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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INTRODUÇÃO O conceito de VA, entre outras aplicações, permite a construção de probabilidades para eventos associados a um experimento. Ela é uma função que associa cada evento de um espaço amostral a um número. A VA é contínua se ela só for possível com números reais (medição) e discreta, quando só existe com números racionais (contagem). VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS X (resultados do experimento): Ω {x1, x2,...} Z. Exemplos, bastando associar um número a cada resultado do experimento: Jogo de dados X: Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6} Lançamento de uma moeda X: Ω {0, 1} Controle de frequência X: Ω {0, 1, 2, 3,..., 78} Número de chamadas por dia X: Ω {0, 1, 2, 3,...} No último caso percebemos que se trata de um experimento com o espaço amostral infinito e, consequentemente, a VA tem a imagem infinita, porém discreta. A função da distribuição de probabilidades trata de atribuir a cada resultado uma fração: x p 0 1/n 1 1/n 2 1/n ... ... n 1/n Σ = 1 Alguns tipos de distribuição: Distribuição geométrica: p (k) = pq; sendo que k (k-ésimo encontro), p (infectado) e q (não-infectado); Distribuição de Poisson: usada para modelar experimentos em um espaço de tempo. ; Distribuição binomial: ocorrência de um evento em n ensaios. ; Aplicação desses tipos: Distribuição geométrica Distribuição de Poisson Distribuição binomial MÉDIA E VARIÂNCIA DE VAs DISCRETAS Não variam, são os mesmos valores para toda a população. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS São descritas pelas funções de densidade (f): . As distribuições podem ser uniformes, exponenciais e normais. O exemplo abaixo apresentado é de uma distribuição uniforme. Uma distribuição uniforme continua X~U (a, b) em que (12h45min – 13h15min). Um estudante chega ao ponto de ônibus às 13h, qual a chance do ônibus já ter passado? Entre 13h15min e 12h45min temos 30 minutos, logo, tem 100% de chances do ônibus passar, mas se o estudante chegou 15 minutos depois do tempo inicial, as chances do ônibus passar caem para 50%, e as chances dele já ter passado também é 50%. Faz-se uma regra de 3. Caso o estudante tenha chegado às 13h10min, as chances do ônibus já ter passado sobem para 83%, pois ele chegou 25 minutos depois do tempo inicial, por regra de 3. Abaixo um gráfico que simboliza essa distribuição: A distribuição normal (μ, σ2) abrange a teoria dos erros e o controle de qualidade, porque é importante na normatização dos produtos vendidos no varejo e no atacado. O procedimento não é enviesado (torto, oblíquo) se a distribuição dos erros segue uma normal com um desvio-padrão estabelecido previamente, com média igual a zero. A distribuição normal pode ser representada por dois tipos de função: Função densidade (f): No caso contínuo, a probabilidade de um evento que leva a um número particular é nula. Assim, a função densidade precisa ser definida para intervalos conforme a expressão: . Ela não pode ser negativa e a integral de +∞ a -∞ tem de ser igual a 1. Função de distribuição acumulada (F ou fda): F(x) = P(X ≤ x). Seu cálculo pode ser feito pela integral da função densidade. MÉDIA E VARIÂNCIA DE VAs CONTÍNUAS X~N (0,1), ou seja, X é uma distribuição normal com média 0 e variância 1. A função densidade f é denotada por φ e a de distribuição acumulada fda, por Φ, que só pode ser calculada aproximadamente. P (-1 ≤ x ≤ 1) = P (x ≤ 1) – P (x ≤ -1) Esta conversão é imediata no caso contínuo, pois no caso discreto, seria necessário analisar as extremidades do intervalo. Exemplo: A padronização não transforma uma VA qualquer em normal, ela apenas reserva a normalidade se x já for normal. Exemplo: X~N (0,16) P(x ≤ 1) = P (Z ≤ 1 – 0 / 4) = P(Z ≤ 0,25) = 60%. Exercícios ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA Tem como variação de interesse o tempo ocorrido até que um “evento” ocorra. Caso não possamos dispor dos instantes inicial e/ou final, dizemos que os dados estão censurados. PESSOA TEMPO DE SOBREVIVÊNCIA TIPO A 5 1 (censurado) B 12 0 (colapso) C 3,5 0 (colapso) D 8 0 (colapso) E 6 0 (colapso) F 3,5 1 (censurado) T tempo de sobrevivência (variável aleatória). S(t) f(x) = P(T > t). h(t) função de colapso (inversamente proporcional às chances de vida). VETORES ALEATÓRIOS Também chamados de VAs multidimensionais, são funções do espaço produto amostral em Rn. Limitaremos n=2, isto é, um vetor aleatório bidimensional. (X, Y): A × B (X(A), Y(B)) INDEPENDÊNCIA Duas variáveis podem ou não ser independentes. Quando são dependentes, o grau (linear) pode ser medido pela covariância ou coeficiente de correlação. O grau ou intensidade de dependência é dado por ρ: Variáveis X,Y Valor de ρ Gráfico Independentes 0 (zero) ------------- Dependentes – associação direta 0 < ρ ≤ 1 Crescente Dependentes – associação inversa -1 ≤ ρ < 0 Decrescente