Lista 1 (1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: Álgebra Linear I - 2022.2
PROFESSOR: André Vinicius Santos Dória
1o Lista
1 Seja V espaço vetorial. Mostrar que:
(a) para todo v ∈ V existe um único v′ ∈ V tal que v + v′ = 0;
(b) para todo r ∈ R temos r 0 = 0.
2 Sejam V um espaço vetorial, v, v1, v2 ∈ V e a, b ∈ R. Verificar a veracidade de
cada afirmação abaixo.
(a) Se av = bv, então a = b;
(b) Se av1 = av2, então v1 = v2.
3 Seja n um inteiro positivo fixado. O conjunto dos polinômios de grau n munido
com as operações usuais é um espaço vetorial?
4 Seja V = {(a, b) ∈ R×R} munido com as seguintes operações: (a1, b1)+(a2, b2) =
(a1 + a2, b1 + b2) e r(a, b) = (ra, 0). O conjunto V é um espaço vetorial com estas
operações?
5 Seja V = {(a, b) ∈ R×R} munido com as seguintes operações: (a1, b1)+(a2, b2) =
(a1 + a2, b1b2) e r(a, b) = (ra, b). O conjunto V é um espaço vetorial com estas
operações?
6 Sejam n um inteiro não negativo e Pn(R) o conjunto de todos os polinômios de
grau menor ou igual a n. Verificar que Pn(R) é um subespaço de P (R).
7 Seja Mn(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas com as operações usuais. Se
m ∈ Mn(R) podemos definir o traço de m como sendo a soma dos elementos da sua
diagonal principal (notação Tr(m)). Verificar que o conjunto das matrizes tais que o
traço é zero é um subespaço de Mn(R).
8 Sejam V um espaço vetorial. Verificar a veracidade de cada afirmação abaixo.
(a) Se W é um subconjunto de V tal que W é um espaço vetorial, então W é
subespaço vetorial de V ;
(b) O conjunto vazio é um subespaço vetorial de V .
9 Determinar se os seguintes conjuntos são subespaços de R3.
(a) W = {(a1, a2, a3) | a1 = 3a2 e a3 = −a2};
(b) W = {(a1, a2, a3) | a21 + a2 + a3 = 0}.
10 Seja S um conjunto arbitrário. Temos que o conjunto F (S,R) das funções de S
em R munido com as operações
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e r.[f(x)] = rf(x)
é um espaço vetorial. Verificar que W = {f ∈ F (S,R) | f(s0) = 0} é um subespaço
vetorial de F (S,R), onde s0 ∈ S.
11 Sejam W1 e W2 subespaços de V . O conjunto W1 ∪W2 é subespaço de V ? Caso
a resposta seja não, encontrar e provar uma condição necessária e suficiente sobre W1
e W2 para que W1 ∪W2 seja subespaço vetorial de V .
12 Resolver os seguintes sistemas lineares.
(a)

2x1 − 2x2 − 3x3 = −2
3x1 − 3x2 − 2x3 + 5x4 = 7
x1 − x2 − 2x3 − x4 = −3
(b)

x1 + 2x2 − 4x3 − x4 + x5 = 7
−x1 + 10x3 − 3x4 − 4x5 = −16
2x1 + 5x2 − 5x3 − 4x4 − x5 = 2
4x1 + 11x2 − 7x3 − 10x4 − 2x5 = 7
13 Determinar se o primeiro vetor é ou não combinação linear dos outros dois.
2
(a) (3, 4, 1), (1,−2, 1) e (−2,−1, 1);
(b) (5, 1,−5), (1,−2,−3) e (−2, 3,−4).
14 Mostrar que as matrizes 1 0
0 0
 ,
 0 1
0 0
 ,
 0 0
1 0
 e
 0 0
0 1

geram M2,2(R).
15 Mostrar que as matrizes 1 0
0 0
 ,
 0 1
1 0
 e
 0 0
0 1

geram o conjunto das matrizes simétricas de M2,2(R).
16 Sejam V espaço vetorial e S um conjunto não vazio de V . Mostrar que, W é
o menor subespaço vetorial de V que contém S, onde W é o subespaço vetorial de
todas as combinações lineares de elementos de S.
17 Sejam W1 = {A = (ai,j) ∈ Mn×m(R) | ai,j = 0 para todo i > j} e W2 = {A =
(ai,j) ∈Mn×m(R) | ai,j = 0 para todo i ≤ j}. Mostrar que Mn×m(R) = W1 ⊕W2.
18 Uma matriz A ∈ Mn(R) é dita anti-simétrica quando At = −A. Sejam W1
o conjunto das matrizes simétricas e W2 o conjunto das matrizes anti-simétricas.
Verificar que Mn(R) = W1 ⊕W2.
19 Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de V . Provar que V é soma direta de W1
e W2 se, e somente se, para cada v ∈ V existem únicos w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 tais que
v = w1 + w2.
20 Mostrar que o conjunto {1, x, x2, . . . , xn} é linearmente independente em Pn(R).
21 Verificar que {x, y} é linearmente dependente se, e somente se, x ou y é múltiplo
do outro.
3
22 Sejam V um espaço vetorial. Verificar a veracidade de cada afirmação abaixo.
(a) Se S é um subconjunto de V que gera V , então todo vetor de V pode ser escrito
como combinação linear do S unicamente;
(b) Se dim V = n, então V tem um único subespaço vetorial de dimensão 0 e um
único subespaço vetorial de dimensão n.
(c) O subconjunto {(1, 4,−6), (1, 5, 8), (2, 1, 1), (0, 1, 0)} de R3 é linearmente inde-
pendente.
23 Determinar quais seguintes subconjuntos são bases de R3.
(a) {(1, 0,−1), (2, 5, 1), (0,−4, 3)};
(b) {(1, 2,−1), (1, 0, 2), (2, 1, 1)};
(c) {(1,−3,−2), (−3, 1, 3), (−2,−10,−2)}.
24 Determinar quais seguintes subconjuntos são bases de P2(R).
(a) {1 + 2x + x2, 3 + x2, x + x2};
(b) {−1 + 2x + 4x2, 3− 4x− 10x2,−2− 5x− 6x2};
(c) {1 + 2x− x2, 4− 2x + x2,−1 + 18x− 9x2}.
25 Seja S = {(2,−3, 1), (1, 4,−2), (−8, 12,−4), (1, 37,−17), (−3,−5, 8)} subconjunto
de R3.
(a) Verificar que S gera R3;
(b) Encontrar uma subconjunto de S que é base de R3.
26 Seja V um espaço vetorial tal que {v1, v2, v3} é uma base de V . Verificar que
{v1 + v2 + v3, v2 + v3, v3} é base de V .
27 Determinar uma base para cada subespaço vetorial de R5 abaixo.
4
(a) W1 = {(a1, a2, a3, a4, a5) ∈ R5 | a1 − a3 − a4 = 0};
(b) W2 = {(a1, a2, a3, a4, a5) ∈ R5 | a2 = a3 = a4 e a1 + a5 = 0}.
28 Seja W o subespaço vetorial de Mn(R) formados pelas matrizes cujo a traço é
zero. Encontrar uma base de W .
29 Seja W o subespaço vetorial de Mn(R) formados pelas matrizes anti-simétricas.
Encontrar uma base de W .
30 Sejam V = M2(R),
W1 =

 a b
c a
 ∣∣∣∣∣∣ a, b, c ∈ R
 e W2 =

 0 a
−a b
 ∣∣∣∣∣∣ a, b ∈ R
.
(a) Provar que W1 e W2 são subespaços vetoriais de V ;
(b) Encontrar as dimensões de W1, W2, W1 + W2 e W1 ∩W2.
31 Para cada item abaixo verificar que: (i) T é linear; (ii) Encontrar uma base para
N(T ); (iii) Encontrar uma base para I(T ); (iv) T é injetiva? (v) T é sobrejetiva?
(a) T : R3 → R2 dada por T (a1, a2, a3) = (a1 − a2, 2a3);
(b) T : R2 → R3 dada por T (a1, a2) = (a1 + a2, 0, 2a1 − a2);
32 Seja P ∈ Mn(R) matriz invert́ıvel. Mostrar que T : Mn(R) → Mn(R) dada por
T (X) = P−1XP é uma transformação linear.
33 Para cada item abaixo verificar que: (i) T é linear; (ii) Encontrar uma base para
N(T ); (iii) Encontrar uma base para I(T ); (iv) T é injetiva? (v) T é sobrejetiva?
(a) T : M2×3(R)→M2×2(R) dada por
T
 a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
 =
 2a1,1 − a1,2 a1,3 + 2a1,2
0 0
 ;
(b) T : P2(R)→ P3(R) dada por T (f(x)) = xf(x) + f ′(x).
5
34 Seja T : Mn×n(R)→ R dada por T (A) = tr(A).
(a) T é linear?
(b) Encontrar uma base para N(T );
(c) Encontrar uma base para I(T )
(d) T é injetiva?
(e) T é sobrejetiva?
35 Seja T : R3 → R2 transformação linear dada por T (x, y, z) = (x+ y, 2x− y + z).
(a) Encontrar uma base para o N(T );
(b) Encontrar uma base para a imagem de T .
36 Determinar o núcleo e a imagem de T : P2(R) → P3(R) dada por T (f(t)) =
f(t) + t2f ′(t).
37 Seja T : R2 → R2 linear tal que T (1, 0) = (1, 4) e T (1, 1) = (2, 5).
(a) Qual o valor de T (2, 3)?
(b) T é injetiva?
38 Mostrar que existe uma transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1, 1) =
(1, 0, 2) e T (2, 3) = (1,−1, 4). Encontrar T (x, y).
39 Existe uma transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1, 0, 3) = (1, 1) e
T (−2, 0,−6) = (2, 1)?
40 Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W linear. Mostrar que T é injetiva
se, e somente se, T leva subconjunto linearmente independente de V em subconjunto
linearmente independente de W .
41 Seja T : P (R) → P (R) dada por T (f)(x) =
∫ x
0
f(t) dt. Mostrar que T é uma
transformação linear injetiva e não é sobrejetiva.
6
42 Sejam V e W espaços vetoriais e T : V → W linear. Mostrar que:
(a) se dim (V ) < dim (W ), então T não é sobrejetiva;
(b) se dim (V ) > dim (W ), então T não é injetiva.
43 Dar um exemplo de uma transformação linear T : R2 → R2 tal que N(T ) = I(T ).
44 Para cada item abaixo achar ou provar que não existe uma transformação linear
T do R3 em R2 com as seguintespropriedades:
(a) T é injetiva;
(b) T é sobrejetiva;
(c) N(T ) =< (1, 1, 0) >;
(d) N(T ) =< (1, 2, 0), (0, 0,−1) >;
(e) I(T ) =< (5, 1)) >.
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