Problemas MQII (1)

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PROBLEMAS DE MECÂNICA QUÂNTICA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Filipe Joaquim 
IST 
2017 
MECÂNICA	
  QUÂNTICA	
  II	
  
Ano	
  lectivo	
  2017/2018	
  –	
  Docente	
  :	
  Filipe	
  R.	
  Joaquim	
  
	
  
Série	
  0	
  :	
  Revisões	
  
	
  
Problema	
  0.1	
  –	
  Um	
  sistema	
  quântico	
  tem	
  dois	
  estados	
  próprios	
  |1〉	
  e	
   2 	
  de	
  energia	
  
𝐸',)	
  .	
  Além	
  da	
  energia,	
  o	
  sistema	
  é	
  caracterizado	
  por	
  um	
  observável	
  𝑃,	
  cujo	
  operador	
  
𝑃	
  actua	
  nos	
  estados	
  próprios	
  de	
  energia	
  do	
  seguinte	
  modo:	
   	
  𝑃	
   1 = 2 	
  	
  ; 	
  	
  𝑃	
   2 =
1 .	
   Assumindo	
   que	
   o	
   sistema	
   está	
   inicialmente	
   no	
   estado	
   próprio	
   + 	
  de	
   𝑃	
  
correspondente	
  a	
  𝑃 = 1,	
  	
  
	
  
(a)   qual	
  o	
  estado	
  do	
  sistema	
  para	
  qualquer	
  t>0?	
  	
  
(b)   Qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  encontrar	
  o	
  sistema	
  num	
  estado	
  com	
  𝑃 = 1	
  ao	
  fim	
  de	
  um	
  
intervalo	
  de	
  tempo	
  Δ𝑡?	
  
	
  
Respostas:	
  (a)	
   	
  𝜓 𝑡 	
   = '
)
𝑒34567/ℏ 1 + 𝑒345:7/ℏ 2 	
  	
  (b)	
  𝑃(|+〉, 𝑡) =cos2(𝜔𝑡)	
  ,	
  	
  
𝜔 =
𝐸) − 𝐸'
2ℏ 	
  .	
  
	
  
Problema	
  0.2	
  –	
  Considere	
  uma	
  partícula	
  escalar	
  cuja	
  função	
  de	
  onda	
  é	
  dada	
  por:	
  
	
  
𝜓 = 𝐶	
   2𝑧 + 𝑦 + 𝑥 𝑒3CD 	
  ,	
  
onde	
  𝑟 = 𝑥) + 𝑦) + 𝑧)	
  	
  e	
  𝐶,	
  𝛼	
  são	
  constantes	
  reais.	
  
(a)   Qual	
  o	
  momento	
  angular	
  total	
  da	
  partícula.	
  
(b)   Qual	
  o	
  valor	
  esperado	
  da	
  componente	
  z	
  do	
  momento	
  angular	
  total.	
  
(c)   Se	
  LZ	
  fosse	
  medido,	
  qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  o	
  resultado	
  dar	
  ℏ.	
  
Respostas:	
  (a)	
   𝐿) = 2	
  ℏ)	
  	
  (b)	
   𝐿H = 0	
  	
  (c)	
  P 𝐿H = ℏ = 1/6	
  .	
  
	
  
Problema	
   0.3–	
   Determine	
   os	
   coeficientes	
   de	
   Clebsch-­‐Gordan	
   correspondentes	
   à	
  
adição	
  de	
  dois	
  momentos	
  angulares	
  com	
  𝑗'=1	
  e	
  𝑗)=1	
  e	
  confirme	
  o	
  resultado	
  com	
  os	
  
da	
  tabela	
  de	
  Clebsch-­‐Gordan.	
  
	
  
Problema	
  0.4–	
  As	
   partículas	
   elementares	
   (e	
   também	
  as	
   compostas)	
   são	
  por	
   vezes	
  
classificadas	
  por	
  um	
  número	
  quântico	
  denominado	
  isospin	
  𝐼,	
  cujas	
  propriedades	
  são	
  
as	
  mesmas	
  do	
  spin.	
  Considere	
  as	
  reacções:	
  
𝐾3𝑝 → 𝛴3𝜋R	
  , 𝛴R𝜋3	
  , 	
  𝛴S𝜋S	
  	
  
que	
  ocorrem	
  através	
  de	
  ressonâncias	
  com	
  isospin	
  total	
  bem	
  definido.	
  Tendo	
  em	
  conta	
  
que	
  o	
  isospin	
  se	
  conserva	
  e	
  que	
  as	
  partículas	
  acima	
  descritas	
  estão	
  distribuídas	
  pelos	
  
estados	
  próprios	
  de	
  isospin	
  da	
  seguinte	
  forma:	
  
𝑝
𝑛 	
  ,
𝜋R
𝜋S
𝜋3
	
  ,	
  
𝛴R
𝛴S
𝛴3
	
  ,	
   𝐾
S
𝐾3
,	
  
determine	
  as	
  probabilidades	
  relativas	
  associada	
  a	
  estes	
  processos	
  quando	
  ocorrem	
  
através	
  de	
  uma	
  ressonância	
  com	
  𝐼 = 1.	
  
	
  
Respostas:	
   P(𝐾3𝑝 → 𝛴3𝜋R, 𝐼 = 1 )=1/2,	
   	
   P(𝐾3𝑝 → 𝛴R𝜋3, 𝐼 = 1 )=1/2,	
   P(𝐾3𝑝 →
	
  𝛴S𝜋S	
  , 𝐼 = 1)=0.	
  
	
  
Problema	
   0.5	
   –	
   Um	
   electrão	
   | ↑	
  〉 	
  encontra-­‐se	
   no	
   estado	
   𝜓V'S 	
  do	
   átomo	
   de	
  
hidrogénio.	
   Se	
   fizermos	
   uma	
   medida	
   de	
   J2	
   do	
   electrão,	
   quais	
   os	
   valores	
   que	
  
poderemos	
  obter	
  e	
  com	
  que	
  probabilidades.	
  
	
  
Resposta:	
   Pode-­‐se	
   obter	
   J2=j(j+1) ℏ) 	
  com	
   j=3/2	
   e	
   j=1/2	
   com	
   probabilidades	
  
P(j=3/2)=2/3,	
  P(j=1/2)=1/3.	
  
	
  
Problema	
  0.6	
  –	
  Um	
  sistema	
  de	
  duas	
  partículas	
  de	
  spin	
  𝑠' = 3/2	
  e	
  𝑠) = 1/2	
  	
  é	
  descrito	
  
pelo	
  Hamiltoniano	
  H	
  =	
  A	
  S1	
  .	
  S2	
  ,	
  com	
  A	
  constante.	
  Em	
  t=0,	
  o	
  sistema	
  encontra-­‐se	
  no	
  
estado	
   𝑠',𝑚Z'〉	
  |𝑠),𝑚Z)	
   =
[
)
, '
)
	
   | '
)
, '
)
	
  〉.	
  	
  
(a)   Qual	
  o	
  estado	
  do	
  sistema	
  para	
  t>0?	
  	
  
(b)   Qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  encontrar	
  o	
  sistema	
  no	
  estado	
   [
)
, [
)
	
   | '
)
, − '
)
	
  〉	
  para	
  t>0.	
  
Respostas:	
  (a)	
   	
  𝜓 𝑡 	
   = [
)
𝑒3[4\7/(]ℏ) 2,1 − '
)
𝑒3V4\7/(]ℏ) 1,1 ,	
  na	
  base	
  dos	
  estados	
  
próprios	
  do	
  spin	
  total	
   𝑆,𝑚_ .	
  	
  (a)	
  P
[
)
, [
)
	
   '
)
, − '
)
	
   , 𝑡 = [
]
	
  sin2(𝐴ℏ𝑡)	
  .	
  
	
  
Problema	
  0.7	
   -­‐	
  Suponha	
  que	
  o	
  potencial	
   de	
  Coulomb	
  varia	
   com	
  𝑟	
  segundo	
  1/𝑟'Rb 	
  
com	
  𝜖 ≪ 1.	
   Determine	
   o	
   efeito	
   do	
   desvio	
   à	
   interacção	
   de	
   Coulomb	
   nos	
   níveis	
   de	
  
energia	
  2𝑝	
  e	
  2𝑠	
  do	
  átomo	
  de	
  H	
  e	
  obtenha	
  um	
  limite	
  para	
  𝜖	
  comparando	
  a	
  diferença	
  
de	
  energia	
   induzida	
  entre	
  aqueles	
  dois	
  estados	
  e	
   sabendo	
  que	
  experimentalmente	
  
este	
  desvio	
  obedece	
  a:	
  Δ𝐸/ℎ	
  ≤ 10]kHz.	
  
	
  
Resposta:	
  |𝐸)Z − 𝐸)g| = 𝐸'S𝜖/6	
  ,	
  𝜖 ≤ 1.8×103j.	
  
	
  
Problema	
  0.8	
  –	
  Um	
  rotor	
  rígido	
  quântico	
  de	
  momento	
  de	
  inércia	
  𝐼	
  e	
  momento	
  dipolar	
  
eléctrico	
  𝜇	
  está	
  constrangido	
  a	
  rodar	
  no	
  plano	
  xy	
  em	
  torno	
  a	
  um	
  eixo	
  perpendicular	
  
ao	
  plano	
  de	
  rotação	
  e	
  que	
  passa	
  pelo	
  centro	
  de	
  massa.	
  O	
  Hamiltoniano	
  do	
  sistema	
  é:	
  	
  
	
  
𝐻S = −
ℏ)
2𝐼
𝜕)
𝜕𝜃)	
  ,	
  
onde	
  𝜃	
  é	
  o	
  ângulo	
  que	
  o	
  rotor	
  faz	
  com	
  o	
  eixo	
  dos	
  xx	
  num	
  determinado	
  instante	
  de	
  
tempo.	
  
	
  
(a)   Determine	
   as	
   funções	
   de	
   onda	
   próprias	
   do	
   sistema	
   e	
   correspondentes	
   níveis	
   de	
  
energia.	
  
Coloca-­‐se	
   agora	
   o	
   rotor	
   num	
   campo	
   eléctrico	
   uniforme	
   𝐸 = 𝐸S𝑢p .	
   Tratando	
   a	
  
interacção	
  do	
  dipolo	
  eléctrico	
  com	
  𝐸	
  como	
  sendo	
  uma	
  perturbação,	
  	
  
	
  
(b)   encontre	
  as	
  correcções	
  não	
  nulas	
  aos	
  níveis	
  de	
  energia	
  do	
  rotor	
  em	
  ordem	
  mais	
  baixa	
  
de	
  teoria	
  de	
  perturbações.	
  
Respostas:	
  (a)	
  𝜓q 𝜃 =
'
)r
	
  𝑒4qs	
  , 𝑚 = 0,±1,±2,… , 𝐸q
(S) = ℏ
:q:
)v
	
  .	
  	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  (b)	
  	
  𝐸q
()) = 𝐸q
(S) + w
:5x:v
ℏ:
	
   '
]q:3'
	
  
	
  
	
  Problema	
  0.9	
  –	
  Considere	
  um	
  átomo	
   tipo	
  Hidrogénio	
   resultante	
  de	
  um	
  átomo	
  de	
  
Alumínio	
  (Z=13,A=27)	
  ao	
  qual	
  se	
  retiraram	
  todos	
  os	
  electrões	
  excepto	
  um.	
  Pretende-­‐
se	
  neste	
  problema	
  determinar	
  qual	
  o	
  efeito	
  do	
  tamanho	
  finito	
  do	
  núcleo	
  nos	
  níveis	
  de	
  
energia	
  do	
  átomo.	
  Para	
   isso,	
  considere	
  que	
  a	
  carga	
  do	
  núcleo	
  está	
  uniformemente	
  
distribuída	
  numa	
  esfera	
  de	
  raio	
  𝑅 = 1.2×103'[𝐴'/[.	
  	
  
	
  
Resposta:	
  𝛥𝐸(') = {
|}:
)rbx~x�
	
  �
:
V
≃ 1.4	
  ×103[	
  eV.	
  
	
  
Problema	
  0.10	
  –	
  Dois	
  protões	
   localizados	
  no	
  eixo	
  dos	
   zz	
   a	
  uma	
  distância	
  𝑑	
  um	
  do	
  
outro	
  são	
  sujeitos	
  a	
  um	
  campo	
  magnético	
  constante	
  𝐵 = 𝐵S𝑢H.	
  
	
  
(a)  Considerando	
  apenas	
  a	
  interação	
  do	
  momento	
  magnético	
  de	
  cada	
  protão	
  𝜇4 =
2𝜇S𝑆4/ℏ	
  (onde	
  𝜇S	
  é	
  o	
  magnetão	
  de	
  Bohr	
  e	
  𝑆4 	
  o	
   spin	
  de	
  cada	
  protão)	
   com	
  o	
  
campo	
  magnético	
  𝐻S = − 𝜇' + 𝜇) . 𝐵,	
  determine	
  os	
  estados	
  próprios	
  e	
  energias	
  
correspondentes	
  do	
  sistema.	
  
	
  
(b)  Tratando	
  a	
  interacção	
  entre	
  os	
  dipolos	
  magnéticos	
  dos	
  protões:	
  
𝐻g =
1
𝑟[ 𝜇'. 𝜇) − 3
(𝜇'. 𝑟)(𝜇). 𝑟)𝑟) 	
  
como	
  perturbação,	
  determine	
  as	
  energias	
  próprias	
  em	
  primeira	
  ordem	
  de	
  teoria	
  	
  	
  de	
  
perturbações.	
  
Respostas:	
  (a)	
  Os	
  estados	
  próprios	
  são	
  os	
  estados	
  próprios	
  do	
  spin	
  total	
  do	
  sistema,	
  
nomeadamente	
   𝑆,𝑚_ = 1,1 	
  , 1,0 	
  , 1, −1 , 0,0 	
   .	
   As	
   energias	
   são:	
   𝐸 ','
(S) =
−𝐸 ',3'
(S) = −2	
  𝜇S𝐵S	
  	
  , 𝐸 ',S
(S) = 𝐸 S,S
(S) = 0	
  .	
  
(b)	
  𝐸 ','
(') = −2	
  𝜇S𝐵S −
)wx:
��
	
   , 𝐸 ',3'
' = 2	
  𝜇S𝐵S −
)wx:
��
	
  	
   , 𝐸 ',S
' = ]wx
:
��
	
  	
   , 𝐸 S,S
(') = 0	
  .	
  
MECÂNICA	
  QUÂNTICA	
  II	
  
Ano	
  lectivo	
  2017/2018	
  –	
  Docente	
  :	
  Filipe	
  R.	
  Joaquim	
  
1a	
  Série	
  de	
  problemas	
  :	
  Métodos	
  Variacional	
  e	
  WKB	
  
Problema	
  1.1	
  –	
  Considere	
  uma	
  partícula	
  sob	
  acção	
  de	
  um	
  potencial	
  unidimensional	
  𝑉 𝑥 = 𝜆𝑥%.	
  
Use	
   o	
   método	
   variacional	
   para	
   encontrar	
   um	
   valor	
   aproximado	
   para	
   a	
   energia	
   do	
   estado	
  
fundamental.	
   Compare	
   o	
   resultado	
   com	
   o	
   valor	
   exacto	
   𝐸' = 1.06ℏ-𝐴//1/(2𝑚),	
   onde	
   𝐴 =
2𝑚𝜆/ℏ-.	
  Escolha	
  como	
  função	
  teste	
  
𝜓 𝑥 = 	
  
2𝛼	
  
𝜋
/
%
𝑒;<=>.	
  
Resposta:	
  𝐸' ≃ 1.082
ℏ>A
B
C
-D
	
  .	
  O	
  desvio	
  em	
  relação	
  ao	
  resultado	
  exato	
  é	
  de	
  aproximadamente	
  2%.	
  
Problema	
  1.2	
  –	
  Se	
  o	
  fotão	
  tivesse	
  massa	
  (𝑚E ≠ 0),	
  a	
  interacção	
  de	
  Coulomb	
  seria	
  substítuida	
  por	
  
𝑉 𝑟 = −
𝑒-
4𝜋𝜀'
𝑒;KL
𝑟 	
  
onde	
  𝜇 = 𝑚E𝑐/ℏ.	
  Usando	
  uma	
  função	
  de	
  onda	
  à	
  sua	
  escolha,	
  estime	
  a	
  energia	
  de	
  ligação	
  de	
  um	
  
átomo	
  de	
  Hidrogénio	
  descrito	
  pelo	
  potencial	
  dado	
  em	
  cima	
  (Potencial	
  de	
  Yukawa).	
  	
  Considere	
  o	
  
limite	
  𝜇𝑎 ≪ 1	
  e	
  dê	
  a	
  sua	
  resposta	
  em	
  ordem	
   𝜇𝑎 -.	
  
Resposta:	
  𝐸' ≃ 𝐸/ 1 − 2𝜇𝑎 +
1
-
𝜇𝑎 - 	
  ,	
  onde	
  𝐸/ = −13.6	
  eV.	
  
Problema	
  1.3	
  –	
  Considere	
  um	
  sistema	
  quântico	
  cujos	
  estados	
  próprios	
  do	
  Hamiltoniano	
  𝐻	
  são	
  
|𝜓U〉	
  (i=1,2,3,...,n),	
  aos	
  quais	
  correspondem	
  as	
  energias	
  (𝐸' < 𝐸/ < 𝐸- < ⋯ < 𝐸Y).	
  Seja	
  |𝜓〉	
  um	
  
ket	
  normalizado	
  qualquer.	
  Mostre	
  que	
  se	
   𝜓 𝜓' = 0,	
  então	
  𝐸/ ≤ 𝜓 𝐻|𝜓 ,	
  onde	
  𝐸/é	
  a	
  energia	
  
do	
  primeiro	
  estado	
  excitado.	
  Consegue	
  idealizar	
  uma	
  situação	
  em	
  que	
  este	
  resultado	
  possa	
  ser	
  
útil?	
  
Resposta:	
  O	
  resultado	
  pode	
  ser	
  usado	
  para	
  estimar	
  a	
  energia	
  do	
  primeiro	
  estado	
  excitado	
  de	
  um	
  sistema.	
  
Problema	
   1.4	
   –	
   Considere	
   uma	
   partícula	
   de	
   massa	
  𝑚	
   e	
   energia	
   𝐸	
   sujeita	
   a	
   um	
   potencial	
  
unidimensional:	
  
𝑉 𝑥 =
∞	
  	
  , 𝑥 < 𝑎
𝐴(𝑥 − 𝑎),	
  	
  	
  𝑥 ≥ 𝑎	
  	
  com	
  𝐴 > 0.	
  
(a)  Esboce	
  o	
  potencial	
  e	
  identifique	
  os	
  pontos	
  de	
  retorno	
  clássico.	
  
(b)  Determine	
  os	
  níveis	
  de	
  energia	
  da	
  partícula	
  usando	
  a	
  aproximação	
  WKB.	
  
Resposta:	
  (a)	
  Ponto	
  de	
  retorno:	
  𝑥' = 𝑎 +
_
A
	
  	
  .	
  	
  (b)	
  𝐸Y =
/
-
1A
D
𝑛 + 1
%
ℏ𝜋
-/1
.	
  
Problema	
  1.5	
  –	
  Recorrendo	
  à	
  aproximação	
  WKB,	
  determine	
  os	
  níveis	
  de	
  energia	
  dos	
  estados	
  𝑠	
  de	
  
um	
  electão	
  que	
  se	
  encontra	
  ligado	
  a	
  um	
  núcleo	
  de	
  carga	
  𝑍𝑒	
  pelo	
  potencial	
  de	
  Coulomb	
  𝑉 𝑟 =
−𝑍𝑒-/(4𝜋𝜖'𝑟).	
  Comente	
  sobre	
  a	
  qualidade	
  da	
  aproximação	
  realizada,	
  comparando	
  o	
  resultado	
  
com	
  o	
  resultado	
  exato.	
  
Resposta:	
  (b)	
  𝐸Y = −
d>D
-ℏ>
e>
%fgh
- /
Y>
	
  ,	
  que	
  coincide	
  com	
  o	
  resultado	
  exato	
  para	
  os	
  níveis	
  de	
  energia	
  de	
  um	
  átomo	
  
hidrogenóide.	
  
Problema	
  1.6	
  (2º	
  Exame	
  CMQ	
  2011/2013)	
  –	
  Considere	
  o	
  decaimento	
  de	
  um	
  núcleo	
   𝑋dA 	
  	
  (𝑍 ≫ 2)	
  
em	
  outro	
  núcleo	
   𝑌d;-A;% 	
  com	
  emissão	
  de	
  uma	
  partícula	
  𝛼	
  (um	
  núcleo	
  de	
  Hélio	
  constítuido	
  por	
  dois	
  
protões	
   e	
   dois	
   neutrões).	
   A	
   este	
   tipo	
   de	
   decaimento	
   dá-­‐se	
   o	
   nome	
   de	
   decaimento	
   𝛼,	
   e	
   é	
  
vulgarmente	
  representado	
  por:	
  
𝑋dA → 𝑌d;-A;% + 𝛼	
  .	
  
Em	
   1928,	
   G.	
   Gamow	
   e,	
   independentemente,	
   R.	
  W.	
   Gurney	
   e	
   E.	
   U.	
   Condon,	
   propuseram	
   um	
  
modelo	
  teórico	
  simples	
  para	
  o	
  decaimento	
  𝛼,	
  baseado	
  no	
  fenómeno	
  de	
  tunelamento.	
  Pretende-­‐
se	
  neste	
  problema	
  que	
  reproduza	
  os	
  resultados	
  obtidos	
  por	
  Gamow,	
  Gurney	
  e	
  Condon.	
  Para	
  isso,	
  
considere	
  que	
  antes	
  do	
  decaimento	
  a	
  partícula	
  𝛼	
  se	
  encontra	
  dentro	
  do	
  núcleo	
  𝑋	
  de	
  raio	
  𝑅	
  sujeita	
  
a	
  um	
  potencial	
  atractivo	
  constante	
  igual	
  a	
  −𝑉'	
  para	
  𝑟 < 𝑅.	
  Após	
  o	
  decaimento,	
  a	
  partícula	
  	
  𝛼	
  é	
  
emitida	
   com	
   uma	
   certa	
   energia	
  𝐸,	
   encontrado-­‐se	
   fora	
   do	
   núcleo	
   (𝑟 > 𝑅)	
   sujeita	
   apenas	
   ao	
  
potencial	
  repulsivo	
  de	
  Coulomb:	
  
𝑉 𝑟 =
2 𝑍 − 2 𝑒-
4𝜋𝜖'𝑟
	
  
(a)  Esboce	
  o	
  potencial	
  a	
  que	
  está	
  sujeita	
  a	
  partícula	
  𝛼	
  e	
  identifique	
  os	
  pontos	
  de	
  retorno	
  clássicos	
  
para	
  uma	
  energia	
  𝐸 > 0.	
  
(b)  De	
  modo	
  a	
  escapar	
  do	
  núcleo,	
  a	
  partícula	
  𝛼	
  tem	
  de	
  penetrar	
  a	
  barreira	
  de	
  potencial	
  na	
  região	
  
𝑅 < 𝑟 < 𝑅n.	
  Tratando	
  o	
  problema	
  a	
  uma	
  dimensão,	
  mostre	
  que	
  o	
  coeficiente	
  de	
  transmissão	
  
na	
  aproximação	
  WKB	
  para	
  essa	
  barreira	
  de	
  potencial	
  é:	
  
𝑇 = exp 𝑅n
sD_
ℏ>
	
   𝑥- − 𝑥% − arccos 𝑥 	
  , 𝑅𝑐 =
2 𝑍−2 𝑒2
4𝜋𝜖0𝐸
	
  .	
  	
  
onde	
  𝑚	
  é	
  a	
  massa	
  da	
  partícula	
  𝛼	
  e	
  𝑥- ≡ 𝑅/𝑅n.	
  
Respostas:	
  (a)	
  Pontos	
  de	
  retorno:	
  𝑟/ = 𝑅	
  𝑒	
  𝑟- = 𝑅n =
- d;- e>
%fgh_
	
  .	
  
Problema	
  1.7	
  –	
  Uma	
  partícula	
  de	
  massa	
  𝑚	
  está	
  sujeita	
  ao	
  potencial	
  unidimensional:	
  
𝑉 𝑥 = −𝛼𝑥	
  	
  , 𝑥 ≤ 0𝛽𝑥	
  , 𝑥 > 0 	
  
(a)  Se	
  a	
  partícula	
  tiver	
  energia	
  E,	
  quais	
  os	
  pontos	
  de	
  retorno	
  clássicos?	
  
(b)  Usando	
  a	
  aproximação	
  WKB,	
  estime	
  a	
  energia	
  no	
  estado	
  próprio	
  |𝑛〉.	
  
Respostas:	
  (a)	
  Pontos	
  de	
  retorno:	
  𝑥/ = −𝐸/𝛼	
  	
  	
  e	
  𝑥- = 𝐸/𝛽.	
  	
  (b)	
  𝐸Y =
/
-
1fℏ<{
D(<|{)
𝑛 + /
-
-/1
.	
  
	
  
Problema	
  1.8	
  (1º	
  Teste	
  2012/2013)	
  –	
  O	
  sistema	
  upsilon	
  (Υ)	
  consiste	
  nos	
  estados	
  ligados	
  de	
  um	
  
par	
  quark	
  𝑏	
  e	
  anti-­‐quark	
  𝑏	
  (𝑏𝑏).	
  Considere	
  que,	
  para	
  ℓ𝓁 = 0	
  (estados	
  S)	
  o	
  potencial	
  que	
  descreve	
  
o	
  par	
  𝑏𝑏	
  é	
  dado	
  por:	
  
𝑉 𝑟 = 𝜅	
  𝑟 + 𝑉'	
  	
  (𝜅	
  e	
  𝑉'	
  são	
  constantes	
  positivas),	
  
onde	
  𝑟	
  é	
  a	
  distância	
  entre	
  𝑏	
  e	
  𝑏.	
  A	
  cada	
  nível	
  de	
  energia	
  𝐸Y	
  deste	
  potencial	
  corresponde	
  uma	
  
ressonância	
  denominada	
  por	
  Υ(𝑛S)	
  com	
  uma	
  massa	
  igual	
  a	
  𝐸Y.	
  Tratando	
  o	
  problema	
  como	
  sendo	
  
unidimensional:	
  
(a)   	
  Esboce	
  o	
  potencial	
  e	
  descreva	
  os	
  pontos	
  de	
  retorno	
  clássicos.	
  
(b)  	
  Use	
  a	
  relação	
  de	
  quantização	
  de	
  energia	
  WKB	
  adequada	
  para	
  determinar	
  os	
  níveis	
  de	
  energia	
  
𝐸Y	
  com	
  𝑛 = 1,2,3,4, …	
  
(c)   	
  Sabendo	
   que	
   as	
   massas	
   das	
   ressonâncias	
   Υ(1S)e	
   Υ(2S)	
   são	
   9.46	
   GeV	
   e	
   10.023	
   GeV,	
  
respectivamente,	
  use	
  o	
  resultado	
  da	
  alínea	
  anterior	
  para	
  prever	
  o	
  valor	
  da	
  massa	
  do	
  estado	
  
Υ(3S)	
  (o	
  valor	
  experimental	
  é	
  10.355	
  GeV).	
  
Respostas:	
  (b)	
  𝑟' =
_;�h
�
	
  .	
  	
  (c)	
  	
  𝐸Y = 𝑉' + 𝑛 −
/
%
-/1 1�fℏ
- -K
>
C
	
   , 𝑛 = 1,2, …	
  ;	
  𝑚Υ(3S)	
   = 𝐸1 = 10.481	
  GeV.	
  
Problema	
  1.9	
  (2º	
  Exame	
  MQII	
  2011/2012)	
  
(a)  Use	
  as	
   fórmulas	
  de	
   conexão	
  WKB	
  para	
  mostrar	
   que	
  para	
  um	
  poço	
  de	
  potencial	
   arbitrário	
  
unidimensional	
  𝑉(𝑥)	
   com	
   uma	
   parede	
   rígida	
   em	
  𝑥 = 𝑥/	
   (ou	
   seja,	
  𝑉 𝑥 < 𝑥/ = ∞	
  )	
   e	
   um	
  
ponto	
  de	
  retorno	
  clássico	
  𝑥- > 𝑥/	
  se	
  tem:	
  
	
  
𝑝 𝑥 	
  𝑑𝑥 = 𝑛 +
3
4 𝜋ℏ	
  	
  	
  , 𝑛 = 0,1,2, …	
  
=>
=B
.	
  
	
  
(b)  Determine	
  os	
  níveis	
  de	
  energia	
  quânticos	
  de	
  uma	
  partícula	
  de	
  massa	
  𝑚	
  sob	
  a	
  acção	
  do	
  campo	
  
gravítico	
  terrestre,	
   i.e.	
  𝑉 𝑧 = 𝑚𝑔𝑧,	
  onde	
  𝑧	
  é	
  a	
  altura	
  a	
  que	
  a	
  partícula	
  está	
  em	
  relação	
  à	
  
superfície	
  terrestre	
  (considere	
  que	
  a	
  partícula	
  não	
  pode	
  penetrar	
  a	
  superfície	
  terrestre	
  e	
  trate	
  
o	
  problema	
  como	
  sendo	
  unidimensional).	
  
(c)  Use	
  o	
  resultado	
  da	
  alínea	
  anterior	
  para	
  determinar	
  a	
  energia	
  do	
  estado	
  fundamental	
  de	
  um	
  
eletrão	
  no	
  campo	
  gravitacional	
  terrestre.	
  
	
  
Respostas:	
  (b)	
  𝐸Y =
DB/C
-
3𝑔 𝑛 + 1
%
𝜋ℏ
-/1
.	
  	
  (c)	
  𝐸' =
D�
B/C
-
�
%
𝑔𝜋ℏ
-/1
.	
  
	
  
Problema	
  1.10	
  -­‐	
  Considere  uma  partícula  de  massa  𝑚  cuja  dinâmica  é  descrita  pelo  Hamiltoniano:  	
  
𝐻 =
𝑝-
2𝑚
+
1
2
𝑚𝜔-𝑥- +
1
4
𝜆𝑥%	
  .  
Usando  como  teste  para  o  estado  fundamental  do  sistema  uma  combinação  linear  dos  estados  
próprios   do   oscilador   harmónico   |0〉   e   |2〉   do   tipo   𝜓 = cos 𝜃	
  |0〉 + sin 𝜃	
  |2〉,   use   o   método  
variacional  para  determinar   𝜓 .  Particularize  para  o  caso  𝜆 ≪ 𝜔1𝑚-/ℏ.  
Notas:	
  	
  	
  𝑥 = ℏ
-D�
𝑎 + 𝑎� 	
  	
  ,	
  	
  	
  𝑎 𝑛 = 𝑛	
   𝑛 − 1 	
  	
  , 𝑎| 𝑛 = 𝑛 + 1	
   𝑛 + 1 	
  	
  	
  , 𝐸Y = 𝑛 +
/
-
ℏ𝜔	
  .  
  
Respostas:	
  tan 2𝜃 = − 1 -
�|s ℏ��
��
ℏ
>	
  ,	
  para	
  𝜆 ≪ 𝜔1𝑚-/ℏ	
  tem-­‐se:	
   𝜓 ≃ 0 −
1 -
/�
�ℏ
�CD>
|2〉	
  
	
  
Problema	
  1.11	
  -­‐	
  Considere  um  eletrão  no  interior  de  um  metal  como  estando  confinado  num  poço  
de  potencial  com  𝑉 𝑥 = 0	
    para  −𝐿 < 𝑥 < 0	
  e  𝑉 𝑥 = 𝐸� + W	
  para  𝑥 ≥ 0  e  𝑥 ≤ −𝐿.  𝐸� > 0  é  a  
energia  de  Fermi  e  W > 0  é  a  função  trabalho  do  metal.  Aplica-­se  um  campo  elétrico  constante  
𝐸 = −𝐸'𝑢=	
  (𝐸' > 0)  à  superfície  do  metal,  ou  seja,  para  𝑥 ≥ 0.  Determine,  usando  a  aproximação  
WKB,  o  coeficiente  de  transmissão  correspondente  à  emissão  por  tunelamento  de  um  eletrão  que  
se  encontra  no  nível  de  energia  de  Fermi  no  interior  do  metal  (a  este  fenómeno  dá-­se  o  nome  de  
emissão  por  campo  ou  tunelamento  Fowler-­Nordheim).  Como  varia  a  intensidade  de  corrente  dos  
eletrões   emitidos   com   𝐸'?   Justifique   se   o   resultado   matemático   que   obteve   faz   sentido  
fisicamente.    
Sugestão:  Fazer  esquemas  de  antes  e  depois  de  o  campo  ser  aplicado  pode  ajudar...  
Resposta:	
  𝑇 ≃ exp − %
1ℏ
2𝑚�
C/>
e_h
	
  	
  
MECÂNICA  QUÂNTICA  II  
Ano  lectivo  2017/2018  –  Docente  :  Filipe  R.  Joaquim  
2a  Série  de  problemas  :  Simetrias  em  MQ  
Problema  2.1  –  Mostre  que  o  gerador  das  translações  no  tempo  é  dado  por  −𝐻/ℏ,  onde  𝐻  é  o  
Hamiltoniano.  
Problema  2.2  –  Considere  uma  partícula  de  massa  m  que  se  move  num  poço  de  potencial  infinito  
(-­‐L  <  x  <  L).  No  instante  t=0,  o  estado  da  partícula  é  descrito  pela  seguinte  função  de  onda:  
𝜓(𝑥) = *
√,
sin 01	
  3
4,
5.  
Qual  a  probabilidade  de  encontrar  a  partícula  num  estado  de  paridade  +1  para  qualquer  instante  
de  tempo  t>0.  
Resposta:   A   probabilidade   é  zero   já   que  o  Hamiltoniano  do   sistema  é   invariante   debaixo   de  𝜋7.   Logo,   a  paridade  
conserva-­‐se  pelo  que  nunca  poderá  ser  positiva  para  t>0  se  for  negativa  para  t=0.  
Problema  2.3  –  Considere  os  estados  próprios  do  momento  angular  |ℓ𝓁𝑚〉.  Mostre  que    
	
  Π=	
  |ℓ𝓁𝑚〉 = (−1)ℓ𝓁	
  |ℓ𝓁𝑚〉,    
onde  	
  Π=	
    é  o  operador  paridade.  
Problema  2.4  (Regras  de  selecção  de  paridade)  –  Suponha  que  |𝛼〉  e  |𝛽〉  são  estados  próprios  de  
paridade  𝜀C  e  𝜀D,  respectivamente:  
	
  Π=|𝛼〉 = 𝜀C	
  |𝛼〉	
  	
  	
  	
  	
  ,	
  	
  	
  Π=|𝛽〉 = 𝜀D	
  |𝛽〉	
  .  
Seja  𝐴F  um  operador  Hermítico.  Mostre  que:  
(a)   Se  [𝐴F,	
  Π=] = 0,  então  〈𝛼	
  |𝐴F|𝛽〉 ≠ 0  se  𝜀C𝜀D = 1.  
(b)  Se  {𝐴F,	
  Π=} = 0,  então  〈𝛼	
  |𝐴F|𝛽〉 ≠ 0  se  𝜀C𝜀D = −1.  
Problema  2.5  –  Por  vezes  a  transformação  de  paridade  podem  estar  relacionada  com  rotações  
no  espaço.  No  entanto,   isto  não  acontece  como   regra  geral.  Dê  um  exemplo  de  um  potencial  
V(x,y,z)  que  seja  invariante  debaixo  de  transformações  de  paridade  mas  que  não  seja  invariante  
debaixo  de  rotações.    
Resposta:  Por  exemplo  𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑥𝑧.  
Problema  2.6  –  Mostre  que  os  elementos  de  matriz  〈ℓ𝓁S𝑚S|𝑧|ℓ𝓁𝑚〉  só  não  se  anulam  entre  estados  
com  𝑚S = 𝑚  e  ℓ𝓁S + ℓ𝓁 = 2𝑘 + 1,  𝑘 = 0,1,…  
Problema  2.7  –  Considere  os  estados  próprios  do  momento  angular  orbital  |ℓ𝓁,𝑚	
  〉.  Mostre  que  
𝑇X	
  |ℓ𝓁,𝑚	
  〉 = 𝑖4Z	
  |ℓ𝓁,−𝑚	
  〉	
  ,  onde  𝑇X  é  o  operador  reflexão  temporal.  
Problema   2.8   –   Considere   um   sistema   quântico   descrito   por   um   Hamiltoniano  𝐻=   invariante  
debaixo  da  transformação  𝑡 → −𝑡.  Mostre  que  se  |𝑛〉  for  um  estado  próprio  não  degenerado  de  
energia  𝐸_,  então  a  função  de  onda  correspondente  é  real  (a  menos  de  uma  fase  constante).  
Problema  2.9  –  Considere  um  sistema  cujo  Hamiltoniano  é  invariante  debaixo  de  um  grupo  de  
transformações  contínuas  𝑈=.  Mostre  que  se  |𝑛〉  é  um  estado  próprio  de  energia  𝐸_  e    𝑈=|𝑛〉 ≠ |𝑛〉  
então  o  estado  |𝑛〉  é  degenerado  com  todos  os  estados  𝑈=|𝑛〉.    
Problema  2.10  –  Determine  a  paridade  do  estado  próprio  |𝑛〉  de  um  oscilador  harmónico  a  uma  
dimensão.  
Resposta:  𝜋7|𝑛〉 = (−1)_|𝑛〉.  Logo,  a  paridade  do  estado  |𝑛〉  é  (−1)_ .  
Problema  2.11   –  Considere   a𝐻=, 𝜋7b = 0   num  sistema  com  um  estado  próprio   degenerado   |𝑛〉.  
Mostre  que  |𝑛〉  pode  não  ser  um  estado  próprio  de  paridade.    
Problema   2.12   –   Considere   que   uma   partícula   de   spin   zero   se   encontra   sob   a   acção   de   um  
potencial  central  𝑉(𝑟)  tão  assimétrico  que  não  existem  estados  próprios  de  energia  degenerados.  
Considerando  que   o  Hamiltoniano   é   invariante   debaixo   da   transformação   𝑡 → −𝑡,   prove   que  
〈	
  𝑛	
  |	
  𝐿e⃗ 	
  |	
  𝑛	
  〉 = 0  onde  𝐿e⃗  é  o  momento  angular  orbital  e  |	
  𝑛	
  〉  é  um  estado  próprio  de  𝐻=  qualquer.  
  
  
Problema  2.13  –  O  Hamiltoniano  de  um  sistema  com  spin  1  é  dado  por  
𝐻= = 𝐴𝑆Fh4 + 𝐵  (	
  𝑆F34	
  −	
  𝑆Fj4	
  ),  
com  A  e  B  reais.    
(a)  Determine  os  estados  próprios  normalizados  deste  sistema  e  os  respectivos  valores  próprios.    
(b)  Verifique  se  o  Hamiltoniano  é  invariante  debaixo  de  reflexão  temporal.    
(c)   Determine  os  estados  próprios  transformados  por  	
  𝑇X.  
  
Respostas:   (a)   Valores   próprios:   𝐸* = 0, 𝐸4 = (𝐴 + 𝐵)ℏ4,𝐸k = (𝐴 − 𝐵)ℏ4.   Estados   próprios:|1〉 = |1,0〉, |2〉 =
(|1,1〉 + |1, −1〉)/√2,  |3〉 = (|1,1〉 − |1, −1〉)/√2,  escritos  na  base  dos  estados  próprios  de  𝑆m.  (b)  O  Hamiltoniano  
é  invariante  debaixo  de    𝑇X.  (c)  𝑇X|1〉 = |1〉, 𝑇X|2〉 = −|2〉, 𝑇X|3〉 = |3〉.  
  
  
MECÂNICA QUÂNTICA II 
Ano lectivo 2017/2018 – Docente : Filipe R. Joaquim 
3a Série de problemas : Rotações, momento angular e Teorema de Wigner-Eckart 
Problema 3.1 – Determine a matriz de rotação 𝑑(1)(𝛽) sabendo que: 
 
Resposta: 
 
Problema 3.2 – Usando o resultado do problema anterior para 𝑑(1)(𝛽) e a forma de 𝑑(1/2)(𝛽) 
obtida nas aulas teóricas, determine 𝑑3
2
,
3
2
(3/2)
(𝛽), 𝑑3
2
,−
1
2
(3/2)
(𝛽) e 𝑑1
2
,
1
2
(3/2)
(𝛽) . 
Resposta: 
 
Problema 3.3 
(a) Mostre como se transforma o operador vetorial 𝐽 debaixo de uma rotação finita em torno do 
eixo dos z’s e segundo um ângulo 𝛼. 
(b) Mostre como se transforma um operador vetorial �̂� debaixo de uma rotação em torno do 
eixo dos y’s, segundo um ângulo 𝛼. 
(c) Mostre que: . 
Relações úteis: 
 
Respostas: 
 
(a) (b) 
Problema 3.4 – Use o teorema de Wigner-Eckart para mostrar que para um operador vetorial �̂�, 
os elementos de matriz do operador 𝐽. �̂� (onde 𝐽 é o operador momento angular total) são dados 
por: 
⟨𝑗, 𝑚| 𝐽 . 𝐴| 𝑗, 𝑚⟩ = ℏ [𝑚 ⟨𝑗, 1; 𝑚, 0|𝑗, 𝑚⟩ −
1
√2
 ⟨𝑗, 1; 𝑚, 1|𝑗, 𝑚 + 1⟩ √𝑗(𝑗 + 1) − 𝑚(𝑚 + 1)
+
1
√2
 ⟨𝑗, 1; 𝑚, −1|𝑗, 𝑚 − 1⟩ √𝑗(𝑗 + 1) − 𝑚(𝑚 − 1)] 〈 𝑗 ∥ 𝐴 ∥ 𝑗〉 
Tendo em conta a expressão para os elementos de matriz de um operador vetorial dada pelo 
teorema de Wigner-Eckart, mostre que se pode escrever a relação: 
 
 
e use este resultado para mostrar que 
 
Problema 3.5 
(a) Mostre que o elemento de matriz 〈2,0|𝑌10|1,0〉 é: 
(b) Use o resultado da alínea anterior e o teorema de Wigner-Eckart para provar que: 
 
Problema 3.6 – Usando o teorema de Wigner-Eckart e a expressão geral que permite calcular o 
integral de três harmónicos esféricos 
Mostre que os elementos de matrix reduzidos do harmónico esférico 𝑌𝑞𝑘(𝜃, 𝜑) são dados por: 
 
Problema 3.7 
(a) Mostre que se 𝑋𝑞1
(𝑘1) e 𝑍𝑞2
(𝑘2) forem dois tensores esféricos irredutíveis de ordem 𝑘1 e 𝑘2, 
respetivamente, então 
𝑇𝑞
(𝑘) = ∑ 〈𝑘1, 𝑘2; 𝑞1, 𝑞2 | 𝑘, 𝑞〉
𝑞1,𝑞2 
𝑋𝑞1
(𝑘1)𝑍𝑞2
(𝑘2) , 
é um tensor esférico irredutível de ordem 𝑘. 
(b) Construa um tensor esférico de ordem 1 a partir de dois vetores �⃗⃗⃗� = (𝑈𝑥 , 𝑈𝑦 , 𝑈𝑧) e �⃗⃗� =
(𝑉𝑥, 𝑉𝑦 , 𝑉𝑧). 
(c) Determine um tensor esférico irredutível de ordem 2 a partir de dois vetores �⃗⃗⃗� = (𝑈𝑥, 𝑈𝑦 , 𝑈𝑧) 
e �⃗⃗� = (𝑉𝑥, 𝑉𝑦 , 𝑉𝑧). 
Respostas: 
(b) 𝑇+1
(1)
= −
1
2
(𝑈𝑥 + 𝑖𝑈𝑦)𝑉𝑧 +
1
2
𝑈𝑧(𝑉𝑥 + 𝑖𝑉𝑦) ; 𝑇0
(1) = 
𝑖
2
(𝑈𝑥𝑉𝑦 − 𝑉𝑦𝑈𝑥) ; 𝑇−1
(1) = −
1
2
(𝑈𝑥 − 𝑖𝑈𝑦)𝑉𝑧 +
1
2
(𝑉𝑥 − 𝑖𝑉𝑦)𝑈𝑧 
(c) 𝑇+2
(2) =
1
2
(𝑈𝑥 + 𝑖𝑈𝑦)(𝑉𝑥 + 𝑖𝑉𝑦) ; 𝑇+1
(2) = −
1
2
 (𝑈𝑧𝑉𝑥 + 𝑈𝑥𝑉𝑧 + 𝑖𝑈𝑧𝑉𝑦 + 𝑖𝑈𝑦𝑉𝑧) ; 
𝑇−1
(2)
=
1
2
 (𝑈𝑧𝑉𝑥 + 𝑈𝑥𝑉𝑧 − 𝑖𝑈𝑧𝑉𝑦 − 𝑖𝑈𝑦𝑉𝑧) ; 𝑇−2
(2)
= 
1
2
 (𝑈𝑥𝑉𝑥 − 𝑈𝑦𝑉𝑦 − 𝑖𝑈𝑥𝑉𝑦 − 𝑖𝑈𝑦𝑉𝑥) 
Problema 3.8 – Determine 
∑ 𝑚 |𝑑
𝑚𝑚′
(𝑗) (𝛽)|
2
𝑚=𝑗
𝑚=−𝑗
, 
para qualquer 𝑗. Verifique o resultado para 𝑚′ = ±1/2 (tenha em conta a forma de 𝑑
𝑚𝑚′
(1/2)(𝛽) 
obtida nas aulas teóricas). 
Problema 3.9 
(a) Escreva 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 e (𝑥2 − 𝑦2) como componentes de um tensor esférico irredutível de ordem 2 
(use o resultado do problema 3.7.c com �⃗⃗⃗� = �⃗⃗� = 𝑟 = (𝑥, 𝑦, 𝑧). 
(b) A quantidade 
𝑄 = 𝑒 〈𝛼; 𝑗, 𝑚 = 𝑗 | (3𝑧2 − 𝑟2)| 𝛼; 𝑗, 𝑚 = 𝑗 〉 , 
é chamada momento quadripolar. Calcule 𝑒 〈𝛼; 𝑗, 𝑚′ | (𝑥2 − 𝑦2)| 𝛼; 𝑗, 𝑚 = 𝑗 〉 em termos de 𝑄 e 
de coeficientes de Clebsch-Gordan adequados. 
Respostas: (a) 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑇+2
(2) + 𝑇−2
(2) ; 𝑥𝑦 =
(𝑇+2
(2)−𝑇−2
(2))
2𝑖
 ; 𝑥𝑧 =
(𝑇−1
(2)−𝑇+1
(2))
2
 (b) 
𝑄
√6
 
〈𝑗,2;𝑗,−2|𝑗,𝑗−2〉
〈𝑗,2;𝑗,0|𝑗,𝑗〉
 
Problema 3.10 – Considere o protão e o neutrão (|𝑝〉 e |𝑛〉) como dois estados de isospin 
diferentes do nucleão, i.e., |𝑝〉 = |
1
2
 ,
1
2
 〉 e |𝑛〉 = |
1
2
 , −
1
2
 〉. 
(a) Encontre os estados possíveis de dois nucleões. 
(b) Considere o operador �̂� = 𝑒(�̂�3 + 1/2) e determine �̂�|𝑝〉 e �̂�|𝑛〉, Qual o significado físico do 
operador �̂�. 
Resposta: 
(a) 
 
(b) �̂�|𝑝〉 = 𝑒 |𝑝〉 ; �̂�|𝑛〉 = 0. O operador �̂� representa a carga elétrica. 
Problema 3.11 – As interações fortes conservam o isospin. Explique então porque razão a reação 
𝑑 + 𝑑 → 𝛼 + 𝜋0 não se observa, tendo em conta que 𝑇(𝑑) = 𝑇(𝛼) = 0 e 𝑇(𝜋) = 1. 
Resposta: 𝑇(𝑑 + 𝑑) = 0 ≠ 𝑇(𝛼 + 𝜋0) = 1 , logo a reação é proíbida porque o isospin não se conserva. 
Problema 3.12 – O sistema (𝜋−, 𝜋0, 𝜋+) pode ser visto como três estados de isospin distintos. 
Determine os estados possíveis de isospin total do sistema pião-nucleão. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3.13 – As interações fortes conservam o isospin, ou seja, 𝑇2 e 𝑇3 permanecem 
constantes. Dito de outra forma, pode dizer-se que as interações fortes são invariantes debaixo 
de rotações no espaço do isospin. Tendo em conta que a probabilidade de ocorrência de um 
decaimento controlado pela interação forte é proporcional a |〈𝑓 |𝑉|𝑖 〉|2 onde 𝑉 representa o 
potencial responsável pela interação, determine as probabilidades relativas dos decaimentos 
Δ+ → 𝑝𝜋0 e Δ+ → 𝑛𝜋+, sabendo que para o Δ+, 𝑇 = 3/2 e 𝑇3 = 1/2. 
Resposta: 
MECÂNICA	
  QUÂNTICA	
  II	
  
.Ano	
  lectivo	
  2017/2018.-.Docente	
  :	
  Filipe	
  R.	
  Joaquim	
  
4a	
  Série	
  de	
  problemas	
  :	
  Sistemas	
  de	
  N	
  partículas	
  
Problema	
  4.1-­‐	
  Considere	
  um	
  sistema	
  de	
  três	
  partículas	
  que	
  não	
  interagem	
  entre	
  si	
  e	
  que	
  estão	
  
confinadas	
  a	
  um	
  poço	
  de	
  potencial	
  infinito	
  de	
  largura	
  𝑎	
  (	
  V(x)=0,	
  0	
  <	
  x	
  <	
  	
  𝑎	
  e	
  V(x)=∞,	
  x<0,	
  x	
  >	
  	
  𝑎).	
  
Determine	
  a	
  energia	
  e	
  a	
  função	
  de	
  onda	
  do	
  estado	
  fundamental	
  e	
  do	
  primeiro	
  estado	
  excitado	
  
do	
  sistema	
  nos	
  seguintes	
  casos:	
  
(a)  Partículas	
  escalares	
  com	
  𝑚% < 𝑚' < 𝑚(.	
  
(b)  Bosões	
  idênticos	
  de	
  spin	
  0.	
  
(c)   Partículas	
  de	
  spin	
  ½	
  com	
  𝑚% < 𝑚' < 𝑚(.	
  
(d)  Electrões	
  no	
  estado	
  | ↑	
  〉.	
  
Problema	
  4.2-­‐	
  Determine	
  os	
  níveis	
  de	
  energia	
  e	
  as	
  funções	
  de	
  onda	
  dos	
  três	
  primeiros	
  estados	
  de	
  
um	
   átomo	
   com	
   dois	
   electrões	
   (considere	
   que	
   a	
   única	
   interacção	
   existente	
   é	
   a	
   interacção	
   de	
  
Coulomb	
  entre	
  o	
  núcleo	
  do	
  átomo	
  e	
  cada	
  um	
  dos	
  electrões).	
  
Problema	
  4.3-­‐	
  Determine	
  a	
  energia	
  e	
  a	
   função	
  de	
  onda	
  do	
  estado	
  fundamental	
  e	
  do	
  primeiro	
  
estado	
   excitado	
   de	
   duas	
   partículas	
   independentes	
  movendo-­‐se	
   sob	
   a	
   acção	
   de	
   um	
   oscilador	
  
harmónico	
  comum	
  no	
  caso	
  de:	
  
(a)  duas	
  partículas	
  idênticas	
  de	
  spin	
  1	
  sem	
  momento	
  angular	
  orbital.	
  
(b)  duas	
  partículas	
  idênticas	
  de	
  spin	
  ½.	
  
Problema	
  4.4-­‐	
  Duas	
  partículas	
   idênticas	
  de	
  spin	
  1/2	
  encontram-­‐se	
  confinadas	
  numa	
  caixa	
  com	
  
duas	
  paredes	
  rígidas	
  colocadas	
  em	
  𝑥 = 0	
  e	
  𝑥 = 𝐿.	
  Sabendo	
  que	
  as	
  partículas	
  se	
  encontram	
  num	
  
estado	
  de	
  tripleto	
  de	
  spin,	
  determine	
  a	
  energia,	
  as	
  funções	
  de	
  onda	
  e	
  as	
  degenerescências	
  dos	
  
três	
  primeiros	
  estados.	
  
Problema	
  4.5-­‐	
  Considere	
  um	
  sistema	
  de	
  duas	
  partículas	
  idênticas	
  de	
  spin	
  ½	
  que	
  não	
  interagem	
  
entre	
  si	
  e	
  que	
  estão	
  confinadas	
  a	
  um	
  poço	
  de	
  potencial	
  infinito	
  delargura	
  𝐿	
  (	
  V(x)=0,	
  0	
  <	
  x	
  <	
  	
  𝐿	
  e	
  
V(x)=∞,	
  x<0,	
  x	
  >	
  	
  𝐿).	
  Se	
  o	
  estado	
  do	
  sistema	
  for	
  descrito	
  pela	
  função	
  de	
  onda:	
  
Ψ 𝑥%, 𝑥', 𝑠%, 𝑠' =
2
𝐿 	
   sin
2𝜋𝑥%
𝐿 sin
5𝜋𝑥'
𝐿 + sin
2𝜋𝑥'
𝐿 sin
5𝜋𝑥%
𝐿 𝜒(𝑠%, 𝑠')	
  
onde	
  𝑥%	
  e	
  𝑥'	
  são	
  as	
  coordenadas	
  das	
  duas	
  partículas	
  e	
  𝜒(𝑠%, 𝑠')	
  é	
  a	
  função	
  de	
  onda	
  de	
  spin.	
  
(a)  𝜒(𝑠%, 𝑠')	
  é	
  um	
  estado	
  de	
  singleto	
  ou	
  tripleto?	
  
(b)  Determine	
  a	
  energia	
  do	
  sistema.	
  
Problema	
  4.6	
  -­‐	
  Considere	
  um	
  sistema	
  de	
  duas	
  partículas	
  indistinguíveis	
  de	
  spin	
  ½	
  que	
  estão	
  sob	
  
acção	
  de	
  um	
  oscilador	
  harmónico	
  comum.	
  Assuma	
  que	
  o	
  estado	
  do	
  sistema	
  é	
  descrito	
  pela	
  função	
  
de	
  onda	
  
Ψ 𝑥%, 𝑥', 𝑠%, 𝑠' =
2
𝑥=' 𝜋
𝑥' − 𝑥% exp −
𝑥%' + 𝑥''
2𝑥='
	
  𝜒(𝑠%, 𝑠')	
  
(a)  𝜒(𝑠%, 𝑠')	
  é	
  um	
  estado	
  de	
  singleto	
  ou	
  tripleto?	
  
(b)  Determine	
  a	
  energia	
  do	
  sistema.	
  
Problema	
  4.7	
  (1º	
  Teste	
  MQII	
  2011/2012)	
  –	
  O	
  deuterão	
  (𝑑)	
  é	
  um	
  núcleo	
  de	
  carga	
  +1	
  composto	
  
por	
  um	
  protão	
  e	
  um	
  neutrão	
  (𝑛).	
  O	
  spin	
  e	
  paridade	
  do	
  deuterão	
  são,	
  respectivamente,	
  𝑠D = 1	
  e	
  
𝑃D = 1.	
  Um	
  pião	
  negativo	
  (𝜋G)	
  de	
  carga	
  -­‐1	
  e	
  spin	
  𝑠HI = 0	
  pode	
  ser	
  capturado	
  por	
  um	
  deuterão	
  
formando	
  um	
  estado	
  ligado	
   𝑆%( 𝜋G + 𝑑 	
  que	
  decai	
  em	
  dois	
  neutrões,	
  ou	
  seja,	
  
𝑆%( 𝜋G + 𝑑 → 𝑛 + 𝑛	
  .	
  
Sabendo	
  que	
  os	
  dois	
  neutrões	
  são	
  fermiões	
  de	
  spin	
  ½,	
  determine	
  a	
  paridade	
  intrínseca	
  do	
  pião,	
  
tendo	
  em	
  conta	
  que	
  o	
  momento	
  angular	
  total	
  e	
  a	
  paridade	
  se	
  conservam	
  no	
  decaimento	
  acima	
  
indicado.	
  
Problema	
  4.8	
  (1º	
  Exame	
  MQII	
  2011/2012)	
  –	
  Considere	
  uma	
  partícula	
  sujeita	
  a	
  um	
  determinado	
  
poço	
  de	
  potencial	
  unidimensional	
  cujos	
  auto-­‐estados	
  de	
  energia	
  𝐸M 	
  são	
  descritos	
  pelas	
  funções	
  
próprias:	
  
𝜙% 𝑥 , 𝜙' 𝑥 , 	
  𝜙( 𝑥 	
  , …	
  com	
  𝐸% < 𝐸' < 𝐸( < ⋯.	
  
Considere	
  agora	
  duas	
  dessas	
  partículas	
  (sem	
  interação	
  mútua)	
  nesse	
  poço	
  de	
  potencial.	
  
Determine	
  a	
  energia	
  total,	
  o	
  grau	
  de	
  degenerescência	
  e	
  as	
  funções	
  de	
  onda	
  possíveis	
  para	
  os	
  dois	
  
estados	
  de	
  menor	
  energia	
  do	
  sistema	
  se	
  as	
  duas	
  partículas	
  forem:	
  
(a)   	
  Idênticas	
  de	
  spin	
  1/2.	
  
(b)   	
  Idênticas	
  de	
  spin	
  1.	
  
Problema	
  4.9	
  (2º	
  Exame	
  MQII	
  2011/2012)	
  –	
  A	
  porfirina	
  é	
  uma	
  molécula	
  presente	
  na	
  clorofila,	
  
hemoglobina,	
  e	
  outros	
  compostos	
  orgânicos	
  importantes.	
  Alguns	
  dos	
  aspetos	
  associados	
  à	
  Física	
  
das	
  propriedades	
  desta	
  molécula	
  podem	
  ser	
  estudados	
  considerando	
  um	
  modelo	
  simples	
  em	
  que	
  
18	
   electrões	
   estão	
   constrangidos	
   a	
   mover-­‐se	
   num	
   anel	
   de	
   raio	
  𝑅 = 1	
  Å.	
   Para	
   cada	
   um	
   dos	
  
electrões,	
  o	
  Hamiltoniano	
  livre	
  é	
  dado	
  por:	
  
𝐻M = −
ℏ'
2𝑚U𝑅'
𝜕'
𝜕𝜃M'
	
  .	
  
Despreze	
  a	
  interação	
  entre	
  os	
  electrões.	
  
(a)  Determine	
  as	
  funções	
  de	
  onda	
  próprias	
  𝜓Z 𝜃M 	
  normalizadas	
  para	
  um	
  dos	
  eletrões	
  no	
  anel	
  
de	
  porfirina	
  e	
  as	
  respectivas	
  energias.	
  
(b)  Quantos	
  electrões	
  existem	
  em	
  cada	
  nível	
  de	
  energia	
  quando	
  a	
  molécula	
  se	
  encontra	
  no	
  estado	
  
fundamental?	
  
(c)  Qual	
  a	
  energia	
  de	
  excitação	
  mais	
  baixa	
  desta	
  molécula	
  e	
  o	
  comprimento	
  de	
  onda	
  da	
  radiação	
  
necessária	
  para	
  provocar	
  tal	
  excitação?	
  
(d)  Considere	
  agora	
  um	
  sistema	
  com	
  as	
  mesmas	
  características	
  do	
  anterior	
  mas	
  apenas	
  com	
  2	
  
eletrões.	
  Determine	
  as	
  possíveis	
  funções	
  de	
  onda	
  próprias	
  𝜓% 𝜃%, 𝜃' 	
  |𝑆,𝑚[〉	
  e	
  a	
  energia	
  do	
  
1º	
  estado	
  excitado	
  deste	
  sistema	
  (𝑆	
  é	
  o	
  spin	
  total	
  dos	
  dois	
  electrões).	
  	
  
  
Problema	
  4.10	
   (1º	
   Exame	
  MQII	
   2012/2013)	
   –	
   Duas	
  partículas	
   idênticas	
  de	
  massa	
  𝑚	
   e	
   spin	
   1	
  
encontram-­‐se	
  sob	
  a	
  ação	
  de	
  um	
  oscilador	
  harmónico	
  comum	
  de	
  frequência	
  𝜔.	
  Assuma	
  que	
  no	
  
instante	
  𝑡 = 𝑡=	
  o	
  estado	
  do	
  sistema	
  é	
  descrito	
  pela	
  função	
  de	
  onda	
  
Ψ 𝑥%, 𝑥', 𝑠%, 𝑠' =
1
𝑥=' 𝜋
𝑥' − 𝑥% exp −
𝑥%' + 𝑥''
2𝑥='
	
  𝜒 𝑠%,𝑚^_, 𝑠',𝑚^` .	
  
(c)   Em	
  que	
  estados	
  de	
  spin	
  𝜒 𝑠%,𝑚^_, 𝑠',𝑚^` 	
  podemos	
  encontrar	
  o	
  sistema?	
  
(d)   Determine	
  a	
  energia	
  do	
  sistema.	
  
Qual	
  a	
  probabilidade	
  de	
  se	
  encontrar	
  o	
  sistema	
  num	
  estado	
  próprio	
  de	
  paridade	
  +1	
  para	
  𝑡 >
𝑡=.	
  
(e)   Repita	
   a	
   alínea	
   anterior	
   no	
   caso	
   em	
   que	
   as	
   partículas	
   interagem	
   entre	
   si	
   segundo	
   uma	
  
interação	
  spin-­‐spin	
  do	
  tipo	
  𝑆%. 𝑆'.	
  
Notas:	
  Oscilador	
  harmónico:	
  
𝜓= 𝑥 = 𝜋G%/c𝑥=
G%/' exp −
𝑥'
2𝑥='
	
  	
   , 𝜓% 𝑥 = 2	
  𝜋G%/c𝑥=
G(/'𝑥 exp −
𝑥'
2𝑥='
	
   , 𝑥= =
ℏ
𝑚𝜔	
  	
  
	
  	
  𝐸Z = 𝑛 +
%
'
ℏ𝜔	
  
Problema	
  4.11	
  (2º	
  Exame	
  MQII	
  2012/2013)	
  –	
  Um	
  átomo	
  de	
  Hélio	
  é	
  constituído	
  por	
  um	
  núcleo	
  
com	
  2	
  protões	
  (Z=2)	
  e	
  dois	
  neutrões	
  e	
  por	
  dois	
  eletrões	
  ligados	
  ao	
  núcleo	
  pela	
  força	
  de	
  Coulomb.	
  
Considerando	
  apenas	
  a	
  interação	
  de	
  Coulomb	
  entre	
  cada	
  um	
  dos	
  eletrões	
  e	
  o	
  núcleo:	
  
(a)  Descreva,	
  justificando,	
  as	
  funções	
  de	
  onda	
  possíveis	
  	
  𝜓 𝑟%, 𝑟', 𝑠%,𝑚^_, 𝑠',𝑚^` 	
  para	
  o	
  estado	
  
fundamental	
  do	
  átomo	
  de	
  Hélio	
  (𝑟%	
  e	
  𝑟'	
  referem-­‐se	
  à	
  posição	
  de	
  cada	
  um	
  dos	
  eletrões	
  num	
  
referencial	
  com	
  origem	
  no	
  núcleo	
  e	
  𝑠%,𝑚^_, 𝑠',𝑚^` 	
  são	
  os	
  respetivos	
  números	
  quânticos	
  de	
  
spin).	
  Qual	
  a	
  energia	
  e	
  o	
  grau	
  de	
  degenerescência	
  deste	
  estado?	
  
(b)   Considere	
  agora	
  a	
  configuração	
   1𝑠 % 2𝑠 %	
  do	
  átomo	
  de	
  Hélio.	
  Descreva	
  as	
  funções	
  de	
  onda	
  
𝜓 𝑟%, 𝑟', 𝑠%,𝑚^_, 𝑠',𝑚^` 	
  com	
  spin	
  total	
  bem	
  definido	
  para	
  este	
  estado.	
  Qual	
  a	
  energia	
  e	
  o	
  
grau	
  de	
  degenerescência	
  do	
  estado	
   1𝑠 % 2𝑠 %?	
  
Tenha	
  agora	
  em	
  conta	
  efeito	
  de	
  repulsão	
  entre	
  os	
  dois	
  eletrões.	
  	
  
(c)   Mostre	
  que,	
  em	
  primeira	
  ordem	
  de	
  teoria	
  de	
  perturbações,	
  a	
  energia	
  do	
  estado	
  fundamental	
  
do	
   átomo	
   de	
   Hélio	
   é	
   dada	
   por	
   𝐸% ≃ 2 𝑍' −
gh
i
𝐸=,	
   onde	
   𝐸=	
   é	
   a	
   energia	
   do	
   estado	
  
fundamental	
   do	
   átomo	
   de	
   Hidrogénio.	
   Comente	
   este	
   resultado	
   comparando-­‐o	
   com	
   o	
  
resultado	
  obtido	
  na	
  alínea	
  (a).	
  
(d)   Sem	
  efectuar	
  cálculos,	
  diga	
  justificando	
  quais	
  as	
  configurações	
  do	
  spin	
  total	
  dos	
  dois	
  eletrões	
  
que	
  correspondem	
  ao	
  estado	
   1𝑠 % 2𝑠 %	
  com	
  energia	
  mais	
  baixa.	
  
(e)   Mostre	
  que,	
  em	
  primeira	
  ordem	
  de	
  teoria	
  de	
  perturbações,	
  a	
  diferença	
  de	
  energia	
  𝛥𝐸	
  entre	
  
os	
  estados	
   1𝑠 % 2𝑠 %	
  com	
  spin	
  total	
  igual	
  a	
  0	
  e	
  1é	
  dada	
  por:	
  
𝛥𝐸 =
𝑒'
2𝜋𝜀= 4𝜋 '
1
|𝑟% − 𝑟'|
	
  𝑅%= 𝑟% 𝑅%= 𝑟' 𝑅'= 𝑟% 𝑅'= 𝑟' 𝑑(𝑟%𝑑(𝑟'	
  .	
  
Notas:	
   𝑥Z𝑒G
n
o	
  𝑑𝑥 = 𝑎Zp%𝑛!pr	
  = 	
   , 𝑅%= 𝑟 = 2
h
st
u
` 𝑒G
vw
ot	
  , 𝑅'= 𝑟 =
%
' '
h
st
u
` 2 − hx
st
𝑒G
vw
`	
  ot	
  ,	
  	
  	
  
𝐸Z =
yt	
  h`
Z`
	
  𝑒𝑉	
  , 𝐸= = −
U`
iH{tst
= −14.6	
  eV	
  , U
I~w`
x_Gx̀
	
  𝑑(𝑟' = 4𝜋	
  
'GUI~w_ 'p�x_
�ux_
	
  .	
  	
  
Problema	
  4.12	
  –	
  Os	
  quarks,	
   constituintes	
  dos	
  bariões	
  e	
  mesões,	
  existem	
  na	
  natureza	
  em	
  três	
  
estados	
  diferentes	
  de	
  um	
  número	
  quântico	
  denominado	
  côr.	
  Cada	
  tipo	
  de	
  quark	
  existe	
  em	
  três	
  
estados	
  distintos	
  de	
  côr	
   𝑟 , |𝑔〉	
  e	
   𝑏 	
   (red,	
  green	
  e	
  blue)	
  que,	
  para	
  efeitos	
  práticos,	
  podem	
  ser	
  
vistos	
  como	
  as	
  três	
  projeções	
  possíveis	
  de	
  um	
  spin	
  de	
  côr	
  (que	
  nada	
  tem	
  a	
  ver	
  com	
  o	
  spin	
  das	
  
partículas).	
  Considere	
  agora	
  um	
  barião	
  constituído	
  por	
  três	
  quarks	
   |𝑞%𝑞'𝑞(〉	
   ligados	
  pela	
   força	
  
forte	
  (que	
  trata	
  todos	
  os	
  quarks	
  de	
   igual	
  modo).	
  Determine	
  a	
  parte	
  da	
  função	
  de	
  onda	
  de	
  côr	
  
deste	
  barião,	
  e	
  determine	
  as	
  suas	
  propriedades	
  debaixo	
  de	
  simetria	
  de	
  troca,	
  sabendo	
  que	
  os	
  
estados	
  compostos	
  de	
  quarks	
  são	
  sempre	
  singletos	
  de	
  côr.	
  
	
  
Problema	
  4.13	
  –	
  O	
  protão	
  é	
  uma	
  partícula	
  de	
  spin	
  ½	
  constituída	
  por	
  dois	
  quarks	
  up	
  (𝑢)	
  e	
  um	
  
quark	
  down	
  (𝑑).	
  Considerando	
  o	
  número	
  quântico	
  de	
  isospin	
  𝐼,	
  os	
  quarks	
  𝑢	
  e	
  𝑑	
  podem	
  ser	
  vistos	
  
como	
  sendo	
  as	
  projeções	
  distintas	
  𝐼(	
  de	
  𝐼	
  (tal	
  como	
  um	
  eletrão	
  com	
  spin	
  up/down	
  corresponde	
  
às	
  duas	
  projeções	
  distintas	
  do	
  spin	
  do	
  eletrão	
  em	
  z).	
  É	
  usual	
  dizer-­‐se	
  que	
  quarks	
  com	
  𝐼(	
  diferente	
  
têm	
  sabor	
  diferente.	
  Tendo	
  em	
  conta	
  que	
  os	
  quarks	
  𝑢𝑢𝑑	
  estão	
  ligados	
  no	
  protão	
  pela	
  força	
  forte	
  
(para	
  a	
  qual	
  os	
  quarks	
  são	
  todos	
  idênticos	
  independentemente	
  do	
  seu	
  sabor,	
  spin	
  ou	
  côr)	
  e	
  que	
  
o	
  protão	
  tem	
  isospin	
  total	
  𝐼	
  =	
  𝐼(=1/2	
  
(a)  Determine	
  a	
  parte	
  da	
  função	
  de	
  onda	
  do	
  protão	
  com	
  𝑠� = 1/2	
  correspondente	
  ao	
  isospin	
  e	
  
ao	
  spin,	
  𝜓^s��x𝜓^�MZ	
  (considere	
  a	
  aproximação	
  em	
  que	
  a	
  função	
  de	
  onda	
  espacial	
  não	
  tem	
  
qualquer	
  dependência	
  no	
  momento	
  angular	
  orbital	
  dos	
  quarks	
  constituintes).	
  Lembre-­‐se	
  que	
  
os	
  quarks	
  têm	
  côr	
  !	
  
(b)  Considerando	
  que	
  o	
  momento	
  magnético	
  do	
  protão	
  é	
  a	
  soma	
  do	
  momento	
  magnético	
  dos	
  
quarks	
  constituintes	
  e	
  que	
  𝜇�,D = 𝜇�,D𝑆�	
  com	
  (𝑠� = ±ℏ/2),	
  determine	
  o	
  momento	
  magnético	
  
do	
  protão	
  𝜇�	
  em	
  função	
  de	
  𝜇�,D = 𝑞�,D𝑒ℏ/(2𝑚).	
  Tendo	
  em	
  conta	
  que	
  𝑞� = 2/3,	
  𝑞D = −1/3	
  
(𝑒 > 0),	
   ,	
   determine	
   o	
   valor	
   de	
   𝜇�	
   em	
   unidades	
   do	
   magnetão	
   nuclear	
   𝜇� =
Uℏ
'��
=
3.15×10G%cMeV/T	
  (o	
  valor	
  experimental	
  é	
  𝜇� = 2.793𝜇�).	
  Use	
  os	
  seguintes	
  valores	
  para	
  as	
  
massas	
   constituintes	
   dos	
   quarks	
   up	
   e	
   down:	
  𝑚� = 336	
  MeV/c2	
   e	
  𝑚D = 340	
  MeV/c2.	
   Use	
  
𝑚� = 938	
  MeV/c2.	
  
	
  
	
  
	MECÂNICA	QUÂNTICA	II	
Ano	lectivo	2017/2018	–	Docente	:	Filipe	R.	Joaquim	
5a	Série	de	problemas	:	Teoria	de	perturbações	dependentes	do	tempo	(TPDT)	
	
Problema	5.1	–	Considere	uma	partícula	no	estado	fundamental	de	um	poço	de	potencial	infinito.	
Em	t=0,	perturba-se	o	sistema	de	tal	modo	que	o	potencial	passa	a	ser:	
𝑉 𝑥 =
𝑉$			se	0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎/2
0	se		𝑎/2 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
∞		otherwise
	
onde	𝑉$ ≪ 𝐸6.	 Depois	 de	 um	 intervalo	 de	 tempo	 T,	 a	 energia	 da	 partícula	 é	medida.	 Qual	 a	
probabilidade	(em	primeira	ordem	de	TPDT)	de	o	resultado	dessa	medida	ser	𝐸7.	
Problema	5.2	–	Considere	um	oscilador	harmónico	a	uma	dimensão	com	frequência	angular	𝜔	e	
carga	eléctrica	𝑞.	No	instante	de	tempo	t=0,	o	oscilador	encontra-se	no	estado	fundamental.	Um	
campo	eléctrico	de	intensidade	constante	é	aplicado	durante	um	intervalo	de	tempo	𝑇.	
Caracterize	as	transições	possíveis	em	primeira	ordem	de	teoria	de	perturbações	e	determine	as	
respectivas	probabilidades.	
	
Problema	5.3	–	Um	oscilador	harmónico	encontra-se	no	estado	fundamental	para	t<0.	Para	𝑡 ≥
0,	aplica-se	ao	sistema	uma	perturbação	do	tipo		𝑉 𝑥, 𝑡 = 𝑉$𝑥?𝑒AB/C.	
	
(a) Para	que	estados	pode	o	sistema	transitar	após	um	intervalo	de	tempo	Δ𝑡,	em	primeira	ordem	
de	TPDT.	
(b) Calcule	a	probabilidade	de	o	oscilador	transitar	para	cada	um	dos	estados	identificados	na	
alínea	anterior	após	um	intervalo	de	tempo	suficientemente	longo	(𝑡 → ∞).	
(c) Em	segunda	ordem	de	teoria	de	perturbações	as	transições	possíveis	continuam	a	ser	as	que	
identificou	 na	 alínea	 (a)?	 Justifique	 a	 sua	 resposta	 por	 palavras	 usando,	 no	máximo,	 uma	
equação	(pode	nem	usar	nenhuma).	
Problema	5.4	 –	 Considere	um	 sistema	 composto	por	duas	partículas	de	 spin	 1/2.	 Para	 t<0,	 o	
Hamiltoniano	 não	 depende	 dos	 spins	 e	 pode	 ser	 considerado	 como	 nulo	 (ajustando	
convenientemente	os	níveis	de	energia).	Para	t>0,	o	Hamiltoniano	é	dado	por:	
𝐻 =
4Δ
ℏ7
	𝑺𝟏. 𝑺𝟐	
Suponha	que	o	sistema	está	no	estado	| ↑↓	〉	para	𝑡 ≤ 0.	Determine	a	probabilidade	(em	função	
do	tempo)	de	o	sistema	se	encontrar	nos	estados	 	↑↑	 , ↑↓ , ↓↑	 	e	| ↓↓〉:	
(a) Resolvendo	o	problema	exactamente.	
(b) Usando	TPDT	em	primeira	ordem.	Comente	o	resultado.	
Problema	5.5	–	Um	oscilador	harmónico	encontra-se	no	estado	fundamental	para	t<0.	Para	𝑡 ≥
0,	aplica-se	uma	força	espacialmente	uniforme			
𝐹 𝑡 = 𝐹$𝑒AB/C	
(a) Use	TPDT	em	primeira	ordem	para	determinar	a	probabilidade	de	o	oscilador	se	encontrar	no	
primeiro	estado	excitado	para	t>0.	Mostre	que	para	𝑡 → ∞,	esta	probabilidade	é	constante.		
(b) Podemos	encontrar	o	sistema	em	estados	com	𝑛 ≥ 2?	
Problema	5.6	–	Considere	um	oscilador	harmónico	unidimensional	de	carga	q	e	frequência	𝜔$	
num	estado	excitado	𝑛 > 0.			
(a) Qual	 a	 taxa	 de	 decaimento	 por	 emissão	 espontânea	 do	 estado	 excitado	𝑛	 para	 o	 estado	
fundamental	e	a	potência	média	radiada	por	este	oscilador.	
(b) Obtenha	uma	estimativa	da	taxa	de	decaimento	determinada	na	alínea	anterior	e	o	tempo	de	
vida	do	estado	|𝑛〉	para	um	electrão	a	oscilar	à	frequência	𝜔$ = 3×106Wrad/s.	
(c) Verifique	a	validade	da	aproximação	dipolar	para	o	caso	do	electrão	da	alínea	anterior.	
Problema	 5.7	 –	 Um	 átomo	 de	 Hidrogénio	 encontra-se	 no	 estado	 2𝑝.	 Determine	 a	 taxa	 de	
transição	associada	às	transições	2𝑝 → 1𝑠	(Lyman-α)	e	o	tempo	de	vida	médio	do	estado	2𝑝.	
Problema	 5.8	 –	 A	 aproximação	 dipolar	 consiste	 em	 desprezar	 a	 variação	 espacial	 do	 campo	
eléctrico	de	uma	onda	electromagnética,	i.e.		
exp 𝑖	𝑘. 𝑟 = 1 + 𝑖	𝑘. 𝑟 + ⋯ ≃ 1.							(Eq.	1)	
Suponha	que	consideramos	agora	o	termo	de	primeira	ordem	na	expansão	acima.	A	presença	
deste	 termo	 dá	 origem	 a	 transições	 vulgarmente	 denominadas	 de	 proíbidas	 (ou	 de	 dipolo	
magnético	e	quadrupólo	eléctrico).	
(a) Mostre	que	a	taxa	de	transição	por	emissão	espontânea	para	as	transições	proíbidas	é	
dada	por:	
𝑅c→d =
𝑞7𝜔e
𝜋𝜖$ℏ𝑐e
	 	 𝑎 𝑛. 𝑟 𝑛i. 𝑟 𝑏 	 7			
	
onde	𝑛	e	𝑛i	são	as	direcções	do	campo	eléctrico	e	de	propagação,	respectivamente.	(Não	
se	preocupe	em	fazer	a	média	nos	estados	de	polarização	e	nas	direcções	de	propagação).	
(b) Mostre	 (fazendo	 agora	 as	 médias	 convenientes)	 que	 para	 um	 oscilador	 harmónico	
unidimensional	as	transiçõesproíbidas	dão-se	entre	os	níveis	𝑛	e	𝑛 − 2	com	uma	taxa	de	
transição	dada	por	
𝑅 =
ℏ𝑞7𝜔?𝑛(𝑛 − 1)
15𝜋𝜖$𝑚7𝑐e
		
(c) Mostre	 que	 as	 transições	 2𝑠 → 1𝑠	 no	 átomo	 de	 Hidrogénio	 (que	 não	 ocorrem	 na	
aproximação	dipolar)	continuam	a	não	ser	permitidas	quando	se	considera	a	aproximação	
dada	na	eq.	(1).	
Problema	5.9	–	Um	átomo	de	Hidrogénio	no	estado	fundamental	é	sujeito	a	um	campo	eléctrico	
oscilante	𝐸opq 𝑡 = ℰ$ sin 𝜔𝑡 .	Calcule	a	probabilidade	por	unidade	de	tempo	de	o	átomo	ser	
ionizado	(taxa	de	ionização)	com	eletrões	emitidos	na	direção	zz.	
Problema	 5.10	 –	 Um	 átomo	 de	 Hidrogénio	 no	 estado	 fundamental	 é	 sujeito	 a	 um	 potencial	
𝑉 𝑟, 𝑡 = 𝑉$ cos(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡).	Use	teoria	de	perturbações	dependentes	do	tempo	para	obter	uma	
expressão	para	a	taxa	à	qual	o	electrão	é	emitido	com	momento	𝑝.	Qual	a	distribuição	angular	do	
electrão	ejectado.	
Problema	5.11	–	Suponha	que	devido	a	uma	pequena	força	violadora	de	paridade,	o	nível	22S1/2	
tem	uma	pequena	mistura	do	nível	22P1/2.	Descreva	os	elementos	de	matriz	que	correspondem	à	
desexcitação	 deste	 estado	 na	 aproximação	 dipolar?	 O	 que	 acontece	 se	 o	 estado	 inicial	 for	 o	
estado	22S1/2	puro?	
Problema	5.12	 –	Uma	partícula	encontra-se	no	estado	 fundamental	de	um	poço	de	potencial	
infinito	com	paredes	em	𝑥 = 0	e	𝑥 = 𝐿.	Esta	última	parede	é	repentinamente	deslocada	para	𝑥 =
2𝐿.	
(a) Calcule	a	probabilidade	de	encontrar	a	partícula	no	estado	fundamental	do	novo	poço	de	
potencial.	
(b) Suponha	que	as	paredes	do	poço	inicial	[0, 𝐿]	são	retiradas	e	que	a	partícula	se	encontrava	
no	 estado	 fundamental.	 Qual	 a	 distribuição	 de	 probabilidades	 para	 o	 momento	 da	
partícula	após	ser	libertada.	
Problema	 5.13	 –	O	 número	 atómico	 de	 um	núcleo	muda	 repentinamente	 de	 Z	 para	 Z+1	 por	
decaimento	𝛽.	Qual	a	probabilidade	de	um	electrão	no	estado	n=1	do	núcleo	pai	se	encontrar	no	
estado	n=1	do	núcleo	filho	após	o	decaimento	𝛽?	(Despreze	qualquer	interacção	que	não	seja	a	
atracção	entre	o	electrão	e	o	núcleo).	
Problema	5.14	–	Considere	um	neutrão	sujeito	a	um	campo	magnético	de	intensidade	constante	
𝐵$		e	direcção	segundo	um	angulo	𝜃	com	o	eixo	dos	zz.	O	vértice	do	campo	magnético	descreve	
uma	circunferência	𝐶	na	superfície	esférica	de	raio	𝐵$.	Calcule	explicitamente	o	potencial	de	Berry	
𝐴	para	o	estado	próprio	do	sistema	com	spin	up,	e	encontre	o	valor	da	fase	de	Berry	para	este	
exemplo	específico	de	caminho	fechado	𝐶.	
Problema	5.15	(1º	Exame	MQII	2012/2013)	–	Um	sistema	quântico	é	descrito	pelo	Hamiltoniano	
𝐻,	cuja	dependência	temporal	é	controlada	por	um	conjunto	de	parâmetros		
	
𝑅 𝑡 = [𝑅6 𝑡 , 𝑅7 𝑡 , … , 𝑅� 𝑡 ],	
	
Suponha	 que	 inicialmente	 o	 sistema	 se	 encontra	 no	 estado	 próprio	 |𝛼	〉	 de	 𝐻	 e	 que	
posteriormente	 se	 submete	 o	 sistema	 a	 uma	 transformação	 adiabática	 durante	 a	 qual	𝑅 𝑡 	
descreve	um	caminho	fechado	𝛤	no	seu	espaço	𝑛-dimensional.	Mostre	que	se	a	função	de	onda	
𝜓� 	for	real,	então	a	fase	de	Berry		𝛾�(𝑡)	associada	à	transformação	adiabática	atrás	referida	é	
nula.	
	
Problema	5.16	(2º	Exame	MQII	2012/2013)	–	Um	sistema	quântico	é	descrito	pelo	Hamiltoniano	
𝐻,	 cuja	 dependência	 temporal	 é	 controlada	 por	 um	 conjunto	 de	 parâmetros	 𝑅 𝑡 =
[𝑅6 𝑡 , 𝑅7 𝑡 , … , 𝑅� 𝑡 ].	 Suponha	 que	 o	 sistema	 evolui	 adiabáticamente	 de	 𝑡 = 0	 a	 𝑡 =
𝑇	enquanto	𝑅	varia	de	𝑅(0)a	𝑅(𝑇)	descrevendo	um	caminho	𝛤	(não	necessáriamente	fechado)	
no	seu	espaço	𝑛-dimensional.	Considere	que	a	base	dos	estados	próprios	ortonormais	de	𝐻(𝑅)	é	
constítuida	pelos	estados	|𝑛 𝑅 	〉.	
(a)		Mostre	que	a	fase	geométrica	𝛾�(𝛤)	adquirida	pelo	sistema	durante	o	processo	adiabático	
acima	descrito	é	sempre	real.	
(b)	Considere	agora	que	se	transforma	o	estado	|𝑛 𝑅 	〉	segundo	uma	transformação	de	gauge	
	𝑛 𝑅 	 	→ 𝑒��(�)	 	𝑛 𝑅 	 	,	onde	𝛼(𝑅)	é	uma	função	real	de	𝑅	e	únicamente	definida	para	cada	
𝑅.	Como	se	transforma	o	“potencial-vetor”	𝐴� = 	𝑛 𝑅 	 𝛻�𝑛 𝑅 	〉	debaixo	desta	transformação	
e	qual	o	efeito	na	fase	geométrica	𝛾�(𝛤)	se	𝛤	for	aberto?	Comente	sobre	a	relevância	física	de	
𝛾�(𝛤)	 neste	 caso.	 Se	𝛤	 for	 um	 caminho	 fechado	 qual	 o	 efeito	 da	 transformação	 em	 𝛾�(𝛤)?	
Comente	de	novo.	
	
Problema	 5.17	 (2º	 Exame	 MQII	 2012/2013)	 –	 Considere	 um	 sistema	 composto	 por	 duas	
partículas	de	spin	1/2.	Para	𝑡 < 0,	o	Hamiltoniano	não	depende	dos	spins	e	pode	ser	considerado	
como	nulo	(ajustando	convenientemente	os	níveis	de	energia).	Para	𝑡 ≥ 0,	o	Hamiltoniano	é	dado	
por:	𝐻 = W�
ℏ�
	 𝑆�7 + 𝑆�7 ,	onde	𝑆		é	o	spin	total	do	sistema.	Suponha	que	para	𝑡 ≤ 0	o	sistema	está	
no	estado	| ↓↑	〉.	Determine	a	probabilidade	(em	função	do	tempo)	de	o	sistema	se	encontrar	nos	
estados	 	↑↑	 , ↑↓ , ↓↑	 	e	| ↓↓〉	num	instante	𝑡 > 0,	usando	teoria	de	perturbações	em	primeira	
ordem. 
MECÂNICA QUÂNTICA II 
Ano lectivo 2017/2018 – Docente : Filipe R. Joaquim 
6a Série de problemas : Scattering 
 
Problema 6.1 – Considere o scattering de uma partícula de massa µ e momento 𝑝 = ℏ𝑘&⃗ por um 
potencial de Yukawa: 
𝑉(𝑟) = 𝑉+𝑎	
𝑒/0/2
𝑟 
onde 𝑉+ e 𝑎 são constantes reais e positivas. 
(a) Calcule a secção eficaz diferencial em primeira aproximação de Born. 
(b) Obtenha a secção eficaz total. 
 
Problema 6.2 – Considere o scattering de um nucleão por um núcleo pesado de raio 𝑅. O efeito 
do núcleo pesado pode ser representado pelo potencial: 
𝑉(𝑟) = 4−𝑉+		, 𝑟 < 𝑅0,			𝑟 > 𝑅	 
(a) Calcule a secção eficaz diferencial em primeira aproximação de Born. 
(b) Explique como poderia usar o resultado da alínea anterior para medir 𝑅. 
Problema 6.3 – Considere o scattering de uma partícula de massa 𝑚 pelo potencial 
𝑉(𝑟	) = 𝑉+𝑒/0/2	 
(a) Determine a secção eficaz diferencial na primeira aproximação de Born. 
(b) Esboce a dependência angular da secção eficaz diferencial para 𝑘𝑎 = 0 e 𝑘𝑎 = 1. Para 
que valores aproximados de 𝑘 o scattering começa a ser significativamente anisotrópico. 
(c) Discuta a validade da primeira aproximação de Born nos limites de alto e baixo 𝑘. Qual 
dos limites é mais restringente no que respeita ao valor do potencial? 
 
Problema 6.4 – A amplitude de scattering neutrão-protão pode escrever-se como: 
𝑓(𝜃) = 〈𝜒@	A	𝐴 + 𝐵�⃗�F. �⃗�H	|	𝜒J	〉 
onde 𝐴 e 𝐵 são constantes e |	𝜒	〉J,@ representam os estados finais do spin do protão e do neutrão. 
(a) Determine a amplitude de scattering para todas as combinações de estados iniciais e finais 
do sistema protão-neutrão. 
(b) Determine a secção eficaz diferencial para o scattering |+	〉H → |+	〉H e |+	〉H → |−	〉H quando 
o spin do protão emergente não é medido pelo detector. 
(c) Determine a secção eficaz |Singleto〉 →|Singleto〉, |Tripleto〉 →|Tripleto〉 e |Singleto〉 	→ 
|Tripleto〉. 
Problema 6.5 – Considere um caso de difusão a baixas energias pelo potencial 
𝑉(𝑟) = 𝛼𝛿(𝑟 − 𝑎) 
(a) Determine a amplitude de scattering e as secções eficazes diferencial e total na 1ª 
aproximação de Born de baixas energias. 
(b) Repita a alínea (a) considerando energias arbitrárias e compare o resultado com o obtido 
anteriormente. 
Problema 6.6 – Considere o problema de difusão por um potencial do tipo esfera rígida: 
𝑉(𝑟) = 4
∞		, 𝑟 < 𝑟+
0,			𝑟 > 𝑟+	
 
a baixas energias (𝑘+𝑟+ ≪ 1). 
(a) Usando o método das ondas parciais, determine o desvio de fase, a amplitude de scattering, 
e as secções eficazes diferencial e total para ondas 𝑠	(𝑙 = 0). 
(b) Escreva a equação radial de Schrödinger com (𝑙 = 1) e determine a solução da mesma para 
scattering de ondas 𝑝. 
(c) Determine o desvio de fase das ondas 𝑝 e obtenha o limite a baixas energias. 
Problema 6.7 – Considere um poço de potencial quadrado 
𝑉(𝑟) = 4−𝑉+		, 𝑟 < 𝑎0,			𝑟 > 𝑎 
(a) Calcule os desvios de fase para difusão de ondas 𝑠 e 𝑝 a baixas energias. 
(b) Determine a condição de ressonância para as ondas 𝑠 e 𝑝. 
(c) Calcule a secção eficaz total fora da ressonância para 𝑘𝑎 ≪1 e 𝛿S ≪ 𝛿+. 
Problema 6.8 – Considereo scattering de partículas pelo potencial V(r)=g/r2, onde g é uma 
constante positiva. 
(a) Determine os desvios de fase das ondas parciais. 
(b) Qual a dependência da secção eficaz diferencial na energia das partículas incidentes. 
(c) Considere TUV
ℏW
≪ 1. Determine os desvios de fase neste limite e a secção eficaz diferencial. 
Problema 6.9 – Use a aproximação de Born para exprimir a secção eficaz diferencial de Coulomb 
de uma carga pontual por uma distribuição de carga do tipo: 
𝜌(𝑟) =
1
𝜋Z/T𝑅Z 𝑒
/0W/[W 
como o produto da secção eficaz diferencial de Rutherford e o quadrado do factor de forma 𝐹(𝑞). 
Problema 6.10 – Considere o scattering de neutrões com energia E = 1 MeV por um alvo. Sabendo 
que a distribuição angular dos neutrões no centro massa é isotrópica e que a secção eficaz total 
medida é de 0.1 𝑏, determine o desvio de fase das ondas parciais envolvidas. 
Problema 6.11 – Uma partícula sem spin 𝑃S encontra-se num estado ligado esféricamente 
simétrico cuja função de onda é 𝜓S = (𝜋𝑎)/Z/Texp	(−𝑟T/𝑎T), onde 𝑎 é o “tamanho do estado 
ligado”. Se uma partícula sem spin 𝑃T interagir com 𝑃S segundo o potencial 𝑉(𝒓 − 𝒓e) =
𝑉+𝑏Z𝛿Z(𝒓 − 𝒓e): 
(a) Calcule, em primeira aproximação de Born, a amplitude de scattering elástico de 𝑃T por 𝑃S 
(não de preocupe com a normalização). 
(b) Como varia a distribuição com a energia das partículas incidentes e como poderia usar a 
distribuição para determinar o “tamanho” do estado ligado 𝑃S. 
Problema 6.12 – Considere o scattering de um feixe de partículas de spin 1/2 e massa m por um 
alvo constituído por núcleos pesados, também de spin 1/2. A interacção de uma das partículas 
incidentes com um núcleo pode ser descrita como 
𝑉(𝑟S, 𝑟T, 𝑆S, 𝑆T) = 𝑐	𝑆S. 𝑆T	𝛿(Z)(𝑟S − 𝑟T), 
onde 𝑐 é uma constante pequena e 𝑟S, 𝑟T definem a posição das partículas incidentes e do núcleo, 
respectivamente. Calcule a secção eficaz total, fazendo a média nos estados iniciais de spin. 
Problema 6.13 – Duas partículas idênticas de spin ½ e massa m interagem segundo o potencial 
𝑉(𝑟) = 𝑒T exp(−𝜆𝑟) /𝑟. Considere o scattering entre duas destas partículas de energia E no 
centro de massa (assuma que a energia é alta). 
(a) Calcule (no centro de massa) a secção diferencial para partículas emergentes segundo um 
ângulo 𝜃 relativamente ao eixo da direcção das partículas incidentes. 
(b) Assumindo que as partículas são observadas segundo um ângulo 𝜃 relativamente ao eixo do 
feixe, qual a probabilidade de, após o scattering, as duas partículas serem detectadas num 
estado de spin total S=1? E num estado em que ambas as partículas têm 𝑆i = +1/2? 
Problema 6.14 – Mostre que a secção eficaz para o espalhamento de um electrão rápido por um 
átomo de Hidrogénio no estado fundamental é dada por: 
𝑑𝜎
𝑑Ω =
4	
𝑎+T𝑞n
41 −
16
[4 + (𝑞𝑎+)T]T
r
T
	 
onde 𝑎+ é o raio de Bohr. 
 
	
	MECÂNICA QUÂNTICA II