
1
(s) 
K
2
(s) 
γc
δ c
Figura 2: Custo garantido H2, δc, versus o custo
garantidoH∞, γc, para as soluções não dominadas
nos projetos do controlador geral (*) e do contro-lador com estrutura fixada (o)
Os autovalores de Acl são apresentados na
Fig. 3 para os valores de k e f variando dentro
de seus limites.
3.1 Controlador com Estrutura Fixada
Em algumas situações, pode ser desejável que
o controlador tenha uma estrutura pré-definida,
como por exemplo: controladores PID (pos-
sivelmente múltiplos PID’s em uma configuração
“multi-loop”), controle decentralizado, compen-
sadores de primeira ordem, etc. As técnicas de
projeto baseadas em LMI tem dificuldades em
tratar o projeto de controladores com este tipo
de restrição devido ao problema de parametriza-
ção em um espaço transformado. No caso da
metodologia proposta aqui, não existe tal dificul-
dade.
Como exemplo de projeto de controlador com
estrutura fixada, considere o seguinte formato
para a matriz Ac:
Ac =




x1 x2 0 0
−x2 x1 0 0
0 0 x3 x4
0 0 x5 x6




A matriz Ac tem um par de autovalores
complexos-conjugados x1±jx2 determinados pelo
primeiro bloco e dois outros que podem ser
complexos-conjugados ou reais, determinados pelo
segundo bloco. Além do formato especial para a
matriz Ac, a matriz Cc é fixada com todos os ter-
mos iguais a 1. Neste caso o número de parâmet-
ros é reduzido de 30 para 16.
A otimização, com o controlador com estru-
tura fixada, as mesmas condições de otimização
anteriores e γ = 0, 1, levou 12, 0min, final-
izando com 943 iterações, fornecendo 87 soluções
fact́ıveis. A Fig. 2 apresenta as soluções não
dominadas, com a marca ‘o’, para as soluções
obtidas em três processos de otimização com
γ ∈ {0, 1; 0, 25; 0, 4}. Foi selecionado o con-
trolador denominado K2(s), com δc = 1, 9457 e
γc = 0, 4982, cujas matrizes são:
Ac =




−5, 1610 −6, 0925 0 0
6, 0925 −5, 1610 0 0
0 0 −5, 4320 3, 5122
0 0 2, 3885 −10, 2972




Bc =




137, 2592 97, 3440
51, 5660 −97, 7011
−9, 1761 58, 8931
72, 4903 225, 1630




Dc =
[
−41, 2602 −74, 6496
]
Como era de se esperar, foi verificado pela
Fig. 2 que a redução do número de parâmetros
livres fez com que os controladores com estrutura
fixada fossem“dominados”pelos sem estrutura fix-
ada para a mesma dimensão.
3.2 Mudança na região de locação de pólos
Se é desejável melhorar a resposta transitória em
detrimento do desempenho H2, é necessário mod-
ificar a restrição de alocação de pólos na região
semi-plano. Mudando a região semi-plano para
Real(λ(Acl)) ≤ −0, 4, foi obtido o controlador
K3(s) com os custos garantidos δc = 3, 9135 e
γc = 0, 0091. A Fig. 4 apresenta a resposta ao im-
pulso da função de transferência de malha-fechada
T∞ de w para z∞ = θ2 baseada no controlador
K3(s) para os valores limites de k e f . As matrizes
do controlador K3(s) são
Ac =




23, 4316 −56, 6968 33, 3718 0.0101
74, 7084 −100, 858 28, 3667 −3, 4083
−207, 577 194, 227 4, 1915 −4, 2931
−48, 9094 49, 3978 45, 8986 −11, 5172




Bc =




14, 6642 −256, 8573
−4, 5158 230, 5169
68, 9552 118, 6691
−10, 7613 42, 3724




Cc =
[
287, 098 −45, 5842 −338, 903 45, 9370
]
Dc =
[
−225, 838 −42, 346
]
−20 −18 −16 −14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 0 2
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Real
I
m
a
g
Figura 3: Autovalores de Acl com K1(s) para os
valores de k e f variando dentro de seus limites
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x 10
−3
t(s)
θ
2
Figura 4: Resposta ao impulso de T∞ baseada no
controlador K3(s) para os valores limites de k e f
4 Conclusões
A estratégia proposta mostrou ser um método
válido para o projeto de controladores robustos
H2/H∞ por realimentação dinâmica da sáıda com
alocação regional de pólos aplicado a sistemas com
incertezas politópicas e possivelmente para contro-
ladores com restrições na estrutura.
Além do caso apresentado neste artigo, a
estratégia proposta foi testada com sucesso em
vários outros sistemas com incertezas politópicas
encontrados em referências de controle robusto,
com diferentes dimensões e números de parâmet-
ros incertos.
No processo de cálculo dos custos garantidos
para escolha do melhor controlador, ficou clara a
necessidade do desenvolvimento de uma técnica
menos conservadora de cálculo, que sempre pro-
duza resultados e que os mesmos sejam mais próx-
imos dos custos exatos.
A metodologia proposta pode também ser
aplicada diretamente para o caso de sistemas de
tempo discreto podendo ser considerados outros
tipos de objetivos e restrições sem dificuldade.
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